BG 1 Fibonacci triplettek kevert normája, skaláris szorzata, az általuk bezárt szög, koszinusz tétel, szinusz tétel

Szolcsányi György: Általánosított Fibonacci sorozatok algebrai struktúrája

BG 1 Fibonacci triplettek kevert normája, skaláris szorzata, az általuk bezárt „szög”, koszinusz tétel, szinusz tétel

A címben a BG elıtag a Barangolás a Geometriában sétánkra utal, annak betőszavas rövidítése. A menüben a hivatkozás - „szinusz-ko-szinusz” - pedig elırevetít egy kis bonyodalmat a szokványos szinusz és a szokványos koszinusz tételek között. Lesz, amikor a szinusz koszinuszra vált és viszont. De ne vágjunk a dolgok elébe! A geometriában a és b vektorok skaláris szorzatán  a * b*cos( γ ) szorzatot értjük, ahol  a  az a vektor hosszát jelzi – b esetén hasonlóképpen – , γ pedig a két vektor által bezárt szöget. A koordináta geometriában, lineáris algebrában is mőködik ez a dolog, az ott használt jelölésekkel x, y vektorok skaláris szorzatán az Σ xi yi összeget értjük. (A komponensenként vett szorzatok összege.) Nyilván, ha yi = xi , akkor az eredmény Σ xi2 – az x vektor „hosszának” a négyzete. Legyen (fn-1 , fn , fn+1) és (gm-1 ,gm , gm+1) két, nem szinguláris sorozathoz tartozó (nem szinguláris) valós1 triplett. Normáikat jelöljük rendre Nf –el és Ng –vel. Tudjuk, hogy a norma Nf =  fn-1* fn+1 - fn2 Bizonyos szimmetriaelveket (fn és gm felcserélhetısége miatt) figyelembe véve keverjük össze a két triplettünket egy a normához hasonló kifejezésben, legyen: C = (fn-1* gm+1 + gm-1* fn+1 – 2* fn* gm ) / 2 Számítsuk ki C értékét! Most látszólag ijesztı dolgok következnek, de ez csak a látszat. Egy adott számítást viszünk végig ugyanazon favágó elv mentén. (Copy/paste, kisebb módosításokkal itt-ott.) Legyen (természetes indexelésben): fn =s1*An + t1*(-1)n/An gm =s2*Am + t2*(-1)m/Am Tehát visszatérünk a gyökerekhez, pusztán technikai okok miatt – mint ezt látni fogjuk. Számítsuk ki szép sorjában a C képletében szereplı tagokat! fn-1* gm+1 = (s1*An-1 + t1*(-1)n-1/An-1)*( s2*Am+1 + t2*(-1)m+1/Am+1) =; s1 * s2*An+m+ s1 * t2 *(-1)m+1*An-m-2+ s2 * t1 *(-1)n-1*Am-n+ 2+ t1 * t2 *(-1)m+n/An+m továbbá: fn+1* gm-1 = (s1*An+1 + t1*(-1)n+1/An+1)*( s2*Am-1 + t2*(-1)m-1/Am-1) =; s1 * s2*An+m+ s1 * t2 *(-1)m-1*An-m+2+ s2 * t1 *(-1)n+1*Am-n -2+ t1 * t2 *(-1)n+m/An+m 1

Egyelıre valós, a komplex esettel késıbb foglalkozunk.

1


és még továbbá a harmadik tag, amelyet majd még -2-vel meg kell szorozni: fn* gm = (s1*An + t1*(-1)n/An)*( s2*Am + t2*(-1)m/Am) =; s1 * s2*An+m+ s1 * t2 *(-1)m*An-m+ s2 * t1 *(-1)n *Am-n + t1 * t2 *(-1)n+m/An+m Vegyük észre, hogy a piros tagok kiejtik egymást - elvégezve a -2-vel való szorzást és az összeadást. Csupán a „vegyes” tagok maradnak meg. Emeljük ki innét-onnét a „vegyes” tagokból s1 * t2 –ıt, illetve s2 * t1 –et! C =( fn-1* gm+1 + gm-1* fn+1 – 2* fn* gm ) / 2 =; s1*t2*((-1)m-1*An-m+2+(-1)m+1*An-m-2–2*(-1)m*An-m)+s2*t1*((-1)n+1*Am-n-2+(-1)n-1*Am-n+2–2*(-1)n*Am-n)=

A barna színő tagból emeljünk ki An-m-et, a kék színőbıl Am-n-et. (Egymás reciprokai.) Egyszerősödik a helyzetünk: s1*t2*An-m*((-1)m-1*A2+(-1)m+1/A2–2*(-1)m)+ s2*t1*Am-n*((-1)n-1*A2+(-1)n+1/A2–2*(-1)n) Vegyük figyelembe, hogy: A2+1/ A2+2=(A+1)+1/(A+1)+2=( A2+2*A+1+1+2*A+2)/(A+1)= A2/(A+1)=; =(5*A+5)/(A+1)=5 A továbbiakban m, n paritásától függıen alakulnak az elıjelek, tehát ha mindkettı páratlan, akkor: C=5*( s1*t2*A(n-m) + s2*t1*A -(n-m)) / 2 Ha mindkettı páros, akkor: C=5* ( – s1*t2*A(n-m) – s2*t1*A -(n-m)) / 2 Ha m páratlan, n pedig páros: C=5* ( s1*t2*A(n-m) – s2*t1*A -(n-m)) / 2 …

Nagyon kezd hasonlítani a formula a hiperbolikus függvények képletéhez. A negyedik fejezet végén láttuk, azaz már tudjuk, hogy N =| 5*s*t | . Jelöléseinkkel tehát; | 5*s1*t1 |=Nf , | 5*s2*t2 |=Ng ebbıl: |s1*t1 |= Nf,/5 , | s2*t2 |= Ng /5 , Elıször tegyük fel, hogy m is, n is páratlan, si, ti pozitív. 2*C=5*(s1*t2*A(n-m) + s2*t1*A -(n-m) );

2


osztva a kifejezést√ ( s1* t1* s2* t2)-tel (egyúttal meg is szorozzuk a vele egyenlı√ Nf*√ Ng /5 – el), jelöljük √ (( s1/ t1)* √ ( t2/ s2))–ıt u-val! (s1*t2)/ √ ( s1* t1* s2* t2)= √ ( s1*t2)/ √( t1*s2)= √ ( s1/t1)* √ ( t2 /s2)= u (s2*t1)/ √ ( s1* t1* s2* t2)= √ ( s2*t1)/ √( t2*s1)= √ ( s2/t2)* √ ( t1 /s1)= 1/u C =√ Nf*√ Ng * (u*A(n-m) + u -1 *A -(n-m))/2 C =√ Nf*√ Ng * ch( ln(u)+ ln(A)*(n-m)) C = √ Nf*√ Ng *ch( ln(s1/ t1)/2 - ln(s2/ t2)/2 +ln(A)*n – ln(A)*m)= picit átrendezve: C =√ Nf*√ Ng * ch( ln(s1/ t1)/2+ln(A)*n – (ln(s2/ t2)/2+ ln(A)*m)) Vegyük észre, hogy a ch() függvény argumentuma pontosan megegyezik fn és gm adott indexhez tartozó argumentumainak különbségével (annak ln(A)-szorosával), az Ωf,n és Ωg,m argumentumok különbségének ln(A)-szorosa! ( Belsı (Fiperbolikus) argumentum fejezetben utalok az „arth (µ n’ ) / ln(A) = n + ln(v) / (2*ln(A)) ;

(K.3.)”

formulára, ott az s/t hányadost v-vel jelöltük.) 2 Vagyis hát szóval: C =√ Nf*√ Ng *ch(ln(A)*(Ωf,n – Ωg,m )) Egyelıre lemaradt egy csomó diszkussziónk; mi van, ha m, n paritása másképpen alakul, ha az si, ti együtthatók nem pozitívak, egyik negatív, a másik pozitív, mindegyik negatív,… Ennek következtében az is elıfordulhat, hogy: C =√ Nf*√ Ng *sh(ln(A)*(Ωf,n – Ωg,m )) esetleg a fenti eredmények –1-szerese is! Sıt, értelmezhetetlen eredményt is kaphatunk – a ch() érték 1-nél kisebb. Talán megint benézünk a komplex számok udvarába, ha érdemes. A számpéldában nyomon követhetjük a különbözı eseteket. A szemmel látható analógia miatt okkal nevezzük C mennyiséget fn és gm skaláris szorzatának. Most és ezután, a barangolások során a konkrét példák hivatkozásait mindig az adott fejezetben szerepeltetem. Példánk most: http://szolcs.hu/Fibonacci/barangolasok/skalar_szorzat.xls . A használat a szokásos; a vastagított piros számok felülírhatóak, amúgy a munkalap védett. Egyrészt a 2

http://www.szolcs.hu/Fibonacci/kis_matek_5.pdf a 2. oldal alja

3


már ismert módon kiszámoljuk az argumentumokat és képezzük a különbségét, másrészt pedig az új processzus szerint közvetlenül képezzük a triplettek bezárt szögét. A példában egybıl a második triplett konjugáltját is képezzük, kivédendı az si, ti elıjelei okozta anomáliákat. Ily módon kikerülünk sok-sok diszkussziót, másrészt – mivel egy triplett és konjugáltjának triplettje egyazon argumentummal rendelkezik – okoltnak érzem a konjugált bevonását a vizsgálatba. Azt is megfigyelhetjük, hogyha egy triplettnél az area koszinusz hiperbolikusz mutat egyezést a kiszámolt argumentum különbséggel, akkor a konjugáltjánál az area szinusz hiperbolikusz az az érték, ami helyesnek adódik. Amúgy sejthetı, hogy a kevert norma képzésénél a konjugálással kapcsolatosan szinte mindegy, melyik tényezı konjugáltját vesszük – az eredmény ugyanaz. Vigyáztunk a szimmetriára. Itt jegyzem meg, hogy ha az (s,t) felbontást a skaláris szorzat tényezı triplettjeinek középsı elemére képezzük, akkor C=-5*(s1*t2+ s2*t1)/2 formulához jutunk. A mintapéldánk alsó fele errıl szól. Innét már csak átlépünk egy másik buckára – séta sem kell, pláne nem barangolás – még csak nem is magasabb, és roppant közeli. Szigorúan véve még azt sem tudjuk, hogy mi az, hogy pont, mi az, hogy egyenes, mi az, hogy háromszög. Nem akarunk axiomatikus felépítést csinálni – csak sétálunk, barangolunk, élvezzük az erdı szépségét. Pusztán az analógiákat vizsgáljuk, hogy mőködnek-e, és milyen feltételek között mit adnak eredményül. Vegyünk három triplettet, a (0, 0, 0), és az (fn-1 , fn , fn+1) valamint a (gm-1 ,gm , gm+1) tripletteket. E két utóbbi legyen nem szinguláris. (A (0, 0, 0) triplett szerepe annyira nem kitüntetett, valószínőleg könnyen belátható, hogy eltolásra invariáns a konstelláció – normákkal, különbségekkel dolgozunk.) Ha ezeket, mint egy három pont által meghatározott háromszöget képzeljük el, akkor képzelıerınkkel már két oldal valamifajta jellemzıjét is hozzáképzelhetjük (nem hossz, nem távolság, mégis az íze, szaga, illata nagyon hasonlít a távolságra). Az (fn-1 , fn , fn+1) és a (0, 0, 0) triplett közötti „valami” – a tanult matematika analógiája alapján nyilvánvalóan √ Nf , míg a (gm-1 ,gm , gm+1) és a (0, 0, 0) között √ Ng . A harmadik oldalhoz tartozó „valami” pedig nyilván az (fn-1 – gm-1 , fn – gm , fn+1 – gm+1) tripletthez tartozó norma gyöke. Egy rövidke számítással – most lépünk át a másik buckára – érdekes eredményre jutunk: N’fg = (fn+1 – gm+1)*( fn-1 – gm-1) – (fn – gm)2 =; = fn+1 *fn-1 - fn+1* gm-1 - gm+1* fn-1+ gm+1* gm-1- fn2- gm2+2* fn* gm A piros színő dolgok adják fn normáját (elhagyva az abszolút érték jelet – de nem elıjeles normáját(!)) - a kék színőek adják gm abszolút érték vesztett normáját, és a zöld színőek adják magát a „kevert norma” mínusz kétszeresét, a fejezet elején bevezetett C paraméter mínusz kétszeresét! Nfg’ = Nf’ + Ng’ – 2*C A normák vesszızése az abszolút érték vétel nélküliséget jelzi. Kísérteties a hasonlóság – legalábbis számomra – a hagyományos geometriából jól ismert: c2=a2+b2-2*a*b* cos( γ)

4


koszinusz tétellel. Példa munkalap a már említett munkafüzet „Koszinusz tétel” munkalapja; http://szolcs.hu/Fibonacci/barangolasok/skalar_szorzat.xls A használat ugyanaz maradt. Vastag piros számokat lehet módosítgatni. Elıször kiszámítjuk a megadott két triplett valamint a különbség triplett (a „Harmadik oldal”) abszolút érték jel vesztett normáit, utána a bezárt szögüket. Az alsó táblázatban pedig variáljuk a képleteket. Segítségül az „Indikátor” oszlop szerepel, hogy éppen melyik képlet mőködik helyesen. Amelyik helyesen számol, ott az „Itt stimmel!” felirat jelenik meg. Elképzelhetı, hogy minden esetet lefedtünk, hogy mindig találunk olyan sort, ahol szerepel az „Itt stimmel!” felirat az indikátor oszlopban. Van ember, aki diszkutálja ezt a dolgot? Mikor minek mi az elıjele, mikor lesz szinusz a koszinusz, és hogyan is mőködik ez az egész dolog? Ha nincs, az sem baj, a formula szépsége a fontos! Nem kell sokat tippelgetnünk ahhoz, hogy találjunk olyan „háromszöget”, amelyre nem teljesül a háromszög egyenlıtlenség. Azaz olyan háromszöget, melynél két oldalhoz tartozó abszolút érték jel vesztett normáinak négyzetgyökös összege kisebb a harmadik oldal abszolút érték jel vesztett normájának négyzetgyökénél. Még úgy is, hogy mindhárom jellemzı pozitív. (Próbaként, ellenpéldaként vegyük a (55, -17, 38) és ( -13, 7, -6) tripletteket. A jellemzık rendre 1801, 29. A c oldal jellemzıje: 2416. Négyzetgyökeik: 42,43819…, 5,38516…, összegük: 47,823…. A c oldal négyzetgyöke viszont: 49,1528… egyedül nagyobb mint a másik két oldal (négyzetgyök) összege. Még ha az abszolút értékes normákat vesszük, a terünk akkor sem metrikus. Nem metrikus terek vizsgálata meglehetısen perifériális probléma. Majd próbálkozunk vele a késıbbiekben. A szinusz tétel is igaznak látszik. A bizonyítással, diszkutálással – akárcsak a koszinusz tétel diszkutálásával adós maradok. Majd egyszer, hosszú téli estéken talán, vagy majd valaki, esetleg – de a példában http://szolcs.hu/Fibonacci/barangolasok/skalar_szorzat.xls a harmadik füles munkalapon a szinusz tételhez kapcsolódó példával játszhatunk. Elıször megadhatunk három triplettet – a háromszögünk három csúcsát. A tábla ebbıl már mindent kiszámol. A szemközti oldalak abszolút érték jel vesztett normáit, az egyes csúcsoknál lévı szögeket. A szögek irányítottak, a háromszöget egy irányban járjuk körbe. Fontosnak tartom megjegyezni, hogy a háromszög „szögeinek” összege itt is állandó – 0 értéket vesz fel. Mindig. Végül ezen szögek ln(A)-szorosának szinusz hiperbolikuszának és koszinusz hiperbolikuszának arányát kapjuk meg a „szemközti oldal” abszolút érték jel vesztett normáihoz. Kikeressük azt a számot, melynek abszolút értékét véve mindhárom csúcsnál találkozhatunk, vagy a SINH() vagy a COSH() sorban. Az az érdekes, hogy ilyen szám mindig található. A bizonyításon fennakadtam. Azt hiszem találó a „szinusz-ko-szinusz” jelölés. Még egy kis kitérıt kell, hogy tegyünk. Tudom, hosszúra, sokra sikeredett ez a fejezet, de egy fontos dolog van még, amire ki kell lyukadjunk. Egyrészt könnyen belátható, hogy egy triplett önmagával vett skaláris szorzata nem más, mint maga az abszolút érték jel vesztett norma: C = (fn-1* fn+1 + fn-1* fn+1 – 2* fn* fn ) / 2 = N’.

5


Megegyezik a szokásossal; „geometriában a és b vektorok skaláris szorzatán  a * b*cos( γ ) szorzatot értjük, ahol  a  az a vektor hosszát jelzi – b esetén hasonlóképpen – , γ pedig a két vektor által bezárt szöget.” Ha a = b, akkor γ=0, cos( γ )=1, a skaláris szorzat így  a  2 . Hagyományosan még egy fontos dologról szoktak szót ejteni; ha két nem nulla vektor skaláris szorzata 0, akkor ez másképpen nem fordulhat elı, csak ha cos( γ )=0 – γ=90○, esetleg γ=270○, γ= 3*π / 2. Erre azt szokták mondani, hogy a és b vektorok merılegesek (ortogonálisak) egymásra. Mit jelent a mi esetünkben, ha C=0 ?3 (fn-1* gm+1 + gm-1* fn+1 – 2* fn* gm ) / 2 = 0; fn-1* gm+1 + gm-1* fn+1 – 2* fn* gm = 0 Tegyük fel:

fn* gm =/= 0 – ezért oszthatjuk a kifejezést;

(fn-1* gm+1 )/( fn* gm )+( gm-1* fn+1)/( fn* gm )= 2 (fn-1/ fn )*( gm+1 /gm)+( gm-1/ gm)*( fn+1/ fn )= 2 (fn-1 / fn ) * ( 1+ gm-1 /gm )+( gm-1 / gm)*(1+ fn-1 / fn )= 2 (fn-1 / fn )+ (fn-1 / fn )*( gm-1 /gm )+( gm-1 / gm)+( gm-1 / gm)* (fn-1 / fn ) = 2 (fn-1 / fn ) + ( gm-1 / gm) +2*(fn-1 / fn )*( gm-1 /gm ) = 2 ( gm-1 / gm)*(1+2*(fn-1 / fn ))=2 – ( fn-1 / fn ) ( gm-1 / gm) = (2* fn - fn-1)/( fn + 2* fn-1) Utóbb kapott összefüggés a két Fibonacci sor egymást követı tagjaira vonatkozóan (az egymást követı tagok hányadosára vonatkozóan) arra utal, hogy gm triplett az fn triplett konjugáltjának nem nulla konstans szorosa. (Könnyítésként, segítségképpen fn triplettnek vegyük a Lucas sorozat nulladik triplettjével való szorzatát):

-1 2

2 1

fn-1 fn 2*fn - fn-1 fn + 2* fn-1

fn fn+1 - fn + 2* fn+1 2* fn + fn+1

Kijelenthetjük, hogyha két triplett skaláris szorzata 0, akkor egymás konjugáltjainak konstans szorosai (a sorozatoknál megszokott terminológiával természetes indexelésben, index csatoltan). Durván hangzik elsı olvasatra, de igaz, és mivel igaz és meglepı, ezért nagyon szép!!! A már e cikkben sokszor hivatkozott példa munkafüzet negyedik munkalapja („a szorzat 0”) lapon próbálkozhatunk triplett és a konstans megadásával. Eredményként a 3

Természetesen ez csak a sh()-os ágon fordulhat elı. Amikor C =√ Nf*√ Ng *sh(ln(A)*(Ωf,n – Ωg,m )).

6


kevert normára reményeim szerint mindig nullát, vagy egy iciri-piciri számot kapunk. (Amit bír az Excel és a processzor, a memória, a számábrázolás.) Egy triplett és helyi értékének megfelelı konjugáltja (soros szóhasználattal természetes indexelésben vett konjugáltja, Fibonaccsis -1-szerese, de pont -1-szerese, tehát a normalizált Lucas sorozat nulladik tagjával vett szorzata) merıleges egymásra. Ortogonálisak. A hiperbolikus argumentumuk pedig ugyanaz. Nagyon meglepı, nagyon szép!

7

BG 1 Fibonacci triplettek kevert normája, skaláris szorzata, az általuk bezárt szög, koszinusz tétel, szinusz tétel

Recommend Documents