´ Szent Istv´ an Egyetem Allatorvos-tudom´ anyi Kar Biomatematikai ´ es Sz´ am´ıt´ astechnikai Tansz´ ek
Biomatematika 8. Val´ osz´ın˝ us´ eg-sz´ am´ıt´ as II. Fodor J´ anos
c
[email protected] Copyright Last Revision Date: October 5, 2006
Version 1.25
Table of Contents 1 Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok
3
2 Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa
7
3 Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´ ege
10
4 Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok
12
4.1
Diszkr´et val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2
A medi´an ´es a m´odusz . . . . . . . . 16
Table of Contents (cont.)
3
4.3
A variancia ´es a sz´or´as . . . . . . . . 17
4.4
A v´arhat´o ´ert´ek ´es a variancia tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 N´ eh´ any fontos diszkr´ et eloszl´ as
29
5.1
A binomi´alis eloszl´as . . . . . . . . . 30
5.2
A hipergeometrikus eloszl´as . . . . . 35
5.3
A Poisson-eloszl´as . . . . . . . . . . 39
6 Folytonos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
44
Doc
Doc
I
Table of Contents (cont.)
6.1
4
V´arhat´o ´ert´ek, variancia, medi´an ´es m´odusz . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7 A norm´ alis eloszl´ as 7.1
Toc
50
A standard norm´alis eloszl´as . . . . . 57
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 1: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
5
1. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok Egy-egy k´ıs´erlet kimeneteleihez nagyon sokszor tartoznak sz´am´ert´ekek (p´eld´aul: k´et kock´aval dobva, a dobott sz´amok ¨osszege). Egy az esem´enyt´eren ´ertelmezett f¨uggv´enyt val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ onak nevez¨unk. P´ elda. Tekints¨uk azt a k´ıs´erletet, amelyben egy ´erm´et h´aromszor feldobunk. Jel¨olje X a fejek sz´am´at. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 1: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
6
Amint azt m´ar tudjuk, az esem´enyt´er most a k¨ovetkez˝o: {f f f, f f i, f if, if f, f ii, if i, iif, iii}. Ez´ert X lehets´eges ´ert´ekei (a fejek sz´ama): 0, 1, 2, 3. Ezt l´athatjuk a k¨ovetkez˝o ´abr´an:
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 1: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
Toc
JJ
II
J
7
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 1: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
8
• nulla fej csak egyszer fordul el˝o, • egy fej h´ aromszor, • k´ et fej h´ aromszor, • h´ arom fej pedig csak egyszer fordul el˝o. Teh´at a p´eld´aban szerepl˝o X val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, hiszen ´ert´eke a k´ıs´erlet kimenetel´et˝ol f¨ugg.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa
9
2. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa Egy val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o eloszl´ asa nem m´as, mint a v´altoz´o lehets´ eges ´ ert´ ekeinek, valamint osz´ın˝ us´ egeknek az az ezekhez tartoz´o val´ ¨osszess´ege. Ha egy X val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei {x1 , x2 , . . . , xk , . . .}, akkor pk annak a val´osz´ın˝us´eg´et jel¨oli, hogy az X az xk ´ert´eket veszi fel (vagyis pk := P (X = xk )). Az el˝oz˝o vasz´ın˝us´egi v´altoz´o (a fejek sz´ama, ha h´aToc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa
10
romszor dobunk fel egy p´enz´erm´et) eloszl´as´at az al´abbi t´abl´azatban l´athatjuk: Fejek sz´ama Val´osz´ın˝us´eg 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 ¨ 1 Osszesen:
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa
11
X eloszl´as´anak grafikus szeml´eltet´ese:
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 3: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´ege
12
Eloszl´ asok jellemz˝ oi: 1. B´armely lehets´eges ´ert´ek val´osz´ın˝us´ege 0 ´es 1 k¨oz¨ott van. 2. Ezen val´osz´ın˝us´egek ,,¨osszege” 1. 3. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´ ege Az A ´es B esem´enyeket akkor nevezt¨uk f¨uggetleneknek, ha az A bek¨ovetkez´ese nem befoly´asolta B es´ely´et. Form´alisan: ha P (A ∩ B) = P (A)P (B) fenn´allt. Erre vezetj¨uk vissza val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ok Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 3: Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´ege
13
f¨uggetlens´eg´et. K´et val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ot akkor nevez¨unk f¨ uggetlennek, ha az egyikkel kapcsolatos b´ armely esem´eny f¨uggetlen a m´asikkal kapcsolatos b´ armely esem´enyt˝ol. Ez tipikusan (X = x), (X < x), (X ≤ x), (X ≥ x), (x1 < X < x2 ) alak´u esem´enyeket jelent.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
14
4. Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok Egy val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ot diszkr´ etnek nevez¨unk, ha lehets´eges ´ert´ekeinek halmaza megsz´ aml´ alhat´ o. M´ask´eppen: egy val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o diszkr´et, ha lehets´eges ´ert´ekei izol´alt pontok a sz´amegyenesen. P´ elda. Legyen X a fejek sz´ama amikor egy ´erm´et h´aromszor feldobunk. Ekkor X ´ert´ekei 0, 1, 2 ´es 3. Teh´at X diszkr´et val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
15
4.1. Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o v´ arhat´ o´ ert´ eke
Egy val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ot az eloszl´as´an k´ıv¨ul sz´amos param´eterrel jellemezhet¨unk. Ezek k¨oz¨ott alapvet˝o jelent˝os´eg˝u a v´arhat´o ´ert´ek. A v´ arhat´ o´ ert´ ek az adatok ,,k¨ozep´enek” elhelyezked´es´et mutatja. A v´ arhat´ o ´ ert´ ek a lehets´eges ´ert´ekek s´ ulyozott ´ atlaga, ahol a s´ulyok az ´ert´ekekhez tartoz´o val´osz´ın˝us´egek. Legyen X diszkr´et val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, lehets´eges Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
16
´ert´ekei x1 , x2 , . . . , xk , . . ., az ezekhez tartoz´o val´osz´ın˝us´egek pedig pk = P (X = xk ). Az X v´ arhat´ o´ ert´ ek´ et M (X) vagy µX jel¨oli, ahol X xk P (X = xk ) µX := M (X) := minden xk -ra
Haszn´aljuk az al´abbi egyszer˝ubb form´at is, ugyanezen tartalommal: X µX = M (X) = X · P (X). Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
17
Ha X egy kockadob´as eredm´eny´et jelenti, akkor X eloszl´asa: (1, 1/6), (2, 1/6), (3, 1/6), (4, 1/6), (5, 1/6), (6, 1/6). Ez´ert 1 1 1 1 M (X) = 1 · + 2 · + . . . + 5 · + 6 · 6 6 6 6 21 = = 3.5 6 Hangs´ulyozzuk, hogy a v´arhat´o ´ert´ek ´ atlag´ ert´ ek, ´es nem a leggyakrabban el˝ofordul´o ´ert´ek (a kockadob´asn´al a v´arhat´o ´ert´ek nincs is a lehets´eges ´ert´ekek k¨oz¨ott).
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
18
4.2. A medi´ an ´ es a m´ odusz
Egy eloszl´as k¨ozep´enek jellemz´es´ere van k´et m´asik mennyis´eg is: a m´odusz ´es a medi´an. Az X diszkr´et val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o m´ odusza egy olyan xk lehets´eges ´ert´eke X-nek, amelyhez tartoz´o pk val´osz´ın˝us´eg a legmagasabb. A m´odusz nem felt´etlen¨ul egy´ertelm˝u. Ha X-nek acsak egy m´odusza van, akkor eloszl´as´at unimod´ lisnak nevezz¨uk. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
19
A medi´ an olyan xmed sz´am, amelyre P (X < xmed ) ≤ 1/2,
´es P (X > xmed ) ≤ 1/2.
Bel´athat´o, hogy ilyen ´ert´ek mindig l´etezik, b´ar nem mindig egy´ertelm˝u. 4.3. A variancia ´ es a sz´ or´ as
Adott v´arhat´o ´ert´ek˝u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ok eloszl´asa sokf´ele lehet. P´eld´aul minden orig´ora szimmetrikus eloszl´as´u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke nulla, annak ellen´ere, hogy lehets´eges ´ert´ekei illetve azok Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
20
val´osz´ın˝us´egei a nulla ,,k¨or¨ul” m´as-m´as m´odon ,,t¨om¨or¨ulhetnek”. Egy ´evfolyamr´ol v´eletlenszer˝uen v´alasztott hallgat´o ´erdemjegy´enek v´arhat´o ´ert´eke akkor is k¨ozepes, ha mindenki k¨ozepes, ´es akkor is, ha a t´arsas´ag fele el´egtelen, fele jeles oszt´alyzat´u. A v´arhat´o ´ert´ekt˝ol val´o ´atlagos elt´er´es (a v´altoz´ekonys´ag) m´ert´ek´enek jellemz´es´ere vezetj¨uk be a variancia (sz´or´asn´egyzet) illetve a sz´or´as fogalm´at.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
21
Egy X diszkr´et val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o varianci´ aja 2 -szel jel¨olt sz´am, amely a a V (X)-szel vagy σX
k¨ovetkez˝o: 2 σX := V (X) := M [(X − M (X))2 ],
felt´eve, hogy ez a v´arhat´o ´ert´ek l´etezik. Most az al´abbi egyszer˝us´ıtett jel¨ol´est haszn´aljuk: 2 σX = V (X) =
Toc
JJ
II
X
J
[(X − µX )2 · P (X)].
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
22
Nyilv´anval´o, hogy V (X) ≥ 0. Ez´ert ´ertelmes a k¨ovetkez˝o fogalom. Az X sz´ or´ asa a variancia p n´egyzetgy¨oke, azaz σX := V (X). P´ elda. Egy aut´ok¨olcs¨onz˝o c´eg az elm´ult 20 h´et adatait ¨oszszegy˝ujtve az al´abbi t´abl´azatban foglalta ¨ossze a heti kik¨olcs¨onz¨ott aut´ok sz´am´at:
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
23
K¨olcs¨onz¨ott aut´ok Hetek sz´ama sz´ama (gyakoris´ag) 10 5 11 6 12 7 13 2 ¨ Osszesen: 20 Konvert´aljuk a t´abl´azat adatait u´gy, hogy val´osz´ın˝us´egeket kapjunk. Ezt mutatja a k¨ovetkez˝o t´abl´azat.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
24
K¨olcs¨onz¨ott aut´ok Val´osz´ın˝us´eg sz´ama 10 0.25 11 0.30 12 0.35 13 0.10 ¨ Osszesen: 1 Sz´am´ıtsuk ki a hetente kik¨olcs¨onz¨ott ´atlagos aut´osz´amot:
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
25
X µX = X · P (X) = (10)(0.25) + (11)(.30) + (12)(0.35) + (13)(0.10) = 11.3. Sz´am´ıtsuk ki a varianci´at: 2 σX
Toc
X
= [(X − µX )2 · P (X)] = 0.4225 + 0.0270 + 0.1715 + 0.2890 = 0.91.
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
26
Egy a k´ezi sz´am´ıt´asokban j´ol haszn´alhat´o ekvivalens formula a variancia kisz´am´ıt´as´ara: 2 σX =
X
[X 2 · P (X)] − µ2X .
P´ elda. Ha X egy kockadob´as eredm´eny´et jelenti, akkor sz´am´ıtsuk ki X varianci´aj´at ´es sz´or´as´at. A m´ultkor kisz´amoltuk, hogy µX = 3.5. Teh´at az utols´o formula szerint
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
2 σX =
X
27
[X 2 · P (X)] − µ2X
2 1 2 1 2 1 2 1 − (3.5)2 = 1 · + 2 · + ... + 5 · + 6 · 6 6 6 6 = 2.9
Ez´ert σX =
Toc
JJ
√
2.9 = 1.7.
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
28
4.4. A v´ arhat´ o´ ert´ ek ´ es a variancia tulajdons´ agai
Legyen X ´es Y val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, ´es a, b val´os sz´amok. Ekkor 1. M (X + Y ) = M (X) + M (Y ). 2. Ha X ´es Y f¨ uggetlenek, akkor V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
29
3. Ha Y = a · X + b akkor • µY = aµX + b; 2 • σY2 = a2 σX ;
• σY = |a|σX .
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: Diszkr´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
4.
30
Ha X1 , X2 , . . . , Xn f¨uggetlen val´osz´ın˝us´egi
v´altoz´ok, melyek varianci´aja azonos (V (X1 ) = V (X2 ) = . . . = V (Xn ) = σ 2 ), akkor V (X1 + X2 + . . . + Xn ) = n · σ 2 ´es D(X1 + X2 + . . . + Xn ) =
Toc
JJ
II
J
I
√
Back
n · σ.
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
31
5. N´ eh´ any fontos diszkr´ et eloszl´ as Diszkr´et val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o eloszl´asa: • a v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei, ´es • a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝us´egek. Vannak olyan eloszl´asok, amelyek igen sok gyakorlati probl´em´aval kapcsolatban el˝oker¨ultek, ez´ert az id˝ok sor´an nevet kaptak, ´es ma m´ar n´ev szerint ismertek. Amikor ilyen vagy olyan eloszl´ast eml´ıt¨unk, mindig eloszl´as t´ıpusr´ ol van sz´o, amelynek sok k¨ul¨onb¨oz˝o Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
32
tagja van. Egy t´ıpuson bel¨ul pedig az egyes konkr´et eloszl´asokat a param´ eterek jellemzik. 5.1. A binomi´ alis eloszl´ as
Ez az eloszl´as a val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asban nagyon fontos, mert a leggyakrabban haszn´alt, illetve felt´eteleeses mintav´ etel. zett mintav´etel a visszatev´ Ha egy olyan (v´eges vagy v´egtelen) popul´aci´ob´ol, amelyben egy bizonyos tulajdons´aggal rendelkez˝o egyedek ar´anya p, visszatev´essel kiv´alasztunk n eleToc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
33
met (,,egy n elem˝u mint´at vesz¨unk”), a mint´aban l´ev˝o, a tulajdons´aggal rendelkez˝o elemek X sz´ama olyan val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, amelynek lehets´eges ´ert´ekei szint´en a 0 ´es n k¨oz¨otti eg´esz sz´amok, egy k ´ert´ek (k = 0, 1, 2, ..., n) val´osz´ın˝us´ege pedig n k p (1 − p)n−k . P (X = k) = k Ekkor X-et n, p param´eter˝u binomi´ alis eloszl´ as´ u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´onak nevezz¨uk. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
34
Egy m´asik gyakori modell ugyancsak a binomi´alis eloszl´ashoz vezet. Nyilv´anval´o ugyanis, hogyha nszer (egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul) megism´etl¨unk egy k´ıs´erletet, amelyben egy benn¨unket ´erdekl˝o E esem´eny bek¨ovetkez´es´enek val´osz´ın˝us´ege p, ´es megsz´amoljuk, hogy az n megfigyel´es sor´an E h´anyszor k¨ovetkezett be, akkor egy binomi´alis eloszl´as´u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ohoz jutunk. N´emi sz´amol´as ut´an megkaphat´o, hogy 2 σX = np(1 − p).
µX = np, Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
35
P´ elda. Egy urn´aban 10 goly´o van, k¨oz¨ul¨uk 3 piros ´es 7 k´ ek. Legyen S az az esem´eny, hogy v´eletlenszer˝uen h´uzva egy goly´ot, az ´eppen piros. Ha visszatev´essel h´uzunk, akkor minden egyes alkalommal P (S) = 0.3. Ha mondjuk n = 20-szor h´uzunk, ´es X jel¨oli a piros goly´ok sz´am´at, akkor p´eld´aul
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
36
20 P (X = 5) = 0.35 (1 − 0.3)20−5 5 = 15504(0.35 )(0.715 ) = 0.1789. A v´arhat´o ´ert´ek ´es a variancia ekkor 2 σX = 20(0.3)(0.7) = 4.2.
µX = 20(0.3) = 6,
´ ´ VISSZATEVESES MINTAVETEL ´ ´ NOMIALIS ELOSZLAS Toc
JJ
II
J
I
Back
J
=
Doc
BI-
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
37
5.2. A hipergeometrikus eloszl´ as
Egy N egyedb˝ol ´all´o popul´aci´ob´ol, amelyben egy bizonyos tulajdons´aggal K egyed rendelkezik, egy n k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o elemb˝ol ´all´o mint´at vesz¨unk. Ekkor a mint´aban l´ev˝o, az adott tulajdons´aggal rendelkez˝o elemek X sz´ama val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o, amelynek lehets´eges ´ert´ekei a 0 ´es n k¨oz¨otti eg´esz sz´amok, egy k ´ert´ekhez (k = 0, 1, 2, ..., n) tartoz´o val´osz´ın˝us´eg pedig
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
P (X = k) =
38
K k
N −K n−k N n
.
Ezt az eloszl´ast hipergeometrikus eloszl´ asnak nevezz¨uk. A hipergeometrikus eloszl´asra K N −n K K . M (X) = n· , V (X) = ·n· · 1 − N N −1 N N Felismerhet˝o bizonyos hasonl´os´ag a binomi´alis eloszToc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
39
l´assal (ha p := K as N ), de a hipergeometrikus eloszl´ eset´en annak val´osz´ın˝us´ege, hogy az adott tulajdons´aggal rendelkez˝o elem j¨on ki, k´ıs´erletr˝ol k´ıs´erletre v´altozik. P´ elda. Tekints¨unk egy csomag francia k´arty´at. Ez 52 lapb´ol ´all, amelyek k¨oz¨ul 16 olyan van, amely nem sz´amot, hanem valamilyen figur´at tartalmaz. Egy embernek 10 lapot osztunk. Mennyi annak val´osz´ın˝us´ege, hogy ezek k¨oz¨ott pontosan 4 figura lesz?
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
40
Tudjuk, hogy ¨osszesen 52 egesm´odon oszt10 lehets´ 16 36 hatunk 10 lapot, ´es ezek k¨oz¨ott 4 6 olyan leoszt´as van, amely pontosan 4 figur´at tartalmaz. Teh´at 16 4
36 6
P (4 figura) =
52 10
.
´ NELK ´ ULI ¨ MINTAVETEL ´ VISSZATEVES = ´ HIPERGEOMETRIKUS ELOSZLAS
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
41
5.3. A Poisson-eloszl´ as
A Poisson-eloszl´as szoros kapcsolatban van a binomi´alis eloszl´assal. Egy X val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ot Poissoneloszl´ as´ unak nevez¨unk, ha lehets´eges ´ert´ekei a nem negat´ıv eg´eszek, ´es egy k ´ert´ekhez (k = 0, 1, 2, 3, ...) tartoz´o val´osz´ın˝us´eg e−λ λk P (X = k) = . k!
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
42
Itt λ pozit´ıv sz´am, az eloszl´as param´etere. A Poisson-eloszl´ast leggyakrabban olyan helyzetben haszn´alj´ak, ahol egy adott intervallumban bek¨ovetkez˝o esem´enyek sz´am´at vizsg´alj´ak. P´eld´aul: • egy telefonkezel˝o ´altal fogadott h´ıv´asok sz´ama egy 10 perces id˝ointervallumban, • egy titk´arn˝o ´altal oldalank´ent okozott g´epel´esi hib´ak sz´ama. A Poisson-eloszl´ast gyakran olyan binomi´alis eloszToc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
43
l´as´u v´altoz´ok k¨ozel´ıt´es´ere haszn´alj´ak, amelyek n param´etere igen nagy, p param´etere pedig igen kicsi. Teh´at ha egy nagyon ritka esem´eny bek¨ovetkez´eseit sz´amoljuk egy k´ıs´erlet nagyon nagysz´ am´ u ism´ etl´ ese sor´an, akkor ennek a v´altoz´onak az eloszl´asa j´ol k¨ozel´ıthet˝o a Poisson-eloszl´assal. Matematikailag a λ param´eter˝u Poisson-eloszl´as binomi´alis eloszl´asok olyan sorozat´anak a hat´ar´ert´eke, amelyben az np szorzatok sorozata λ-hoz tart.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
Egy
λ
param´eter˝u
44
Poisson-eloszl´as´u
X
val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ora M (X) = λ,
Toc
JJ
II
J
V (X) = λ.
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: N´eh´ any fontos diszkr´et eloszl´ as
45
P´ elda. Budapest egyik ker¨ulet´eben a t´eves t˝uzriaszt´asok ´atlagos sz´ama 2.1 naponta. Jel¨olje X a t´eves riaszt´asok sz´am´at egy adott napon. Mennyi annak val´osz´ın˝us´ege, hogy egy adott napon 4 t´eves riaszt´as t¨ort´enik? Nyilv´an X eloszl´asa Poisson, param´etere λ = 2.1. Ez´ert 2.14 e−2.1 P (X = 4) = = 0.0992. 4! Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: Folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
46
6. Folytonos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok Vannak olyan v´eletlen v´altoz´ok is, amelyek ´ert´ekk´eszlete a sz´amegyenes egy folytonos (v´eges vagy v´egtelen) intervalluma, ´es ´ıgy lehets´eges ´ert´ekei nem megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sokan vannak. P´eld´aul: (a) egy kos´arlabda j´at´ekos magass´aga (b) egy eb´ed ut´ani szieszta id˝otartama. Egy ilyen v´altoz´onak valamennyi lehets´eges ´ert´eke 0 val´osz´ın˝us´eg˝u, pozit´ıv val´osz´ın˝us´egek csak ´ert´ektartom´anyokhoz tartoznak (az egyszer˝us´eg kedv´e´ert Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: Folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
47
gondolhatunk p´eld´aul intervallumokra). Az ilyen v´altoz´okat folytonos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ oknak nevezz¨uk. Folytonos v´altoz´o eloszl´as´anak megad´as´ahoz az ¨osszes lehets´eges tartom´any val´osz´ın˝us´eg´et meg kellene adni, ami gyakorlatilag lehetetlen. Ez´ert folytonos v´altoz´okra egy olyan f¨uggv´enyt szok´as megadni, amelynek seg´ıts´eg´evel b´armely tartom´anyba es´es val´osz´ın˝us´ege megkaphat´o.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: Folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
48
Egy folytonos val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ enye egy olyan f¨uggv´eny, amelynek f¨uggv´enyg¨orbe alatti ter¨ulete (integr´alja) b´armely tartom´anyon egyenl˝o a v´altoz´onak ahhoz a tartom´anyhoz tartoz´o val´osz´ın˝us´eg´evel.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: Folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
49
Z
x2
P (x1 < X < x2 ) =
f (x)dx. x1
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: Folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
50
A val´osz´ın˝us´eg tulajdons´agaib´ol k¨ovetkezik, hogy egy s˝ur˝us´egf¨uggv´eny • sehol sem negat´ıv, • a teljes sz´amegyenesen az integr´alja 1. L´assuk most a diszkr´et v´altoz´okra eddig megismert fogalmak ´ertelmez´es´et folytonos v´altoz´okra! 6.1. V´ arhat´ o´ ert´ ek, variancia, medi´ an ´ es m´ odusz
A folytonos esetben az ¨osszegz´esnek, ´es ´ıgy az ´atal´ as a megfelel˝oje. Ez´ert a lagol´asnak is az integr´ Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: Folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok
51
v´arhat´o ´ert´eket ´es a sz´or´asn´egyzetet is integr´alk´ent defini´aljuk. Legyen f az X v´altoz´o s˝ur˝us´egf¨uggv´enye. Z
∞
µX := M (X) :=
xf (x)dx. −∞
2 σX := M ((X − µX )2 ).
Egy folytonos eloszl´as´u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o m´ odusza olyan x ´ert´ek, ahol a v´altoz´o s˝ur˝us´egf¨uggv´eny´enek (lok´alis) maximuma van. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
52
Folytonos v´altoz´okra sem mindig egy´ertelm˝u, az eloszl´as itt is lehet bimod´alis vagy multimod´alis. A medi´ an olyan xmed ´ert´ek, amelyre P (X < xmed ) = P (X > xmed ) = 1/2. 7. A norm´ alis eloszl´ as A legfontosabb, a gyakorlatban leggyakrabban haszalis eloszl´ as. Ez is n´alt folytonos eloszl´as a norm´ (mint a megismert diszkr´et eloszl´asok) egy eloszl´ as csal´ ad, tagjai k´et param´eterrel jellemezhet˝ok. A Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
53
s˝ur˝us´egf¨uggv´enyt az al´abbi k´eplet ´ırja le (a param´eterek µ ´es σ): f (x) =
σ·
1 √
− (x−µ) 2σ 2
2π
2
·e
.
A s˝ur˝us´egf¨uggv´eny g¨orb´eje az u´gynevezett harangg¨ orbe vagy Gauss-g¨ orbe.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
Toc
JJ
II
54
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
55
A norm´alis eloszl´as param´etereinek jelent´ese: • µ az eloszl´as k¨ oz´ ep´ ert´ eke, m´eghozz´a t¨obbf´ele ´ertelemben is, a norm´alis eloszl´asn´al ugyanis a g¨orbe szimmetri´aja ´es unimodalit´asa miatt egybeesik a m´odusz, a medi´an ´es a v´arhat´o ´ert´ek; • σ az eloszl´as sz´ or´ asa. Jel¨ol´es: X ∼ N (µ, σ 2 ) olyan val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ot jel¨ol, amely norm´alis eloszl´as´u µ v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ 2 varianci´aval.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
56
Figyelj¨uk meg a k¨ovetkez˝o ´abr´an, hogy kisebb sz´or´as a v´arhat´o ´ert´ek k¨or¨ul jobban koncentr´al´od´o eloszl´ast jelent.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
57
K¨ul¨onb¨oz˝o v´arhat´o ´ert´ek, azonos sz´or´as:
K¨ul¨onb¨oz˝o v´arhat´o ´ert´ek ´es sz´or´as:
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
58
A norm´alis eloszl´as tov´abbi tulajdons´agai:
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
59
7.1. A standard norm´ alis eloszl´ as
A norm´alis eloszl´asok csal´adj´anak µ = 0, σ = 1 param´eter˝u tagj´at standard norm´ alis eloszl´ asnak nevezik. Eloszl´ast´abl´azatot csak ehhez k´esz´ıtenek, mert a t¨obbi mind egyszer˝uen visszavezethet˝o a standard norm´alisra. Igaz ugyanis a k¨ovetkez˝o.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
60
Ha X ∼ N (µ, σ 2 ), akkor b´armely, bel˝ole line´aris transzform´aci´oval sz´armaz´o Y = aX + b v´altoz´o is norm´alis eloszl´as´u lesz, m´eghozz´a aµ + b ´es |a|σ param´eterekkel. Jelben: Y ∼ N (aµ + b, (aσ)2 ) P´eld´aul az Y = 2X +3 v´altoz´o param´eterei 2µ+3 ´es 2σ, az Y = 5X v´altoz´o´e 5µ ´es 5σ, az Y = 0.1X −2 v´altoz´o´e 0.1µ − 2 ´es 0.1σ, stb. Ennek a tulajdons´agnak a felhaszn´al´as´aval egy X ∼ N (µ, σ 2 ) val´osz´ın˝us´egi v´altoz´ot az al´abbi line´aris transzform´aci´oval transzform´alhatunk egy Z standard norm´alis eloszl´as´u v´altoz´ov´a: Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
61
Z=
X −µ . σ
Ezt a transzform´aci´ot standardiz´ al´ asnak nevezik. Gyakran ennek a ford´ıtottj´ara is sz¨uks´eg van: egy standard norm´alis Z v´altoz´ob´ol az al´abbi line´aris transzform´aci´oval kaphatunk X ∼ N (µ, σ 2 ) v´altoz´ot: X = σZ + µ.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
62
P´ elda. Egy p´ekn´el a 2 kg-os kenyerek t¨omege norm´alis eloszl´as´u val´osz´ın˝us´egi v´altoz´o µ = 2 kg v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ = 0.03 kg sz´or´assal. a) Mennyi a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy tal´alomra kiv´alasztott keny´er t¨omege kevesebb 1.95 kg-n´al? b) Mennyi a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy tal´alomra kiobb 1.98 kg-n´al? v´alasztott keny´er t¨omege t¨ c) Milyen – a v´arhat´o ´ert´ekre, azaz 2 kg-ra szimmetrikus – hat´arok k¨oz¨ott van a kenyerek 90%-a? Jel¨olj¨uk X-szel a tal´alomra kiv´alasztott keny´er t¨oToc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
63
meg´et. Az a) feladatban a P (X < 1.95), a b)-ben a P (X > 1.98) val´osz´ın˝us´eget kell meghat´aroznunk, a c) feladatban pedig olyan h ´ert´eket kell tal´alnunk, amelyre P (2 − h < X < 2 + h) = 0.9. a) Standardiz´aljuk X-et: Z = (X − 2)/0.03 standard norm´alis eloszl´as´u. Nyilv´anval´o, hogy P (X < 1.95) = P (Z < (1.95 − 2)/0.03) = P (Z < −1.67) = P (Z > 1.67) (ez ut´obbi a standard norm´alis eloszl´as szimmetri´aja miatt). Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
64
Ez a val´osz´ın˝us´eg a standard norm´alis eloszl´as t´abl´azat´ab´ol kiolvashat´o. A jegyzet v´eg´en szerepl˝o t´abl´azatban a P (Z > z) alak´u val´osz´ın˝us´egek tal´alhat´ok.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
Toc
JJ
II
65
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
66
A t´abl´azatot a t¨om¨ors´eg kedv´e´ert u´gy k´esz´ıtett´ek, hogy a m´asodik tizedesjegy az oszlopok fejl´ec´eben szerepel, vagyis az 1.67 ´ert´ekhez tartoz´o val´osz´ın˝us´eget az 1.6 ´ert´ek sor´anak ´es a 0.07 oszlop´anak a metsz´espontj´aban tal´aljuk. A t´abl´azatban itt 0.047 ´all, teh´at P (X < 1.95) = 0.047. Ennyi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy egy keny´er 1.95 kg-n´al kisebb t¨omeg˝u. b) Standardiz´al´assal kezd¨unk: Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
67
P (X > 1.98) = P (Z > (1.98 − 2)/0.03). Ezut´an a kapott esem´enyt olyan alakra hozzuk, amelynek val´osz´ın˝us´ege a t´abl´azatban szerepel: P (Z > (1.98 − 2)/0.03) = P (Z > −0.67) = P (Z < 0.67) = 1 − P (Z > 0.67). A t´abl´azatban a 0.6 sor´anak ´es a 0.07 oszlop´anak metsz´espontj´aban a 0.251 ´all, teh´at P (X > 1.98) = 1 − 0.251 = 0.749. Ennyi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy egy keny´er t¨omege Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
68
t¨obb, mint 1.98 kg. c) Ha olyan, a 2 kg-ra szimmetrikus hat´arokat keres¨unk, amelyek k¨oz¨ott van a kenyerek 90%-a, akkor olyan h ´ert´eket kell tal´alnunk, amelyre P (2 − h < X < 2 + h) = 0.9. Erre a h-ra a szimmetria miatt P (X > 2 + h) = 0.05. A megold´as alap¨otlete az, hogy keress¨unk a standard norm´alis eloszl´as t´abl´azat´ab´ol egy olyan v-t, amelyre P (Z > v) = 0.05, majd ebb˝ol a stanToc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
69
dardiz´al´as ford´ıtott transzform´aci´oj´aval hat´arozzuk meg a keresett h-t. Megfelel˝o v-t u´gy tal´alhatunk a t´abl´azatban, hogy a t´abl´azat belsej´eben, ahol a val´osz´ın˝us´egek szerepelnek, megkeress¨uk a 0.05-¨ot (vagy a hozz´a legk¨ozelebbi val´osz´ın˝us´eget), majd a t´abl´azat sz´el´en leolvassuk a v ´ert´ek´et (az els˝o tizedesig a sor elej´en, a m´asodik tizedest pedig az oszlop tetej´en). A t´abl´azatban a 0.05-h¨oz legk¨ozelebbi k´et val´osz´ın˝us´eg a 0.049 ´es a 0.051, amelyekhez az 1.65, illetve az 1.64 ´ert´ekeket olvashatjuk le. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
70
V´alasszuk mondjuk az 1.65-¨ot. Ezzel teh´at P (Z > 1.65) = 0.049, ahonnan P (−1.65 < Z < 1.65) = 0.902. A Z-b˝ol az X = 0.03Z + 2 transzform´aci´oval ´all´ıthatunk el˝o 2 v´arhat´o ´ert´ek˝u, 0.03 sz´or´as´u norm´alis eloszl´as´u v´altoz´ot. A (−1.65 < Z < 1.65) ´es a (2 − 1.65 · 0.03 < X < 2 + 1.65 · 0.03) esem´enyek pontosan ugyanakkor k¨ovetkeznek be, mivel az egyenl˝otlens´egek mindk´et oldal´at ugyan´ugy transz-
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 7: A norm´ alis eloszl´ as
71
form´altuk. Ez´ert 0.902 = = = =
P (−1.65 < Z < 1.65) P (2 − 1.65 · 0.03 < X < 2 + 1.65 · 0.03) P (2 − 0.0495 < X < 2 + 0.0495) P (1.9505 < X < 2.0495),
teh´at a kenyereknek kb. 90%-a 1.9505 ´es 2.0495 kg k¨oz´e esik.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
