BESPREKING VAN HET LEERPLAN

Pagina 1 van 20

BESPREKING VAN HET LEERPLAN Naast de vaardigheden en attitudes worden voor de meeste kso/tso-studierichtingen met twee wekelijkse lestijden wiskunde de volgende vier inhoudelijke doelstellingen voorzien in het leerplan (D/2004/0279/024):    

Reële functies en algebra Statistiek Financiële algebra Mathematiseren en oplossen van problemen

ca. 40 lestijden ca. 20 lestijden ca. 25 lestijden ca. 15 lestijden

Bij het geven van deze inhoudelijke doelstellingen moeten we er uiteraard continu over waken dat hierbij alle vaardigheden op voldoende en evenwichtige wijze aan bod komen. Verder moeten we blijvend aandacht hebben voor het nastreven van vakgebonden attitudes. Hieronder geven we een overzicht van de inhoudelijke leerplandoelstellingen en vragen we bijzondere aandacht voor enkele pedagogische wenken.

1. Reële functies en algebra 1.1. Leerplandoelstellingen 1

GRAFIEKEN EN TABELLEN AFLEZEN EN INTERPRETEREN

BASISDOELSTELLINGEN F1

Van een gegeven grafiek of vanuit een tabel of door samenvoegen van informatie uit beide de volgende karakteristieken aflezen of vaststellen: een functiewaarde en omgekeerd een origineel, i.h.b. nulpunten, snijpunten van de grafiek met een horizontale rechte (niveaulijn), symmetrie in de grafiek t.o.v. een verticale as, het stijgen en/of dalen in een interval, een extreme waarde in een interval periodiciteit.

10

F2

In betekenisvolle situaties vragen beantwoorden waarbij een van de voornoemde karakteristieken moet geïnterpreteerd worden in de context.

10 13

ENKELE FRAGMENTEN UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De klemtoon moet liggen op het beantwoorden van vragen in aanvaardbare, realistische situaties. Geïsoleerde studie van de verschillende karakteristieken is hier niet aangewezen. Daarom wordt de realisatie van de verschillende doelstellingen best in een geïntegreerde aanpak verwerkt. Dit onderdeel kan ook geïntegreerd behandeld worden met deel 2 Grafieken tekenen en interpreteren.  Een aanvulling vanuit minder routinematige vragen (maximum, minimum, stijging of daling) moet het inzicht op het gebruik van grafieken en tabellen verruimen (cfr. interpolatie, extrapolatie …).  Het interpreteren van grafieken en tabellen moet leiden tot een kritische houding ten aanzien van de geboden informatie. Bijvoorbeeld de keuze van eenheden kan de steilte van een grafiek beïnvloeden, het beperken van het kijkvenster kan een ander verloop suggereren, ….

Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016 Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde

BESPREKING VAN HET LEERPLAN

Pagina 2 van 20

2

GRAFIEKEN TEKENEN EN INTERPRETEREN


De grafiek van eenvoudige functies manueel tekenen als het voorschrift gegeven is.

11

F4

Met behulp van ICT-hulpmiddelen de grafiek en een tabel van functiewaarden genereren van een tweedegraadsfunctie, een exponentiële functie van de vorm f(x) = b.ax ,

11

-

(*) een goniometrische functie van de vorm f(x) = a sin(bx +c) ,

-

en hieruit de karakteristieken van de functie interpreteren.

F5

De elementaire karakteristieken van de tweedegraadsfunctie bespreken, i.h.b. nulpunten, as, top en vanuit deze karakteristieken de grafiek construeren.

F6

De grafiek van eenvoudige functies manueel tekenen, als bepaalde karakteristieken gegeven zijn, i.h.b. functies die een lineaire groei beschrijven, functies van de tweede graad, als as, top en enkele punten gegeven zijn, functies die een exponentiële groei beschrijven als het grondtal gegeven is.

F7

Problemen, waarbij het functioneel verband tussen de grootheden gegeven is, oplossen en de oplossing interpreteren, i.h.b. problemen die leiden tot een vergelijking of een ongelijkheid afgeleid uit voornoemde functies.

(*) Basisdoelstelling voor studierichtingen waarbij de sinusfunctie in de technische vakken een belangrijke rol speelt, zoals bij elektriciteit. Voor de andere studierichtingen is dit uitbreiding. Voor commentaar bij deze doelstelling zie commentaar bij de uitbreidingsdoelstellingen. ENKELE FRAGMENTEN UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  Hier kunnen slechts enkele beperkte vormen met elementaire voorschriften aan bod komen. Het is evident dat louter werken met kale functievoorschriften bij deze leerlingen niet zinvol is. Dit onderdeel moet gekoppeld worden aan effectieve contextvragen. Daarbij zal het voorschrift van de functies meestal meteen gegeven zijn of (in deze fase) gemakkelijk af te leiden.  Functies die als eenvoudig worden beschouwd met betrekking tot het manueel tekenen zijn a bijvoorbeeld: f(x) = ax ; f(x)  ; f(x) = ax + b ; f(x) = ax² (een aantal daarvan behoren al tot de x basiskennis van de leerlingen).  Als het voorschrift een meer ingewikkelde vorm aanneemt, worden de grafiek en eventueel een tabel opgemaakt met behulp van ICT-hulpmiddelen. Men zal aandacht besteden aan bepaalde, meer typische categorieën van functies die veelvuldig voorkomen, i.h.b. functies die een lineaire of een exponentiële groei beschrijven, machtsfuncties en periodieke functies.  In dit onderdeel moet de klemtoon nog steeds gericht zijn op het beantwoorden van vragen in aanvaardbare, realistische situaties die met functies kunnen beschreven worden. Het komt er op neer dat leerlingen nu een stap meer moeten zetten, m.n. zelf de grafiek of de tabel opmaken vanuit het voorschrift. Daarna kan op een analoge wijze als voordien het probleem herleid worden tot het aflezen en interpreteren van bepaalde karakteristieken. Vanuit deze opvatting is het niet zinvol leerlingen te confronteren met kale oefeningen op het manipuleren van functievoorschriften.



11

13

Pagina 3 van 20

UITBREIDINGSDOELSTELLINGEN F8

Met behulp van ICT-hulpmiddelen de grafiek en een tabel van functiewaarden genereren van een goniometrische functie van de vorm f(x) = a sin(bx +c) , en hieruit de karakteristieken van de functie interpreteren.

F9

De grafiek van eenvoudige functies manueel tekenen, als bepaalde karakteristieken gegeven zijn, i.h.b. sinusfuncties als de amplitude, de periode en de faseverschuiving gegeven zijn.

F10

De grafiek onderzoeken van een functie met een meervoudig voorschrift, waarbij delen van constante, eerstegraads- en tweedegraadsfuncties voorkomen, een periode, als ze op één periode-interval gegeven is met behulp van een eerstegraads- of een tweedegraadsfunctie.

F11

De grafiek van de functie construeren en de betekenis van coëfficiënten bespreken van een goniometrische functie van de vorm f(x) = a sin(bx +c) , -

een exponentiële functie f(x) = b.ax .

ENKELE FRAGMENTEN UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  Afhankelijk van de groep leerlingen (studierichting, mogelijkheden, motivatie) kunnen hier een aantal uitbreidingsdoelstellingen gerealiseerd worden. Niet alle doelstellingen moeten dus aan bod komen voor alle leerlingen.  Men kan ervoor opteren de goniometrische functies enkel als model mee te geven en er enkele problemen mee aan te pakken. Vanuit het werken met deze modellen in praktische voorbeelden kan de motivatie groeien meer te weten over deze categorie functies. Dit kan door een aantal aspecten wiskundig te verhelderen en, zo mogelijk, door de leerlingen bepaalde delen ervan zelf te laten onderzoeken.  Soms geven praktische situaties aanleiding tot functies met een meervoudig voorschrift of periodieke functies (die afwijken van de klassieke sinusfunctie).

3

FUNCTIES CONCRETISEREN UIT EEN PROBLEEMOMSCHRIJVING

BASISDOELSTELLING F12

Lineaire en eenvoudige exponentiële verbanden tussen grootheden herkennen in een probleemstelling, dat verband concretiseren in een formule en het met behulp van ICT-hulpmiddelen grafisch voorstellen.

ENKELE FRAGMENTEN UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De leerlingen worden op allerlei wijzen geconfronteerd met probleemstellingen waarin functies kunnen voorkomen. In een aantal gevallen moeten ze leren dergelijke problemen zelf te ‘mathematiseren’. Zo is het in een aantal eenvoudige, concrete situaties uit een grafiek en/of een tabel duidelijk op te maken over welke soort functie het gaat (bijv. de punten liggen (benaderend) op een rechte, het waardenverloop in de tabel is opvallend exponentieel). Dan kan verwacht worden dat de leerling dit verband in een formule concretiseert.  Goede voorbereidende oefeningen zijn deze waarin gegeven grafieken en gegeven voorschriften aan elkaar moeten geassocieerd worden.



Pagina 4 van 20

UITBREIDINGSDOELSTELLING F13

Een probleemstelling vertalen in een functioneel verband tussen grootheden, het wiskundig probleem oplossen en de oplossing interpreteren.

EEN FRAGMENT UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  Een motiverend verband kan gelegd worden met eventuele functies die in de studierichtingvakken voorkomen. Voor de verwerking van deze functies is het gebruik van ICT-hulpmiddelen aangewezen.

4

VERANDERINGEN EN HELLINGEN


In betekenisvolle situaties bij een gegeven tabel en/of grafiek de gemiddelde verandering over een interval berekenen.

F15

De grafische betekenis van gemiddelde verandering illustreren.

F16

De verandering in een bepaald punt van de grafiek benaderen met behulp van een tabel van differentiequotiënten.

F17

Een probleem, dat gesteld wordt met behulp van gemiddelde verandering of ogenblikkelijke verandering, oplossen en de oplossing interpreteren.

12

EEN FRAGMENT UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De klemtoon ligt op het opbouwen van de begrippen. Het inzicht bevorderend interpreteren gaat boven het uitvoerig algebraïsch rekenwerk. Daarvoor (bijv. het opstellen van tabellen met Δy ) zal men ICT-hulpmiddelen gebruiken. Δx, Δy en Δx

UITBREIDINGSDOELSTELLINGEN F18

De helling van de grafiek in een punt interpreteren met behulp van de afgeleide van de functie in dat punt.

F19

Een probleem, dat vertaald moet worden met behulp van gemiddelde verandering of van ogenblikkelijke verandering, oplossen en de oplossing interpreteren.

EEN FRAGMENT UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  Het is niet de bedoeling afgeleiden te berekenen van allerlei functies of afleidingsregels te gaan opstellen. De betekenis gaat voor op het algebraïsch rekenwerk. Wel kan voor enkele eenvoudige functies de afgeleide als standaard bepaald worden. Zo kan men in oefeningen sneller werken.



Pagina 5 van 20

1.2. Discriminant bij uitzondering gebruiken Bij het onderdeel ‘Reële functies en algebra’ is het opvallend dat het woord ‘discriminant’ niet voorkomt. Ook in de peiltoetsen voor de derde graad kso/tso kwam er geen enkele vraag voor waarbij de formules moesten gebruikt worden van de discriminant en de nulwaarden van een tweedegraadsfunctie met voorschrift van de vorm f ( x)  ax  bx  c . 2

Voel je bijgevolg niet verplicht om aandacht te besteden aan de discriminant en de bijbehorende formules voor de nulwaarden. Trouwens, in heel wat ‘parabolische’ problemen is het zelfs aangewezen om in de mate van het mogelijke zoveel mogelijk te werken met functievoorschriften van de vorm

f ( x)  ax 2 , f ( x)  ax 2  bx of f ( x)  a x  p 2  q .

Voorbeeld Tijdens een voetbalwedstrijd probeert een speler de doelman van de tegenpartij te verschalken met een lobbal. De hoogte van de getrapte bal kunnen we berekenen met de formule: h   0,2s  2,3s . Hierbij is h de hoogte (in m) en s de horizontale afstand (in m). 2

Maakt een voetballer met deze lob een doelpunt als hij de bal trapt vanaf 8 m voor het 2,4 m hoge doel van de tegenstrever? Laat je berekening zien.

 

Belangrijk is, zoals in dit voorbeeld, dat het assenstelsel zinvol gekozen wordt zodat de formule een eenvoudig(er) vorm aanneemt. Eerst was er de getrapte bal, daarna het assenstelsel ... Voor veel leerlingen met twee wekelijkse lestijden wiskunde is het rekenwerk vaak een obstakel naar meer wiskundig inzicht. Door de beperkingen op de moeilijkheidsgraad van functievoorschriften en dus van het algebraïsch rekenwerk, kunnen heel wat rekenproblemen vermeden worden. Bij de wiskundevorming gaat het eerder om inzicht in en gebruik van de wiskundige concepten, dan wel om veel losstaand rekenwerk. Bovendien kan de keuze gemaakt worden voor het radicale gebruik van ICT-hulpmiddelen, daar waar ze deze leerlingen het rekenobstakel kan doen omzeilen. Zo zouden we van onze leerlingen kunnen eisen dat ze de nulwaarden van een functie met voorschrift van de vorm f ( x)  ax  bx exact manueel moeten kunnen berekenen. Voor het 2

berekenen van de nulwaarden van functies met voorschrift van de vorm f ( x)  ax  bx  c zou men dan de algemene formules voor de discriminant en de nulwaarden kunnen geven of enkel verwachten dat de leerlingen deze kunnen bepalen met behulp van ICT. 2



Pagina 6 van 20

2. Statistiek 2.1. Leerplandoelstellingen  In het leerproces moet de klemtoon vooral liggen op het inzicht in de verwerking van statistische gegevens en op de interpretatie van de bekomen parameters of voorstellingen. Het turven van een veelheid van gegevens wordt achterwege gelaten, door de gegevens in frequentietabel aan te bieden of het turfwerk te laten uitvoeren met behulp van ICT. Het gebruik van de statistische functies en grafische mogelijkheden van rekenmachine of computer is dus onvermijdbaar.  Statistiek is het onderdeel bij uitstek waar realistische verbanden met onderdelen buiten de wiskunde kunnen gelegd worden. Het verdient aanbeveling ook toepassingen te zoeken in de specifieke vakken van het studierichtinggedeelte.  Statistiek is een onderdeel waar gemakkelijk in groep kan gewerkt worden, bij het verzamelen van gegevens, het inbrengen en/of interpreteren van gegevens.

BASISDOELSTELLINGEN S1

Statistische gegevens, centrum- en spreidingsmaten en grafische voorstellingen van statistische gegevens interpreteren.

S2

Met voorbeelden het belang duidelijk maken van de representativiteit van een steekproef voor het formuleren van statistische besluiten over de populatie.

14

S3

Met behulp van ICT het rekenkundige gemiddelde en de standaardafwijking berekenen van statistische gegevens.

15

S4

Het rekenkundige gemiddelde en de standaardafwijking gebruiken als karakteristieken van een normale verdeling.

16

ENKELE FRAGMENTEN UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De leerlingen kennen al een aantal statistische begrippen uit hun vooropleiding. Toch lijkt het zinvol deze begrippen even te hernemen. Best gaat men daarbij uit van de grafische voorstelling, waarbij men een aantal gerichte vraagjes kan stellen.  Bij een groot aantal gegevens wordt best met groepering in klassen gewerkt. Dit zelf uitvoeren (indelen, turven, rekenen met klassenmiddens …) valt buiten de verwachtingen ten aanzien van deze leerlingen.  Het is niet de bedoeling bij deze leerlingen de normale verdeling wiskundig te onderbouwen. Wel worden een aantal voorbeelden en tegenvoorbeelden (bv. lonen) ter illustratie van de relevantie ervan aangeboden.



Pagina 7 van 20

2.2. Representativiteit van een steekproef Tijdens het inkijken van proefwerken, stellen we vaak vast dat er onvoldoende aandacht gaat naar leerplandoelstelling S2. We geven een paar voorbeelden van mogelijke vragen: 1) Een onderzoeksbureau wil de mening weten van de Vlamingen over het al dan niet betalen van taks op de autostrades. Daarom vragen de onderzoekers in Nieuwpoort aan een groot aantal Vlaamse toeristen op de zeedijk naar hun mening. Is deze steekproef representatief of niet? Verklaar je antwoord. 2) Om zicht te krijgen op de favoriete muziek van de Vlamingen organiseert een Vlaamse krant een enquête bij haar lezers. a) Wat is hier de populatie? b) Uit wie bestaat de steekproef? c) Over welke soort steekproef gaat het hier? d) Is dit volgens jou een goede steekproef? Indien niet, hoe zou een goede steekproef er dan moeten uitzien?



Pagina 8 van 20

3. Financiële algebra 3.1. Leerplandoelstellingen  Wiskundige begrippen die kunnen toegepast worden zijn o.a. de eerstegraadsfunctie (bijvoorbeeld: enkelvoudige interest), de exponentiële functie (bijvoorbeeld: samengestelde interest, de opeenvolgende aflossingsbestanddelen bij een schuldaflossing met constante annuïteit). Het probleemoplossend denken wordt bevorderd door de leerlingen te confronteren met verschillende praktische situaties.  Voorafgaandelijk moeten de leerlingen toch enige kennis hebben over de begrippen ‘n-de machtswortel’ en ‘rationale exponent’. Het is voldoende dat het begrip ‘n-de machtswortel’ gedefinieerd wordt. Nadat men de uitdrukking ab met a > 0 en b rationaal heeft gedefinieerd, kan men aanvaarden dat de rekenregels die gelden voor gehele exponenten behouden blijven. Het aantal oefeningen i.v.m. deze regels wordt zeer beperkt gehouden.  Het is geen noodzaak de looptijd bij een samengestelde interest te berekenen. Wil men dit toch doen dan moeten de leerlingen enkele basisbegrippen kennen i.v.m. logaritmen met grondtal 10.

BASISDOELSTELLINGEN FA1

Het verschil uitleggen tussen enkelvoudige en samengestelde interest.

FA2

Een jaarlijkse rentevoet omzetten in een gelijkwaardige maandelijkse, trimestriële of semestriële rentevoet en omgekeerd.

FA3

De eindwaarde en het termijnbedrag berekenen bij een postnumerando kapitaalsvorming.

FA4

Het te lenen bedrag en het termijnbedrag berekenen bij een schuldaflossing met dadelijk ingaande annuïteit.

FA5

Het bedrag berekenen dat moet betaald worden als de schuld wordt afgelost voor de eindvervaldag.

FA6

Het verschil uitleggen tussen een lening met constante annuïteit en een lening met constante kapitaalsaflossing.

FA7

Een aflossingstabel interpreteren.

FA8

Uit een reclameaanbieding het soort consumentenkrediet herkennen en de gegevens ervan controleren.

FA9

In verband met de aangeleerde begrippen informatie verzamelen en interpreteren.

FA10

De aangeleerde begrippen kaderen binnen de actuele situatie.

ENKELE FRAGMENTEN UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  Heel wat aandacht moet besteed worden aan het sociaal-maatschappelijke aspect van diverse beleggingsvormen. Hierbij zal voldoende nadruk gelegd worden op de verschillen tussen deze beleggingen (dit hoeft dus geen aanleiding te geven tot berekeningen).  Het gebruik van ICT is nuttig bij het opstellen van een aflossingstabel of voor het onderzoeken van verschillende simulaties zoals bijvoorbeeld: de invloed van een renteverandering bij een lening op de aflossingstabel, het onderscheid tussen verschillende vormen van lening, het virtueel aankopen van een huis, binnen de actuele situatie de meest aangewezen belegging onderzoeken … Daardoor leren de leerlingen diverse informatiebronnen en –kanalen kritisch selecteren, raadplegen, analyseren en toepassen waardoor voldaan wordt aan een aantal vakoverschrijdende eindtermen in verband met ‘leren leren’. Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016 Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde


Pagina 9 van 20

3.2. Formularium Wie het wenst, kan de leerlingen een beknopt formularium bezorgen of zelf laten maken. Dat formularium kunnen de leerlingen dan tijdens de les en tijdens het studeren gebruiken. Sommige leraren laten hun leerlingen ook tijdens overhoringen en proefwerken een formularium gebruiken. In een formularium beperk je best het aantal formules. Benadruk liever de onderlinge verbanden, d.w.z. leg uit hoe een formule uit een andere kan volgen. Zo heeft het geen zin om – naast de formule voor enkelvoudige intrest I  k . i . n ook de formule

k

I te vermelden. Deze laatste kan immers i.n

gemakkelijk afgeleid worden uit de eerste, eventueel nadat alle gegeven getallen al ingevuld zijn. Dergelijke manier van werken stimuleert de zelfredzaamheid van de leerlingen.

Een voorbeeld van een formularium: zie bijlage 1

3.3. Opdrachten: enkele ideeën Voorbeeld 1: inleiding op financiële algebra (groepswerk) Een of twee weken voordat de lessen over financiële algebra van start gaan, kun je als voorbereiding op deze lessen, de leerlingen een groepswerk laten maken. Indien je het wenst, kun je dat groepswerk beoordelen via peerevaluatie. Een andere mogelijkheid is het houden van een klassengesprek op basis van de groepswerken van de leerlingen. Een voorbeeld van dergelijk groepswerk vind je in bijlage 2. Bijlage 3 geeft een voorbeeld van hoe dat groepswerk via peerevaluatie kan geëvalueerd worden.

Voorbeeld 2: kopen van een woning (individuele opdracht) Deze opdracht kun je geven nadat de leerstof over de hypothecaire lening afgewerkt is. In bijlage 4 vind je een voorbeeld van dergelijke opdracht.

Voorbeeld 3: woonkrediet We kunnen de leerlingen de aangeleerde begrippen over woonkrediet laten kaderen binnen de actuele situatie door toepassing van de activerende werkvorm ‘bekend – benieuwd – bewaard’ (zie Didactische en Pedagogische Berichten wiskunde – schooljaar 2014-2015). De activerende werkvorm ‘bekend – benieuwd – bewaard‘ houdt in: Stap 1 Voorafgaand aan het bestuderen van een bepaald onderwerp vatten leerlingen in kleine groepjes samen wat ze al van het onderwerp weten (bekend). Stap 2 Vervolgens formuleren ze vragen over wat ze niet weten (benieuwd). Stap 3 Na afloop van de studie (bekijken film, lezen tekst) gaan leerlingen samen na wat ze te weten zijn gekomen over het onderwerp (bewaard). In bijlage 5 vind je een concreet voorbeeld over woonkrediet.



Pagina 10 van 20

4. Mathematiseren en oplossen van problemen 4.1. Leerplandoelstellingen  Bij de probleemstelling gebruiken de leerlingen heuristiek die vaak transfereerbaar is naar andere probleemsituaties. De wiskundige inhouden zijn hier slechts ondersteunend voor het ontwikkelen van deze probleemoplossende vaardigheden.  Het verwerken van problemen met behulp van wiskunde kan bij de leerlingen opvattingen en houdingen ontwikkelen over wiskunde. Zo zullen ze zich realiseren dat wiskunde meer is dan een stel regels, maar effectief kan ingezet worden om problemen uit het reële leven op te lossen of tenminste om er inzicht in te verwerven.  Een houding van systematisch reflecterend terugkijken op een oplossingsproces kan hen leren fouten te vermijden en bij te sturen.  Deze houdingen zijn ook van fundamenteel belang bij het leren zelf, i.c. een onderzoekende houding, doorzettingsvermogen, geloof in eigen kunnen, gecontroleerd uitvoeren van een plan, reflecterende feedback …

BASISDOELSTELLINGEN MA1

Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van hun wiskundekennis.

MA2

Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken.

MA3

Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem.

MA4

Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg en de uitgevoerde berekeningen.

MA5

Vertrouwen verwerven door hun wiskundekennis zinvol in te schakelen.

ENKELE FRAGMENTEN UIT DE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN In de praktijk kunnen allerlei situaties aanleiding zijn tot interessante probleemstellingen (technische vakken, maatschappelijke problemen …). Ook de leerinhouden die de leerlingen verwerken vanuit het leerplan bevatten allerlei situaties om deze methodiek van probleemaanpak in de praktijk te brengen. Het wiskundige instrumentarium van de leerlingen is niet zo uitgebreid en waarschijnlijk ook niet erg flexibel in het gebruik. Men zal dus de leerlingen voldoende begeleiden op de weg van probleemaanpak, die zeker niet eenvoudig is voor deze leerlingen vanuit zelfstandig werken met wiskunde. Sommige leerlingen hebben wellicht het meeste leerkansen als de leraar zijn aanpak voldoende transparant kan maken. Bij dergelijk zelfstandig verwerken van een opdracht zal men de opdracht en de leerlingen gericht opvolgen om ze voldoende succeservaring te bieden. Zo is het zinvol verschillende wegen om tot een oplossing te komen zichtbaar te maken en te waarderen. Alleszins moeten de leerlingen terugkoppeling verwerven op het eigen proces van aanpakken. Een aantal opdrachten kunnen individueel gegeven worden. Maar het lijkt ook zinvol ruimere probleemstellingen te behandelen in de vorm van groepstaken (werken aan taalvaardigheid, sociale vaardigheden …). Dit onderdeel moet uiteraard opgenomen worden binnen de evaluatie. Het zou van een te beperkte visie reflecteren als dit onderdeel alleen zou beoordeeld worden op de uiteindelijke oplossing van een probleem. Permanente evaluatie, begrepen als een permanente feedback op het oplossingsproces, is hier het meest aangewezen. Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016 Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde


Pagina 11 van 20

4.2. Probleemoplossend leren denken WAT IS EEN PROBLEEM? Een probleem is een opgave die een uitdaging betekent voor de persoon die ze tracht op te lossen. Een opgave is voor iemand een probleem als de volgende voorwaarden voldaan zijn: - De probleemoplosser kan de situatie niet oplossen door enkel gebruik te maken van zijn parate kennis of van een gekend algoritme. - De probleemoplosser is gemotiveerd om een oplossing te vinden. De opgave moet hem dus aanspreken en hem uitdagen. - De probleemoplosser is in staat om een serieuze poging te ondernemen om de oplossing zelf te vinden. Het is dus duidelijk de bedoeling de leerlingen te confronteren met oefeningen die voor hen niet meteen een routineoefening zijn. Het volstaat hier dus niet de toepassingen te maken die een hoofdstuk van de andere leerstofonderdelen afsluiten en waarbij mathematiserings- en oplossingsprocedures tot een voorspelbare routine herleid worden. Het leren gebruiken van heuristieken en het leren kiezen uit verschillende oplossingsstrategieën komen zo niet aan bod. De wiskundige inhouden zijn hier dus slechts ondersteunend voor het ontwikkelen van deze probleemoplossende vaardigheden. Het gaat dus niet over oefeningen om een bepaalde standaardwerkwijze te verwerven volgens een aangeleerde procedure. Lange (soms ingewikkelde) berekeningen (waarvoor men een algoritme kent) waarbij het mogelijk is dat men rekenfouten zal maken, vormen geen probleem maar wel een complexe oefening.

LEERLIJN Probleemoplossende vaardigheden staan in alle leerplannen van elke graad expliciet vermeld. Het oplossen van problemen moet dus in alle leerjaren voldoende aandacht krijgen. Bovendien is het oplossen van problemen voor leerlingen die het secundair onderwijs aanvatten geen onbekend terrein. In de basisschool werden de leerlingen immers vertrouwd gemaakt met het leren oplossen van wiskundige problemen en het ontwikkelen van zoekstrategieën. Bij het aanpakken van problemen pikken we best in op het niveau van onze leerlingen. Dit moeten we al doen vanaf het eerste jaar. Op die manier ontwikkelen we de probleemoplossende vaardigheid bij onze leerlingen. Het is hierbij belangrijk om leerlingen vertrouwd te maken met contextrijke problemen, maar er tevens over te waken dat dit niet tot ontmoediging kan leiden wegens te complexe opgaven.

Eerste graad A Het is belangrijk dat leerlingen vanaf het eerste jaar op een gestructureerde manier en over het hele schooljaar gespreid problemen leren aanpakken. De zogenaamde beertjes van Meichenbaum visualiseren de te volgen strategie.



Pagina 12 van 20

De leraar heeft hierbij een voorbeeldfunctie en besteedt bijgevolg tijdens de lessen best voldoende aandacht aan elk van deze fasen. De term ‘probleem’ krijgt hier best een ruime interpretatie. Zo kunnen aan bod komen: - vraagstukken met te veel gegevens of te weinig gegevens, met gegevens in tabelvorm of in grafische vorm … ; - vraagstukken waarbij leerlingen zelf een vraag bij de situatie moeten stellen; - vraagstukken waarbij patronen moeten voortgezet worden of waarbij formules moeten opgesteld worden, dus waarbij niet alleen kwantitatieve grootheden aan bod komen; - meetkundige problemen, waarbij eigenschappen moeten ingezet worden. De term ‘probleem’ gebruiken we best niet in de context van oefeningen om een bepaalde standaard oplossingswijze te verwerven.

Tweede graad Via een volgehouden integratie in het normale lesgebeuren, willen we de leerlingen de vaardigheid aanleren om zelfstandig problemen te kunnen oplossen. Dit gebeurt best doorheen een actief proces van zichzelf vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onderzoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstellingen vereenvoudigen, voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens argumenteren, … Tijdens dit proces moeten de leerlingen vertrouwd raken met een gestructureerde aanpak, bv.



Pagina 13 van 20

Binnen de fase van het exploreren en mathematiseren worden vaak zoekstrategieën of heuristieken gebruikt. Belangrijk is om deze bij gebruik te expliciteren om doelbewust het gebruik hiervan na te streven om zo een vorm van zekerheid te bieden bij complexere problemen. Voorbeelden van veel gebruikte heuristische methoden zijn: - gegeven en gevraagde wiskundig expliciteren; - bij een gegeven situatie een schets of een tekening maken; - bij een gegeven situatie een voorbeeld of een tegenvoorbeeld geven; - bij een situatie bijzondere gevallen onderzoeken; - gebruik maken van analogie, symmetrie, …; - een eenvoudigere probleemstelling onderzoeken; - een of meer veranderlijken in het probleem constant houden; - een gestelde voorwaarde laten vallen.

Derde graad Deze aanpak moet dan verder gezet worden in de derde graad. ‘Mathematiseren en oplossen van problemen’ behoort tot de verplichte leerplandoelstellingen. We merken hierbij op dat toepassingen die uiteraard worden gemaakt binnen reële functies en algebra, statistiek en financiële algebra, niet volstaan om dit onderwerp te realiseren. Als de opdrachten onmiddellijk aansluiten bij de geziene leerstof, komen leerlingen vaak tot oplossingen zonder een degelijke exploratie- en planningsfase. De bedoeling van dit onderwerp is leerlingen te confronteren met ‘problemen’, opdrachten die voor hen niet meteen een routineoefening betekenen, maar wel een analyse (exploratie) vereisen. Dit zijn opgaven waarbij de leerlingen - bewust gebruik leren maken van mogelijke oplossingsstrategieën (heuristieken); - de verschillende fasen van het oplossingsproces duidelijk expliciteren (zie verder); - een onderzoekende houding aannemen; - planmatig werken; - voldoende aandacht hebben voor ‘demathematisering’, interpretatie, reflectie. Het is de bedoeling om hieraan aandacht te besteden tijdens de 15 lestijden die voorzien zijn voor het ‘mathematiseren en oplossen van problemen’. Uiteraard mag ‘problem solving’ niet tot deze lessen beperkt blijven. Het spreekt vanzelf dat de aangeleerde strategieën ook in de ‘gewone’ lessen waar vraagstukken aan bod komen, aangewend worden. Bij het uitkiezen van opdrachten waakt de leraar er best over dat de leerlingen voldoende succeservaringen kunnen hebben. Belangrijk is dat: - verschillende wegen tot een oplossing zichtbaar worden en leerlingen deze weten te waarderen; - ruimere probleemstellingen behandeld worden in de vorm van groepstaken zodat leerlingen, weliswaar op hun niveau, over problemen en wiskunde kunnen communiceren; - de leerlingen voldoende succeservaringen krijgen; - er voldoende contextrijke vragen, los van de leerinhouden, voorkomen; - heuristieken gebruikt worden.



Pagina 14 van 20

4.3. Probleemoplossende vaardigheden in de klaspraktijk BELANG VAN DE VOORBEELDFUNCTIE VAN DE LERAAR De leerlingen moeten de leraar kunnen ervaren als ‘probleemoplosser’. Dat wil zeggen dat de leraar zijn denkstappen transparant maakt voor de leerlingen, met inbegrip van het gissen en missen, het uitproberen, het zoekend onder woorden brengen. Als de leraar een heuristiek hanteert, zal hij die werkwijze ook luidop weergeven.

KEUZE VAN DE OPGAVEN  In het vijfde jaar zou een mogelijke aanpak kunnen zijn dat we de leerlingen aanvankelijk tijdens een aantal lessen confronteren met een reeks kleinere opgaven waarbij telkens één bepaalde heuristiek in de kijker wordt geplaatst.  Uiteindelijk moeten we kunnen streven naar voldoende opgaven (klassikaal, individueel, in groep) waarbij alle fasen van het probleemoplossend denken aan bod komen.  Opgaven in leer(werk)boeken zijn vaak al sterk gestructureerd. We denken hierbij aan opgaven waarbij een tekening, een assenstelsel, een schema … is gegeven, opgaven waarbij de gegevens al aangeduid zijn op een figuur, opgaven waarbij vanuit deelvragen tot een oplossing wordt gekomen, opgaven waarbij de antwoorden al gedeeltelijk klaar staan … Dergelijke opgaven laten mogelijkheden onbenut om alle fasen van een oplossingsproces (in het bijzonder de eerste en de laatste fase) expliciet aan bod te laten komen.  Als er te veel tussenstappen voorkomen, wordt het probleem vaak ‘weggegeven’. Het is dus noodzakelijk om leerlingen geregeld met open opgaven te confronteren om zo de probleemoplossende vaardigheden verder te ontwikkelen. Dit zal meestal een aanpassing vereisen van opgaven in het leer(werk)boek of een keuze voor ‘boeken dicht’. Door bijvoorbeeld alleen de laatste deelvraag in een opgave te stellen, kan een opgave een probleem worden. Voorbeeld Het totale volume van deze stapel kubussen is 47,736 cm³. 1) 2) 3) 4)

Hoeveel kubussen bevat deze stapel? Bereken het volume van één kubus. Bereken de zijde van één kubus. Hoe hoog is de stapel?

Door enkel de laatste vraag te stellen, namelijk “Hoe hoog is de stapel?”, wordt de opgave een meer open probleem.

 Er komt zo meer ruimte voor inbreng van de leerlingen, voor suggesties door de leraar (voorbeeldfunctie), voor het zoekproces (‘kladwerk’) door de leerlingen (al dan niet samen met de leraar), voor een beter inzicht in het denken van de leerlingen. De leraar kan de leerlingen ook bewust maken van de rol van ‘tussenvragen’ bij bepaalde opdrachten.



Pagina 15 van 20

WERKVORMEN Opteer voor werkvormen die: - ruimte bieden voor zelfstandig werken en samenwerkend leren; - ruimte bieden voor gedifferentieerd werken; - ruimte bieden voor het bespreken van verschillende oplossingen; - ruimte bieden voor feedback.

EVALUATIE Hieronder geven we enkele mogelijke ideeën.

Vakgebonden attitudepunten Tijdens individueel werk of groepswerk, kan je vakgebonden attitudepunten toekennen. Zo kan je bv. bij een bepaalde opdracht een bepaalde attitude in de kijker plaatsen en bij de puntentoekenning je laten inspireren door onderstaande tabel.

Co-evaluatie van vaardigheden en attitudes Je kunt de leerlingen ook zichzelf laten beoordelen en – in samenspraak met de leerkracht – punten laten geven.

Zo kun je hen bv. voor enkele rubrieken punten laten geven van 1 tot 4:



Pagina 16 van 20

De rubrieken zouden bv. de volgende kunnen zijn (afhankelijk van de soort opgaven):

 Ik kon vlot berekeningen maken met getallen.

(rekenvaardigheid)

 Ik kon de opgaven ruimtelijk voorstellen.

(meet- en tekenvaardigheid)

 Ik kon aan de groepsleden mijn gedachten verwoorden.

(taalvaardigheid)

 Ik kon onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken.

(denken redeneervaardigheid)

 Ik kon een gepaste heuristiek vinden en toepassen.

(probleemoplossende vaardigheid)

 Ik aanvaardde niet zomaar een bewering of redenering.

(kritische zin)

 Ik werkte goed samen met mijn groepsleden en riep pas de leraar als laatste redmiddel.

(doorzettingsvermogen)

 Ik zag in dat mijn kans op een goed resultaat vergroot door samenwerking met anderen.

(zin voor samenwerking en overleg)

Zo verkrijg je in het kader van het mathematiseren en oplossen van problemen voor elke leerling een overzicht van vaardigheden en attitudes gekoppeld aan de verschillende opdrachten en krijg je zicht op de evolutie.

Na drie opdrachten zou het resultaat er bv. als volgt kunnen uitzien: Opdracht

Vaardigheden

Attitudes

1

7/20

= 35 %

8/12 = 67 %

2

11/20 = 55 %

9/12 = 75 %

3

12/20 = 60 %

9/12 = 75 %

…

…

…

Klassikale bespreking Afhankelijk van de verrichtingen van de leerlingen tijdens zelfstandig werk of groepswerk, kan het voor bepaalde oplossingen soms ook nuttig zijn dat ze klassikaal besproken worden. Zo kunnen verschillende oplossingswijzen met elkaar vergeleken worden en kunnen er eventuele fouten verbeterd worden. Indien je het wenst, kun je ook groepjes of individuele leerlingen enkele oplossingen laten presenteren voor de klas. Deze presentatie kan geëvalueerd worden, zowel naar inhoud als naar vorm.



Pagina 17 van 20

Beoordelingsblad Bij het verbeteren van de verwezenlijkingen van de leerlingen, kun je gebruik maken van een eenvoudige beoordelingsmatrix vergezeld van commentaar en een behaalde score. Voorbeeld:

Commentaar van de leraar: … Commentaar van de leerling: … Score: ….. / 10

4.4. Voorbeelden OMVORMEN TOT GESCHIKTE OPGAVEN Omdat succeservaringen en het ontwikkelen van vaardigheden primeren op de wiskundige inhouden en complexiteit, zal de moeilijkheidsgraad van een oefening heel sterk afhangen van de sterkte van je leerlingen. Het publiek is dikwijls zeer heterogeen. Vaak is er binnen studierichtingen met leerplan c nog een instroom van leerlingen uit richtingen die wiskundig wat sterker zijn. Daarnaast zijn er ook heel wat leerlingen die zich al jarenlang hard hebben moeten inzetten voor wiskunde. De ‘honger’ naar wiskundige uitdagingen zal dus sterk verschillen van leerling tot leerling. Differentiatie is bijgevolg het sleutelwoord binnen dit verhaal. We zullen hier niet dieper ingaan op verschillende methodes van differentiatie, enkel op de mogelijkheid tot differentiatie in vraagstelling en ondersteuning. Vaak is het geven van meer / minder / geen tussenvragen hierbij doorslaggevend. We werken twee voorbeelden uit:



Pagina 18 van 20

Voorbeeld 1 Ward heeft een auto met een benzinetank van 60 liter. Zijn auto verbruikt gemiddeld 7 liter per 100 km. De auto van Jan heeft een tank van 50 liter en verbruikt gemiddeld 6 liter per 100 km. In beide auto’s is er een verklikkerlichtje dat begint te branden zodra er minder dan 5 liter benzine in de tank zit.

Sterk sturend We beschouwen de functies die voor elk van de auto’s de inhoud I van de tank (in liter) uitdrukt in functie van de afgelegde weg x (in km). 1) Vul de tabel aan:

2) Geef een voorschrift voor beide functies. 3) Na hoeveel km gaat dit lichtje branden bij Ward? En bij Jan?

Minder sturend We beschouwen de functies die voor elk van de auto’s de inhoud I van de tank (in liter) uitdrukt in functie van de afgelegde weg x (in km). 1) Geef een voorschrift voor beide functies. 2) Na hoeveel km gaat dit lichtje branden bij Ward? En bij Jan?

Zelfstandig Na hoeveel km gaat het dit lichtje branden bij Ward? En bij Jan?

Voorbeeld 2 Een stalagmiet is 1,875 m en groeit jaarlijks met 2,5 mm. Na hoeveel jaar is de druipsteen 5 m hoog? Sterk sturend Stel een tabel op waaruit je de hoogte h (in m) kan aflezen in functie van de tijd t (in jaar), waarbij je de tijd t laat variëren van 0 tot 10. 1) Leid uit deze tabel een formule af om de hoogte h van de stalagmiet na t jaar te kunnen berekenen. 2) Na hoeveel jaar is de druipsteen 5 m hoog?

Minder sturend 1) Stel een formule op om de hoogte h van de stalagmiet na t jaar te kunnen berekenen. 2) Na hoeveel jaar is de druipsteen 5 m hoog? Zelfstandig Een stalagmiet is 1,875 m en groeit jaarlijks met 2,5 mm. Na hoeveel jaar is de druipsteen 5 m hoog? Begeleiding wiskunde West-Vlaanderen – Dag van de studierichtingen – Schooljaar 2015-2016 Derde graad kso/tso met twee wekelijkse lestijden wiskunde


Pagina 19 van 20

WAAR KUN JE INSPIRATIE OPDOEN?  Vragen uit handboeken / leer(werk)boeken (ook van de eerste en tweede graad!) met hierbij twee bedenkingen (zie ook hoger): - maak zoveel mogelijk ‘open’ opgaven van vragen waarbij er tussenvraagjes voorkomen; - indien de vragen handelen over reële functies en algebra, statistiek of financiële algebra, zorg er dan voor dat ze niet aansluiten op de zopas geziene leerstof.  Vragen uit de Kangoeroewedstrijden: https://www.kangoeroe.org/kangoeroe/oefenen/kangoeroevragen-per-jaargang-en-editie .  Vragen uit JWO: http://www.vwo.be/vwo/vorige-edities/alle-vragen .  T3-cahier 36 (in bijlage): http://www.t3vlaanderen.be//fileadmin/t3-be/cahiers/cahier_36.pdf .  Examenvragen uit Nederland (kies dan voor VMBO of HAVO): http://www.wiskunde-examens.nl/ . Belangrijk hierbij is om voorbeeldvragen niet zomaar over te nemen, maar aan te passen of tussenvragen weg te laten.  Werkwinkels op dagen van de wiskunde.



Pagina 20 van 20

5. Aandachtspunten bij opmaken van jaarplan  Om het even welk leermateriaal men gebruikt, een kritische ingesteldheid t.a.v. het leerboek, het werkboek, het leerwerkboek en de eventuele bijbehorende handleiding is noodzakelijk. Het leerplan primeert immers op het leermateriaal. Maak dus een goed doordachte selectie in het leermateriaal met het leerplan als uitgangspunt (doelstellingen, suggesties voor het aantal lestijden, pedagogischdidactische wenken …).  Het is vanzelfsprekend dat de planningen aan bod komen in de vakgroep en door samenspraak en overleg tot stand komen. Daarbij is ook verticaal overleg wenselijk en vaak ook noodzakelijk (beginsituaties, leerlijnen ...) om de continuïteit in de leerplannen te bewaken.  Zorg voor een goede spreiding van de onderwerpen over de derde graad. Zo is het zeker niet aan te bevelen om het onderwerp ‘reële functies en algebra’ in één geheel af te werken binnen één schooljaar!!  Plan bufferruimtes, onder meer om te gebruiken voor het oefenen op grotere gehelen of om te differentiëren en remediëren.  Voorzie voldoende tijd voor het onderwerp ‘Mathematiseren en oplossen van problemen’. Het leerplan voorziet hiervoor ongeveer 15 lestijden, evenwichtig gespreid over het eerste en tweede leerjaar van de derde graad.  Het is zinvol dat alle leraren inzage hebben in de jaarplannen die door de leden van de vakgroep worden gebruikt.  Het jaarplan is een belangrijk werkinstrument. Er mag bijgevolg in geschrapt, aangepast, gecorrigeerd en toegevoegd worden. Sommige leraren werken met jaarplannen waarin het geplande aantal lestijden het maximum aantal mogelijke lestijden overschrijdt. Dit geeft dan vaak problemen voor de afwerking van de leerinhouden die in het derde trimester gepland worden.  Bij de verdeling van de lestijden vertrek je best vanuit het minimum aantal jaaruren (= 25 x aantal wekelijkse lestijden). Hoewel leraren geregeld signaleren dat er veel lesuren wegvallen, stellen we in de praktijk doorgaans vast dat de leraren kunnen beschikken over het minimumaantal, behalve in sommige studierichtingen waar stageperiodes worden ingelast. Mocht blijken dat essentiële leerinhouden niet kunnen behandeld worden omdat het minimum aantal jaaruren niet kan gegeven worden, wordt dit best besproken met de directie.



BESPREKING VAN HET LEERPLAN

Recommend Documents