Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás Fuzzy logikával

Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás Fuzzy logikával 2007/2008. tanév, I. félév Dr. Kovács Szilveszter E-mail: [email protected] Miskolci Egyetem Informatikai Intézet 106. sz. szoba Tel: (46) 565-111 / 21-06 mellék

A tudásábrázolás elvárt jellemzői Patrick Winston szerint 1. A fontos dolgokat világosan adja meg. 2. Fedje fel a természetes korlátokat, megkönnyítve a számítások néhány fajtáját. 3. Legyen teljes. 4. Legyen tömör. 5. Legyen átlátható számunkra. 6. Legyen alkalmas gyors feldolgozásra. 7. Rejtse el a részleteket, de tegye elérhetővé azokat szükség esetén. 8. Létezzen rá számítógépi eljárás. A jó tudásábrázolás az MI feladatok megoldásánál fél siker. Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 2.

Tudástípusok • Deklaratív • Strukturált • Procedurális

Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 3.

Deklaratív tudás • Csak ismeretek, összefüggések és alkalmazási utasítások nélkül • Leírása: – logikai kifejezések – fogalmak – objektumok • Technikák: – formális logika – Fuzzy logika – O-T-É hármas Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 4.

Tudásábrázolás Fuzzy logikával A logikáról: • A logika a bölcselés tudománya, a helyes gondolkodás művészetének tana. A logika osztályozása: Logika Arisztotelészi (hagyományos)

Szimbolikus (formális)

Propozíciós Logika (Ítéletkalkulus)

Predikátum logika (Elsőrendű logika)


Nem klasszikus szimbolikus logika: - modális - temporális - többértékű - intuicionista - valószínűségi - Fuzzy logika M.I. 11. / 5.

An application example • • • •

One of the most interesting applications of fuzzy computing: “FOREX” system. 1989-1992, Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (Yokohama, Japan) (Engineering – Financial Engineering) To predict the change of exchange rates (FOReign EXchange) ~5600 rules like: “IF the USA achieved military successes on the past day [E.G. in the Gulf War] THEN ¥/$ will slightly rise.”

Inputs

FOREX

(Observations)

Prediction

Fuzzy Inference Engine Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 6.

¥/$

Another Example

100

1993 • •

• •

1994

1995

Time

What is fuzzy here? What is the tendency of the ¥/$ exchange rate? “It’s MORE OR LESS falling” (The general tendency is “falling”, there’s no big interval of rising, etc.) What is the current rate? Approximately 88 ¥/$ → Fuzzy number When did it first cross the magic 100 ¥/$ rate? SOMEWHEN in mid 1995 Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 7.

A complex problem

• • •

Many components, very complex system. Can AI system solve it? Not, as far as we know. But WE can.

Our car, save fuel, save time, etc. Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 8.

Fuzzy halmaz, fuzzy logika • Fuzzy: életlen, homályos, bizonytalan módon körülhatárolt • Lotfi A. Zadeh (1964/1965): fuzzy halmazelmélet és logika a nyelvi fogalmakban levő pontatlanság matematikai kifejezésére • Fuzzy algorithm: Zadeh 1968-(1973)• Fuzzy control by linguistic rules: Mamdani & Al. ~1975• http://www.cs.berkeley.edu/~zadeh


M.I. 11. / 9.

History of fuzzy theory • • • •

•

Fuzzy sets & logic: Zadeh 1964/1965Fuzzy algorithm: Zadeh 1968-(1973)Fuzzy control by linguistic rules: Mamdani & Al. ~1975Industrial applications: Japan 1987- (Fuzzy boom), Korea Home electronics Vehicle control Process control Pattern recognition & image processing Expert systems Military systems (USA ~1990-) Space research Applications to very complex control problems: Japan 1991E.G. helicopter autopilot


M.I. 11. / 10.

Fuzzy halmaz - alapfogalmak • Bizonytalanul definiált halmazok: „kövér emberek” – mennyire eleme egy ismert súllyal rendelkező személy a halmaznak? • Részleges tagság [0,1]: van aki jobban beletartozik, van aki kevésbé • Milyen mértékben tartozik X a halmazba? Æ Fuzzy tagsági függvény


M.I. 11. / 11.

Fuzzy halmaz •

A class of students (E.g. M.Sc. Students taking „Fuzzy Theory”)

Értelmezési tartomány: X

1

0.7

0

0

1

1.0

1

0.8

0

0

1

0.4

•

“Who does have a driver’s licence?” A subset of X = A (Crisp) Set χ(X) = Karakterisztikus függvény

•

“Who can drive very well?” µ(X) = Tagsági függvény

1

0.2


M.I. 11. / 12.

Fuzzy halmaz - fogalmak

Pl: • D – az értelmezési tartomány (emberek) • A,B,.. – nyelvi értékek, D részhalmazai, pl. A=sovány, B=normál súlyú, C=molett, D=kövér • a,b,.. – elemek, ezek a mért értékek • pl. a=40 kg, b=140 kg • µA(a) – Fuzzy tagsági függvény: milyen mértékben tartozik valamely „a” érték az „A” halmazba • egy adott elem (érték) több halmazba is tartozhat azonos vagy eltérő tagsági értékkel • µA(a): D → [0,1] • ha µA(a)=1, akkor „a” teljesen az „A” eleme • ha µA(a)=0, akkor „a” egyáltalán nem az „A” eleme • ha µA(a1)>µA(a2) , akkor „a1” jobban eleme „A”-nak mint „a2” Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 13.

Fuzzy halmaz • példák az „ember” alaphalmaz részhalmazokra történő osztására: – sovány, normál súlyú, molett, kövér – alacsony, középmagas, magas

• A részhalmazok részben átfedhetik egymást ⇒ egy érték több halmazba is besorolható


M.I. 11. / 14.

Hozzátartozás foka

Egy elem egyszerre több halmazhoz is tartozhat

1 0,6 0,25

sovány

normál

molett

kövér

x


Súly [kg] M.I. 11. / 15.

Jellegzetes tagsági függvények • Háromszög • Trapéz • Gauss

  x−a c− x  hsz( x; a, b, c) = max min , ,0   b−a c −b   

  x−a d −x  tr ( x; a, b, c, d ) = max min ,1, ,0  b−a d −c   

• Általánosított

gauss ( x; a, b, c) = e

alt ( x ; a , b , c ) =


1  x −c  −   2 σ 

1 x−c 1+ b M.I. 11. / 16.

2b

2

Grafikusan


M.I. 11. / 17.

Tagsági függvény

µA =

Crisp halmaz

Fuzzy halmaz

Karakterisztikus függvény

Tagsági függvény

µA:X→{0, 1}

µA:X→[0, 1]

1 1 + 5 (x −10)2

  0 x ≤ 5 ∨ x > 17     µ B =  0.2(x − 5) 5 < x ≤ 10   1  − 7 (x − 17 ) 10 < x ≤ 17  Dr. Kovács Szilveszter ©

µ C = µ2A

M.I. 11. / 18.

Fuzzy halmaz • Formális definíció: A fuzzy set A in X is expressed as a set of ordered pairs:

A = {(x, µA(x))| x ∈X} Fuzzy halmaz

Tagsági függvény (MF)

Értelmezési tartomány

• A fuzzy halmazt teljesen meghatározza a tagsági érték függvénye (MF) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 19.

Fuzzy halmaz diszkrét univerzumon • Fuzzy set C = “desirable city to live in” X = {SF, Boston, LA} (discrete and nonordered) C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA, 0.6)}

• Fuzzy set A = “sensible number of children” X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discrete universe) A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6), (5, .2), (6, .1)}


M.I. 11. / 20.

Fuzzy halmaz folytonos univerzumon • Fuzzy set B = “about 50 years old” X = Set of positive real numbers (continuous) B = {(x, mB(x)) | x in X}

µ B(x) =

1  x − 50  1+    10 

2


M.I. 11. / 21.

Fuzzy halmaz alapfogalmak Elements

Infant

Adult

Young

Old

5

0

0

1

0

10

0

0

1

0

20

0

.8

.8

.1

30

0

1

.5

.2

40

0

1

.2

.4

50

0

1

.1

.6

60

0

1

0

.8

70

0

1

0

1

80

0

1

0

1


M.I. 11. / 22.

Fuzzy halmaz alapfogalmak • Hordozó (support): supp(A)={x | µA(x)>0}. µInfant=0, so supp: ~

P (x ) → P (x )

supp(Infant)=0

• If |supp(A)|<∞, A can be defined A=µ1/x1+ µ2/x2+…+ µn/xn. n

A = ∑ µ i / x i A = ∫ µ A (x ) / x i =1

x

• Mag (kernel, Nucleus, Core): Kernel(A)={x | µA(x)=1}. Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 23.

• Magasság (height): – – – –

Definíciók Height (A ) = max (µ A ( x )) ⇒ sup(µ A ( x ))

x A normális Fuzzy halmaz A nem normális Fuzzy halmaz

If height(A)=1 If height(A)<1 height(0)=0 (If height(A)=0 then supp(A)=0)

• α-metszet (α-cut): A α = {x | µ A ( x ) ≥ α} A α = {x | µ A ( x ) > α} Strong α- Cut: – Kernel: – Support:

x

height(Old)=1 height(Infant)=0

Young 0.8 = {5,10, 20} Young 0.8 = {5,10}

A1 = {x | µ A ( x ) = 1} A 0 = {x | µ A ( x ) > 0} µ 1

A0.8

.8

A

– If A is subnormal, Kernel(A)=0

A α ≤ A β IF α ≥ β

.5

A0.5 A0.3

.3

0


M.I. 11. / 24.

X

Definíciók µ(x) 1 .5 α 0

Core

X

Crossover points α - cut Support


M.I. 11. / 25.

Definíciók • Konvex fuzzy halmaz: X=ℜ

n

– A is convex if for every x1,x2∈X and λ ∈[0,1]:

µ A (λx1 + (1 − λ ) x2 ) ≥ min( µ A ( x1 ), µ A ( x2 )) µ

µ

1

0

x

1

x

2

X

1

0

x

1


x

2

X

M.I. 11. / 26.

Definíciók • Nonconvex fuzzy set:

• Convex fuzzy set over R 2 x2

Kernel

α=0.2 α=0.4 α=0.8

α=0.6


x1

M.I. 11. / 27.

Definíciók • Fuzzy szám: Konvex és normális fuzzy halmaz ℜ-en – Example 1: N 1 0

r1 r* r2 height(µN(r))=1 ℜ for any r1, r2: µN(r*)= µN(λr1+(1- λ)r2) ≥ min(µN(r1), µN(r2)) – Example 2: “Approximately equal to 6”

 r−6 1 − if r ∈ [3, 9] µ N (r ) =  3 1 0 otherwise

µN(r)

µ

0 3 Dr. Kovács Szilveszter ©

6

9 M.I. 11. / 28.

ℜ

Definíciók • Lapos fuzzy szám: There is a,b (a≠b, a,b∈ℜ) µN(r)=1 IFF r∈[a,b] (Extension of ‘interval’) • Tartalmazás (inclusion) of fuzzy set A⊆B IFF µA(x)≤ µB(x) – Example:

Old ⊆Adult

• Egyenlő fuzzy halmazok A=B IFF A⊆B and A⊇B If it is not the case: A≠B • Valódi részhalmaz (Proper subset) A⊆B IFF A⊆B and A ≠ B Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 29.

Nyelvi értékek (Linguistic Values)


M.I. 11. / 30.

Műveletek közvetlenül a nyelvi értékeken – pl. • Concentration: • Dilation: • Contrast intensification:

CON ( A) = A2

D IL ( A ) = A 0 .5 0 ≤ µ A( x) ≤ 05 .  2 A2 , INT( A) =  2 ¬ 2 ¬ ( A ) , 05 . ≤ µ A( x) ≤ 1 


M.I. 11. / 31.

Műveletek közvetlenül a nyelvi értékeken – pl. pl. • µnagyon öreg(x)= con (x)=µ2(x) • µtöbbé-kevésbé öreg(x)=dil(x) =µA0,5(x) µi(x)

µtöbbé-kevésbé öreg(x) 1

µöreg(x) µnagyon öreg(x) 60

80 Dr. Kovács Szilveszter ©

x [év]

M.I. 11. / 32.

Fuzzy Partíció • A Fuzzy partíciót nyelvi értékek alkotják pl.: “young”, “middle aged”, and “old”:


M.I. 11. / 33.

Fuzzy halmazműveletek - Zadeh L.A. Zadeh (1964/1965): • Komplemens: µ A (x ) = 1 − µ A (x ) µ A ∩ B (x ) = min (µ A (x ), µ B (x )) • Metszet: µ A ∪ B (x ) = max (µ A (x ), µ B (x )) • Unió:


M.I. 11. / 34.

Fuzzy halmazműveletek - Zadeh Fuzzy set operations defined by L.A. Zadeh in 1964/1965 µ A ∩ B (x ) = min (µ A (x ), µ B (x )) µ A ∪ B (x ) = max (µ A (x ), µ B (x )) µ A (x ) = 1 − µ A (x )


M.I. 11. / 35.

Fuzzy halmazműveletek - Zadeh This is really a generalization of crisp set op’s! A

B

¬A

A∩B

A∪B

1-µA

min

max

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 0

0 0 0 1

0 1 1 1

1 1 0 0

0 0 0 1

0 1 1 1

µ A (x ) = 1 − µ A (x )

µ A ∩ B (x ) = min (µ A (x ), µ B (x )) µ A ∪ B (x ) = max (µ A (x ), µ B (x )) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 36.

Kétértékű logika – logikai függvények v2 v1

1100 1010

Adopted name

Symbol

Other names used

w1

0000

Zero fn.

0

Falsum

w2

0001

Nor fn.

v1↓v2

Pierce fn.

w3

0010

Inhibition

v1>v2

Proper inequality

w4

0011

Negation

¬v2

Complement

w5

0100

Inhibition

v1
Proper inequality

w6

0101

Negation

¬v1

Complement

w7

0110

Exclusive or function

v1⊕v2

Antivalence

w8

0111

Nand function

v1↑v2

Sheffer Stroke

w9

1000

Conjunction

v1∧v2

And function

w10

1001

Biconditional

v1⊗v2

Equivalence

w11

1010

Assertion

v1

Identity

w12

1011

Implication

v1⇐v2

Conditional, inequality

w13

1100

Assertion

v2

Identity

w14

1101

Implication

v1⇒v2

Conditional, inequality

w15

1110

Disjunction

v1∨v2

Or function

w16

1111

One fn.

1

Verum


M.I. 11. / 37.

Kétértékű logika – tulajdonságok B1. Idempotence B2. Commutativity B3. Associativity

a+a=a, a·a=a a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c), (a·b)·c=a·(b·c)

B4. Absorption

a+(a·b)=a, a·(a+b)=a

B5. Distributivity

a·(b+c)=(a·b)+(a·c), a+(b·c)=(a+b)·(a+c)

B6. Universal bounds

a+0=a, a+1=1 a·1=a, a·0=0

B7. Complementarity

a+¬a=1, a·¬a=0, ¬1=0

B8. Involution

¬(a+b)= ¬a · ¬b

B9.Dualization

¬(a·b)= ¬a +¬b Dr. Kovács Szilveszter ©

Lattice

M.I. 11. / 38.

•

•

Többértékű (háromértékű) logikák

Two valued logic questioned since B.C. Three valued logic includes indeterminate value: ½ Negation: 1-a, ∧∨⇒⇔ differ in these logics. Examples:

ab

Łukasiewicz

Bochvar

Kleene

Heyting

Reichenbach

∧∨⇒⇔

∧∨⇒⇔

∧∨⇒⇔

∧∨⇒⇔

∧∨⇒⇔

00

0011

0011

0011

0011

0011

0½

0½1½

½½½½

0½1½

0½10

0½1½

01

0110

0110

0110

0110

0110

½0

0½½½

½½½½

0½½½

0½00

0½½½

½½

½½11

½½½½

½½½½

½½11

½½11

½1

½11½

½½½½

½11½

½11½

½11½

10

0100

0100

0100

0100

0100

1½

½1½½

½½½½

½1½½

½1½½

½1½½

11

1111

1111

1111

1111

1111


M.I. 11. / 39.

Többértékű (n) logikák • N-valued logic:

n−2  1  ,1 Tn =  0 , , ... , n −1   n −1 Degrees of truth (Lukasiewicz, ~1933)

a =1- a a ∧ b = min (a, b ) a ∨ b = max (a, b ) a → b = min(1,1 + b - a) a ↔ b =1- a - b Dr. Kovács Szilveszter ©

LOGIC PRIMITIVES

M.I. 11. / 40.

Többértékű logikák – tulajdonságok • No difference from classical logic for 0 and 1. But:

a ⋅ a = 0, a + a = 1

are not true! (excluded middle)

• Quasi tautology: doesn’t assume 1. Quasi contradiction: doesn’t assume 0.

• Next step? Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 41.

Fuzzy halmazműveletek • Komplemensképzés • Metszetképzés • Únióképzés


M.I. 11. / 42.

Fuzzy komplemensképzés általánosan • A komplemens egy függvény, aminek minden értéke egy olyan fuzzy halmazhoz való tartozás mértékét fejezi ki, amit az eredeti halmaz (nyelvi érték) negáltjának tekintünk. Ha például A az idős emberek fuzzy halmaza, akkor komplemense azon személyek sokasága, akiket nem tekintünk idősnek. Fuzzy halmazokról lévén szó a klasszikus halmazoktól eltérően az esetek többségében sok olyan elemet találhatunk, amelyek úgy az A, mint annak komplemensében nullánál nagyobb tagsági értékkel bírnak. A komplemens jelölése: c : [0,1] → [0,1]

Egy művelet akkor felel meg a komplemensképzés céljára, ha teljesíti az alábbi két feltételt: • határfeltétel: c(0)=1 és c(1)=0 • monoton csökkenés: ha b≥a, akkor c(b)≤c(a) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 43.

Fuzzy halmazműveletek - Komplemens c : [0,1] → [0,1] • Usually µ A (x ) ∈ (0,1) and µ A (x ) ∈ (0,1) µ A ( x ) = c(µ A ( x )) • Axioms (skeleton):

c1 c(0) = 1 ∧ c(1) = 0 (boundary conditions) c2 ∀a, b ∈ [0,1] a < b ⇒ c(a ) ≥ c(b ) (monotonicity) • A family of functions C satisfy c1,c2 ~ ~ C : P (x ) → P (x )

c(µ A ( x )) = µ C ( A )

• Practical additions to the axioms: c3. c is a continuous function c4. c is involutive (c[c(a )] = a, ∀a ∈ [0,1]) + c3 + c4

c1, c 2 Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 44.

Fuzzy halmazműveletek – Komplemens – pl. Some examples • 1., Zadeh: c(a ) = 1 − a • 2., c(a ) = 1 for a ≤ t a ∈ [0,1] 0 for a > t 1 • 3., c(a ) = (1 + cos aπ ) 2 1

c(a )

0

a

t ∈ [0,1)

satisfies c1, c2, c3 satisfies c1, c2 t = threshold satisfies c1, c2, c3

1 .9 .8 .7 .6 c(a ).5 .4 .3 .2 .1 0 0 © .1 .2 .3 .4 .5 .6M.I. .7 .8 1 Dr.1Kovács Szilveszter 11..9/ 45. a

Fuzzy halmazműveletek – Komplemens – pl. More examples • 3., c (a ) = 1 − a λ

1 + λa

• 2., cw (a ) = (1− a 1 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1 0

)

1 w w

λ = −.9 λ = −.5 λ =0 λ=2 λ = 10

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1

λ ∈ (− 1, ∞ )

(M. Sugeno)

w ∈ (0, ∞ )

(R. Yager)

Classical complement (Zadeh)

1 .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1 0

w=5 w=2 w =1 w = .5

0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1 Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 46.

Fuzzy metszetképzés általánosan • Két fuzzy halmaz metszetét megvalósító műveletet t-normának (t=triangular=háromszög) nevezzük. Jelölése: t : [0,1]× [0,1] → [0,1]

Egy fuzzy halmazokon értelmezett kétoperandusú művelet akkor nevezhető metszetnek, ha megfelel az alábbi feltételeknek: • határfeltétel: t(a,1)=a • monotonitás: ha b≤c, akkor t(a,b) ≤t(a,c) • kommutativitás: t(a,b)=t(b,a) • asszociativitás: t(a,t(b,c))=t(t(a,b),c) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 47.

Fuzzy halmazműveletek – Metszet (t-norm) t : [0,1]× [0,1] → [0,1]

µ A∩ B (x ) = t [µ A (x ), µ B (x )]

• Axiomatic skeleton: t1 t (a,1) = a ∀a ∈ [0,1] (boundary conditions) t2 t (a, b ) = t (b, a ) ∀a, b ∈ [0,1] (commutativity) t3 b ≤ c ⇒ t (a, b ) ≤ t (a, c ) ∀a, b, c ∈ [0,1] (monotonicity) t4 t [t (a, b ), c ] = t [a, t (b, c )] ∀a, b, c ∈ [0,1] (associativity) • Some usual restrictions (practical motivation) t5 t is a continuous function t6a t (a, a ) = a (idempotence) t6b t (a, a ) < a (subidempotence) t7 a < a '∧ b < b' ⇒ t (a, b ) < t (a ' , b') ∀a, b, a' , b'∈ [0,1] (szigorú monotonitás) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 48.

Fuzzy unióképzés általánosan • Két fuzzy halmaz unióját megvalósító műveletet s-normának (t-konormának) nevezzük. Jelölése: s : [0,1]× [0,1] → [0,1]

Egy fuzzy halmazokon értelmezett kétoperandusú művelet akkor nevezhető uniónak, ha megfelel az alábbi feltételeknek : • határfeltétel: t(a,0)=a • monotonitás: ha b≤c, akkor t(a,b) ≤t(a,c) • kommutativitás: t(a,b)=t(b,a) • asszociativitás: t(a,t(b,c))=t(t(a,b),c) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 49.

Fuzzy halmazműveletek – Unó (t-conorm, s-norm) s : [0,1]× [0,1] → [0,1]

µ A∪ B (x ) = s[µ A ( x ), µ B (x )]

• Axiomatic skeleton: s1 s(a,0 ) = a ∀a ∈ [0,1] (boundary conditions) s2 s(a, b ) = s(b, a ) ∀a, b ∈ [0,1] (commutativity) s3 b ≤ c ⇒ s(a, b ) ≤ s(a, c ) ∀a, b, c ∈ [0,1] (monotonicity) s4 s[s(a, b ), c ] = s[a, s(b, c )] ∀a, b, c ∈ [0,1] (associativity) • Some usual restrictions (practical motivation) s5 s is a continuous function s6a s(a, a ) = a (idempotence) s6b s(a, a ) > a (superidempotence) s7 a < a'∧ b < b' ⇒ s(a, b ) < s(a ' , b') ∀a, b, a' , b'∈ [0,1] (szigorú monotonitás) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 50.

Fuzzy halmazműveletek – t-norm, s-norm – pl. • Intersection 1., t (a, b ) = min( a, b) 2., t (a, b ) = ab 3., t (a, b ) = max(0, a + b − 1) a, if b = 1 4.,

(Minimum) (Algebraic product) (Bounded product) (Drastic product)

• Union 1., s(a, b ) = max(a, b) 2., s(a, b ) = a + b − ab 3., s(a, b ) = min(1, a + b) a, if b = 0 4.,

(Maximum) (Algebraic sum) (Bounded sum) (Drastic sum)

 t min (a, b ) = b, if a = 1 0, otherwise 

 smax (a, b ) = b, if a = 0 1, otherwise 


M.I. 11. / 51.

Fuzzy halmazműveletek – t-norm – pl. Minimum

Algebraic prod. Bounded prod. Drastic prod.


M.I. 11. / 52.

Fuzzy halmazműveletek – t-conorm, s-norm – pl. Maximum

Algebraic sum Bounded sum Drastic sum


M.I. 11. / 53.

Fuzzy t-norm, s-norm – some classes Fuzzy Unions s-norm

Reference Schweizer & Sklar [1961]

[

Fuzzy Intersections t-norm

]

1 − max 0, (1 − a ) + (1 − b ) − 1 −p

−p

1 p

Hamacher [1978]

a + b − (2 − γ )ab 1 − (1 − γ )ab

Frank [1979]

 s1− a − 1 s1−b − 1  1 − log s 1 +  s −1  

Yager [1980] Dubois & Prade [1980]

Dombi [1982]

(

(

)

)

1 w

−p

+b

−p

− 1]

(

)(

γ ∈ (0, ∞ )

)

(

 w w 1 − min 1, (1 − a ) + (1 − b ) 

  

ab max(a, b,α )

1

1

 1  1 +  − 1  a 

p ∈ (− ∞ , ∞ )

1 p

 s a −1 sb −1  log s 1 +  s − 1  

a + b − ab − min(a, b,1 − α ) max(1 − a,1 − b,α ) −λ

−

ab γ − (1 − γ )(a + b − ab )

)(

 min 1, a w + b w 

max[0, a

Range of Parameter

−λ

1   +  − 1   b  

−

1

λ

λ

 1   1  1 +  − 1 +  − 1  a   b 

Include algebraic norms: a + b − ab and ab p→0 and Lukasiewicz/Zadeh max(a,b) and min(a,b) p→-∞, Dr. Kovács Szilveszter ©

s ∈ (0, ∞ )

)

1 w

  

w ∈ (0, ∞ )

α ∈ (0,1)

λ

  

1

λ

λ ∈ (0, ∞ )

w→∞ M.I. 11. / 54.

Fuzzy halmazműveletek – Aggregáció operátor n h : [0,1] → [0,1] n ≥ 2 µ A ( x ) = h(µ A ( x ), µ A ( x ),..., µ A ( x )) 1

• Axiomatic skeleton: h1 h(0,0,...,0 ) = 0

2

n

(boundary conditions)

h(1,1,...,1) = 1

h2 for arbitrary ai and bi i ∈ N n

(monotonicity) ∀i ai ≥ bi ⇒ h(ai i ∈ N n ) ≥ h(bi i ∈ N n )

• Some usual restrictions (practical motivation) h3 h is a continuous function h4 h is symmetric for all the arguments h(ai i ∈ N h ) = h(a p (i ) i ∈ N h )

p (i ) arbitrary permutation


s

t M.I. 11. / 55.

Fuzzy halmazműveletek – Aggregáció operátor • Union & intersection can be extended to n-ary operations because of associativity: a ∪ b ∪ c ∪ d = (a ∪ b ) ∪ (c ∪ d ) = ((a ∪ b ) ∪ c ) ∪ d = ...

• For given a1 , a2 ,..., an : t min Intersections

smax

?

min (a1 , a2 ,..., an )

Unions

max (a1 , a2 ,..., an )

• ? is the area of averaging operations

min (a1 ,..., an ) ≤ h(a1 ,..., an ) ≤ max (a1 ,..., an ) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 56.

Fuzzy halmazműveletek – Aggregáció operátor • Generalized means:  a1α + a2α + ... + anα hα (a1 ,..., an ) =  n  h−∞ = min (a1 , a2 ,..., an )

1

α  

hα satisfies h1-h4

α ∈ R (≠ 0 )

h∞ = max (a1 , a2 ,..., an ) h0 = n a1a2 ...an

a1 + a2 + ... + an h1 = n n h−1 = 1 1 1 + + ... + a1 a2 an

1

n α  n α  hα =  ∑ wi ai  wi = 1 ∑  i =1  i =1 If h4 (symmetricity) is not necessary (different importance of arguments)

w


M.I. 11. / 57.

Fuzzy halmazműveletek – Aggregáció operátor • Various classes of aggregation operations 0

Dombi λ Schweizer/Sklar

−∞

p

Yager 0

w

∞

∞

−∞

∞

Intersection operations

p

−∞

Yager ∞

Generalized means α

min

imin

0

Schweizer/Sklar

∞

∞

Dombi λ

w

0

∞

max

Averaging operations Dr. Kovács Szilveszter ©

umax

Union operations M.I. 11. / 58.

Kétértékű (crisp) logika – relációk A klasszikus reláció információt ad arról, hogy egy vagy több halmaz elemei között fennáll-e egy adott kapcsolat. Ennek leírása úgy történik, hogy képzik a részt vevő halmazok Descatres-i szorzatát, azaz pl. kéthalmazos esetben párosítanak minden elemet a másik halmaz minden elemével, és a párosokhoz egyenként 1-et vagy 0-t rendelnek aszerint, hogy fennáll-e vagy nem a vizsgált kapcsolat. Két halmaz esetén a relációt bináris relációnak nevezik. Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 59.

Fuzzy logika – relációk A klasszikus reláció kiterjesztése Lehetőség van a kapcsolat kevésbé élesen elhatároló értékelésére, a vizsgált két vagy több objektum viszonyát (az elemek között a reláció fennállásának mértékét) a [0,1] intervallum értékeivel jelöljük.


M.I. 11. / 60.

Kétértékű (crisp) reláció – Fuzzy reláció • Crisp relation: Some interaction or association between elements of two or more sets. • Fuzzy relation: Various degrees of association can be represented. A

B

• • • •

• • •

A

CR

FR

CRISP RELATION

• 0.8 • 1 • •

0.5

B

• • 0.9•

0.6 FUZZY RELATION

• Cartesian (direct) product of two (or more) sets X, Y X × Y = { (x,y) | x ∈ X, y ∈ Y } X × Y ≠ Y × X IF X ≠ Y !

• More generally:

× x = {(x , x ,..., x ) x ∈ X , i ∈ N } n

i =1

i

1

2


n

i

i

n

M.I. 11. / 61.

Kétértékű (crisp) reláció IF Xi = x ∀ i ∈ Nn

X × X × … × X = Xn

Crisp relation (mathematically) Characteristic function 1 IFF ( xi ) ∈ R µ R (x1, x2, …, xn) =

{

R(X1, X2, … , Xn ) ⊂

×X

i

i ∈ Nn

0 ELSE

LANGUAGE: L = { CHINESE, KOREAN, JAPANESE, ENGLISH } COUNTRY: C = { KOREA, CHINA, TAIWAN, JAPAN, HONGKONG } GEOGRAPHY: G = { MAINLAND, ISLAND } R(L,C,G): K C T J H MAINLAND CHINESE 0 1 0 0 1 KOREAN 1 0 0 0 0 JAPANESE 0 0 0 0 0 ENGLISH 0 0 0 0 1 CHINESE KOREAN JAPANESE ENGLISH

K C T J H ISLAND 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0Dr.1Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 62.

Fuzzy reláció Fuzzy relation: { 0, 1 } is extended to [ 0, 1 ] SIMILARITY OF LANGUAGES X= { JAPANESE, HUNGARIAN, ENGLISH} : R(X, X) 0.6 J H E J H J 1 0.6 0.1 0.1 1 H 0.6 1 0.2 0.2 E 1 E 0.1 0.2 1


1

M.I. 11. / 63.

Fuzzy reláció vetítése Projection of a relation: R ↓ Y projection to Y µ R ↓ Y (y) = max ( µ R ( x) ) ypx

X = { x, y }

A = { +, ∗ }

Q = { $, £ }

R (x, a, q) = 0.1 / (x, +, $) + 0.3 / (x, +, £) + 0.4 / (x, ∗, $) + 0.8 / (y, +, £) + 1 / (y, ∗, $) RXA = R ↓ ( X × A ) RXA ( x, a ) = 0.3 / (x, +) + 0.4 / (x, ∗) + 0.8 / (y, +) + 1 / (y, ∗) RXQ = R ↓ ( X × Q ) RXQ ( x, q ) = 0.4 / (x, $) + 0.3 / (x, £) + 1 / (y, $) + 0.8 / (y, £) RX = R ↓ X RX ( x) = 0.4 / x + 1/ y


M.I. 11. / 64.

Fuzzy reláció vetítése (projection) Two-dimensional MF

µ R ( x, y )

Projection onto X

Projection onto Y

RX = R ↓ X

RY = R ↓ Y

µ A( x) = max µ R ( x, y ) y


µB( y) = max µ R ( x , y ) x

M.I. 11. / 65.

Fuzzy reláció hengeres kiterjesztése

Cylindric extension R ↑ (X-Y) cylindric extension to X Y ⊂ X where R(Y) was defined µ R ↑ (X -Y ) (x) = µ R (y) x fy

Y = { a, b, c } ,

µ R(y) = 0.3 / a + 0.5 / b + 0.4 / c ,

X = { a, b, c } × { x, y }

µ R ↑ (X -Y ) (x) = 0.3/(a, x) + 0.3/(a, y) + 0.5/(b, x) + 0.5/(b, y) + 0.4/(c, x) + 0.4/(c, y) Y µ R ↓ Y (y) 1 µ R (x,y) supp( R ↓ Y) = max (supp(R) ) x

0

µ R↑Y

(x,y)

X Y

1 supp (R ↑ Y) = supp (R) × Y 0 Dr. Kovács Szilveszter ©

µ R (x)

X M.I. 11. / 66.

Hengeres kiterjesztés (cylindrical extension) Base set A

Cylindrical Extension of A RX,Y = R ↑ Y


M.I. 11. / 67.

Fuzzy reláció hengeres lezárt Cylindric closure: R(x1, x2, … , xn) is not known

Known are µ X × j∈J

Yi =

j

R ↓ Y1 ,

µ R ↓ Y2 , …

i∈I

Y × i∈I

i∈I

i

i

=

n

X × i=1

j

Then cyl(R↓Yi ) approximates R

µ cyl(R ↓ Yi ) (x) = min ( µ (R ↓ Yi ) ↑ X - Yi (x) ) i∈I

µ R(x1, x2) 1

µ

0 1

X2 1 X1

µ R ↓ X1 (x1)

0

X2

R ≠ cyl( Ri ) !

1

0

X1

µ cyl (R ↓ 0

µ R ↓ X2 (x2)

X1, R ↓ X2 ) (x1,

X2

x2)

X1 Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 68.

Hengeres lezárt (cylindric closure)


M.I. 11. / 69.

Bináris reláció Binary relation: Relation between two sets ( X, Y ) R ( X,Y )

If X ≠ Y Binary relation = Bipartite graph If X = Y Directed graph ( Digraph ) • • • •

• • •

X

Y

X


M.I. 11. / 70.

Fuzzy bináris reláció Fuzzy binary relation: Every edge bears a membership degree 0.3

0.2

X1 • • Y1 1 .0 X2 • .3 0 X3 • • Y2 0.4

X1 0.2

X1 X2 X3

Y2 1.0 0.0 0.4

X1 X2 X3

X1 0.3 0.0 0.0

1.0 X3

( Sagittal diagram ) Y1 0.2 0.3 0.0

X2

0.2

X2 0.0 0.0 1.0

X3 0.2 0.2 0.0

Denotation: R(x,y)

xRy

(CF. x < y )

Fuzzy case: µR (x,y) α / x R y ˆ= µR (x,y) = α


M.I. 11. / 71.

Kétértékű (crisp) reláció - kompozíció Relációk kompozíciója (crisp composition) P(X, Y), Q (Y, Z)

two crisp relations

R(X, Z) = P(X, Y) ° Q(Y, Z) R(X, Z) ⊂ X × Z (x, z) ∈ R IFF ( ∃ y | y ∈ Y)

( (x, y) ∈ P AND

(y, z) ∈ Q )

P°Q≠Q°P

(P ° Q) -1 = Q -1 ° P -1

(P ° Q) ° R = P ° (Q ° R) = P ° Q ° R


M.I. 11. / 72.

Bináris Fuzzy relációk kompozíciója Fuzzy relációk max-min kompozíciója P(X,Y) : µ P Q(Y, Z) : µ Q µ P ° Q (x, z) = max min ( µ P(x, y), µ Q(y, z) ) y∈Y

All properties for crisp relations are satisfied X x1

P(X,Y)

0. 4

x1 x1 x2 x2 x3

z1 z2 z1 z2 z1

x3 z2

0. 5

y1 Y y2

0. 6

x2 x3

0. 7

Q(Y, Z) 0. 8

Z

0. 2

z1

0. 3 y3 1. 0 0. 2

min (0.7, 0.8) = 0.7 0.0 min (0.6, 0.8) = 0.6 min (0.5, 0.2) = 0.2 min (0.4, 0.8) = 0.4 min (1.0, 0.5) = 0.5 min (0.3, 0.2) = 0.2 min (0.2, 1.0) = 0.2

y4

z2

0. 5 1. 0

X x1

R=P°Q 0. 7

Z z1

0. 6

max = 0.5 max = 0.2

x2

0. 2

z2

0. 5

x3


0. 2

M.I. 11. / 73.

Bináris Fuzzy relációk kompozíciója Max-product composition:

µ P ⋅ Q (x, z ) = max(µ P ( x, y ) ⋅ µ Q ( y, z )) y∈Y

General s-t composition:

µ Po

s,t Q

s = UNION,

t = INTERSECTION

(x, z ) = yS∈Y (µ P (x, y ) t µ Q ( y, z ))

Composition of membership matrices M = [ pik ] P

M = [ q kj ] Q

M

R

= [ rij ]

[ r i j ] = [ p i k ] °s,t [ q k j ] r i j = S ( p i k t q kj ) K Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 74.

A max-min Fuzzy kompozíció tulajdonságai •The max-min composition of two fuzzy relations R1 (defined on X and Y) and R2 (defined on Y and Z) is

µ R o R ( x , z ) = ∨ [ µ R ( x , y ) ∧ µ R ( y , z )] 1

2

y

1

2

•Properties: • Associativity: R o (S o T ) = ( R o S ) o T • Distributivity over union:

R o (S U T ) = ( R o S ) U( R o T )

• Week distributivity over intersection: R o (S I T ) ⊆ ( R o S ) I( R o T )

• Monotonicity:

S ⊆ T ⇒ (R o S) ⊆ (R oT ) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 75.

Tudásábrázolás Fuzzy logikával • • • • • •

Fuzzy halmazok (nyelvi értékek, partíciók) Fuzzy logikai halmazműveletek Fuzzy reláció Fuzzy kompozíció Fuzzy szabályok Fuzzy logikai következtetés


M.I. 11. / 76.

Fuzzy logikai következtetés • The most commonly used fuzzy inference technique is the so-called Mamdani method. • In 1975, Professor Ebrahim Mamdani of London University built one of the first fuzzy systems to control a steam engine and boiler combination. • He applied a set of fuzzy rules supplied by experienced human operators.


M.I. 11. / 77.

Mamdani féle Fuzzy logikai következtetés Alapgondolat: Zadeh (1973): minél jobban illeszkedik egy megfigyelés egy szabály feltétel részére (minél nagyobb a tagsági függvény érték), az adott szabály következmény része annál nagyobb súllyal vesz részt az eredményként előálló fuzzy halmazban Mamdani (1975) • a következtetés eredményeként keletkező fuzzy halmazt a bemenő adatok fuzzy halmaza és a szabálybázist leíró fuzzy reláció kompozíciójaként állítja elő • max-min kompozíció Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 78.

Mamdani féle max-min kompozíciós Fuzzy logikai következtetés • A Mamdani féle Fuzzy logikai következtetés az alábbi lépésekből tevődik össze: – A bemeneti változók fuzzifikálása, – Fuzzy következtetés – A fuzzy következmény defuzzifikálása. • Az alkalmazott következtetési módszer: Max-min compositional rule of inference (Zadeh)


M.I. 11. / 79.

Fuzzification – Inference – Defuzzification Measured Variables (Linguistic Values)

2. Fuzzy-Inference

Command Variables (Linguistic Values)

Linguistic Level Numerical Level

3. Defuzzification

1. Fuzzification

Measured Variables

Plant

(Numerical Values) Dr. Kovács Szilveszter ©

Command Variables (Numerical Values)

M.I. 11. / 80.

Mamdani féle Fuzzy logikai következtetés Fuzzy szabályok Fuzzy halmazok Bemenő értékek: fuzzy halmazok Fuzzifikálás

Fuzzy következtetés FUZZY RENDSZER

Kimenő értékek: fuzzy halmazok Defuzzifikálás

VALÓS VILÁG Mért értékek (valós értékek)

Vezérelt folyamat


Vezérlő értékek (valós értékek) M.I. 11. / 81.

Direkt fuzzy logikai irányítás Mamdani Modell:

Tudásbázis: •Fuzzy szabályok és •Fuzzy halmazok Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 82.

Fuzzy logikai következtetés A három fő összetevő: • Fuzzy szabálybázis • Adatbázis (a tagsági érték függvények definíciói) • Fuzzy következtetési módszer (aggregation)


M.I. 11. / 83.

Fuzzy If-Then szabályok • General format: If x is A then y is B • Examples: – – – –

If pressure is high, then volume is small. If the road is slippery, then driving is dangerous. If a tomato is red, then it is ripe. If the speed is high, then apply the brake a little.


M.I. 11. / 84.

Nyelvi értékek •A numerical variables takes numerical values: Age = 65 •A linguistic variables takes linguistic values: Age is old •Linguistic values are fuzzy sets. •All linguistic values form a term set: T(age) = {young, not young, very young, ... middle aged, not middle aged, ... old, not old, very old, more or less old, ... not very yound and not very old, ...}


M.I. 11. / 85.

Nyelvi értékek (Linguistic Values)


M.I. 11. / 86.

Fuzzy partíció • Fuzzy partitions formed by the linguistic values “young”, “middle aged”, and “old”:


M.I. 11. / 87.

ε-fedő fuzzy partíció • Egy fuzzy partíció ε-fedő az X értelmezési tartományon, ha:

∀x ∈ X , ∃i ∈ N , µ Ai ( x ) ≥ ε Dr. Kovács Szilveszter ©

X

M.I. 11. / 88.

Fuzzy partíció • Ruspini-partíció (0.5-fedő): sup(supp( Ai( x) ) ) = inf(core( Ai+1( x) ) ) sup(core( Ai( x) ) ) = inf(supp( Ai+1( x) ) )


M.I. 11. / 89.

Boolean Partition • A induced by the fuzzy partition A:


M.I. 11. / 90.

A Fuzzy partíciók specifikussága • Fuzzy partition A’ is more specific than A if all the elements of A’ are more specific (e.g. in terms of their specificity measure) than the elements of A. • Then, the number of elements of A’ is greater than the number of linguistic terms in A. • E.g. the fuzzy partition: A = { Negative, Zero, Positive} is less specific than the fuzzy partition A’ containing seven terms (fuzzy sets): A = {Negative Large, Negative Middle, Negative Small, Zero, Positive Small, Positive Middle, Positive Large} Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 91.

A Fuzzy partíciók specifikussága • Pl.:

Specifikusabb


M.I. 11. / 92.

Fuzzy szabályok • HA szennyezettség-mértéke=közepes ÉS olajozottság-foka=erősen-olajos AKKOR mosási-idő=közepes • HA leves-sózottság-mértéke=alig AKKOR só-hozzáadás=erősen


M.I. 11. / 93.

Fuzzy következtetés • Hasonlít az előre láncoló (adatvezérelt) rendszerekhez • De egy végrehajtási cikluson belül minden szabály feltétel része kiértékelésre kerül (nincsenek szabályláncok) (kivéve a hierarchikus szabálybázis esetét) • A fuzzy következtetés eredménye: fuzzy halmaz


M.I. 11. / 94.

A Fuzzy If-Then szabályok értelmezése • A Fuzzy szabályok kétféle értelmezése “If x is A then y is B”: A relációban áll B-vel

A implikálja B-t y a → b = a + b = a ⋅b

y

B

B

x

x

A

A Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 95.

A Fuzzy szabályok értelmezése • Two ways to interpret “If x is A then y is B”: – A relációban áll B-vel (Fuzzy “pont”): (A and B)

Ri = Ai → Bi R i = A i → B i = A i × B i = ∫X×Y µA(x)∩µB(y) / (x,y) R = A→B =

∪ i=1 Ri r

=

∪ i=1 ( Ai → Bi )

– A implikálja B-t: (not A or B) • • • •

a→b Material implication Propositional calculus Extended propositional calculus Generalization of modus ponens Dr. Kovács Szilveszter ©

r

= a + b = a ⋅b

M.I. 11. / 96.

Fuzzy If-Then Rules (Zadeh-Mamdani method) • A relációban áll B-vel – “Fuzzy pont”:

Ri = Ai → Bi = Ai × Bi =

R =

∪ri=1 Ri

=

∫X×Y µA(x)∩µB(y) / (x,y)

∪ri=1 ( Ai → Bi ) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 97.

Fuzzy If-Then Rules • A relációban áll B-vel – “Fuzzy pont”: R i = A i → B i = ( A 1,i × A 2,i × ... × A n,i ) → B i = ( A 1,i × A 2,i × ... × A n,i ) × B i = = ∫X×Y (µA1,i(x 1)∩µA2,i(x 2)∩...∩µAn,i(x n))∩ µB(y) / (x 1,x 2,...,x n,y) = = ∫X×Y µA1,i(x 1)∩µA2,i(x 2)∩...∩µAn,i(x n)∩ µB(y) / (x 1,x 2,...,x n,y)


M.I. 11. / 98.

Fuzzy If-Then Rules A implikálja B-t a → b = a + b = a ⋅b


M.I. 11. / 99.

Max-min kompozíciós fuzzy következtetés (Zadeh) • Single rule with single antecedent Rule: If x is A then y is B Fact: x is A’ Conclusion: y is B’

(Generalized modus ponens)

• Graphic Representation: A’ A

B w

X

Y

A’ x is A’

B’ X

y is B’


Y

M.I. 11. / 100.

Max-min kompozíciós fuzzy logikai következtetés • Single rule with multiple antecedent (Zadeh-Mamdani) Rule: if x is A and y is B then z is C Fact: x is A’ and y is B’ Conclusion: z is C’

• Graphic Representation: A’ A

B’ B

T-norm

C2

w

X

A’ x is A’

Y

B’ X

Z

y is B’

C’ Y Dr. Kovács Szilveszter ©

z is C’

Z

M.I. 11. / 101.

Max-min kompozíciós fuzzy logikai következtetés • Multiple rules with multiple antecedent Rule 1: if x is A1 and y is B1 then z is C1 Rule 2: if x is A2 and y is B2 then z is C2 Fact: x is A’ and y is B’ Conclusion: z is C’

A’

B’ B1

A1

(Zadeh-Mamdani)

C1 w1

X

A’ A2

Z

Y

B’ B2

C2 w2

X

A’

Y

Z T-norm

B’ C’

x is A’

X

y is B’

Y


z is C’

Z

M.I. 11. / 102.

Max-min kompozíciós fuzzy logikai következtetés • Single antecedent, multiple rules – composition (Zadeh-Mamdani) y=x°R µx R(y) = maxx∈X min[ µx(x) , µR(x,y) ] °


∀ y∈Y

M.I. 11. / 103.

Max-min kompozíciós fuzzy logikai következtetés • Single antecedent, multiple rules – composition y=x°R (Zadeh-Mamdani) µx R(y) = maxx∈X min[ µx(x) , µR(x,y) ] = °

= maxx∈X min[ µx(x) , ∪ri=1 µRi(x,y) ] =

= maxx∈X min[ µx(x) , ∪ri=1 min( µAi(x),µBi(y) ) ] =

= maxx∈X ∪ri=1 min[ µx(x) , min( µAi(x),µBi(y) ) ] =

= maxx∈X ∪ri=1 min[ µx(x) , µAi(x) , µBi(y) ] = = maxx∈X maxx∈X,y∈Y ( min[ µx(x) , µA1(x) , µB1(y) ] , min[ µx(x) , µA2(x) , µB2(y) ] , ... , min[ µx(x) , µAr(x) , µBr(y) ] ) = = ∪ri=1 maxx∈X min[ µx(x) , µAi(x) , µBi(y) ] = = ∪ri=1 µx Ri(y) °


∀ y∈Y

M.I. 11. / 104.

Max-min kompozíciós fuzzy logikai következtetés • Single antecedent

(Zadeh-Mamdani) y=x°R µ x R (y) = max x∈X min[ µ x (x) , µ R (x,y) ] ∀ y∈Y °


M.I. 11. / 105.

Max-min kompozíciós fuzzy logikai következtetés

• Multiple antecedents – composition (Zadeh-Mamdani) y = ( x1 , x2 ,..., xn ) ° R µ(x1,x2,...,xn) R(y) = maxx1,x2,...,xn min[ µx1(x1),µx2(x2),...,µxn(xn) , µR(x,y) ] = °

= maxx1,x2,...,xn min[ µx1(x1),µx2(x2),...,µxn(xn) , ∪ri=1 µRi(x1,x2,..,xn,y) ] = = maxx1,x2,...,xn min[ µx1(x1),µx2(x2),...,µxn(xn) ,

∪ri=1 min( µA1,i(x1),µA2,i(x2),...,µAn,i(xn),µBi(y) ) ] =

= maxx1,x2,...,xn ∪ri=1 min[ µx1(x1),µx2(x2),...,µxn(xn) , µA1,i(x1),µA2,i(x2),...,µAn,i(xn),µBi(y) ) ] = = ∪ri=1 maxx1,x2,...,xn min[ µx1(x1),µx2(x2),...,µxn(xn) , µA1,i(x1),µA2,i(x2),...,µAn,i(xn),µBi(y) ) ] =

= ∪ri=1 µ(x1,x2,...,xn) Ri(y) °

∀ y∈Y Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 106.

Max-min kompozíciós fuzzy logikai következtetés

(Zadeh-Mamdani)

• Multiple antecedents

y = ( x1 , x2 ,..., xn ) ° R µ(x1,x2,...,xn) R(y) = ° = maxx1,x2,...,xn min[ µx1(x1),µx2(x2),...,µxn(xn) , µR(x,y) ]

∀ y∈Y


M.I. 11. / 107.

Fuzzifikálás és defuzzifikálás • Fuzzifikálás: a bemenő adat lefordítása fuzzy halmazra, pl.: az x mért értékhez egy fuzzy halmaz rendelése (pl. a mérés bizonytalanséga alapján) • Defuzzifikálás: a fuzzy következtetések eredményeként kapott fuzzy halmazok crisp értékké alakítása – eredmény a kimeneten


M.I. 11. / 108.

Defuzzifikálási módszerek • MCM – Max Criterion Method: a tagsági függvény valamely maximumhelye • MOM – Mean of Maximum: a tagsági függvény maximumhelyeinek átlaga • COG – Center of Gravity: a tagsági függvény alatti terület kiszámítása numerikus integrálással, majd a terület súlypontjának meghatározása


M.I. 11. / 109.

Defuzzifikálási módszerek • The Max Criterion Method

yM :

yM ∈ Y ,

µy(yM) = maxy∈Y µy(y)


M.I. 11. / 110.

Defuzzifikálási módszerek • The Mean of Maxima Method (MOM)

yM : { yiM ∈ Y | µy(yiM) = maxy∈Y µy(y) } n ym = ∑ i=1( yiM / n )


M.I. 11. / 111.

Defuzzifikálási módszerek • The Center of Gravity Method (COG)

yc = ∑y∈Y( µy(y) . y ) / ∑y∈Y µy(y)

∫ µ ( y ) ⋅ y ⋅ dy

+ intuitive + smooth - computational burden

y

yc =

Y

∫ µ ( y )⋅ dy y

Y


M.I. 11. / 112.

Defuzzifikálási módszerek • Defuzzification with additional restrictions


M.I. 11. / 113.

Defuzzifikálási módszerek • The Center of Sums Method y = y1 ∪ y2 ∪ ... ∪ yn wi = ∑y∈Y µyi(y) yi = ∑y∈Y( µyi(y) . y ) / ∑y∈Y µyi(y) ycs = ∑i∈[1,n]( wi . yi ) / ∑i∈[1,n] wi


M.I. 11. / 114.

Példa Feladat: a mosási idő beállítása a mosásra váró ruha szennyezettség foka és a szennyezés típusa függvényében • Bemenő változók: – szennyezettség-mértéke – olajozottság-mértéke • Kimenő változó: – mosási-idő


M.I. 11. / 115.

A bemenő változók fuzzy partíciói (nyelvi értékek)

1

kevés közepes erős

1

nem olaj- erősen olajos foltos olajos

0

0 szennyezettség-mértéke

olajozottság-mértéke


M.I. 11. / 116.

A kimenő változó fuzzy partíciója (nyelvi értékek)

1

igen rövid

rövid közepes hosszú meghosszabbított

0 mosási idő [perc]


M.I. 11. / 117.

Fuzzy szabályok • HA szennyezettség-mértéke=közepes ÉS olajozottság-foka=erősen-olajos AKKOR mosási-idő=közepes • HA szennyezettség-mértéke=erős ÉS olajozottság-foka=erősen-olajos AKKOR mosási-idő=hosszú


M.I. 11. / 118.

1

Az első szabály kiértékelése


ÉS kapcsolat: µ[A∩B](a)=min{µA(a), µB(a)}

0,68 0

hosszú


1


0,48 0 mosási idő [perc]

0,48

HA szennyezettség-mértéke=közepes ÉS olajozottság-foka=erősen-olajos AKKOR mosási-idő=közepe

0 olajozottság-mértéke


M.I. 11. / 119.

1


0,22 0

A második sz. kiértékelése közepes


1


0,22 0 mosási idő [perc]

0,48

HA szennyezettség-mértéke=erős ÉS olajozottság-foka=erősen-olajos AKKOR mosási-idő=hosszú

0 olajozottság-mértéke


M.I. 11. / 120.

Végeredmény 1

közepes hosszú

0,48 0,22 0

mosási idő [perc]


M.I. 11. / 121.

Defuzzifikálás (COG) 1

közepes hosszú

0,48 0,22 0

45 mosási idő [perc]

COG – Center of Gravity: a tagsági függvény alatti terület kiszámítása numerikus integrálással, majd a terület súlypontjának meghatározása Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 122.

Kompozíciós fuzzy következtetés - példa • Rule1: IF u is A1 AND y is B1 THEN z is C1 • Rule2: IF u is A2 AND y is B2 THEN z is C2 • Rule3: IF u is A3 AND y is B3 THEN z is C3 • Observations: x = A’ y = B’


M.I. 11. / 123.

Kompozíciós fuzzy következtetés: Max-min Rule1

Rule2

Rule3


M.I. 11. / 124.

Kompozíciós fuzzy következtetés: Max-product Larsen method

Rule1

Rule2

Rule3


M.I. 11. / 125.

Fuzzy következtetés, párhuzamos végrehajtás


M.I. 11. / 126.

Kompozíciós fuzzy következtetés - példa SISO: max-min composition center of gravity defuzzification • If X is small then Y is small • If X is medium then Y is medium • If X is large then Y is large


M.I. 11. / 127.

Kompozíciós fuzzy következtetés - példa MISO: max-min composition center of gravity defuzzification • If X is small and Y is small then Z is negative large • If X is small and Y is large the Z is negative small • If X is large and Y is small the Z is positive small • If X is large and Y is large then Z is positive large


M.I. 11. / 128.

Sugeno féle fuzzy következtetés • Sugeno (1985) - A szabályok következmény részében nem fuzzy halmaz szerepel, hanem a bemenetek függvénye • Ha x az A-hoz tartozik És y a B-hez tartozik Akkor z=f(x,y) Pl: • Ha X fagyos És Y fagyos Akkor z=-x+y+1 • Ha X fagyos És Y hideg Akkor z=-y+3 • Ha X hideg És Y fagyos Akkor z=-x+3 • Ha X hideg És Y hideg Akkor z=x+y+2 Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 129.

Sugeno féle fuzzy következtetés • A következtetés eredménye közvetlenül egy valós érték (nem fuzzy halmaz) • Nincs szükség defuzzifikálásra • Több szabály aktivizálódása esetén az eredményt az egyes szabályoknál számolt következmények súlyozott átlagaként határozzák meg • A súlyokat a feltételrészben megjelenő nyelvi értékek tagsági fv. értékeire alkalmazott (ÉS/VAGY) operátorok határozzák meg


M.I. 11. / 130.

Sugeno féle fuzzy következtetés • Az i. szabály formátuma

IF x1=A1,i AND x2=A2,i AND … AND xn=An,i THEN y i= f i(x1, x2, … , xn)

• A következmény: r

y=

r

∑ w ⋅ y ∑ w ⋅ f (x , x ,..., x ) i

i =1

i

r

∑w

=

i

i =1

i

1

n i

2

r

∑w

i

i =1 i =1 ahol w j ,i = max min µ x (x j ), µ A j ,i (x j )

j

{ (

)}

wi = min (w1,i , w2,i ,..., wn ,i ) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 131.

Pl: Nyelvi értékek


M.I. 11. / 132.

A Sugeno féle fuzzy következtetést leíró felület


M.I. 11. / 133.

Sugeno féle fuzzy következtetés - SISO • Combines fuzzy sets in antecedents with crisp function in output: • • •

IF x is small THEN Y=4 IF X is medium THEN Y=-0.5X+4 IF X is large THEN Y=X-1


M.I. 11. / 134.

Sugeno féle fuzzy következtetés - MISO • • • •

IF X is small AND Y is small THEN z=-x+y+1 IF X is small AND Y is large THEN z=-y+3 IF X is large and Y is small THEN z=-x+3 IF X is large and Y is large THEN z=x+y+2


M.I. 11. / 135.

Sugeno fuzzy következtetés rendfoka • Nulladrendű (Takagi Sugeno) – a következmény részben szereplő függvény konstans • Elsőrendű – a következmény függvény elsőfokú • Magasabb rendű: – a következmény függvény magasabb rendű


M.I. 11. / 136.

Nulladrendű Takagi Sugeno fuzzy következtetés • The most commonly used zero-order Sugeno fuzzy model applies fuzzy rules in the following form:

IF x is A AND y is B THEN z is k where k is a constant. • In this case, the output of each fuzzy rule is constant. • All consequent membership functions are represented by singleton spikes. Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 137.

Nulladrendű Takagi Sugeno fuzzy következtetés – Pl. 1

1

A3

1

B1

0.1

0.0 0

x1

0

X

Rule 1: IF x is A3 (0.0)

Y

y1

OR y is B1 (0.1)

1

1

A2 0

x1

y1

Rule 2: IF x is A2 (0.2) AND y is B2 (0.7) 1

0

A1

AND (min) Y

Z

0.2 0

k2

Z

z is k2 (0.2) 1 0.5 0

X

Rule 3: IF x is A1 (0.5)

k1

z is k1 (0.1)

THEN

0.5

x1

0

1

B2 0

0.1

THEN 0.7

0.2 X

OR (max)

THEN Dr. Kovács Szilveszter ©

k3

Z

z is k3 (0.5) M.I. 11. / 138.

Nulladrendű Takagi Sugeno fuzzy következtetés – Pl. • A következmény számítása 1

1 0.1 0

1

1

0.5

0.5

0

0.1 0

0.2 k1

Z

z is k1 (0.1)

0

k2

Z

z is k2 (0.2)

k3

Z

z is k3 (0.5)


0.2 k1

k2

k3

∑

M.I. 11. / 139.

Z

Nulladrendű Takagi Sugeno fuzzy következtetés – Pl. • A következmény számítása súlyozott átlagként (weighted average) • Nincs szükség defuzzifikációra µ(k1) × k1 + µ(k 2) × k 2 + µ(k 3) × k 3 0.1× 20 + 0.2 × 50 + 0.5 × 80 WA = = 65 = µ(k1) + µ(k 2) + µ(k 3) 0.1 + 0.2 + 0.5

0

z1

Z

Crisp Output z1 Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 140.

A fuzzy szabálybázis tervezési szempontjai Konzisztencia: • Ne legyenek olyan szabályok, melyek azonos antecedenssel, de különböző konzekvenssel rendelkeznek. Teljesség (complete): • Minden lehetséges megfigyelés esetén legyen legalább egy szabály, ami „tüzel”


M.I. 11. / 141.

A fuzzy rendszerek alkalmazásának előnyei • Könnyű átlátni a működési elvet, a fuzzy logikai következtetési módszer matematikája igen egyszerű. • Rugalmas, a fuzzy szabályok könnyen módosíthatók, bővíthetők (egy vázlat alapján is el lehet indulni). • Jól tűri a pontatlan adatokat • Képes tetszőleges komplexitású nemlineáris függvények modellezésére. • Bármilyen függvényt képes tetszőlegesen megközelíteni (universal approximator). • Szakértői tapasztalatok alapján is kialakítható. • Közel áll a természetes nyelvhez. Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 142.

A fuzzy rendszerek alkalmazásának előnyei • Gyors, valós idejű rendszereknél alkalmazható • Közel áll az emberi szemlélethez – nyelvi kifejezések. • Egyszerűbb (szabály alapú, deklaratív) rendszerleírás a többi modellhez képest • Kevesebb tudásszervezési munkára van szükség. • Részleges igazságokat és bizonytalanságot is ki lehet fejezni vele. • Hiányos és bonyolult feladatokra is alkalmazható Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 143.

A fuzzy rendszerek alkalmazásának hátrányai • Nehézségekbe ütközhet a fuzzy szabálybázis és a nyelvi értékek (fuzzy partíciók) megalkotása: ha csak a be-kimeneti adatok állnak a rendelkezésre, és nem alkalmazunk semmilyen automatikus fuzzy szabálykinyerési módszert. pl. a Hitachi mérnökei több évig dolgoztak a Sendai Subway Systemet irányító 54 fuzzy szabály finomhangolásán - 1986 • A következtetés pontossága összetett probléma esetén közvetlenül az alkalmazott szabályok számától függ. • A bemenő változók számának növekedésével exponenciálisan nő a szabályok száma. A fuzzy szabályok száma = MI ahol M = a tagsági függvények (nyelvi értékek) száma I = a bemenő változók száma (Teljes (fedő) szabálybázis esetén) Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 144.

Főbb alkalmazási területek • Ahol nehéz vagy lehetetlen formális rendszermodellt felállítani • pl.: – japán metróvonat vezérlése – hajó-navigációs rendszer – automata fényképezőgép – légkondicionáló berendezés vezérlése – orvosi diagnosztikai rendszer – folyamat vezérlés Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 145.

Ajánlott irodalom • Jelen előadás fóliái részben az alábbi források alapján készültek: Kóczy T. László és Tikk Domonkos: Fuzzy rendszerek, Typotex Kiadó, 2000, ISBN 963-9132-55-1 J.-S. R. Jang, C.-T. Sun, E. Mizutani: Neuro-Fuzzy and Soft Computing, Prentice Hall, 1997, ISBN 0-13261066-3 Michael Negnevitsky: Artificial Intelligence: A Guide to Intelligent Systems, Addison Wesley, Pearson Education Limited, 2002, ISBN 0201-71159-1 Dr. Kovács Szilveszter ©

M.I. 11. / 146.

Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás Fuzzy logikával

Recommend Documents