Kísérlettervezés biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert
Hipotézisvizsgálat • u-próba
Feltétel: egy normális eloszlású sokaság σ2 varianciájának számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke egy adott µ0 számmal egyenlő. Nullhipotézis: H0: µ = µ0 Lehetséges ellenhipotézisek (alternatív hipotézisek): H1: µ ≠ µ0 kétoldali ellenhipotézis H1: µ < µ0, H1: µ > µ0, H1: µ = µ1 egyoldali ellenhipotézisek
1
Hipotézisvizsgálat • u-próba
n elemű mintát veszünk egy N(µ,σ)-eloszlású (normális eloszlású µ várható értékkel és σ szórással) sokaságból, és σ (azaz a szórás) ismert, µ (a várható érték) nem. Az egész sokaság (pld. tömeg, méret stb.) várható értékére szabványelőírás, hogy az egy bizonyos adott érték legyen: µ = µ0 (tehát µ0 lesz a szabvány által előírt érték). x (az átlag mellyel a sokaság várható értékét becsüljük a minta alapján) nem lesz pontosan µ0, hanem akörül ingadozik. A próbával eldönthetjük, hogy milyen mértékű ingadozást tekinthetünk véletlennek.
Hipotézisvizsgálat • u-próba
Ha a H0 nullhipotézis teljesül, akkor az x − µ0 u=
σ n
véletlen változó standard normál eloszlású lesz, ahol n a mérések számát jelenti, a tört nevezőjében tehát az átlag szórása található.
2
Hipotézisvizsgálat • u-próba A standard normál eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvényei: ( x − µ )2
1 2 f ( x) = e 2σ σ 2π µ = 0, σ = 1 x2
1 −2 ϕ ( x) = e 2π x
2
z − 1 2 Φ ( x) = e dz 2π −∫∞ ϕ (−b) = ϕ (b) Φ (−b) = 1 − Φ (b)
Hipotézisvizsgálat • u-próba
A Φ(x) standard normál eloszlásfüggvény értékeit, a könnyebb kezelhetőség miatt, táblázatba foglalták. Φ(x) tehát azt a valószínűséget jelenti, amellyel a vizsgált valószínűségi változó (amely standard normál eloszlású) értéke nem lesz nagyobb x-nél (kisebb vagy legfeljebb egyenlő lesz vele).
3
Hipotézisvizsgálat • u-próba
Az ábrán a Φ(x) eloszlásfüggvény grafikonja és az x=1,6 értékhez tartozó függvényérték (0,945) látható. Φ (u)
1 0,945 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
u
0 -4
-3
-2
-1
0
1,6
1
2
3
4
Hipotézisvizsgálat • u-próba
Az ábra azt illusztrálja, hogy a ϕ(x) sűrűségfüggvény -∞ és 1,6 közötti integrálja (görbe alatti területe) lesz egyenlő Φ (1,6)-del, vagyis 0,945-del. ϕ (u)
0,4 0,35 0,3
Φ(1,6) 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 -4
-3
-2
-1
0
1
1,6
2
3
4 u
4
Hipotézisvizsgálat • u-próba (kétoldali hipotézis) Ha a nullhipotézis igaz, úgy az u szamitott =
( x − µ0 ) σ
nagy valószínűséggel (= 1-α) a [−uα , uα ] 2
n
2
ún. elfogadási tartományba esik, és csak kis valószínűséggel (= α) esik kívülre. Tehát a H0: µ = µ0 feltevést elfogadjuk (1-α)⋅100% biztonsági szinten, ha uszamitott =
( x − µ0 ) σ n
≤ uα = utablazatbeli és elvetjük, ha 2
uszamitott > utablazatbeli
Hipotézisvizsgálat • u-próba (kétoldali hipotézis) utablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a α táblázatból a Φ (u ) = 1 − 2 valószínűséghez kikeressük u értékét.
5
• u-próba Legyen a szignifikancia szint 5%, azaz α = 0,05. α 0,05 Φ (u ) = 1 − = 1 − 2 2 = 0,975 A táblázatból u értéke 1,96.
6
Hipotézisvizsgálat • u-próba (egyoldali hipotézis)
Az előzőekben kétoldali próbát végeztünk, azaz az alternatív hipotézis H1: µ ≠ µ0 volt. Egyoldali próba esetén az alternatív hipotézis pl. H1: µ > µ0 lehet. Ez azt jelenti, hogy vagy elfogadjuk a H0: µ = µ0 nullhipotézist, vagy elvetjük azt és a H1: µ > µ0 alternatív hipotézist fogadjuk el. Ha µ valamilyen egészségügyileg káros komponens (NOx, CO, CO2, szálló por, pollen, stb.) koncentrációját jelenti és µ0 az egészségügyi határérték, nyilván az a jó, ha a H0 nullhipotézist el tudjuk fogadni.
Hipotézisvizsgálat • u-próba (egyoldali hipotézis)
A H0: µ = µ0 feltevést elfogadjuk (1-α).100% biztonsági szinten, ha ( x − µ0 ) uszamitott = ≤ uα = utablazatbeli σ és elvetjük, ha
n
u szamitott > u tablazatbeli
utablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a táblázatból a valószínűséghez kikeressük u értékét. Egy korábbi ábra adatai alapján, ha uszamitott értéke nem nagyobb, mint 1,6 (= utablazatbeli 94,5%-os biztonsági szinten), akkor elfogadjuk a H0 nullhipotézist, és ezzel együtt azt is, hogy a mért µ koncentráció érték az egészségügyileg meghatározott µ0 koncentráció alatt van.
7
Hipotézisvizsgálat • Kétmintás u-próba
Egy komponens koncentrációjának meghatározását két független analitikai módszerrel végeztük el (pl. klasszikus titrálással és egy műszeres módszerrel). Az első méréssorozat úgy tekinthető, hogy egy n1 elemű mintát veszünk egy N(µ1,σ1)-eloszlású (normális eloszlású µ1 várható értékkel és σ1 szórással) sokaságból, a második méréssorozat úgy tekinthető, hogy egy n2 elemű mintát veszünk egy N(µ2,σ2)-eloszlású (normális eloszlású µ2 várható értékkel és σ2 szórással) sokaságból, és σ1, σ2 (azaz a szórások) ismertek, a µ1, µ2 (a várható értékek) nem. A kérdés az, hogy a két méréssorozat átlagainak alapján a két módszer által szolgáltatott koncentráció becslések azonosnak tekinthetők-e, vagy az egyik módszerrel csak szisztematikus hibával tudunk mérni. (A feladat megfogalmazható azonos analitikai módszerrel mérő két laboratórium méréseinek összehasonlítására is.)
Hipotézisvizsgálat • Kétmintás u-próba A próbával eldönthetjük, hogy milyen mértékű ingadozást tekinthetünk véletlennek. H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 ≠ µ 2
8
Hipotézisvizsgálat • Kétmintás u-próba
Ha a H0 nullhipotézis teljesül, akkor az
u=
x1 − x 2
σ 12 n1
+
σ 22 n2
véletlen változó standard normál eloszlású lesz, ahol n1 és n2 a mérések számát jelenti. Ha a nullhipotézis igaz, úgy az uszamitott nagy valószínűséggel (= 1-α) a [−uα , uα ] 2
2
ún. elfogadási tartományba esik, és csak kis valószínűséggel (= α) esik kívülre.
Hipotézisvizsgálat • Kétmintás u-próba
Tehát a H0: µ = µ0 feltevést elfogadjuk (1-α)⋅100% biztonsági szinten, ha uszamitott =
x1 − x2
σ 12 n1
+
σ 22
≤ uα = utablazatbeli és elvetjük, ha 2
n2
uszamitott > utablazatbeli
9
Hipotézisvizsgálat • Kétmintás u-próba utablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a táblázatból a Φ (u ) = 1 − α 2 valószínűséghez kikeressük u értékét.
Hipotézisvizsgálat • Student-féle egymintás t-próba
Normál eloszlású változóra csak akkor alkalmazható az u-próba, ha az elméleti szórás ismert. A gyakorlatban inkább csak az n 2
sn∗ =
∑ (x
− x)2
i
i =1
n −1
korrigált szórásnégyzetet ismerjük. Ilyenkor az N(µ,σ)-eloszlású adatokkal a H0: µ = µ0 hipotézis ellenőrzésére a x − µ0 t=
s n∗
n
próbastatisztikát képezzük.
10
Hipotézisvizsgálat • Student-féle egymintás t-próba
Kimutatható, hogy ez a változó n-1 szabadságfokú, Student-féle t-eloszlású. Ha a nullhipotézis igaz, úgy a t nagy valószínűséggel (= 1-α) a [−tα , tα ] 2
2
ún. elfogadási tartományba esik, és csak kis valószínűséggel (= α) esik kívülre. Tehát a H0: µ = µ0 feltevést elfogadjuk (1-α).100% biztonsági szinten, ha t szamitott =
és elvetjük, ha t szamitott > t tablazatbeli
x − µ0 s n∗
≤ tα = ttablazatbeli
n
2
Hipotézisvizsgálat • Student-féle egymintás t-próba
ttablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a táblázatból a v=n-1 szabadsági fok mellett α szignifikancia szinthez kikeressük t értékét. A kiadott táblázatot úgy szerkesztették, hogy az oszlopok fejlécében az α szignifikancia szintet tüntették fel kétoldali próba esetére. Egyoldali próba esetén a táblázat fejlécében található szignifikancia szint értéket el kell osztani 2-vel, akkor kapjuk meg a helyes értéket.
11
12
Hipotézisvizsgálat • F-próba Két független, normál eloszlású változó tapasztalati szórása kissé eltér. Feltehető-e, hogy az egész sokaságban megegyezik a két elméleti szórás, σ1 = σ2. E próbával eldönthetjük, hogy két analitikai módszer, két műszer, két laboratórium reprodukálhatósága (a mérési eredményekben a véletlen hiba által okozott ingadozása) azonos-e.
Hipotézisvizsgálat • F-próba Osszuk el a nagyobbik korrigált tapasztalati szórásnégyzetet a kisebbel! Az így kapott F=
s1∗
2
s2∗
2
változó bizonyíthatóan (n2-1),(n1-1) szabadságfokú F-eloszlású, ha a H0: σ1 = σ2 nullhipotézis teljesül.
13
Hipotézisvizsgálat • F-próba
Tehát a H0: σ1 = σ2 feltevést elfogadjuk (1-α).100% biztonsági szinten, ha Fszamitott =
s1∗
2
s2∗
2 2
≤ Fα = Ftablazatbeli
s1∗ ≥ s2∗
2
és elvetjük, ha Fszamitott > Ftablazatbeli.
14
Hipotézisvizsgálat • Student-féle kétmintás t-próba
Ha az előbbi F-próbával már igazoltuk, hogy σ1 = σ2, akkor vizsgálhatjuk azt is, hogy a két normál eloszlású sokaság várható értékei is azonosak-e. Azaz eldönthetjük, hogy két módszer, két műszer, két laboratórium által kapott mérési eredmények azonosak-e, ha már bizonyítottuk, hogy reprodukálhatóság azonos. A várható értékek egyezésére, a H0: µ1 = µ2 nullhipotézis igazolására feltéve, hogy σ1 = σ2, a következő próbát tehetjük.
15
Hipotézisvizsgálat • Student-féle kétmintás t-próba Kiszámítjuk a t =
x1 − x 2 2
(n1 − 1) s1∗ + (n 2 − 1) s2∗ n1 + n 2 − 2
2
1 1 + n1 n 2
változó értékét, majd a H0: µ1 = µ2 feltevést elfogadjuk (1-α).100% biztonsági szinten, ha t szamitott ≤ tα = ttablazatbeli 2
és elvetjük, ha
t szamitott > t tablazatbeli
Hipotézisvizsgálat • Student-féle kétmintás t-próba
ttablazatbeli értékét úgy határozzuk meg, hogy a táblázatból az ν=n1 + n2 - 2 szabadsági fok mellett α szignifikancia szinthez kikeressük t értékét.
16
17
