BATANG KOREK API Batang korek api dapat digunakan untuk membuat bangun-bangun geometri. Dalam hal tertentu dapat digunakan untuk kegiatan yang berkaitan dengan aritmetika. Pada setiap persoalan baik geometri maupun aritmetika, batang korek apinya dianggap kongruen dan dalam penyusunan bangun tidak dibenarkan adanya batang korek api yang bertumpuk. Dimungkinkan adanya batang korek api yang ‘berpotongan’. Jika menyangkut ukuran, maka satuan panjang adalah panjang batang korek api yang dianggap kongruen tersebut. Satuan luasnya adalah luas persegi yang panjang sisi-sisinya satu batang korek api.
GEOMETRI Misalnya jika hanya diperhatikan persegi atau bujursangkarnya saja, maka pada penyusunan 24 batang korek api berikut ini ada beberapa macam persegi yaitu:
8
•
9 (sembilan) buah persegi berukuran satu batang korek api (persegi yang panjang sisinya sama dengan panjang satu batang korek api).
•
4 (empat) buah persegi berukuran 2 (dua) batang korek api
•
1 (satu) buah persegi berukuran 3 (tiga) batang korek api.
(× ×)
Oleh: Al. Krismanto, M.Sc
1
2
Gambar 1
1.
Ada berapa macam ukuran persegi panjang yang bukan persegi pada Gambar 1? Sebutkan ukurannya dengan satu batang korek api sebagai satuan ukuran.
2. Ada berapa persegipanjang untuk setiap ukuran seperti yang dimaksudkan pada soal No. 1?
Dengan 24 batang korek api seperti Gambar 1 dapat juga dibentuk sebuah persegi dengan panjang sisi 6 batang korek api. Dapat juga dibentuk dua persegi terpisah berukuran 3 batang korek api. Untuk soal-soal berikut pembentukan persegi atau bangun datar lainnya dapat dilakukan sehingga bangunnya terpisah atau ada bangun yang bersekutu pada satu atau lebih batang korek api. Dengan 24 batang korek api buatlah (ukuran boleh berbeda) tepat: 7. tiga buah persegi 8. empat buah persegi
Gambar 2 Gambar 3 3. Ada berapa macam ukuran persegi pada Gambar 2? Sebutkan ukurannya dengan satu batang korek api sebagai satuan ukuran dan hitung banyak persegi untuk setiap macam ukuran.
4. Ada berapa macam ukuran persegi panjang dengan panjang-lebar berbeda ukuran pada Gambar 2? Sebutkan ukurannya dengan satu batang korek api sebagai satuan ukuran dan hitung banyak persegi panjang untuk setiap macam ukuran.
5. Ada berapa macam ukuran persegi pada Gambar 3? Sebutkan ukurannya dengan satu batang korek api sebagai satuan ukuran dan banyak persegi untuk setiap macam ukuran..
6. Ada berapa macam ukuran persegi panjang dengan panjang lebar berbeeda ukuran pada Gambar 3? Sebutkan ukurannya dengan satu batang korek api sebagai satuan ukuran dan hitung banyak persegi panjang untuk setiap macam ukuran.
3
9. lima buah persegi 10. enam buah persegi 11. tujuh buah persegi 12. delapan buah persegi 13. sembilan buah persegi Dari penyusunan 24 batang korek api seperti pada Gambar 1 sebagai kedudukan atau penyusunan awal, lakukan hal-hal berikut (No. 14 – 23): 14.
Singkirkan tiga batang korek api agar tertinggal empat buah persegi.
15.
Singkirkan empat batang korek api agar tertinggal tiga buah persegi.
16.
Singkirkan empat batang korek api sehingga masih tersisa lima buah persegi.
17.
Singkirkan lima batang korek api sehingga masih tersisa lima buah persegi.
18.
Singkirkan enam batang korek api sehingga masih tersisa tiga buah persegi.
4
19.
Singkirkan enam batang korek api sehingga masih tersisa empat buah persegi. Singkirkan tujuh batang korek api sehingga masih tersisa empat tiga persegi.
27. Pindahkan tiga batang korek api sehingga terbentuk tiga persegi kongruen.
21.
Singkirkan tujuh batang korek api sehingga masih tersisa dua buah persegi
29. Singkirkan sebuah di antaranya dan pindahkan empat di antaranya agar terbentuk sebelas persegi.
22.
Singkirkan delapan batang korek api sehingga masih tersisa empat buah persegi.
30. Singkirkan dua di antaranya sehingga tinggal dua buah persegi.
23.
Singkirkan delapan batang korek api sehingga masih tersisa dua buah persegi.
24.
Gambar 4 menunjukkan 6 persegi kongruen yang terbentuk dari 15 batang korek api. Dari korek api pada kedudukan seperti pada Gambar 4 tersebut, buanglah 5 batang korek api sehingga tinggal tiga buah persegi.
20.
25.
31. Singkirkan tiga batang dan pindahkan dua batang di antaranya sehingga terjadi lima buah persegi. 32. Pindahkan dua batang di antaranya sehingga terjadi enam buah persegi. 33. Pindahkan empat batang tertinggal tiga buah persegi. 34.
Gambar 4
Pindahkan dua batang korek api (Gambar 5) sehingga terbentuk empat buah persegi.
35. Gambar 5
Untuk No. 26 - 33, gunakanlah penyusunan batang korek api seperti pada Gambar 6 sebagai dasar pemindahan atau penyingkiran batang korek api untuk membentuk bangun sesuai masalah masingmasing.
28. Pindahkan empat batang di antaranya untuk membentuk sepuluh buah persegi.
antaranya
sehingga
Pindahkan tiga batang korek api dari kedu-dukannya seperti pada Gambar 7 agar terbentuk empat buah persegi kongruen. Gambar 7
Buang empat batang korek api dari kedudukannya seperti pada Gambar 8 sehingga tinggal sembilan persegi.
Gambar 6 Gambar 8
26. Pindahkan dua batang korek api sehingga terjadi tujuh buah persegi.
5
di
6
36. Buanglah empat batang korek api di antaranya, sehingga dari Gambar 9 tinggal terbentuk 4 segitiga
43. Singkirkan tiga batang korek api sehingga terbentuk tiga buah segitiga.
Gambar 9
37. Buanglah tiga batang korek api di antaranya, sehingga dari Gambar 10 tinggal 3 segitiga Gambar 10 38. Dua belas batang korek api disusun seperti gambar di bawah ini. Pindahkanlah empat di antaranya sehingga tertinggal tiga buah segitiga sama sisi.
39. Pindahkanlah tiga batang korek api dari susunan berikut sehingga terbentuk lima buah segitiga samasisi.
Gambar 14 45. Gambar 15 menggambarkan sebuah piala berisi bola. Pindahlah hanya dua batang korek api sehingga bolanya berada di luar piala yang tetap utuh.
Gambar 11
Gambar 12
Untuk No. 38 – 41, gunakan kedudukan batang korek api seperti Gambar 13. Gambar 13
40. Singkirkan satu batang korek api sehingga terbentuk empat buah segitiga.
41. Singkirkan dua batang korek api sehingga terbentuk empat buah segitiga.
42. Singkirkan dua batang korek api sehingga terbentuk tiga buah segitiga.
7
44. Delapan belas batang korek api disusun sehingga terbentuk bintang enam yang menggambarkan adanya delapan buah segitiga. Pindahkanlah dua batang di antaranya sehingga tingal enam buah segitiga saja.
46. Pindahkan hanya 4 batang korek api sehingga yang semula daerah pada Gambar 16 terdiri dari 3 bagian kongruen menjadi hanya dua daerah yang kongruen.
Gambar 15
Gambar 16 47. Gambar 17 menunjukkan dua daerah yang dibatasi oleh dua kelompok batang korek api berjumlah 18 batang.
Luas bangun kedua dua kali yang pertama. Susun kembali batang korek api tersebut sehingga terbentuk dua bangun segilima (tidak harus konveks)
8
Gambar 17 Gambar 17
dengan luas yang satu tiga kali yang lainnya.
48. Gambar 18 menunjukkan adanya enam daerah yang kongruen yang terbentuk oleh 13 batang korek api. Susunlah 12 batang korek api untuk membentuk 6 daerah yang kongruen.
Gambar 18
49. Gambar 19 terbentuk dari 16 batang korek api yang luasnya 16 satuan luas (satu satuan luas adalah seluas persegi yang terbentuk oleh 4 batang korek api). Pindahlah beberapa di antaranya, sehingga terbentuk daerah gambar yang luasnya 15 satuan
Gambar 19 50. Dari susunan seperti pada Gambar 19, pindahkan beberapa batang korek api sehingga luas daerahnya 14 satuan
51. Seperti No. 49, menjadi 13 satuan
52. Seperti No. 49, menjadi 10 satuan
53. Susunlah batang korek api seperti pada Gambar 20. Kemudian pasanglah tambahan 8 batang korek api, sehingga daerah yang terbentuk terbagi menjadi 4 daerah yang kongruen.
Gambar 20
9
54. Susunlah 15 batang korek api sehingga terbentuk seperti pada Gambar 21. Kemudian pasanglah tambahan 15 batang lagi sehingga daerah itu terbagi menjadi 9 daerah yang kongruen.
Gambar 21
55. Susunlah 18 batang korek api sehingga terbentuk seperti pada Gambar 22. Kemudian pindahkan 4 di antaranya sehingga daerah itu tetap terbagi menjadi 4 daerah yang kongruen, tetapi bentuknya berbeda dengan yang tampak pada Gambar 22 tersebut. 56. Susunlah 12 batang korek api sehingga terbentuk seperti pada Gambar 23. Kemudian pasanglah tambahan 9 batang lainnya sehingga daerahnya terbagi menjadi enam daerah yang kongruen.
Gambar 22
Gambar 23 57. Susunlah 20 batang korek api sehingga terbentuk seperti pada Gambar 24. Kemudian pasanglah tambahan batang secukupnya sehingga daerah itu terbagi menjadi 8 daerah yang kongruen.
10
60. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 27 terbagi menjadi 5 daerah kongruen.
Gambar 24 Gambar 27
58. Susunlah 16 batang korek api sehingga terbentuk seperti pada Gambar 25. Kemudian pasanglah batang korek api lain secukupnya sehingga daerah semula terbagi menjadi 5 daerah yang bentuknya kongruen.
61. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 28 terbagi menjadi 5 daerah kongruen. Gambar 25
59. Pasanglah 12 batang korek api tambahan sehingga bangun pada Gambar 26 terbagi menjadi 4 bangun kongruen
Gambar 28 62. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 29 terbagi menjadi 3 daerah kongruen.
Gambar 26
11
12
Gambar 29
63. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 30 terbagi menjadi 4 daerah kongruen.
65. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 31 terbagi menjadi 6 daerah kongruen.
Gambar 30
64. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 31 terbagi menjadi 9 daerah kongruen.
Gambar 31
66. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 32 terbagi menjadi 9 daerah kongruen
Gambar 30
13
14
Gambar 32
67. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 33 terbagi menjadi 10 daerah kongruen
69. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 35 terbagi menjadi 6 daerah kongruen
Gambar 35 Gambar 33
68. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 34 terbagi menjadi 3 daerah kongruen
70. Tambahkan batang korek api secukupnya, sehingga daerah pada Gambar 35 terbagi menjadi 8 daerah kongruen 71. Susunlah 8 batang korek api, sehingga terbentuk sebuah persegi dan 4 segitiga kongruen. 72. Dengan 22 batang korek api, buatlah sebuah trapesium yang luasnya 24 satuan luas. Untuk No. 73 – 81dan dengan memperhatikan hasil pada soal No. 72, dengan 22 batang korek api, buatlah sebuah bangun datar yang luasnya
Gambar 34
15
73.
22 satuan luas
74.
21 satuan
75.
20 satuan
76.
19 satuan
77.
18 satuan
16
78. 17 satuan
Untuk No. 89 – 93, dengan 30 batang korek api buatlah bangun yang luasnya:
79. 16 satuan
80.
6 satuan
81.
8 satuan
82.
89. 10 satuan luas
Dengan 12 batang korek api, buatlah bangun datar yang luasnya 3 satuan luas.
Untuk No. 83 - 87: Gambar 36 Sebidang tanah bentuknya seperti pada Gambar 36. Batang-batang korek api menggambarkan potongan-potongan pagar kawat. Satu batang korek api menggambarkan bahan kawat pagar sepanjang 4 meter .
90.
6 satuan luas
91.
7 satuan luas
92.
8 satuan luas
93.
9 satuan luas
ARITMETIKA 94. Gambar 37 menunjukkan empat kelompok persegi yang tersusun oleh batang-batang korek api. Hitunglah banyak batang korek api pada Gambar 25 (i), (ii), (iii), dan (iv) masing-masing. Dari pola bilangannya, jika dibuat suatu urutan dari pola yang ada, berapa banyak batang korek api yang diperlukan untuk gambar urutan urutan (a) ke-5, (b) ke-10?
83. Berapakah luas tanah tersebut?
84. Sebagian tanah hendak digunakan untuk kolam sehingga luas pekarangannya tinggal 80 m2 dengan memindah hanya dua buah pagar kawatnya. Tolong pindahkan bagian pagar kawat yang dimaksud.
85. Jika pagar pekarangannya disisakan 64 m2, dan dari kedudukan semula hanya dipindahkan 3 bagian pagar kawat, tolong pindahkan ketiga bagian pagar kawat tersebut.
86. Bagaimana bentuk pekarangannya, jika yang tinggal kini hanya 48 m2?
87. Dari keduabelas potongan pagar, buatlah pagar membentuk daerah jajar genjang, sehingga luasnya 48 m2.
88. Dari keduabelas potongan pagar, buatlah pagar membentuk daerah jajar genjang, sehingga luasnya 64 m2.
17
(i)
(ii)
(iii)
Gambar 37
(iv)
95. Hitunglah banyak persegi semua ukuran pada setiap gambar dari Gambar 37. Kemudian, tanpa menggambar, hitunglah banyak persegi pada urutan ke-10. (Petunjuk: Untuk setiap gambar, lebih dahulu buatlah tabel banyak persegi untuk setiap ukuran), 96. Gambar 38 menunjukkangambar-gambar monomino, domino, tromino, dan tetromino.
18
model
Jika setiap jenis hanya dibuat satu macam (misal satu di antara 2 tromino, satu di antara 5 tromino dan seterusnya), dan tersedia 165 batang korek api, sampai urutan ke berapa model itu dapat disusun? 1)
monomino
2)
domino
3)
tromino
4)
98. Hitunglah banyak segitiga ukuran terkecil pada setiap gambar dari Gambar 39. Kemudian, tanpa menggambar, hitunglah banyak segitiga ukuran terkecil pada urutan ke10. 99. Hitunglah banyak segitiga semua ukuran pada setiap gambar dari Gambar 39. Hitunglah banyak segitiga semua ukuran pada urutan ke-5 100. Pada setiap ‘permainan’ ini, pindahkan satu batang korek api sehingga menyatakan hubungan atau operasi yang benar a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
tetromino
Gambar 38
97. Gambar 39 menunjukkan empat kelompok segitiga yang tersusun oleh batang-batang korek api. Hitunglah banyak batang korek api pada Gambar 39 (i), (ii), (iii), dan (iv) masing-masing. Gambar 39
(i)
(ii)
(iii)
(iv) Dari pola bilangannya, jika dibuat suatu urutan dari pola yang ada, berapa banyak batang korek api yang diperlukan untuk gambar urutan (a) ke-5, (b) ke-10?
19
20
Salah satu permainan dasar domino dilakukan oleh empat orang pemain sebagai berikut.
DOMINO
PENDAHULUAN
1) Seluruh kartu dibagi sama kepada keempat pemain.
Domino baku terdiri dari 28 kartu. Setiap kartu terdiri atas dua bagian persegi bermata: kosong (tak bermata, bernilai 0), 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Setiap bagian merupakan satu dari semua pasangan angka kombinasi dari pasangan angka 0 - 6 tersebut. Keduapuluh delapan kartu tersebut adalah sebagai berikut:
0-0
0-1
1-1
0-2
1-2
2-2
0-3
1-3
0-4
1-4
0-5
1-5
2) Pemain pertama meletakkan kartu. Pada awal permainan misalnya kartu 0 – 0. 3) Pemain kedua metakkan kartu 0 - … (0 – 1, 0 – 2, …) yang dimilikinya. Bila tidak mempunyai salah satu di antaranya maka pemain berikutnya yang meletakkan kartu.
0-6
4) Misalnya pemain kedua meletakkan kartu 0 – 4, maka sekarang di kedua ujung deretan kartu terbuka adalah 0 dan 4. Pemain dapat meletakkan kartu 0 - … atau 4 - ….
1-6
2-3
2-4
2-5
2-6
3-3
3-4
3-5
3-6
5) Demikian seterusnya permainan dilanjutkan. Setiap pemain yang mempunyai giliran memain-kan (meletakkan) kartu harus mempunyai kartu yang matanya sama dengan paling sedikit satu mata kartu di ujung deretan kartu yang telah dibuka. Dengan kata lain, mata kartu di ujung deretanlah yang harus “dipukul” dengan ujung kartu bermata sama. 6) Pemenang adalah pemain yang pertama kali habis kartu di tangannya.
4-4
4-5
5-5
4-6
PERSEGI AJAIB KARTU DOMINO
5-6
6-6
1.
21
Kartu domino dapat digunakan untuk menyusun persegi ajaib, misalnya “persegi ajaib berjendela” ukuran 3 × 3. Konstanta 8 (tetapan) persegi ajaibnya berkaitan dengan jumlah mata sama untuk setiap sisi. Pada persegi ini, tidak ada tetapan pada diagonal. Amati, pada susunan itu adakah selain pada sepanjang sisi yang jumlahnya juga 8?
22
2.
3.
4.
5.
6.
7.
4 dan 0-6 yang masing-masing menunjukkan bilangan 6 dapat tersusun dalam satu persegi ajaib. Berikut ini sebuah contoh persegi ajaib 3 × 3 menggunakan kartu bernilai 1 sampai dengan 9.
Buatlah “persegi ajaib berjendela” ukuran 3 × 3 dari kartu domino yang tetapannya 11. Dari seperangkat kartu domino (28 kartu) susunlah tujuh “persegi ajaib berjendela” ukuran 3 × 3 (tetapan persegi ajaib satu dengan lainnya tidak harus sama). Dari seperangkat kartu domino, susunlah sebuah persegi yang tersusun dari semua kartu sehingga: (1) kartu yang berurutan memiliki mata sama pada kedua ujung yang bersisihan dan (2) jumlah semua mata pada keempat sisi sama. Dari seperangkat kartu domino (28 kartu) susunlah “persegi ajaib berjendela” yang di dalamnya juga terdapat sebuah persegi ajaib berlubang (lihat model di bawah ini).
8.
Persegi ajaib 4 × 4 yang tersusun dari 8 kartu domino di samping, tetapan persegi ajaibnya adalah 14, dan hanya terkait dengan jumlah mata sepanjang baris-baris dan kolom-kolomnya saja. Amatilah, selain mata sebaris atau sekolom, kelompok manakah yang memiliki jumlah mata yang sama? Dari seperangkat kartu domino, susunlah sebanyak mungkin persegi ajaib 4 × 4 yang jumlah tetapnya hanya pada baris dan kolom saja. Persegi ajaib kartu domino juga dapat disusun dengan bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya mata untuk setiap kartu. Pada model ini bilangan yang tersusun dalam persegi ajaib tersebut dapat sama, misalnya kartu 2-
23
Susunlah sebuah persegi ajaib berdasarkan jumlah mata pada setiap kartu: a. dengan tetapan persegi ajaib = 21 menggunakan kartukartu seperti berikut:
b. menggunakan kartu berjumlah 4 sampai dengan 12. 9. Dari seperangkat kartu domino (satu lembar tidak digunakan) susunlah tiga buah persegi ajaib berukuran 3 × 3 berdasarkan jumlah mata pada setiap kartu. Untuk setiap persegi tidak bolah ada kartu yang jumlah matanya sama). 10. Dari seperangkat kartu domino susunlah sebuah persegi ajaib berukuran 4 × 4 berdasarkan jumlah mata pada setiap kartu. Jumlah mata (bilangan) dapat berulang karena diperlukan 16 kartu dan hanya ada maksimum 13 jumlah berbeda.
24
11. Susunlah persegi ajaib berukuran 4 × 4 berdasar-kan jumlah mata pada setiap kartu bernilai 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9 dan 10 (beberapa alternatif penyelesaian). 12. Susunlah sebuah persegi ajaib berukuran 5 × 5 berdasarkan jumlah mata pada setiap kartu dengan tetapan jumlah adalah 21, menggunakan satu perangkat domino kecuali 55, 5-6, dan 6-4.
15. Seluruh kartu dari seperangkat kartu digunakan dalam sebuah penjumlahan. Sebagian kartunya (gambar diarsir), yaitu yang mempunyai mata 4, belum dipasang. a. Lengkapilah penjumlahan tersebut dengan memasang kartu yang belum terpasang; b. Dapatkah susunannya diubah tetapi jumlahnya tetap? Jelaskan!
OPERASI HITUNG MENGGUNAKAN KARTU DOMINO
PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN Susunan kartu domino pada gambar di samping menunjukkan penjumlahan: 3 3 5 3 6 5 5 3
+ 11 2 2
Susunan kartu domino pada gambar di samping menunjuk-kan perkalian:
BILANGAN RASIONAL DENGAN KARTU DOMINO
4 5 1
(× ×)
5 2
2 5 5
(× ×)
13. Dari seperangkat kartu domino susunlah sebanyak mungkin perjumlahan-penjumlahan seperti contoh di atas.
14. Dari seperangkat kartu domino susunlah sebanyak mungkin perkalian-perkalian seperti contoh di atas.
Dengan kedudukan tertentu, misalnya seperti pada gambar di samping, kartu domino 1–6 dan 2–3 berturut-turut dapat dipandang sebagai pecahan 1 dan 2 . 6 3
2 3 Jika kartu-kartu domino berikut ini masing-masing melambangkan bilangan rasional, bulat atau pecah, maka diperoleh hasil-hasil penjumlahan dan pengurangan antara lain sebagai berikut: 1 6
+
25
atau
=
26
–
KUNCI Batang Korek Api 1. Ada 3 macam, berukuran 1 × 2, 1 × 3, dan 2 × 3.
=
16. Dari seperangkat kartu domino, singkirkanlah semua kartu bermata kembar (misal 2-2) dan semua kartu bermata kosong sehingga tinggal 15 kartu.
Setiap pasang mata kartu dianggap sebagai suatu pecahan, susunlah tiga buah penjumlahan dan setiap penjumlahan terdiri dari lima kartu (pecahan) di antara kelimabelas
2. Banyaknya masing-masing: a. 12 berukuran 1 × 2 b. 6 berukuran 1 × 3 c. 4 berukuran 2 × 3 3.
Tiga macam persegi: berukuran 1 × 1 sebanyak 7 buah, berukuran 2 × 2 sebanyak 3 buah, berukuran 2 × 2 sebanyak 1 buah,
4.
Tiga macam persegi panjang: berukuran 2 × 1 sebanyak 9 buah, berukuran 3 × 1 sebanyak 4 buah, berukuran 3 × 2 sebanyak 3 buah
5.
Tiga macam persegi: berukuran 1 × 1 sebanyak 5 buah, berukuran 2 × 2 sebanyak 1 buah, berukuran 2 × 2 sebanyak 1 buah,
6.
Tiga macam persegi panjang: berukuran 2 × 1 sebanyak 5 buah, berukuran 3 × 1 sebanyak 3 buah, berukuran 3 × 2 sebanyak 2 buah,
kartu tersebut sehingga setiap penjumlahan berjumlah 2 1 . 2 Beberapa di antaranya telah terpasang seperti gambar di atas.
17. Kerjakan seperti pada soal No. 16, sehingga jumlah setiap lima pecahan adalah 10. Dalam hal ini pecahannya termasuk yang pembilangnya lebih dari penyebut.
7.
Dua di antara beberapa alternatif (3 persegi). i. sebuah berukuran2 × 2, ii. 2 buah berukuran 2 × 2, 2 buah berukuran 3 × 3 sebuah berukuran 3 × 3
(ii)
(i) 27
28
8.
9.
Dua di antara beberapa alternatif (4 persegi). i.
sebuah berukuran 1 × 1, 2 buah berukuran 2 × 2, dan sebuah berukuran 3 × 3
10. Dua di antara beberapa alternatif (6 persegi), masingmasing, 4 buah berukuran 1 × 1, sebuah berukuran 2 × 2, dan sebuah berukuran 3 × 3
(i)
ii. 2 buah berukuran 1 × 1, sebuah berukuran 2 × 2 dan sebuah berukuran 3 × 3
11. Dua di antara beberapa alternatif (7 persegi). i. 4 buah berukuran 1 × 1, 2 buah berukuran 2 × 2, dan sebuah berukuran 3 × 3
(ii) (i)
Dua di antara beberapa alternatif (5 persegi), masingmasing: 2 buah berukuran 1 × 1, 2 buah berukuran 2 × 2, dan sebuah berukuran 3 × 3
ii.
5 buah berukuran 1 × 1, sebuah berukuran 2 × 2, dan sebuah berukuran 3 × 3.
(ii)
29
30
12. Dua di antara beberapa alternatif (8 persegi), masingmasing 5 buah berukuran 1 × 1, 2 buah berukuran 2 × 2, dan sebuah berukuran 3 × 3.
15. alternatif:
16. alternatif:
13. Dua di antara beberapa alternatif (9 persegi), masingmasing 7 buah berukuran 1 × 1 dan 2 buah berukuran 2 × 2.
17. alternatif:
14.
alternatif: 18. alternatif
31
32
19. alternatif
23. alternatif
20. alternatif:
24. .
21. alternatif:
25. ..
22. alternatif
26. ..
27. .
33
34
34.
28. ..
29. .. 35.
30. .
31. .
32. .
36. Hasil
33. . 37. Hasil:
35
36
38. Hasil
45. -
.
46. -
39. Hasil
40. 47.
Luasnya 5 satuan dan 15 satuan (segitiga kecil), bangunnya (di sini ada) masing-masing dua buah yang luasnya 5 satuan dan dua buah yang luasnya 15 satuan.
41. -
42. -
43. -
44. -
48. -
37
38
49. luas 15 satuan
52. luas 10 satuan
53. 4 daerah kongruen.
50. luas 14 satuan
54. Susunlah 15 batang korek api sehingga terbentuk seperti pada Gambar 21. Kemudian pasanglah tambahan 15 batang lagi sehingga daerah itu terbagi menjadi 9 daerah yang kongruen.
51. luas 13 satuan
39
40
55. 58. –
56. –
59. 4 daerah kongruen
57. -
60. 5 daerah kongruen
41
42
61. 5 daerah kongruen 64. 9 daerah kongruen
62. 3 daerah kongruen 65. 6 daerah kongruen
63. 4 daerah kongruen 66. 9 daerah kongruen
43
44
67. 10 daerah kongruen
70. 8 daerah kongruen
68. 3 daerah kongruen
71. Dengan 8 batang korek api, disusun sebuah persegi dan 4 segitiga kongruen. 72. Luas = 24 satuan luas.
12
6
6
69. 6 daerah kongruen
73. luas 22 satuan
10
6
45
46
6
74. luas 21satuan
77. luas 18 satuan
alternatif:
6
6 9
6
6
6 78. 17 satuan
6 6
9
5
6
6 79. luas 16 satuan; alternatif:
75. luas 20 satuan
6 4 6
8
6
6
6
76. luas 19 satuan
6 7
6
47
4
6
48
6
4
6
80. luas 6 satuan; alternatif:
85. (2 altenatif))
81. luas 8 satuan; alternatif:
86. Gambar
82. Luas = 3 24 satuan luas.
87. Bentuk jajargenjang, panjang alas 4 m, tinggi 3 × 4m = 12 m sehingga luas 48 m2.
83. 96 m2
84. Gambar:
49
50
88. Bentuk jajargenjang, panjang alas 4 m, tingginya 4 × 4m = 16 m sehingga luas 64 m2
91. Luas = 1 × 5 + 2 = 7 (banyak model lain, cobalah)
89. Luas = 2 × 5 = 10 92. Luas = 1 × 5 + 3 = 8 (banyak model lain, cobalah)
90. Luas = 1 × 5 + 1 = 6 (banyak model lain, cobalah)
atau: Luas = ½ × 5 × 12 – 22 = 8 (banyak model lain, cobalah)
51
52
Pada urutan ke-10 banyak persegi = 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 385 96. Sampai dengan urutan ke-10 (decomino)
93. Luas = 1 × 5 + 4 = 9
97. Pada Gambar 39 (i) 3 batang = 3× 1 (ii) 9 batang = 3× 3 (iii) 18 batang = 3 × 6 (iv) 30 batang = 3 × 10 (v) ada = 3 × 15 = 45 ... 3 × ½ n(n + 1) (x) ada = 3 × ½ × 10 × 11 = 165 batang
atau Luas = ½ × 5 × 12 – 21 = 9 (banyak model lain, cobalah)
98. Banyak segitiga ukuran terkecil Urutan 1 2 3 4 ... 1 4 9 16 99. Banyak segitiga semua ukuran 1 bt 2 bt 3 bt 4bt 5 bt i 1 ii 4 1 iii 9 3 1 iv 16 7 3 1 v 25 13 6 3 1
ARITMETIKA
94. Pada Gambar 25 (i) 4 batang (ii) 12 batang (iii) 24 batang (iv) 40 batang (v) (vi) ... (x)
= 4×1=2×2×1 = 6×2=2×3×2 = 8×3=2×4×3 = 10 × 4 = 2 × 5 × 3 = 12 × 5 = 2 × 6 × 4 = 60 batang =
= 2 × 11 × 10 = 220 batang
100. Jawab: a. 4 + 1 = 5
95. Banyak persegi berbagai ukuran 1×1 i ii iii iv ... x
2×2
3×3
4×4
5×5
1 4 9 16
1 4 9
1 4
1
100
81
64
49
53
10×10
b. 5 + 4 = 9 36
1
54
10 100 (= 102)
10 bt
4. atau:
c.
3+2=5
d. 1 × 1 = 1 Atas kiri ke kanan: 0-2, 2-4, 4-4, 4-5, 5-5, 5-1, 1-2 Kanan atas ke bawah:2-3, 3-5, 5-0, 0-3, 3-6, 6-2, 2-2 Bawah kiri ke kanan:2-5, 5-6, 6-6, 6-1, 1-0, 0-0, 0-4 Kiri bawah ke atas: 4-3, 3-3, 3-1, 1-1, 1-4, 4-6, 6-0 5.
KUNCI Domino
1.
Dengan pojok-pojok seperti terlihat pada gambar berikut, susunannya dapat dibentuk sebagai berikut (jumlah sesisi 44):
Perhatikan jumlah mata domino pada kedelapan pojok di setiap susunan.
Ada, yaitu pasangan mata yang saling berhadapan pada sisi sejajar.
2. gambar jumlah tetapan 11 1 1
1 1
1 1
3. Tujuh buah persegi ajaib berjendela dari seperangkat kartu domino. Pada susunan pertama jumlahnya 8 domino sesisi persegi pada kedelapan sepersegi ajaib adalah 22. Pada susunan kedua jumlahnya 16 domino sesisi persegi pada kedelapan adalah 23.
55
56
dan jumlah mata sisi kedua persegi dan jumlah mata sisi kedua persegi
6.
Anda dapat menyusun sendiri yang persegi berjendela dalam persegi berjendela seperti di atas. Untuk jumlah mata di kedelapan pojok 24, jumlah mata domino sesisinya 24, jumlah mata di kedelapan pojok 32, jumlah mata domino sesisinya 25, dan jumlah mata di kedelapan pojok 40, jumlah mata domino sesisinya 26. Yang sama: (a) jumlah mata pada keempat sisi domino pada pojok kiri bawah dan keempat sisi domino pada pojok kanan atas (= 19) dan (b) jumlah mata pada keempat sisi domino pada pojok kiri atas dan keempat sisi pada pojok kanan bawah (= 9)
7.
Alternatif susunan:
8.
Susunannya: a.
9.
10. Alternatif susunan (tetapan = 18)
b. 11. Alternatif susunan
Tiga alternatif susunan: jumlah tetapnya berturut-turut 12, 18, dan 24.
57
58
12. Susunannya:
13.
Penjumlahan (satu kartu, 1-4) tidak digunakan 15. Susunan perkalian dari seperangkat kartu domino.
×
14. a. Alternatif susunan penjumlahannya sebagai tergambar pada halaman berikut
×
16. Berjumlah 2 1 2
b. Susunan dapat diubah tanpa mengubah hasil penjumlahannya dengan cara (1) mempertukarkan kartu yang terletak tegak dan terletak sekolom dan (2) khusus kartu yang kedudukannya tegak direfleksikan terha-dap pembatas matanya (mata atas dan bawah garis dipertukarkan)
59
60
×
17.
Berjumlah 10
DAFTAR PUSTAKA Kordemsky, Boris A. (1981). The Moscow Puzzle. Harmondsworth, Middlesex, England: Penguin Books Ltd. Mottershead, L. (1986). Sources of Mathematical Discovery. Oxford: Basil Blackwell.
61
62
