BEBAN Secara garis besar beban dibagi menjadi : A. Beban Primer Adalah beban yang mutlak ada pada suatu struktur. 1. Beban Mati (Dead Load) Adalah berat sendiri struktur dan bagian-bagian struktur yang tetap berada pada struktur tersebut. Untuk mengetahui besarnya, perlu diketahui dimensi / ukuran batang dan jenis bahan yang digunakan. 2. Beban Hidup (Life Load)/ Beban Bergerak Adalah semua barang yang dapat berpindah / bergerak. Misalnya : orang, meja dan kursi. 3. Beban Kejut (Impact Load) Terjadi akibat adanya benda yang bergerak dengan kecepatan tertentu. Misalnya : mobil melewati jembatan dengan kecepatan tertentu. B. Beban Sekunder 1. Beban Angin Beban yang terjadi akibat adaanya tiupan angin. π£2 π= 16
Keterangan : P = Tekanan angin (kg/m2) v = kecepatan angin (m/detik)
Rumus ini merupakan rumus empiris. 2. Beban Akibat Perbedaan Suhu 3. Beban Rem / Traksi C. Beban Khusus Beban yang tinujauannya hanya pada keadaan khusus atau tertentu. 1. Beban Gempa Beban yang terjadi / diterima oleh struktur akibat adanya gempa bumi. 2. Beban Sentrifugal Keterangan : ππ£ 2 m = massa πΉ= π
v = kecepatan R = Jari-jari 3. Beban Akibat Aliran Air/ Zat Cair Berdasarkan bentuk / formasinya, beban dibagi menjadi : 1.
Beban Titik Misalnya : orang berdiri, motor, mobil dll. Satuannya : kg, ton, lbs (pounds), kip, Newton (kg m/detik2) atau dyne ( gr cm/detik2).
1
2.
3. 4.
Beban Terbagi Merata Misalnya : Berat sendiri struktur atau bagian strukutur. Satuannya : kg/m`, ton/m`, lbs/ft, kip/ft. Beban Segitiga Misalnya : tekanan air atau zat cair. Beban Trapesium
Berdasarkan mekanisme beban terhadap struktur, beban dibagi mejadi : 1. 2.
Beban Langsung Beban Tak Langsung Beban yang bekerja pada suatu batang dimana batang ini membebani atau didukung oleh batang pendukung utama. Misalnya : jembatan kereta api, jembatan jalan raya.
Beban didalam mekanika struktur digambarkan sebagai gaya, karena memiliki besar dan arah. Jadi merupakan suatu vektor. Panjang vektor / gaya menggambarkan besarnya gaya tersebut. Titik tangkap = tempat pegangan suatu gaya terhadap suatu benda. Garis kerja gaya = garis yang melalui titik tangkap, ditarik menurut arah gayanya. Misalnya : Gaya sebesar 2 ton kalau kita gambarkan dengan skala 1 cm = 1 ton, arah vertikal ke bawah.
2 cm = 2 ton
2
GAYA MACAM β MACAM GAYA 1. GAYA YANG TERLETAK PADA SATU BIDANG (COPLANEL) Gaya-gaya coplanel terdiri atas : a. Gaya-gaya coplanel yang concurent (berpotongan di satu titik) F1 F2 F3
b. Gaya-gaya coplanel yang paralel atau sejajar F1 F2
F3
c. Gaya-gaya coplanel umum (pada satu bidang ada yang sejajar dan ada pula yang berpotongan. F2 F1 F3 F4
2. GAYA β GAYA NON COPLANEL Gaya-gaya non coplanel terdiri atas : a. Gaya-gaya non coplanel yang concurent (berpotongan di satu titik) F1 F2 F3 F4
b. Gaya-gaya non coplanel yang paralel atau sejajar
F1 F2 F3 F4
3
c. Gaya-gaya non coplanel umum F1 F2
F3
F4
3. RESULTAN GAYA Menentukan resultan : a. Kaidah jajaran genjang (Paralelogram Law) π
= βπΉ1 2 + πΉ2 2 + 2πΉ1 πΉ2 cos(πΌ + π½) b. Kaidah segi tiga (Triangle Law) F1
F1 R
R F2
F2
Gaya dalam keadaan setimbang jika resultnnya = 0, yaitu : ujung gaya terakhir bertemu dengan pangkal gaya yang pertama. F2 F1 F3
F6
F4 F5
R dan Rβ setimbang. Kalau R diuraikan menjadi F1 dan F2 maka F1β, F2β dan Rβ setimbang. F1'
F2 '
F2
R
R'
F1
Tiga buah gaya dalam kedaan setimbang apabila ketiga garis kerja gaya tersebut berpotongan di satu titik. Diagram segitiga dari gaya-gaya tersebut membentuk segitiga tertutup
4
JENIS β JENIS STRUKTUR Suatu struktur diakatakan stabil / setimbang, bila struktur tersebut memenuhi 3 persamaan : 1. β πΉπ» = 0 2. β πΉπ£ = 0 3. β ππ₯ = 0 Ketiga persamaan diatas disebut persamaan kesetimbangan (equation of static equilibrium) / pesamaan statika konstruksi. Momen = gaya x jarak vertikal dari gaya tersebut ke titik yang ditinjau. A. STRUKTUR STATIS TERTENTU Suatu struktur yang untuk menyelesaikannya cukup dengan menggunakan ketiga persamaan diatas (persamaan kesetimbangan) Jenis β jenis struktur statis tertentu : 1. Struktur sendi-rol / struktur sederhana / simple beam / balok sederhana. 2. Struktur kantilever / overstek / struktur jepit bebas. 3. Compound beam / balok gerber / balok majemuk 4. Portal sendi-rol 5. Pelengkungan tiga sendi 6. Frame work / struktur rangka batang. 7. Struktur gantung statis tertentu. B. STRUKTUR STATIS TAK TENTU Suatu struktur yang untuk menyelesaikannya diperlukan : 1. Persamaan kesetimbangan 2. Persamaan perubahan bentuk (persamaan belahan) Jenis β jenis struktur statis tek tentu : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Struktur balok datar statis tak tentu Struktur portal statis tak tentu Pelengkungan dua sendi Pelengkungan tiga sendi Frame work statis tak tentu Struktur gantung statis tak tentu Spanwerk statis tak tentu
Benda yang bergerak mengalami dua proses yaitu : 1. Translasi 2. Rotasi
5
Untuk mengeliminir / meniadakan translasi dengan cara memberi konstruksi sendi pada salah satu ujungnya. Untuk mengeliminir / meniadakan rotasi dengan cara memberi konstruksi sendi pada salah satu ujung yang lainnya. Sifat perletakan sendi : 1. Tidak dapat bergerak ke atas dan ke bawah. 2. Tidak dapat bergerak ke kiri dan ke kanan. 3. Dapat berputar (tidak mampu menahan momen) Sifat rol : 1. Tidak dapat bergerak ke atas dan ke bawah. 2. Dapat menggelincir Sifat jepit : 1. Tidak dapat bergak ke atas dan ke bawah 2. Tidak dapat bergerak ke kiri dan ke kanan 3. Tidak dapat berputar Jika suatu struktur menerima beban, maka pada setiap perletakannya akan timbul rekasi sedemikian sehingga struktur berada dalam keadaan setimbang. Rumus untuk mengetahui apakah struktur itu memenuhi struktur statis tertentu atau tidak adalah sebagai berikut : 2j = m + r Keterangan : j
= Jumlah joint / titik kumpul / titik buhul / titik nodal
m
= Jemlah batang / member
r
= Jumlah reaksi
Apabila suatu struktur memenuhi persamaan diatas, maka struktur tersebut termasuk struktur statis tertentu, artinya dapat diselesaikan dengan persamaan kesetimbangan saja. Jika suatu struktur tidak memenuhi persamaan diatas, maka struktur tersebut termasuk struktur statis tak tentu.
6
PERLETAKAN ATAU DUKUNGAN Adalah suatu struktur yang akan meneruskan pembebanan pada fondasi atau tumpuan yang lain. Karena pada perletakan terdapat pembabanan (aksi), maka pada perletakan akan timbul perlawanan (reaksi) dari beban oleh struktur pendukung seterusnya. Jika suatu batang diberi gaya, maka ada beberapa perilaku batang : 1. Batang bertambah panjang akibat gaya aksial 2. Batang bertambah pendek akibat gaya aksial 3. Batang melentur akaibat gaya lintang Peristiwa tekan dan tarik umumnya terjadi pada struktur rangka batang, sedangkan peristiwa lentur terjadi pada balok yang dibebani. Gaya aksial : gaya yang bekerja pada batang / benda, dan arah gaya tersebut searah dengan sumbu benda / batang itu. Tegangan : besar gaya yang bekerja pada tiap satuan luas tampang benda yang dikenali suatu besaran gaya tertentu. Menurut arah dari gaya terhadap benda yang dikenainya, gaya aksial dapat dibedakan sebagai berikut : 1. Gaya aksial tarik yang akan menimbulkan tegangan tarik 2. Gaya aksial tekan yang akan menimbulkan tegangan tekan Gaya aksial atau gaya secara umum akan mengakibatkan terjadiya tegangan normal dan tegangan geser pada benda yang dikenainya. 1. Peristiwa tarik
2. Peristiwa tekan
3. Peristiwa lentur
7
Jika suatu gaya P bekerja pada suatu tampang / lauasan tertentu F, maka sesuai dengan definisi : π Tegangan normal π = limβπΉβ0 πΉ p p h b
Untuk tampang prismatik
π=
π πΉ
F=bxh
Tegangan geser : π=
π πΉ
π=
π πΓπΏ
B
L
Contoh : GAYA GESER PADA SAMBUNGAN PAKU KELING 1. Satu bidang geser π=
π πΉ
π=1 4
π
π=
ππ· 2
p
4π ππ· 2
p
2. Dua bidang geser π π= 2πΉ
π=
π
π=
1
2 Γ 4 ππ· 2
P 2 P 2
2π ππ· 2
p
Tegangan Tekan
P
t
π
π
Tegangan desak π = πΉ π = π‘Γπ
d
Tampak samping Jika plat robek, maka tegangan geser :
P
l
π
Tegangan desak π = 2ππ
π
π=πΉ
b
8
HUBUNGAN TEGANGAN DAN REGANGAN Benda dikatakan tertarik, jika ada pertambahan panjang. Benda dikatakan terdesak , jika ada pengurangan panjang. Benda dikatakan menderita gaya normal, jika benda tersebut mengalami perpanjangan atau pengurangan. Regangan adalah nilai banding antara perubahan panjang βL dengan panjang awal L pada benda mengalami perubahanpanjang akibat suatu gaya.
P
P L
π=
βπΏ πΏ
?L
Secara grafis, hubungan antara tegangan dengan regangan pada pengujian terhadap batang adalah sebagai berikut.
Luluh : panjang bertambah tanpa adanya perubahan gaya. TgΞΈ
: modulus elastisitas = E
Titik A : batas proporsional / batas banding. : batas daerah dimana antara tegangan dan regangan sebanding. Menurut HK. Hooke, pada daerah elastis berlaku hubungan : π =πΓπΈ
π=
π πΉ
πΈ=
π βπΏ = .πΈ πΉ πΏ
π π
βπΏ =
π. πΏ πΈ. πΉ
9
STRUKTUR SENDI ROL Struktur sendi rol mempunyai 3 buah bilangan yang belum diketahui, 2 buah berasal dari sendi (Rav dan Rbv) dan 1 buah berasal dari rol (Rb). Struktur ini dapat diselesaikan dengan 3 persamaan kesetimbangan ( βFv = 0, βFh = 0, βMx = 0 ) sehingga struktur ini termasuk strukutur statis tertentu. 1. Mencari Reaksi Dukungan a. Akibat beban titik P a
b C
A
B L
Rav
Rbv
βFv = 0 βFh = 0 βMx = 0 βMB = 0
βMA = 0
π
ππ£. πΏ β π. π = 0 π. ππ = 0 π
ππ£. πΏ = π. π π
ππ£ =
βπ
ππ£. πΏ + π
ππ£. πΏ = π. ππ
π. π πΏ
π
ππ£ =
π. π πΏ
Jika P lebih dari satu maka : π
ππ£ = β
π. π πΏ
π
ππ£ = β
π. π πΏ
b. Akibat beban terbagi merata Untuk hitungan reaksi, beban terbagi merata q sepanjang b dapat kita anggap sebagai beban terpusat ekivalen sebesar q.b yang bekerja pada tengah β tengah b, sehingga : βMB = 0 a
b
c
1
π
ππ£. πΏ β (π. π). (2 π + π) = 0
q B
A L
Rav
Rbv
1
π
ππ£. πΏ = (π. π). (2 π + π) 1
βMA = 0
π
ππ£ = 1
(π. π). ( π + π) 2 πΏ
βπ
ππ£. πΏ + (π. π). (2 π + π) = 0 1
π
ππ£. πΏ = (π. π). ( π + π) 2
π
ππ£ =
1 2
(π. π). ( π + π) πΏ
10
c. Kombinasi beban titik dan terbagi merata P
d a
βMB = 0
e b
1
π
ππ£. πΏ β (π. π). ( π + π) β (π. π) = 0
c
2
q
1
π
ππ£. πΏ = (π. π). (2 π + π) + (π. π)
B
A L
Rav
Rbv
1
π
ππ£ =
(π. π). ( π + π) + (π. π) 2 πΏ
βMA = 0 1
βπ
ππ£. πΏ + (π. π). (2 π + π) + (π. π) = 0 1
π
ππ£. πΏ = (π. π). (2 π + π) + (π. π)
π
ππ£ =
1 2
(π. π). ( π + π) + (π. π) πΏ
2. Gaya Lintang SHEARING FORCE DIAGRAM merupakan gambar atau diagram yang meunjukkan besarya nilai-nilai gaya lintang pada titik β titik seanjang bentangan untuk suatu jenis struktur dan beban tertentu. SFD dinyatakan positif apabila bagian kiri mengadakan bagian kanan gaya vertikal ke atas atau bagian kanan mengadakan bagian kiri gaya vertikal ke bawah. a. Beban titik P a A
Daerah AC SFx = Rav ο Pers, Linier y = c
b C
B L
Rav
Rbv
Daerah CB SFx = Rav β P ο Pers, Linier y = c
Rav
A
C
B
Rav - P
Rbv
11
b. Beban terbagi merata x
q
SFx = Rav - q.x ο Pers, Linier
A
B
Rav
Rbv
(garis berupa garis lurus)
Rav
Rbv
c. Kombinasi beban titik dan beban terbagi merata P
Daerah AC SFx = Rav - q.x ο Pers, Linier
q C
A
B
D
Rav
(garis berupa garis lurus)
Rbv a
b
c
Daerah CD SFx = Rav - q.a ο Pers, Linier Rav
(garis berupa garis lurus)
Daerah DB Rbv
SFx = Rav - q.a - p ο Pers, Linier y = c
3. Momen BENDING MOMEN DIAGRAM adalah gambar atau diagram yang menunjukkan besarnya nilai β nilai momen pada titik β titik sepanjang bentangan untuk suatu jenis struktur dan beban tertentu. BMD dinyatakan positif apabila bagian kiri mengadakan bagian kanan putaran yang searah jarum jam atau bagian kanan mengadakan bagian kiri putaran yang berlawanan arah jarum jam.
12
a. Beban titik P
Daerah AC
a C
A
Mx = Rav . x ο Pers, Linier
b B
x L
Rav
Daerah CB
Rbv Mx = Rav . x β P. (x - a) ο Pers,
Linier
Mc = Rav . a Mc = Rbv . b
b. Beban terbagi merata x
q
Mx = Rav . x β q . x . Β½ x A
B
Rav
Rbv ο Pers. Kuadrat grafik parabola
x=0
Mx = Rav . x β Β½ .q . x2
Mx = 0 3
x = ΒΌ L Mx = Rav . ΒΌ L β Β½ .q . (ΒΌ L )2
= 32 . π πΏ2
x = Β½ L Mx = Rav . Β½ L β Β½ .q . (Β½ L)2
= 8 . π πΏ2
x = ΒΎ L Mx = Rav . ΒΎ L β Β½ .q . ( ΒΎ L )2
= 32 . π πΏ2
x=L
1
3
Mx = 0
13
c. Kombinasi beban titik dan beban terbagi merata P
Daerah AC
a
b
Mx = Rav . x β q . x . Β½ x
q A Rav
C
Mx = Rav . x β Β½ .q . x2 B
ο Pers. Kuadrat grafik parabola
Rbv
Daerah CB Mx = Rav . x β q . x . Β½ x β P(x-a) Mx = Rav . x β Β½ .q . x2 - P(x-a) ο Pers. Kuadrat grafik parabola
Grafik berupa parabola sebab beban terbagi merata lebih berpengaruh daripada beban titik.
14
OVERSTEK Overstek adalah struktur yang salah satu ujung batngnya terjepit dan ujung yang lainnya bebas, dengan demikian reaksi vertikal, rekasi horizontal dan momen akibat beban luar ditahan oleh perletakan jepit. 1. Overstek dengan beban titik a. Diagram gaya lintang (SFD) SFx = P (persamaan linier y = c) X = 0 ο SFb = P X = L ο SFa = Rav = P Sehingga gambar SFD berupa empat persegi panjang. P
P
x
x
A
Rah
A B
B
Rav
Rav
b. Diagram bidang momen (BMD) Mx = -P . x (Persamaan linear ο Grafik berupa garis lurus) X = 0 ο Mb = 0 X = L ο Ma = -P . L BMD tandanya negatif, karena untuk beban kebawah balok melantur kebawah seperti pada gambar dibawah ini, sehingga serat atas tertarik dan serat bawah tertekan. P
P
x Rah
x
A
A B
Rav
B
Rah
Rav
15
Rah
2. Overstek dengan beban terbagi merata a. Diagram gaya lintang SFD SFx = q . x (Persamaan linier y = c.x) x=0 ο SFb = q . 0 = 0 x=Β½L ο SF = Β½ . q . L x=L ο Sfa = Rav = q. L x Rah
A
B
Rav
b. Diagram Bidang Momen (BMD) Rav = q . L ( keatas) Mx = -q . x . Β½ x (persamaan kuadrat ο grafik berupa lengkung parabola) x=0 ο Mb = q . 0 . 0 = 0 x=Β½L ο M = -1/8 . q . L2 x=L ο Ma = - Β½ q . L2
x Rah
A
B
Rav
Struktur overstek biasanya tidak berdiri sendiri, tetapi biasanya menjadi astu dengan balok sendi rol, sehingga menjadi struktur sendi rol dengan overstek. Ada pula overstek yang menjadi satu kolom.
16
Solusi Numerik 1. SOAL 1
A
2 kN
B
10 m
Rav
βMb = 0 RAv . 10 + 2 . 2 = 0 RAv = -0.4 kN (Rav yang terjadi kebawah) βMa = 0 -Rbv . 10 + 2 . 12 = 0 Rbv = 2.4 kN (Rbv yang terjadi keatas)
2m
Rbv 2 kN
SFD
Cek βFv = 0 -0,4 β 2 + 2,4 = 0
0.4 kN BMD 4 kNm
BMD Ma = 0 Mb = -2 . 2 = -4 kNm Mc = 0 2. SOAL 2 4 kN
A
2 kN
C 4m
4m
Rav
B
D 2m
Rbv
SFD 1,5 kN
2 kN
2,5 kN
BMD 4 kNm
6 kNm x
βMb = 0 RAv . 8 + 2 . 2 β 4 . 4 = 0 RAv = 12/8 = 1,5 kN βMa = 0 -Rbv . 8 + 2 . 10 + 4 . 4 = 0 Rbv = 36/8 = 4,5 kN Cek βFv = 0 4,5 + 1,5 - 6 = 0 BMD Ma = 0 Mc = Rav . 4 = 1,5 . 4 = 6 kNm Mb = -2 . 2 = 0= -4 kNm Md = 0 Mencari titik x Rav . (4 + x) β 4 . x = 0 1,5 (4 + x) β 4x = 0 6 + 1,5x β 4x = 0 2,5x = 6 x = 2,4 m
17
3. SOAL 3 2 kN 2 kN 1 kN/m' 2m
A
8m
Rav
B
2m
Rbv
SFD 4 kN
βMb = 0 RAv . 8 + 1 . 2 + 1 . 2 . 1 β 2 . 10 β 1 . 8 . 4 = 0 RAv = 48/8 = 6 kN βMa = 0 -Rbv . 8 - 2 . 2 + 1 . 10 + 1 . 10 . 5 = 0 Rbv = 56/8 = 7 kN
3 kN 1 kN
2 kN 4 kN
Cek βFv = 0 6 + 7 β 2 β 1 β 1 . 10 = 0 (ok)
BMD 4 kNm
4 kNm
4 kNm
BMD Ma = -2 . 2 = -4 kNm Mb = -1 . 2 β 1. 2 . 1 = -4 kNm SFD = 0 Rav β q . (2+x) = 0 6 β 1 (2 + x) = 0 6β2βx=0 x = 4 m ( dari A) ο titik C Mc = Rav . 4 β 1 . 4 . 2 β 2 . 6 Mc = 6 . 4 β 8 β 12 = 4 kNm BMD = 0 Terjadi dari titik A Rav . x β Β½ q (2 + x)2 = 0 6x β Β½ . 1 . (4 + 4x + x2) = 0 x2 β 8x + 4 = 0 8 Β± β64 β 4.1.4 π₯= 2.1 X1 = 0.54 m (yang dipakai) X2 = 7.45 m
18
COMPOUND BEAM / BALOK GERBER / BALOK MAJEMUK Adalah struktur yang umumnya terdiri dari beberapa struktur sederhana (sendi β rol) 1. Struktur yang didukung oleh sendi A, rol B dan rol C Rah A
B
Rav
Rbv
S
C Rcv
2. Struktur yang didukung oleh sendi A, rol B, rol C, dan rol D. Rah A
B
Rav
Rbv
S1
S2
C
D
Rcv
Rdv
Dari contoh- contoh diatas, terlihat adanya beberapa jumlah βanuβ ( bilangan tak diketahui ), yang ditimbulkan dari dukungan sendi adalah dua anu, dari masingmasing rol 1 anu, sehingga pada struktur 1 terdapat 4 anu dan pada struktur 2 terdapat 5 anu. Sedangkan persamaan yang digunakan sebagai pemecahannya : βFx = 0, βFy = 0, dan βMx = 0 Untuk menyelesaikan struktur ini perlu dipandang adanya suatu βsendiβ yang dipasang diantara dua perletakan, sehingga didapat tambahan βMs = 0. Titik S dalam prakteknya berupa sambungan balok, sehingga titik S dapat berperilaku seperti sendi, yaitu mampu menahan gaya vertikal, mampu manahan gaya horizontal, tetapi tidak mampu menahan momen. (momennya = 0) Balok gerber dibagi menjadi 3 kelompok berdasarkan jumlah batang dan jumlah sendi : a. Balok gerber dengan satu sendi βsendiβ pada struktur no 1 harus diletakkan diantara dua buah rol (lihat gambar 1), sehingga struktur tersebut analisisnya dapat kita pisah menjadi sendi rol S-C dan sendi rol dengan overstek ABS. Balok SC membebani balok ABS melalui titik S (Reaksi keatas dari dukungan S yang diperoleh dari tinjauan sendi rol SC akan menjadi beban titik ke bawah yang membebani sendi rol dengan overstek ABS). Jadi untuk menganalisis struktur no 1 hitungan dimulai dari balok SC kemudian balok ABS. A
B
S
C
S C Rs Rs Rah A
B
Rav
Rbv
Rcv
S
19
Solusi Numerik : 4 kN
A
2 kN
4m
B
4m
S 2m
3m
3m
C
Balok SC (sendi-rol) βMc = 0 RSv . 6 β 2 . 3 = 0 RSv = 1 kN
2 kN S C 4 kN
Rs Rs
A
B
Rav
Rbv
Rcv
S
Cek βFv = 0 1+ 1 β 2 = 0 (ok)
SFD 1,75 kN 1 kN
1 kN 2,25 kN BMD 2 kNm
3 kNm
7 kNm
βMs = 0 -RCv . 6 - 2 . 3 = 0 RCv = 1 kN
Balok ABS βMb = 0 RAv . 8 + 1 . 2 β 4 . 4 = 0 RAv = 14/8 = 1,75 kN βMa = 0 -RBv . 8 - 4 . 4 + 1. 10 = 0 RBv = 26/8 = 3,25 kN Cek βFv = 0 1,75 + 3,25 β 4 β 1 = 0 (ok) BMD Ma = -2 . 2 = -4 kNm Md = Rav . 4 = 1,75 . 4 7 kNm Mb = -1 . 2 = -2 kNm Ms = 0 Me = Rc . 3 = 1 . 3 = 3 kNm
b. Balok gerber dengan dua sendi di luar Balok gerber dengan dua sendi memiliki 3 batang. Yang dimaksud dengan balok gerber dengan dua sendi di luar adalah menempatkan βsendiβ S1 di kiri rol B dan βsendiβ S2 di kanan rol C, sehingga balok sendi rol AS1 dan S2D akan membebani sendi rol dengan overstek S1BCS2 ( liha gambar dibawah ini) . Jadi struktur tersebut dapat dianalisis dengan menganggap AS1 dan S2D sebagai sendi rol yang membebani sendi rol dengan
20
overstek S1BCS2 melalui titik S1 dan S2 ( Reaksi ke atas dari dukungan S1 dan S2 akan menjadi beban titik ke bawah yang membebani sendi rol dengan overstek S1BCS2), sehingga hitungan dimulai dengan mencari reaksi β reaksi balok AS1 dan S2D, kemudian mencari reaksi B dan C. S2
S1
D
C
B
A
S1
S2
Rs1 Rs1
Rs2 Rs2
A
D
Rav
S1
Rdv
S2
B
C
Rbv
Rcv
Solusi Numerik 1. 4 kN
2 kN
A
E
3m
S1 3m 2 kN
2m
3 kN
F
B
3m
3m
C
2m
S1
G S2 D 2m 3m 3 kN S2
A
D 4 kN
Rs1 Rs1
Rav
S1
Rs2 Rs2
B
C
Rbv
Rcv
Rdv
S2
SFD 1,8 kN
1,733 kN 1 kN
1 kN
1,2 kN 2,267 kN
BMD 3,6 kNm 2 kNm
3 kNm
3,2 kNm
3,6kNm
21
BALOK AS1 βMs1 = 0 Rav . 6 β 2 . 3 = 0 Rav = 1 kN CEK = 1 + 1 β 2 =0 OK
βMa = 0 -Rs1 . 6 + 2 . 3 = 0 Rs1 = 1 kN
BALOK S2D βMs2 = 0 -Rdv . 5 β 3 . 2 = 0 Rdv = 1,2 kN CEK = 1,2 + 1,8 β 3 =0 OK
βMd = 0 Rs2 . 5 + 3 . 3 = 0 Rs2 = 1,8 kN
BALOK S1BCS2 βMc = 0 βMb = 0 Rb . 6 +1,8 . 2 - 1 . 8 β 4 . 3 = 0 -Rc . 6 β 1 . 2 + 1,8 . 8 + 4 . 3 = 0 Rbv = 2,733 kN Rc = 4,067 kN CEK = 2,733 + 4,067 β 1 β 4 β 1,8 =0 OK BMD Ma = 0 Me = Rav . 3 = 1 . 3 = 3 kNm MS1 = 0 Mb = -Rs1 . 2 = -2 kNm Mf = Rb . 3 β Rs1 . 5 = 2,733 . 3 β 1 . 5 = 3,2 kNm Mc = -Rs2 . 2 = -1,8 . 2 = 3,6 kN Mg = Rd . 3 = 1,2 . 3 = 3,6 kNm Md = 0 2. 1 kN/m'
1,5 kN/m' A
I 4m
S1 1m
B 2m 1m
II 4m
1,25 kN/m' S2
C 3m
2m
1m
S1
Rav
I
D
1,25 kN/m'
1,5 kN/m' A
III 4m
S2 III
Rs1
Rs2 1 kN/m'
Rs1 B Rbv
II
D Rdv
Rs2 C Rcv
22
SFD
3,6 kN 2,6 kN 2 kN x2 x1
x2 1,4 kN 2,4 kN 3 kN
BMD 4,8 kNm 4 kNm
0,2 kNm 1,18kNm
2 kNm
2,4 kNm 3,6 kNm 4,32 kNm
BALOK S2D βMs2 = 0 -Rdv . 5 + 1,25 .4 . 3 = 0 Rdv = 3 kN CEK = 3 + 2 β 1,25 . 4 =0 OK
βMd = 0 Rs2 . 5 β 1,25 . 4 . 2 = 0 Rs2 = 2 kN
BALOK AS1 βMs1 = 0 Rav . 5 β 1,5 . 4 . 3 = 0 Rav = 3,6 kN CEK = 3,6 + 2,4 β 1,5 . 4 =0 OK
βMa = 0 -Rs1 . 5 β 1,5 . 4 . 2 = 0 Rs1 = 2,4 kN
BALOK S1BCS2 βMc = 0 βMb = 0 Rb . 8 +2 . 2β 2,4 .10 β1 . 4 . 5 = 0 -Rc . 8 β 2,4 . 2 + 2 . 10 +1 . 4 . 3 = 0 Rbv = 5 kN Rc = 3,4 kN CEK = 5 + 3,4 β 2,4 β 2 β 1 . 4 =0 OK
23
BMD Ma = 0 Me = Rav . 4 β 1,5 . 4. 2 = 2,4 kNm MS1 = 0 Ms2 = 0 Mb = -Rs1 . 2 = -4,8 kNm Mc = -Rs2 . 2 = -4 kNm Mh = Rs2 . 1 = 2 kNm Mf = Rbv . 1 - 2,4 . 3 = -2,2 kNm Mg = Rbv . 5 β 1 . 4 . 2 β 2,4 . 7 = 0.2 kNm Md = 0 Mi = 3,6 . 2 β 1,5 . 2 . 1 = 4,2 kNm Mii = 5 . 3 β 2,4 . 5 β 1 . 2 . 1 = 1 kNm Miii = 3.2 β 1,25 . 2 . 1 = 3,5 kNm SFD = 0 terjadi pada jarak X1 m dari A Rav β q . x = 0 3,6 β 1,5 x1 = 0 X1 = 2,4 m Mx1 = 3,6 . 2,4 β 1,5 . 2,4 . Β½ . 2,4 = 4,32 kNm
SFD = 0 terjadi pada jarak X2 m dari F 1,4 4 β π₯2 = 2,6 π₯2 1,4 . π₯2 = 10,4 β 12,6 π₯2 X2 = 10,4 / 4 = 2,6 m Mx2 = Rb . (1 + 2, 6) β 2,4 . (3 + 2,6) β 1 . 2,6 . Β½ . 2,6 = 1,18 kNm SFD = 0 terjadi pada jarak X3 m dari D Rd β q . x3 = 0 3 β 1,25 x3 = 0 X3 = 2,4 m Mx1 = Rdv . 2,4 β 1,25 . 2,4 . Β½ . 2,4 = 3,6 kNm c. Balok gerber dengan dua sendi di dalam Yang dimaksud dengan balok gerber dengan dua sendi di luar adalah menempatkan βsendiβ S1 di kanan rol B dan βsendiβ S2 di kiri rol C, sehingga balok sendi rol S1S2 akan membebani sendi rol dengan overstek ABS1 dan S2CD (lihat gambar dibawah). Jadi struktur tersebut dapat dianalisis dengan menganggap S1S2 sebagai sendi rol yang membebani sendi rol dengan overstek ABS1 san S2CD melalui titik S1 dan S2 (reaksi keatas dari dukungan S1 dan S2 akan memnajdi beban titik ke bawah yang membebani sendi rol dengan overstek ABS1 dab S2CD), sehingga 24
hitungan dimulai dengan mencari reaksi-reaksi S1 dan S2, kemudian mencari reaksi-reaksi pada balok ABS1 dab S2CD. S1
B
A
S2
S1
S2
Rs1 Rs1
Rs2 Rs2
S1
A
B
Rav
Rbv
C
D
C
D
Rcv
Rdv
S2
Solusi Numerik 2 kN 3 kN
1 kN/m'
1 kN/m' S1
B
A 8m
2m
S2
C
4m
2m
D 4m
2m
4m
3 kN S2
S1 Rs1
2 kN
Rs2
Rs1
1 kN/m'
1 kN/m'
Rs2 B
A 8m
C 2m
2m
4m
2m
D 4m
4m
SFD 5,25 kN 4 kN 3,25 kN 2 kN 1,25 kN
0,75 kN
1 kN
4,75 kN
4,75 kN
BMD
6 kNm
2 kNm
4 kNm 5,28 kNm
11 kNm
25
BALOK S1S2 βMs1 = 0 -RS2 . 6 + 2 . 3 = 0 RS2 = 1 kN CEK = 1 + 2 β 3 = 0 OK
βMS2 = 0 Rs1 . 6 β 3 . 4 = 0 Rs1 = 2 kN
BALOK ABS1 βMb = 0 βMa = 0 Rav . 8 + 2 . 2 β 1 . 10 . 3 = 0 -Rb . 8 + 1 . 10 . 5+ 2 . 10 = 0 Rav = 3,25 kN Rb = 8,75 kN CEK = 3,25 + 8,75 β 2 - 1 . 10 =0 OK
BALOK S2CD βMd = 0 βMc = 0 Rc . 8 - 1 . 10 β 1 . 8 . 4 β 2 . 4 = 0 -Rd . 8 β 1 . 8 . 4 + 2 . 4 - 1 . 2 = 0 Rbv = 6,25 kN Rd = 4,75 kN CEK = 6,25 + 4,75 - 1 β 1 . 8 β 2 =0 OK BMD Ma = 0 Mb = 3,25 . 8 β 1 . 8 . 4 = -6 kNm MS1 = 0 Ms2 = 0 Me = 2 . 2 = 4 kNm Mc = -1 . 2 = -2 kNm Mf = 4,75 . 4 β 1 . 4 . 2 = 11 kNm Md = 0
26
MUATAN TAK LANGSUNG Adalah suatu muatan yang membebani suatu balok / batang tertentu, dan balok / batang tersebut membebani (didukung) oleh balok pendukung utama, sehingga beban tersebut dirasakan oleh balok pendukung utama sebagai beban tidak langsung. Dalam prakteknya, muatan tak langsung terjadi pada beberapa contoh berikut. (1) JEMBATAN JALAN RAYA papan penutup
balok melintang balok memanjang balok induk
(2) JEMBATAN KERETA API balok melintang 1
2
3
4
5
A
balok memanjang A
balok induk
Beban yang bekerja di antara 2 balok melintang akan dilimpahkan kebalok memanjang melalui balok - balok melintang tersebut sebagai reaksi sendi dan rol. Dengan kata lain balok-balok melintang tersebut dapat kita anggap sebagai dukungan sendi dan rol (lihat gambar dibawah ini) P a' 1
P
b'
2
3
4
a L=4.L
a'
5
b L' ( Pb' / L' )
pot A-A 1
b'
( Pa' / L' )
2 2
3 3
4 4
5
27
Solusinumeric ; 2 kN
2 kN/m
A
C
D F 4 x 2m = 8m
1 kN
E
B
β MB = 0 RAV x 8 - 2x4x6 - 2x3 - 1x0 = 0 RAV = 54/8 = 6,75 N
2 kN
2 kN 2 kN
2 kN 1 kN
1 kN
1 kN
β MB = 0 -RB x 8 + 1x8 + 2x5 + 2x4x2 = 0
6,75 kN
RB = 34/8 = 4,25 N
4,75 kN
Cek : (+)
= (6,75 + 4,25)-(2x4+2+1)
0,75 kN
= 11-11 = 0 ( Ok )
(+) 2,25 kN
BMD 3,25 kN 4,25 kN
MA = 0 MC = 6,75x2-2x2x1 = 9,5kNm MD = 6,75x4-2x4x2 = 11kNm MF = (4,25-1)x3 = 9,75kNm
(+)
6,5 kNm
ME = (4,25-1)x2 = 6,5kNm MB = 0
9,5 kNm
9,75 kNm 11 kNm
y = 6,5 + x/2(11-6,5) = 6,5 + 2,25 = 8,75
Pada struktur sendi rol dengan overstek penempatan balok melintang dibagian overstek sebagai berikut :
Dan pada struktur balok gerber, penempatan βsendiβ S harus tepat pada salah satu balok melintangnya seperti pada gambar berikut :
28
A
B
A
B
S1
A
C
S
B
B
S1
C
S2
B
S2
C
PORTAL SENDI-ROL Portal adalah suatu struktur yang merupakan gabungan balok (unsur pemikul horisontal) dan kolom (unsure pemikul vertikal). Pada portal sendi rol, sendi harus diletakkan dibawah kolom dan rolnya pada ujung balok. Rol dapat dipasang tegak lurus pada sumbu memanjang balok, dan dapat pula dipasang miring. Untuk menganalisis struktur tersebut, dapat digunakan persamaan kesetimbangan βFx = 0,βFy = 0, βMx = 0 karena stuktur tersebut mempunyai 3 buah bilangan yang belum diketahui, yaitu RAV, RAH dan RB. Hubungan antara balok dan kolom di titik C merupakan hubungan yang kaku. 1. Portal sendi rol dengan rol tegak Solusinumerik 1. 3 kN C
B
D
RB 3m RAH
7m
A RAV
RB RAV
RAV 2,1 kN (+)
SFD (-) 0,9 kN
BMD
β FH = 0 sehingga RAH = 0 β MB = 0 RAV.10 β 3.7 = 0 RAV = 2,1kN β MA = 0 -RB.10 + 3.3 = 0 RB = 0,9kN Cek : β FV = 0 (2,1 + 0,9) β 3 = 0 (Ok) BMD MA = 0 MC = 0 MD = RAV.3 = 2,1 x 3 = 6,3 kNm 2,1 kN
NFD
(+)
(-) 6,3 kNm
29
2. 4 kN 2 kN C
B
D
RB 4m
6m
5m
A RAH RAV
FBD RB RAV 2 kN
RAH RAV
1,4 kN (+)
SFD
2 kN
(-) (-)
2 kNm
(+)
2,6 kN
β FH = 0 RAH+ 2 = 0 RAH= -2kN (kekiri) β MB = 0 RAV.10 + RAH.5 β 4.6 = 0 RAV = 14/10 = 1,4kN β MA = 0 -RB.10 + 4.4 + 2.5 = 0 RB = 26/10 = 2,6kN Cek : β FV = 0 (1,4 + 2,6) β 4 = 0 (Ok) BMD MA = 0 MC = RAH.5 = 2.5 = 10kNm = RB.10 β 4.4 = 26 β 16 = 10kNm MD = RB.6 = 2,6 x 6 = 15,6 kNm
BMD (+)
15,6 kNm
1,4 kN
NFD
(-)
30
3. 1 kN 1 kN/m B
E
D
RB 10m
3m 3 kN C 3m A RAH RAV
FBD RB RAV
3 kN RAH RAV
5,1 kN 4,1 kN (+)
SFD (-)
3 kN 5,9 kN (+)
BMD
9 kNm
(+)
β FH = 0 RAH= 3kN β MB = 0 RAVx 10 + RAHx 6 β 3x3β 1x10 β 1x10x5 = 0 RAV = 51/10 = 5,1kN β MA = 0 -RBx 10 + 1x10x5 + 3x3 = 0 RB = 59/10 = 5,9kN Cek : β FV = 0 (5,1+ 5,9) β 1 β 1.10 = 0 (Ok) BMD MA = 0 MC = RAH.3 = 9 kNm MD = 3.6 β 3.3 = 9 kNm MX = 5,9x5,9 β 1x5,9x(5,9/2) = 17,405 kNm ME = 5,9x5 β 1x5x2,5 = 17 kNm MB = 0
(+)
17,405 kNm
5,1 kN
NFD
(-)
31
2. Portal sendi rol dengan rol miring Solusinumerik : 1. 4 kN B RBH
C D
4
4m
3
6m
RB
RBV 5m
RAH
A RAV
FBD
RBH
RBH RBV
RAV
β FH = 0 RAH β RBH= 0 RAH= 3/5 RBH β MA = 0 -RBV.10 - RBH.6 + 4.4 = 0 11RB = 16 RB= 1,455 kN RBH= (3/5) 1,455 = 0,873 kN RBV = (4/5) 1,455 = 1,164kN
RAH
RAH RAV
2,836 kN (+)
SFD
0,873 kN
(-) 1,164 kN
(-)
β MB = 0 RAV.10 - RAH.5 - 4.6 = 0 RAV = 28,36/10 = 2,836 kN Cek : (2,836 + 1,164) β 4 = 0 (Ok) BMD MA = 0 MC= -RAH.5 = -4,365 kNm MD = RBV.6 = 6,784 kNm
4,365 kNm
(-) 4,365 kNm
BMD (+)
(-) 6,984 kNm
NFD
2,836 kN (-)
(-)
2,836 kN
32
2. 4 kN
6 kN
D
8 kN
E
F
4m
4m
RBH
B 4m
3 4
6m
2 kN/m
RBV C
12 kN
RAH
A
RB
β FH = 0 12 β RBH β RAH = 0 RAH = 12 - RBH
RAV
FBD
RBH
RBH RBV
RAV RAH
RAH
β MA = 0 -RBV x 12 - RBHx 6 + 12 x 3 + 6 x 4 + 8 x 8 = 0 - 3/5 (12RB) β 4/5 (6RB) + 124 = 0 12RB = 124 RB = 10,333 kN
RAV
RAH = 12 β 4/5 (10,333) = 3,7333kN RBH= (4/5) 10,333 = 8,266kN RBV = (3/5) 10,333 = 6,2kN
11,8 kN 7,8 kN (+)
1,8 kN (-)
8,267 kN (-)
SFD 6,2 kN 1,866
(+)
3,733 kN 13,6 kNm 13,6 kNm
(-)
BMD
(-) (+)
17,6 kNm 3,48 kNm
24,8 kNm
(+)
8,267 kN (-)
(-)
β MB = 0 RAVx12 β 12x3 β 4x12 - 6x8 - 8x4+ RAH.6 = 0 RAV = 141,6/10 = 11,8kN Cek : β FV = (11,8 + 6,2) β (4+6+8) = 0 (Ok) BMD MA = 0 MC= RAH.3 β 2,3.1,5 = 2,2kNm MD = 3,733.6 β12.3 = -13,6kNm ME = 6,2.8 β 8.4 = 17,6 kNm MF = 6,2.4 = 24,8 kNm MF = 6,2.4 = 24,8 kNm Mx= 3,7333x1,866 β 2x1,87x(1,866/2) = 3,484 kNm
NFD
11,8 kN
33
