Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
B IZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE : ˝ RENDSZEREK F UZZY SZAKÉRT OI
Szakért˝oi rendszerek, 14. hét, 2008
Fuzzy algoritmusok
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Tartalom 1 2
3
4
5
Bevezeto˝ Fuzzy történelem A fuzzy logika kialakulása Alkalmazások Fuzzy logikát követ-e a világ? Fuzzy halmazelmélet Éles halmazok Fuzzy halmazok Fuzzy alapfogalmak M˝uveletek fuzzy halmazokon Fuzzy relációk Fuzzy rendszerek Fuzzy szakért˝oi rendszerek Fuzzy irányítási rendszerek Fuzzy algoritmusok Fuzzy algoritmusok komplexitása
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Bevezeto˝
„Fuzzy” jelentése: homályos, ködös, életlen, bizonytalan. Nyugaton az ókortól kezdve az igaz-hamis logika elterjedt. A precíz fogalmak azonban nem alakalmasak pontatlan meghatározások kezelésére. Pl: a „homokkupac” definíciója. Nyugaton a XX. századra kialakulnak a többérték˝u logikák is. Keleten viszont szinte az összes vallásban jelen van a kezdetek óta. Az ilyen, részben igaz állításokat megenged˝o logika a fuzzy logika.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
A fuzzy logika kialakulása A fuzzy logika kialakításában a legnagyobb motivációt a m˝uszaki feladatok jelentették. 1960: Zadeh professzor veti fel a fuzzy halmazelmélet szükségességét. Vegyes reakciók: felesleges, értelmetlen, gyakorlatban haszontalan. 1965-t˝ol a fuzzy témájú publikációk száma mégis exp. növekszik. Zadeh, 1973: „ha-akkor” szabálybázisok és fuzzy halmazok összekapcsolása, fuzzy következtet˝o módszer Mamdani, 1975: A módszert hatékonnyá, gyakorlatban is alkalmazhatóvá teszi.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Alkalmazások
Hamar megjelentek az els˝o ipari alkalmazások: 1975, Budapest: magyar–amerikai Alakfelismerési szeminárium, képfeldolgozási alkalmazások 1984: Megalakul az IFSA: Nemzetközi Fuzzy Rendszerek Szövetség. 1987-t˝ol: Japán fuzzy aranykor. Háztartási gépek, fogyasztói elektronika. ˝ USA: Urkutatás, haditechnika: Sivatagi vihar, Patriot rakéták. Európa: Itt inkább elméleti eredmények születtek.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Alkalmazások
További sikeres alkalmazások: Orvosbiológia: Altatás irányítása, Dialízis irányítása, Diagnosztikai döntéstámogatás.
Pénzügy: Biztosítási kockázatfelismerés, Portfólióválasztás, Pénzügyi el˝orejelz˝o rendszerek.
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy logikát követ-e a világ? Az emberi gondolkodásban, cselekvésben természetes módon jelen van a pontatlanság, bizonytalanság. A „homokkupac” természetes nyelven alkotott fogalom. Autóban a gáz- vagy fékpedál nyomása is csak hozzávet˝oleges. Az alapszínek határai különböz˝o nyelvekben máshol húzódnak. Sok o˝ si nyelvben a kék és zöld nem is különül el. Keleti vallások: taoizmus, buddhizmus, stb. Persze nem minden fuzzy. Kinek van jogosítványa? Van vagy nincs (0 vagy 1) → éles (crisp) halmaz. Ki mennyire tud autót vezetni? Rosszul, jól, nagyon jól ([0,1] intervallum) → fuzzy halmaz.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Éles halmazok
Egy éles halmaz az alábbi három módon adható meg: Elemei felsorolásával (ha véges): A = {1, 2, 4, 8, 16, . . . }. Az elemekre teljesül˝o szabállyal: A = {x ∈ X | x = 2n, n ∈ Z}, ahol X az alaphalmaz. Karakterisztikus függvényével: 1, ha x ∈ A χA (x) = 0, ha x ∈ /A Halmazm˝uveletek: komplemens, metszet, únió. Halmazelméleti azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás, idempotencia, elnyelés, De Morgan szabályok, stb.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy halmazok A karakterisztikus függvény általánosítása a µA : X → [0, 1] tagsági függvény. Az így definiált halmaz a fuzzy halmaz. Alkalmas a bizonytalan határokkal rendelkez˝o természetes nyelvi fogalmak reprezentálására, pl. magas, alacsony, fiatal, id˝os, stb. Az egyes fogalmak különböz˝o tagsági függvényekkel modellezhet˝ok. Pl. „körülbelül 2”:
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy halmazok általánosítása A fuzzy halmaz értéke lehet: Intervallum: Nem mindig ismert a pontos tagsági érték. Az a elem tagsága valamilyen [α1 , α2 ] korlátok között van.
Fuzzy halmaz: Minden elem értéke maga is fuzzy halmaz. Ezek a másodfajú fuzzy halmazok.
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy halmazok általánosítása
Másfajta általánosítás: A fuzzy halmaz X alaphalmaza maga is lehet fuzzy. Így egy fuzzy alaphalmaz elemeihez is rendelhet˝o tagsági érték. Ezek a 2-es szint˝u fuzzy halmazok. A másod-, harmad-, stb. fajú, és 2-es, 3-as, stb. szint˝u fuzzy halmazok kombinálhatók is. Gyakorlatban nem jelent˝osek a nagy számítási igény miatt.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy halmazok tulajdonságai α-vágat: Az α-nál nagyobb tagsági érték˝u x elemek összessége: Aα = {x | µA (x) ≥ α}. Szigorú α-vágat: Egyenl˝oséget nem megenged˝o α-vágat. Szinthalmaz: Az összes lehetséges α-vágat halmaza. Lényeges α-vágat: Olyan α-vágat, amely a tagsági függvény töréspontjához tartozik. Speciális α-vágatok: A fuzzy halmaz tartója: Ez a 0-nál nagyobb tagsági érték˝u elemek összessége. supp(A) = {x | µA (x) > 0}. A fuzzy halmaz magja: Ez az 1 tagsági érték˝u elemek összessége. core(A) = {x | µA (x) = 1}.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy halmazok tulajdonságai Magasság: A tagsági függvény legnagyobb értéke (supremuma). h(A) = supx∈X µA (x) . Ha a magasság 1, akkor a fuzzy halmaz normális, ha kisebb, akkor szubnormális. Konvexitás: Egy fuzzy halmaz konvex, ha minden α ∈ (0, 1]-re az α-vágata konvex. P Jelölés: A = ni=1 ai /xi , R vagy ha X valós intervallum: A = X µA (x)/x.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Muveletek ˝ fuzzy halmazokon A hagyományos halmazm˝uveletek Zadeh-féle fuzzy általánosítása: Komplemens: µ ¯A (x) = 1 − µA (x). Egyensúlyi pont: Azok az x elemek, melyekre µ ¯A (x) = µA (x).
Únió: (µA ∪ µB )(x) = max µA (x), µB (x) . Metszet: (µA ∩ µB )(x) = min µA (x), µB (x) . Aggregációs operátorok: Többfuzzy halmaz egyesítését végzik: µA (x) = h µA1 (x), . . . , µAn (x) . 1 Általános hatványközép: hα (a1 , . . . , an ) = n1 (aα1 + · · · + aαn ) α . Pn OWA: hw (a1 , . . . , aP o n) = i=1 wi ai , ahol a1 , . . . , an csökken˝ sorrendben van, és ni=1 wi = 1. A halmazm˝uveletek és aggregációk többféleképpen általánosíthatók.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy relációk
A relációk halmazok elemei közötti kapcsolatot írnak le. Két elem vagy relációban van, vagy nem. A fuzzy relációk megengedik, hogy a reláció mértéke tetsz˝oleges 0 és 1 közötti szám lehessen. Egy fuzzy reláció az X és Y alaphalmazokon egy fuzzy halmaz az X × Y alaphalmazon, így szintén tagsági függvénnyel írható le. A relációk osztályozhatók a relációban lév˝o halmazok száma szerint. Pl. két halmaz esetén bináris.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
˝ rendszerek Hagyományos szakértoi A szakért˝oi rendszerek az emberi szakért˝o következtetési folyamatát emulálják. Általában „ha-akkor” típusú szimbolikus szabályokból felépül˝o tudásbázist alkalmaznak. A szabályok alapja a kétérték˝u logika, implikációként értelmezhet˝ok. Hátrány: Sok esetben folytonos értékkészlet˝u, vagy analóg változókkal kell dolgozni. A leíráshoz végtelen sok szabály kellene, így diszkrét intervallumokra osztják az értékeket. A szabályokban az intervallumok legtipikusabb értéke szerepel. Fuzzy esetben a tipikus értékek között interpoláció lehetséges, így kevesebb szabály kell.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
˝ rendszerek felépítése Fuzzy szakértoi
Fuzzy algoritmusok
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
˝ rendszerek felépítése Fuzzy szakértoi Tudásbázis: Szakterülettel kapcsolatos tudást tartalmazza (hosszú távú memória). Az információt fuzzy produkciós szabályok hordozzák: „Ha A akkor B”. Adatbázis: Kommunikáció adatait, vagy a feladat paramétereit tárolja (rövid távú memória). Következtet˝o gép: A tények és a szabályok segítségével fuzzy következtetést végez. Adatvezérelt: A tényeket a szabályok feltétel részére illeszti (el˝ore haladó). Célvezérelt: A célt és a szabályok következmény részét illeszti (visszafelé haladó).
Metaszabálybázis: Leállási feltételeket, szabályok közti precedenciát tartalmazhat, vagy a kommunikációt segíti. Kommunikációs felület: A felhasználó és a rendszer kapcsolatáért felel, esetleg magyaráz is.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy irányítási rendszerek felépítése
Fuzzy algoritmusok
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy irányítási rendszerek felépítése Fuzzy szabálybázis: „Ha a bemenet A, akkor a kimenet B” típusú szabályokból áll. A szabályok szubszimbolikus információt is hordoznak, a tagsági függvények formájában. Illeszkedési mértéket meghatározó egység: A szabályok el˝ozmény részét illeszti a megfigyelt tény tagsági függvényére. Ha egy szabály tüzel, akkor meghatároz hozzá egy illeszkedési mértéket. Következtet˝o gép: Kiértékeli a tüzel˝o szabályokat, figyelembe véve az illeszkedési mértékeket. Kimenete egy tagsági függvény. Defuzzifikáló egység: Ha kimenetként éles jelre van szükség, akkor a kapott tagsági függvényb˝ol ezt el˝oállítja.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
A szabálybázis, mint fuzzy reláció A fuzzy szabályok fuzzy relációként adhatók meg. Ha µA (x), x ∈ X az el˝ozmény, és µB (y), y ∈ Y a következmény, akkor a fuzzy szabály-reláció tagsági függvénye µR (x, y) = µA (x) ∪ µB (y). Jelölése: R : A → B. A szabálybázisban lév˝o összes szabály uniója a fuzzy szabálybázis-reláció.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Nyelvi változók
A nyelvi változó kifejezést Zadeh vezette be. Értékei természetes nyelvi szavak, kifejezések lehetnek. Három féle értelmezése lehet egy tagsági függvénynek: 1 2 3
Hasonlóság, közelség a maghoz (prototípus elemekhez). Szubjektív valószín˝uség eloszlású bizonytalan állapotok. Rugalmas feltételek teljesülésének mértéke (igen-nem finomítása).
Fuzzy irányítási rendszerekben mindhárom értelmezés helyet kap: 1 2 3
Nyelvi változók létrehozásakor. Szabályok megalkotásakor. Megfigyelt tény fuzzy halmazzá alakításakor.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy partíciók Nyelvi változó definiálásakor fontos, hogy halmazai lefedjék az alaphalmazt (minden megfigyelésb˝ol lehessen következtetni). Ha egy halmazcsalád teljesíti ezt a feltételt, akkor fuzzy partíciónak nevezzük.
Lényeges az alaphalmaz megválasztása is. Tartalmazzon minden lehetséges megfigyelést, és a lehet˝o legkevesebb fuzzy halmazzal fedjük le. Az el˝ozmény partíció számosságával (szabályok számával) a végrehajtási id˝o és a tárigény exp. n˝o, a nyelvi címkék kifejez˝o ereje pedig csökken.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy következtetés (Zadeh) A Zadeh-féle módszer a szabálybázist és a megfigyelt tényt fuzzy relációként értelmezi. A következtetés a két reláció kompozíciójaként áll el˝o. A módszer hátránya, hogy nagy számításigény˝u.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy következtetés (Mamdani) A Mamdani-féle módszer jóval egyszer˝ubb, bár pontatlanabb lehet. Többdimenziós bemenetnél minden dimenziót függetlenül számol. Az A∗j megfigyelés és a szabályok Aj,i el˝ozményének illesztésévelh meghatároz egy wj,i illeszkedési mértéket: i wj,i = max min µA∗j (xj ), µAj,i (xj ) . Az összes dimenzióra nézve veszi ezek minimumát: wi = minj (wj,i ). A szabály Bi következmény részét wi magasságban csonkolja.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy következtetés (Mamdani) Az összesített következtetés az egyes szabályokra vett ∗ következtetések uniója: µB (y) = maxi µBi (y) . Lényegében több szabály következtetésének illeszkedési mértékkel súlyozott átlaga.
Fuzzy algoritmusok
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Defuzzifikációs módszerek A gyakorlatban sokszor éles kimenet kell, így ki kell választani a fuzzy halmazt legjobban jellemz˝o értéket. Súlypont módszer (COG): A jellemz˝o pont a fuzzy halmaz súlypontja lesz, ami a részkonklúziók súlypontjának átlaga. Leggyakrabban használt, mert háromszög és trapéz alakú szabályokon könnyen számolható. Minden illeszkedési mértéknek hatása van a kimenetre. Hátránya, hogy olyan értéket adhat, ahol a következmény tagsági értéke nulla.
Geometriai középpont módszer (COA): Míg a COG módszer az átlapolt területeket többször számolja, a COA csak egyszer. Bonyolult tagsági függvényeknél igen nehéz számolni.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Defuzzifikációs módszerek Maximumok közepe módszer (MOM): A defuzzifikált érték a legmagasabb tagsági érték˝u elemek halmazának középértéke (átlaga). El˝onye, hogy egyszer˝uen számolható. Hátránya, hogy nemfolytonos irányítási függvényt eredményez, mivel a kimenet ugrálhat a különböz˝o szabályok között.
Középs˝o maximum módszer (COM): Azok közül az elemek közül választja a középs˝ot, melyek tagsági értéke a tagsági függvény magassága. El˝onye és hátránya megegyezik a MOM módszerével.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
Fuzzy algoritmusok komplexitása Ha a bemenetünk k dimenziós, és az alaphalmaz lefedéséhez minden dimenzióban legfeljebb T fuzzy halmazt használunk, akkor a teljes X k alaphalmaz lefedéséhez O(T k ) szabály kell. A Zadeh-féle algoritmus id˝obonyolultsága: O(T 2k+1 ). A Mamdani-féle algoritmus id˝obonyolultsága: O (k + 1)T k+1 . Módszerek az exponenciális bonyolultság csökkentésére: Ritka szabálybázisok: A bemenetnek van olyan pontja, melyhez nem rendelhet˝o szabály. Fuzzy szabályinterpoláció: A szomszédos szabályok segítségével közelít˝o következtetést határozunk meg. Hierarchikus szabálybázisok: Ha lokálisan a változók egy része is elég a kell˝o pontosság eléréséhez, akkor az állapottér partícionálható.
Bevezet˝o
Fuzzy történelem
Fuzzy halmazelmélet
Fuzzy algoritmusok komplexitása Példa ritka szabálybázisra:
Fuzzy rendszerek
Fuzzy algoritmusok
