Szolcsányi György: Az általánosított Fibonacci sorozatok algebrai struktúrája
A gyöngysor és a gyöngyök – Fibonacci triplettek Az elızı fejezetben vizsgáltuk, hogy egy Fibonacci sorozat (s,t) felbontását véve – lévén a felbontás additív, tehát összeadáson alapul (és igazi összeadásunk még nincs is, összeadásunk csak a „megfelelı” indexek mentén történı összeadás) – a sorozat mennyire érzékeny az index eltolás választására. Nagyon értékes eredményekre jutottunk (mutánsok, a fimaginárius sorozatok tulajdonságai), azonban nem kaptunk korrekt választ, lehetıséget egy minden igényt kielégítı összeadás meghatározására. Az indexes tili-toli bár csökkenti a lehetıségek számát – egy sorozaton belül a sorozat (s,t) felbontásából kiindulva – csak négyféle sorozat bizonyos konstans szorosait kaphatjuk eredményül, de ez nem igazán tetszik, nem igazán jó. Számba véve eddigi összes eredményünket, definícióinkat megállapíthatjuk, hogy minden fontos dolog megmarad, ha szétszabdalunk minden Fibonacci sorozatot a sorozatban egymást követı hármasokra. Csak a mátrix interpretációkból építkezünk, az algebrai alaphalmazunk elemei a lehetséges összes mátrix interpretációk. Kis képzavarral élve; gordiuszi megoldás – bár csomóról szó nem esik. A mátrix interpretációk a szürke eminenciások szerepét játszották, technikailag sok minden velük volt megvalósítható, de igazából csak a sorok interpretációi voltak. Méltatlan státusz. Elismerve és megtartva csodálatunkat az általánosított Fibonacci sorozatokra vonatkozólag – megadjuk a mátrix interpretációk önállóságát is, nevet változtatunk; Fibonacci triplettnek hívjuk ezután ıket. Akár a gyöngysor és a gyöngyök, egy gyöngy – még ha csak „interpretálja” is a teljes gyöngysort, azért a lényegét tekintve egy önálló gyöngyszem. Egy Fibonacci triplett tehát áll egy rendezett számhármasból, melynek elemei valós ill. komplex számok lehetnek, és a harmadik tagja a triplettnek az elsı két elem összege – valamiféle összeadás is, mint mővelet eleve rendelkezésre kell, hogy álljon, hogy a triplett elsı két elemén elvégezhetı legyen ez a mővelet. (Messzebbre vezet, majd talán foglalkozunk vele, de a triplett elemei lehetnek Fibonacci triplettek is. Nagyon sok szép tulajdonság átöröklıdik. Logikailag, halmazelméletileg furcsa a dolog, az kétségtelen. Mintha egy komplex szám valós ill. képzetes része maga is lehetne komplex szám. A tripletteknél azonban már más a helyzet.) Egy (a,b,c) rendezett hármas tehát Fibonacci triplett az eleve adott hagyományos összeadási mővelettel, ha a, b, c valós vagy komplex számok és c=a+b. Ilyen egyszerő. Minden valós ill. komplex számnak meg tudjuk adni a triplett megfelelıjét; pl. z komplex szám megfelelıje a (z, 0, z) triplett. A triplettek halmazán értelmezünk két mőveletet, az összeadást és a szorzást. Az összeadás a szokásos, komponensenkénti összeadás; (a1 , b1 , c1 )
(a2 , b2 , c2 )
(a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2)
A szorzás pedig a Fibonacci sorozatokra bevezetett mátrixszorzásunk, triplettes alakban; (a1 , b1 , c1 ) (a2 , b2 , c2 )
(a1* a2+ b1*b2 , a1* b2 + b1*c2 , b1*b2 + c1* c2)
Triplett konstans szorosán a triplettt tagjainak komponensenkénti szorzatát értjük a konstanssal – mint triplettet.
1
Szolcsányi György: Az általánosított Fibonacci sorozatok algebrai struktúrája z*(a,b,c)=(z*a,z*b,z*c), ahol z lehet valós vagy komplex konstans. Két triplettet egyenlınek mondunk, ha mindhárom elemük egyenlı. (Nyilván két megfelelı elem egyenlısége elegendı, a lineáris összefüggés – nem függetlenség – miatt.) A mőveleteink zártak, ezt láttuk már, tehát fenti módon meghatározva az összeadást és a szorzást a mőveletek eredménye triplett lesz. Azt is beláttuk már, hogy a szorzásra nézve Abel csoportot (kommutatív csoportot) adtunk így meg1 - a szinguláris elemeket kizárva. Még egy fontos, alapvetı dologról kell szót ejteni; az Abel csoport a Fibonacci sorozatoknak egy nyílt halmazára érvényes – a szinguláris sorozatokat mindig kizártuk az alaphalmazból. Tehát a szorzásnál – a szinguláris elemeket kizárva a konstrukcióból – nyílt halmazt vettünk alaphalmaznak. Ott nagyon jól mőködött a szorzás. Sıt még a szinguláris elemek szorzata is szép, szinguláris elemek maradnak, a nyílt halmazba nem juthatnak a szorzás eredményeként. Argumentumuk értelmezhetetlen, de minden más – nyílt halmazbeli elemnek van argumentuma, inverze. A nyílt halmaz viszont nem szerepelhet alaphalmazként, ha az összeadást is beboronáljuk a struktúrába mint mőveletet, hiszen akkor az összeadásra nem lesz zárt a halmaz. Például egy sorozat és konjugáltjának összege máris szinguláris lesz, kizuhan az eredmény a nyílt halmazból.(Bocsánat, lehet, hogy értelemzavaró dologba bonyolódtam, ezért színeket használtam; a kék szín halmazelméleti nyíltságra utal, a zöld szín algebrai zártságra, tehát, hogy a mővelet nem vezet ki a halmazból.)2 Talán a triplettekkel sikerül megoldani a problémát. Szükségszerő tehát a sorok feldarabolása, a gyöngysor főzıjét egy nyisszantással el kell vágni. Hadd guruljanak a gyöngyök kedvükre szanaszét. Nem sokat vesztünk, mivel minden bizonyításunk amúgy is a mátrix interpretációkon alapult. Ami odalett, az az összekötı fonal, a nem különbözıség fogalma, amit rögtön az elején egy frappáns definícióval megoldottunk. Visszautalhat arra, hogy két szabadon választott triplettünk egy füzérben volt-e, az a természetes indexelésben vett indexük paritása és elıjeles normája, valamint az argumentumuk. Alapvetı, hogy az argumentumuk törtrésze meg kell egyezzék, és ha az argumentumok paritása is megegyezik – az elıjeles normájuk is –, akkor az általuk interpretált sorozatok nem különböznek egymástól. Valljuk be, macerás a dolog. Így jártunk. Amit nyertünk; az egyfajta helyiérték. Vegyünk egy komplexet; z=a+bi. Mint tudjuk, a komplex szám argumentuma; α=arctg(b/a)+2*k*π . A második tagot szinte mindig elhagyják, hiszen az α és az α+2*k*π ugyanazt a szöget jelöli. A mi konstrukciónkban ez korántsem így mőködik. Nem trigonometrikus, hanem hiperbolikus az argumentumunk, semmi ciklikusságot nem tapasztalunk. Annak a k-nak nagy jelentısége van! Azt nevezzük a természetes indexelésben vett helyiértéknek. Ki hallott már komplex számok helyiértékérıl? Tudom, nehezebb dolog emészteni, de ez adja savát-borsát az egész építménynek, a furcsa analógiának a komplex számokkal. (Szorzat normája a normák szorzata, szorzat argumentuma 1
http://szolcs.hu/Fibonacci/kis_matek_3.pdf Topológiája ennek a halmaznak - térnek még sehol, kéne egy kis topológiai segítség. Valahol ott kellene kezdeni, a környezet fogalmánál. Geometria nyomokban van már. Könnyítésként; ez a tér nem metrikus, a háromszög egyenlıtlenség a maga természetes módján nem mőködik. A neten kerestem nem metrikus terek topológiájára vonatkozóan, de számomra használhatót, érdemlegeset nem találtam. A fizetıs cikkeket, könyveket nem rendeltem meg. Valószínőleg nem is érteném, másrészt teljesen használhatatlan információhoz jutnék általuk. Geometriája viszont élı, szinusz(hiperbolikusz) tétel, koszinusz(hiperbolikusz) tétel mőködik bizonyos feltételek mellett! Érdekesnek találom. Segítségképpen: nem Hausdorff-tér, de gyúrható lehet. 2
2
Szolcsányi György: Az általánosított Fibonacci sorozatok algebrai struktúrája az argumentumok összege, a képzetes egység – a „fimagináriusok”, a konjugált sorozatok, konjugált triplettek, a „képzetes” egységek tulajdonságai…) Olvastam volt Alekszej Sztakhov cikkét az interneten3, hogy egy új elemi matematikát lehetne alapozni az A ((gyök(5)+1)/2) alapú számrendszerre. Az ott kifejtett gondolatai helytállóak, de sokkal-sokkal többet rejtenek magukban a Fibonacci Univerzum csupán részben, nagyon csekély részben feltárt összefüggései, struktúrái. Lényegét tekintve a cikkek a „klasszikus” Fibonacci sorozattal és a Lucas sorozattal foglakoznak. Úgy érzem, mintha a +1-rıl és a -1-rıl írnának, valamint a köztük lévı számtalan összefüggésrıl. Gondoljunk bele, ha csak errıl a két objektumról ekkora az irodalom, akkor mekkora lehetıségeket rejt a teljes struktúra, az általánosított Fibonacci sorozatok matematikája. (Algebrája, geometriája, topológiája, függvénytana,…) Most váltunk; A test axiómái / Wikipédia4: 1., A + és * mővelet is asszociatív:
2., A + és * mővelet is kommutatív:
3., A * mővelet disztributív a + mőveletre nézve:
4., Létezik nullelem (additív semleges elem), azaz olyan 0-val jelölt elem, hogy
5., Létezik egységelem (multiplikatív semleges elem), azaz olyan 1-gyel jelölt elem, hogy
6., Léteznek additív inverz elemek vagy ellentettek:
7., Léteznek multiplikatív inverz elemek vagy reciprokok (a 0-hoz pedig az elıbbiekbıl bizonyíthatóan biztosan nincs): Általában ki szokták kötni, hogy a test legalább két elemet tartalmazzon, ezt a fentiekben az 1 ≠ 0 követelmény biztosítja. Tehát egyelemő (se üres) test nincs. Bizonyítható, hogy nullelem és egységelem pontosan egy van, azonkívül minden elemnek pontosan egy ellentettje és pontosan egy reciproka van.
3 4
http://www.goldenmuseum.com/01JournalArticle_engl.html http://hu.wikipedia.org/wiki/Test_(algebra)
3
Szolcsányi György: Az általánosított Fibonacci sorozatok algebrai struktúrája Mivel a * mőveletre minden nem nulla elemnek van inverze, minden nem nulla elem egység (nem összekeverendı az 1 egységelemmel), vagyis minden nem nulla elem minden elemnek osztója: hiszen .
Eddig az axiómák a Wiki szerint. (Ha jól emlékszem nem volt ez másként negyven évvel ezelıtt sem.) Az elsı három axiómán könnyedén átugorhatunk, a mőveletekre vonatkozó kikötéseket fogalmazzák meg. Asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás. Ezekkel a tulajdonságokkal rendelkezik a struktúránk. (A szorzásunkra nézve ez nem triviális, de könnyen bizonyítható.) Az ötödik axióma is bizonyított, a klasszikus Fibonacci sor (1,0,1) triplettje a szorzásra nézve egységelem. A negyedik axiómánknál meg sem állva mondhatjuk, hogy hát persze létezik additív egységelem (nullelem), az (a,b,c) tripletthez ha hozzáadjuk a (0,0,0) triplettet, eredményül az (a,b,c) triplettet kapjuk. A triviálisan szinguláris elem. Az elsı botlatozás a hatodik axiómánál kezdıdik. Mit is értsünk a –a alatt?
A -1*a triplettet, vagy az a elem (triplett) és a normalizált Lucas sorozat természetes indexelésben vett nulladik triplettjének5 szorzatát? Hiszen az öninverz6 - de nem az egységelem - tágabb értelemben véve minden szép tulajdonsággal rendelkezik, amivel a -1 konstans a valós és a komplex számok körében. Itt kezd meleg lenni a helyzet. A komplex számok körében csak a -1 az öninverz - ami nem az egységelem. Most meg itt van ez a normalizált Lucas sorozat természetes indexelésben vett nulladik triplettje, ráadásul annak -1szerese is. - Ha csak a -1*a lehetıséget választjuk, és könnyedén átlebbenünk ezen az axiómán, akkor a hetedik axiómánál nagy bajba kerülünk, mert a nem nulla szingulárisoknak nincs multiplikatív inverzük. - Ha a struktúrából bizonyítottan elıálló nem identikus öninverzzel vett szorzatát is bevonjuk a –a fogalmába, akkor a szingulárisokat egyértelmően 0 elemnek vesszük. Ezzel viszont kirántjuk a szınyeget a negyedik axióma alól. Hiszen ha egy „rendes” trippletthez hozzáadunk egy nem nulla szingulárist, akkor egy teljesen más „rendes” tripplettet kapunk, az eredeti „rendes” tripplettıl különbözıt. Tehát bár az algebrai struktúránk nagyon szép, és akármennyire, akárhogyan is szerettem volna testként kezelni ez a cucc nem algebrai test. Ahogyan nézegettem, más elfogadott struktúrához (ferde test, győrő, ideál,…) sem klappol. A triplettek bevezetésével tehát megoldódtak az összeadás bonyodalmai, de semmi konvencionális algebrai struktúrához 5 6
(-1/√ 5, 2/√ 5,1/√ 5) vagy (1/√ 5,- 2/√ 5,-1/√ 5), hogy egy régi-régi problémát elıvezessek, megidézzek. http://ebookbrowse.com/kis-matek-4-pdf-d242543279 , http://szolcs.hu/Fibonacci/kis_matek_4.pdf
4
Szolcsányi György: Az általánosított Fibonacci sorozatok algebrai struktúrája nem illeszthetı a konstrukciónk. Még nagyon régen kigondoltam, milyen jó is lenne „hiperkomplex”-nek nevezni – tekintettel a komplex számokkal vett analógiára -, de sajnos az elnevezés már foglalt. (Meg is ijedtem annakidején, hogy spanyolviasszal kísérletezem, de kiderült, hogy nem. Valószínőleg eddig fel nem tárt területeken bolyongunk.) Maradok tehát a nem túl egyszerően hangzó „általánosított Fibonacci sorozatok (triplettek) algebrai struktúrája” elnevezésnél.
5
