´ Szent Istv´ an Egyetem Allatorvos-tudom´ anyi Kar Biomatematikai ´ es Sz´ am´ıt´ astechnikai Tansz´ ek
Biomatematika 15.
Nemparam´ eteres pr´ ob´ ak Fodor J´ anos
c
[email protected] Copyright Last Revision Date: November 4, 2006
Version 1.25
Table of Contents 1 Nemparam´ eteres pr´ ob´ ak: Bevezet´ es
3
1.1
Nemparam´eteres pr´ob´ak el˝onyei . . .
4
1.2
Nemparam´eteres pr´ob´ak h´atr´anyai . .
5
2 Az el˝ ojel pr´ oba 3 A Wilcoxon-f´ ele pr´ ob´ ak
6 14
4 A Wilcoxon-f´ ele rang-¨ osszeg pr´ oba (MannWhitney teszt) 16
Table of Contents (cont.)
3
5 A Wilcoxon-f´ ele el˝ ojeles rangpr´ oba
21
6 A Kruskal-Wallis teszt
30
¨ 7 Osszehasonl´ ıt´ as
37
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 1: Nemparam´eteres pr´ ob´ ak: Bevezet´es
4
1. Nemparam´ eteres pr´ ob´ ak: Bevezet´ es Az eddigi statisztikai pr´ob´akat (pl. z, t, F ) param´eteres pr´ob´aknak h´ıvj´ak. Ezek a vizsg´alt popul´aci´o ismeretlen param´etereire vonatkoznak. A popul´aci´o eloszl´as´ar´ol is felt´etelez´essel ´elt¨unk (normalit´as). Mi van akkor, ha a popul´aci´o eloszl´asa nem norm´alis? Ilyen esetek kezel´es´ere szolg´alnak a nemparam´ eteres pr´ ob´ ak (nonparametric statistics, vagy distribution-free statistics). Olyan hipot´eziseket is vizsg´alhatunk seg´ıts´eg¨ukkel, amelyekben nem szerepel a popul´aci´o egyik param´etere sem. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 1: Nemparam´eteres pr´ ob´ ak: Bevezet´es
5
1.1. Nemparam´ eteres pr´ ob´ ak el˝ onyei
1. Olyankor is alkalmazhat´ok egy popul´aci´o param´etereire, amikor a popul´aci´o eloszl´asa nem norm´alis. 2. Akkor is haszn´alhat´ok, amikor az adatok kategorikusak vagy ordin´alisak. 3. Popul´aci´o param´etereket nem tartalmaz´o hipot´ezisek vizsg´alat´ara is alkalmasak. 4. A legt¨obb esetben a sz´am´ıt´asok egyszer˝ubbek, mint a param´eteres pr´ob´ak eset´en. 5. K¨onnyebben meg´erthet˝ok. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 1: Nemparam´eteres pr´ ob´ ak: Bevezet´es
6
1.2. Nemparam´ eteres pr´ ob´ ak h´ atr´ anyai
1. Kev´esb´e ´erz´ekenyek, mint a parametrikus m´odszerek, ha ez ut´obbiak alkalmaz´asi felt´etelei fenn´allnak. Nagyobb k¨ul¨onbs´eg kell a null hipot´ezis elutas´ıt´as´ahoz. 2. Kevesebb inform´aci´ot haszn´alnak, mint a param´eteres tesztek. 3. Kev´esb´e hat´ekonyak, mint param´eteres megfelel˝oj¨uk, ha ez ut´obbiak alkalmaz´asi felt´etelei fenn´allnak. Azaz, nagyobb mint´ara van sz¨uks´eg az inform´aci´oveszt´es miatt. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Az el˝ ojel pr´ oba
7
Ezek alapj´an ´erdemes a param´eteres teszteket alkalmazni, ha a felt´etelei fenn´allnak. Ha nem, haszn´aljuk a megfelel˝o nemparam´eteres tesztet. 2. Az el˝ ojel pr´ oba Egy popul´aci´o medi´ anj´ ara vonatkozik. A null hipot´ezis¨unk: a medi´an = m0 . Tekints¨uk sorra a megfigyel´eseinket. Ha egy adat nagyobb, mint m0 , rendelj¨uk hozz´a a + el˝ojelet; ha kisebb, a − el˝ojelet; ha egyenl˝o m0 -lal, akkor 0-t. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Az el˝ ojel pr´ oba
8
Ezut´an ¨osszehasonl´ıtjuk a + ´es − el˝ojelek sz´am´at. Ha igaz a null hipot´ezis, akkor a + ´es − el˝ojelek sz´ama nagyj´ab´ol egyenl˝o. Ha nem igaz a null hipot´ezis, valamelyik el˝ojelb˝ol ar´anytalanul sok van. A pr´obastatisztika (megfigyel´esek sz´ama ≤ 25): a + ´es − el˝ojelek sz´ama k¨oz¨ul a kisebb Kritikus ´ert´ekek k¨ul¨on t´abl´azatban. P´ elda. Egy ´allateledelt ´arus´ıt´o u¨zlet tulajdonosa u´gy gondolja, hogy naponta 40 doboz konzervet ad el. Egy 20 nap elad´asi adataira vonatkoz´o v´eletlen minta a k¨ovetkez˝o: Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Az el˝ ojel pr´ oba
9
Tesztelj¨uk a tulajdonos sejt´es´et α = 0.05 szinten. ep´ es: a hipot´ezis ´es az alternat´ıv Megold´as. 1. l´ hipot´ezis H0 : medi´an = 40;
H1 : medi´an 6= 40.
2. l´ ep´ es: A kritikus ´ert´ek meghat´aroz´asa.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Az el˝ ojel pr´ oba
10
Az ¨osszes + ´es − el˝ojel sz´ama: n = 18; α = 0.05; k´etoldali ellenhipot´ezis. Kritikus ´ert´ek: 4 (l´asd a k¨ovetkez˝o t´abl´azatot). 3. l´ ep´ es: A pr´obastatisztika ´ert´ek´enek meghat´aroz´asa. 3 db +, 15 db −, ´ıgy az ´ert´ek a kisebbik: 3. 4. l´ ep´ es: A d¨ont´es. Mivel 3 < 4, ´ıgy elvetj¨uk a null hipot´ezist. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Az el˝ ojel pr´ oba
Toc
JJ
II
11
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Az el˝ ojel pr´ oba
12
A pr´obastatisztika (megfigyel´esek sz´ama > 25): z=
(X + 0.5) − n/2 √ , n/2
ahol X: a + ´es − el˝ojelek sz´ama k¨oz¨ul a kisebb, n: a mintanagys´ag. A kritikus ´ert´eket a standard norm´alis eloszl´as t´abl´azat´ab´ol hat´arozzuk meg. P´ elda. Egy mos´og´epgy´art´o azt ´all´ıtja, hogy g´epeinek ´elettartama legal´abb 8 ´ev. Egy 50 elem˝u v´eletlen mint´aban 21 olyan g´ep volt, amely 8 ´evn´el t¨obbet Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Az el˝ ojel pr´ oba
13
b´ırt ki. α = 0.05 szinten ez elegend˝o-e a gy´art´o ´all´ıt´as´anak elutas´ıt´as´ahoz? Megold´as. 1. l´ ep´ es: a hipot´ezis ´es az alternat´ıv hipot´ezis H0 : MD ≥ 8;
H1 : MD < 8
2. l´ ep´ es: A kritikus ´ert´ek meghat´aroz´asa. n = 50, α = 0.05, egyoldali ellenhipot´ezis, ´ıgy a kritikus ´ert´ek −1.65 3. l´ ep´ es: A pr´obastatisztika ´ert´ek´enek meghat´aroz´asa.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 2: Az el˝ ojel pr´ oba
z=
14
(X + 0.5) − n/2 (21 + 0.5) − 50/2 √ √ = = −0.99. n/2 50/2
4. l´ ep´ es: A d¨ont´es. Mivel −0.99 > −1.65, ez´ert nem utas´ıtjuk el a null hipot´ezist.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 3: A Wilcoxon-f´ele pr´ ob´ ak
15
3. A Wilcoxon-f´ ele pr´ ob´ ak Az el˝ojelpr´oba nem veszi figyelembe az adatok nagys´ag´at. 1 vagy 100 ponttal a medi´an alatt ugyan´ugy egy − el˝ojelet rendel hozz´a egy megfigyel´eshez. A Wilcoxon-f´ele pr´ob´ak a medi´ant´ol val´o elt´er´es nagys´ag´at a rang seg´ıts´eg´evel veszik figyelembe. A Wilcoxon-f´ele rang-¨osszeg pr´oba f¨uggetlen mint´akra, a Wilcoxon-f´ele el˝ojeles rang pr´oba pedig nem f¨uggetlen mint´akra vonatkozik. Mindk´et pr´oba eloszl´asok ¨osszehasonl´ıt´as´ara szolg´al. A param´eteres megfelel˝oik a z-pr´oba ´es t-pr´oba f¨uggetlen mint´akra, Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 3: A Wilcoxon-f´ele pr´ ob´ ak
16
illetve a nem-f¨uggetlen mint´akra vonatkoz´o t-pr´oba. Mindk´et pr´ob´aban vessz¨uk a k´et minta egyes´ıt´es´et, majd rangsoroljuk az adatokat. Ha a null hipot´ezis (a k´et popul´aci´o azonos eloszl´as´u) igaz, akkor az egyes mint´ak adatait nagyj´ab´ol azonos m´odon rangsoroljuk. Vagyis, amikor a rangokat a k´et mint´ara k¨ul¨on-k¨ul¨on ¨osszeadjuk, akkor e k´et ¨osszeg nagyj´ab´ol megegyezik. Ha nagy az elt´er´es a k´et rang¨osszeg k¨oz¨ott, akkor a null hipot´ezist elvetj¨uk. A rang kisz´am´ıt´asa: az n db adatot n¨ovekv˝o sorrendbe rakjuk. A lekisebbhez az 1, a k¨ovetkez˝oh¨oz Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: A Wilcoxon-f´ele rang-¨ osszeg pr´ oba (Mann-Whitney teszt)
17
a 2, stb, a legnagyobbhoz az n sz´amot rendelj¨uk hozz´a. Holtverseny eset´en a sorsz´amok ´atlag´at. P´ elda. Ha az adatok a 3, 6, 6, 8, 10 sz´amok, akkor a 2. ´es 3. helyen holtverseny van. Teh´at mindk´et 6-oshoz a (2 + 3)/2 = 2.5 sz´amot rendelj¨uk hozz´a. 4. A Wilcoxon-f´ ele rang-¨ osszeg pr´ oba (MannWhitney teszt) Feltev´esek: a k´et minta egym´ast´ol f¨uggetlen; mindk´et mint´aban legal´abb 10 adat van. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: A Wilcoxon-f´ele rang-¨ osszeg pr´ oba (Mann-Whitney teszt)
18
A pr´ob´ahoz sz¨uks´eges formul´ak: z=
R − µR , σR
ahol n1 (n1 + n2 + 1) , 2 r n1 n2 (n1 + n2 + 1) • σR = , 12 • R = a k´et rang-¨osszeg k¨oz¨ul a kisebbik, • µR =
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: A Wilcoxon-f´ele rang-¨ osszeg pr´ oba (Mann-Whitney teszt)
19
• n1 = a kisebbik mintanagys´ag, • n2 = a nagyobbik mintanagys´ag, P´ elda. K´et csoport hallgat´oi biomatematika z´arthelyit ´ırtak. Az egyes csoportokhoz tartoz´o egyes hallgat´oknak a k¨ovetkez˝o id˝ore volt sz¨uks´eg¨uk az els˝o feladat megold´as´ahoz: A
15
18
16
17
13
24
22
17
19
21
26
B
14
9
16
19
10
12
11
8
15
18
25
28
´ Atlag: 19.67 ´ Atlag: 14.27
α = 0.05 szinten van-e k¨ul¨onbs´eg a k´et csoport Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: A Wilcoxon-f´ele rang-¨ osszeg pr´ oba (Mann-Whitney teszt)
20
sebess´ege k¨oz¨ott? Megold´as: H0 : van k¨ul¨onbs´eg; H1 : nincs k¨ul¨onbs´eg. Kritikus ´ert´ek: k´etoldali ellenhipot´ezis; a standard norm´alis eloszl´as t´abl´azat´ab´ol a kritikus ´ert´ekek: −1.96 ´es +1.96. (a) Csin´aljunk egy csoportot az adatokb´ol, ´es rangsoroljuk ezt a 23 adatot. Id˝ o
8
9
10
11
12
13
14
15
15
16
16
17
Csoport
B
B
B
B
B
A
B
A
B
A
B
A
Rang
1
2
3
4
5
6
7
8.5
8.5
10.5
10.5
12.5
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 4: A Wilcoxon-f´ele rang-¨ osszeg pr´ oba (Mann-Whitney teszt)
21
Id˝ o
17
18
18
19
19
21
22
24
25
26
28
Csoport
A
B
A
A
B
A
A
A
B
A
A
Rang
12.5
14.5
14.5
16.5
16.5
18
19
20
21
22
23
(b) Adjuk ¨ossze a kisebb l´etsz´am´u csoport (B) tagjainak rangjait. Ez 93. (c) Helyettes´ıts¨unk be a fenti k´epletekbe: n1 (n1 + n2 + 1) 11 · (11 + 12 + 1) = = 132. µR = 2 2 r n1 n2 (n1 + n2 + 1) √ σR = = 264 = 16.2. 12 R − µR 93 − 132 z= = = −2.41. σR 16.2 Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
22
D¨ont´es: mivel −2.41 < −1.96, ´ıgy a null hipot´ezist elutas´ıtjuk. Teh´at van k¨ul¨onbs´eg a megold´asi id˝ok k¨oz¨ott a k´et csoportban. 5. A Wilcoxon-f´ ele el˝ ojeles rangpr´ oba Amikor k´et nem-f¨uggetlen mint´at vizsg´alunk (p´eld´aul ugyanazon egyedeket egy kezel´es el˝ott ´es ut´an), a p´aros t-pr´oba helyett alkalmazhat´o az el˝ojeles rangpr´oba (normalit´ast nem kell feltenn¨unk). Az elj´ar´ast az al´abbi p´eld´an kereszt¨ul mutatjuk be. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
23
P´ elda. Egy nagy ´aruh´az igazgat´oja szeretn´e elej´et venni az elszaporodott lop´asoknak, ez´ert megn¨ovelte a biztons´agi szem´elyzet l´etsz´am´at. Az ezt megel˝oz˝o, valamint az ezt k¨ovet˝o 7 nap lop´asi adatait l´atjuk a k¨ovetkez˝o t´abl´azatban.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
24
Lop´asok sz´ama Nap El˝otte Ut´ana H´etf˝o 7 5 Kedd 2 3 Szerda 3 4 Cs¨ut¨ort¨ok 6 3 P´entek 5 1 Szombat 8 6 Vas´arnap 12 4 Al´at´amasztj´ak-e a fenti adatok azt, hogy szignifik´ans k¨ul¨onbs´eg van a szigor´ıt´as el˝otti ´es ut´ani lop´asok Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
25
sz´ama k¨oz¨ott (α = 0.05)? Megold´as. H0 : Nincs k¨ul¨onbs´eg.
H1 : Van k¨ul¨onbs´eg.
Keress¨uk meg a kritikus ´ert´eket a k¨ovetkez˝o speci´alis t´abl´azatb´ol. Mivel n = 7, α = 0.05, k´etoldali ellenhipot´ezis, a kritikus ´ert´ek 2.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
Toc
JJ
II
J
I
26
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
27
(a) K´esz´ıts¨uk el az al´abbi t´abl´azatot: El˝ otte
Ut´ ana
El˝ ojeles
Nap
XB
XA
D = XB − XA
|D|
Rang
rang
H´etf˝ o
7
5
2
2
3.5
3.5
Kedd
2
3
−1
1
1.5
−1.5
Szerda
3
4
−1
1
1.5
−1.5
Cs¨ ut¨ ort¨ ok
6
3
3
3
5
5
P´entek
5
1
4
4
6
6
Szombat
8
6
2
2
3.5
3.5
Vas´ arnap
12
4
8
8
7
7
(b) Sz´am´ıtsuk ki a k¨ul¨onbs´egeket (el˝otte − ut´ana). (c) Vegy¨uk a k¨ul¨onbs´egek abszol´ut´ert´ek´et. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
28
(d) Rakjuk n¨ovekv˝o sorrendbe az abszol´ut´ert´ekeket, ´es sz´am´ıtsuk ki a rangokat. (e) A rangoknak adjunk el˝ojelet a k¨ul¨onbs´egek el˝ojeleinek megfelel˝oen. (f) Sz´am´ıtsuk ki a pozit´ıv, illetve a negat´ıv rangok ¨osszeg´et: pozit´ıv rangok ¨osszege: +25 negat´ıv rangok ¨osszege: −3 (g) A pr´obastatisztika ´ert´eke e k´et ¨osszeg abszol´ut´ert´eke k¨oz¨ul a kisebbik, azaz ws = 3 Elutas´ıtjuk a nullhipot´ezist, ha a pr´obastatisztika Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
29
´ert´eke kisebb vagy egyenl˝o a kritikus ´ert´ekn´el; most 3 > 2, ez´ert elfogadjuk a nullhipot´ezist. Vagyis, a biztons´agi emberek sz´am´anak n¨ovel´ese nem cs¨okkentette a lop´asok sz´am´at. Ami´ert e pr´oba m˝uk¨odik: Ha t´enyleg van cs¨okken´es, akkor a k¨ul¨onbs´egek legt¨obbje pozit´ıv; a n´eh´any negat´ıv k¨ul¨onbs´eg abszol´ut´ert´eke viszont val´osz´ın˝uleg kicsi, kisebb a kritikus ´ert´ekn´el. Ha nincs cs¨okken´es, akkor n´eh´any napon pozit´ıv, n´eh´any napon negat´ıv a k¨ul¨onbs´eg; a pozit´ıv ranToc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 5: A Wilcoxon-f´ele el˝ ojeles rangpr´ oba
30
gok ¨osszege, valamint a negat´ıv rangok ¨osszeg´enek abszol´ut´ert´eke nagyj´ab´ol egyenl˝o. A kett˝o k¨oz¨ul a kisebbik v´arhat´oan m´eg mindig nagyobb lesz a kritikus ´ert´ekn´el. Ha n ≥ 30, akkor a norm´alis eloszl´assal k¨ozel´ıtj¨uk a Wilcoxon statisztika eloszl´as´at: ws − z=q
n(n+1) 4
,
n(n+1)(2n+1) 24
ahol n azon p´arok sz´ama, ahol a k¨ul¨onbs´eg nem Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: A Kruskal-Wallis teszt
31
nulla, ws az el˝ojeles rang-¨osszegek abszol´ut´ert´ekei k¨oz¨ul a kisebbik. 6. A Kruskal-Wallis teszt H´arom vagy t¨obb ´atlag ¨osszehasonl´ıt´as´ara szolg´al. Persze, az F pr´oba is; de ennek alkalmaz´as´anak felt´etele, hogy a popul´aci´ok norm´alis eloszl´as´uak, ´es a sz´or´asok egyenl˝ok. Ha e felt´etelek nem teljes¨ulnek, akkor ´erdemes a Kruskal-Wallis pr´ob´at alkalmazni. Minden egyes minta elemsz´ama legal´abb 5 kell legyen. Ekkor az eloszl´ast k¨ozel´ıthetj¨uk egy χ2 eloszl´assal Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: A Kruskal-Wallis teszt
32
(d.f. = k − 1, ahol k a csoportok sz´ama). Ez a teszt is rangokat haszn´al. Az ¨osszes adatot egyben tekintj¨uk, majd rangsoroljuk ezeket. Ezut´an a rangokat sz´etv´alogatjuk, ´es az al´abbi H formula ´ert´ek´et kisz´am´ıtjuk. Ez a rangok sz´or´as´at k¨ozel´ıti. Ha a mint´ak k¨ul¨onb¨oz˝o popul´aci´okb´ol sz´armaznak, akkor a rang-¨osszeg is k¨ul¨onb¨oz˝o lesz, ´es a H ´ert´ek nagy lesz. Ez´ert a null hipot´ezist (az ´atlagok egyenl˝ok) elutas´ıtjuk, ha a H ´ert´eke el´eg nagy. Ha a mint´ak azonos popul´aci´ob´ol sz´armaznak, a Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: A Kruskal-Wallis teszt
33
rang-¨osszegek nagyj´ab´ol egyenl˝oek lesznek, ´es a H ´ert´ek kicsi lesz. Ekkor a null hipot´ezist elfogadjuk. Ez mindig jobboldali teszt. A kritikus ´ert´ekeket a χ2 eloszl´as t´abl´azat´ab´ol vessz¨uk (d.f. = k − 1). A pr´obastatisztika: 12 H= N (N + 1)
R12 R22 R2 + + ... + k n1 n2 nk
− 3(N + 1),
ahol Ri az i-edik minta rang-¨osszege, ni az i-edik minta nagys´aga, N = n1 + n2 + . . . + nk , k = a csoportok sz´ama. Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: A Kruskal-Wallis teszt
34
P´ elda. H´aromf´ele reggeli ital literenk´enti k´aliumtartalm´at tesztelt´ek. Az adatok:
Van-e elegend˝o indokunk annak elutas´ıt´as´ara, hogy mindegyik fajta ugyanannyi k´aliumot tartalmaz? Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: A Kruskal-Wallis teszt
35
Megold´as. H0 : nincs elt´er´es a k´aliumtartalmak k¨oz¨ott; H1 : van elt´er´es. A kritikus ´ert´ek: 5.991 (χ2 t´abl´azat, d.f. = k −1 = 2). A pr´obastatisztika ´ert´ek´enek kisz´am´ıt´asa: (a) Az ¨osszes adatot rendezz¨uk n¨ovekv˝o sorrendbe ´es hat´arozzuk meg a rangokat:
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: A Kruskal-Wallis teszt
Toc
JJ
II
J
36
I
Back
J
Doc
Doc
I
Section 6: A Kruskal-Wallis teszt
37
(b) Mindegyik mint´ara sz´am´ıtsuk ki a rang-¨osszegeket. A: 15, B: 53, C: 52. (c) Helyettes´ıts¨unk be a formul´aba: H = 9.38 (d) A d¨ont´es: mivel a tesztstatisztika ´ert´eke nagyobb a kritikus ´ert´ekn´el (9.38 > 5.991), ez´ert elutas´ıtjuk a null hipot´ezist. Teh´at az egyes italok nem ugyanannyi k´aliumot tartalmaznak.
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
¨ Section 7: Osszehasonl´ ıt´ as
38
¨ 7. Osszehasonl´ ıt´ as Nemparam´ eteres
Param´ eteres
Felt´ etelek
El˝ojel
z vagy t
Egy minta
Wilcoxon rang-¨ osszeg
z vagy t
K´et f¨ uggetlen minta
Wilcoxon el˝ojeles rang
t
K´et ¨osszef¨ ugg˝o minta
Kruskal-Wallis
ANOVA
Legal´abb 3 f¨ uggetlen minta
Toc
JJ
II
J
I
Back
J
Doc
Doc
I
