PERSEGI PENGAMANAN UNIK KRISTAL
Mau belajar? Jangan hanya dibaca Kerjakan soalnya
disusun kembali oleh: Al. Krismanto, M.Sc
1. PERSEGI AJAIB Persegi ajaib atau bujursangkar ajaib merupakan susunan bilangan-bilangan dalam suatu persegi atau bujursangkar Bilangan-bilangan penyusunnya memiliki hubungan atau sifat tertentu. Keajaiban atau kekhususan utamanya adalah bahwa dalam susunan tersebut jumlah bilangan sebaris sama untuk semua baris yang ada, dan sama juga dengan jumlah bilangan sekolom untuk semua kolom, serta sama juga dengan jumlah bilangan sediagonal untuk kedua arah diagonalnya. Menurut sejarahnya, persegi ajaib telah dikenal sejak sebelum Kaisar Yu (2200 s.M.) di China, yang disebut lo-shu seperti yang di bawah ini. Perhatikan diagram di samping.
Lingkaran hitam melambangkan bilangan genap (perempuan; yin) sedang lingkaran biasa (putih), bilangan ganjil (laki-laki; yang). Jika dinyatakan dengan angka-angka yang menyatakan banyak lingkarannya, maka diperoleh angka-angka yang tersusun dalam sebuah persegi. Bilangan yang dilambangkannya mempunyi sifat istimewa seperti 4 9 2 disebutkan di atas. Jumlah bilangan pada setiap baris, setiap kolom, dan 3 5 7 setiap diagonal sama, yaitu 15. 8 1 6 Keistimewaan yang mencirikan sifat tertentu itu dikenal sebagai tetapan persegi ajaib. Pusatnya: 5 merepresentasikan bumi yang dikelilingi oleh empat pasang kelompok lingkaran dan banyak lingkaran di pusat itu merupakan rataan dari kelompok pasangan sebelah-menyebelah pusat, sehingga terjadi “ keseimbangan”.
AlKris
2
Yang serba ajaib
Pada abad pertengahan persegi ajaib dipercaya oleh sebagian orang sebagai tolak bala. Persegi ajaib yang cukup terkenal, berukuran 4 × 4 tersusun dari 16 bilangan asli pertama, dirancang oleh Albert Dürer pada 1514. Tahun penyusunannya tertera pada bagian bawah persegi ajaibnya. Selain kesamaan jumlah elemen sebaris, sekolom, sediagonal, setiap empat bilangan pada pusat dan pada pojok persegi (pada gambar di bawah ini bilangan selingkaran) berjumlah sama, yaitu 34. 16 3
2 13
5 10 11 8 9
6
7 12
4 15 14 1 Berikut ini contoh lainnya, berukuran 5 × 5. 3 16 18 24 9
→70
11 23 2 21 13 →70 22 20 14 8 6 →70 15 7 26 5 17 →70 19 4 10 12 25 →70 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 70 70 70 70 70 70 70 Bilangan yang disusun adalah semua bilangan asli dari 2 sampai dengan 26 di dalam persegi berukuran 5 × 5, dengan jumlah bilangan setiap baris, kolom dan diagonal masing-masing 70. Jumlah yang sama untuk setiap baris, kolom dan diagonal itu selanjutnya disebut tetapan persegi ajaib tersebut. Apakah Anda AlKris
3
Yang serba ajaib
melihat sesuatu hubungan antara jumlah bilangan, ukuran sisi persegi dan bilangan di pusat persegi? Khususnya untuk persegi berukuran 3 × 3, perhatikan letak dan hubungan antara bilanganbilangan 6, 3, dan 9, juga antara 4, 1, dan 7. Nah sekarang lengkapilah sehingga menjadi persegi ajaib dengan tetapan persegi ajaib yang besarnya dituliskan di setiap nomor soal yang bersangkutan. 1. 15
2.
3
12
24
1
10
6 3.
9
27
9
5.
6
30
4.
13
39
1
25 7
6.
23
45
2
21
7.
14 19
65
10 2
8.
15
70
26
9
7
15 10
12 22
4 8
AlKris
17
4
25
Yang serba ajaib
9. 75
19 8
13
10.
24
80
21 10 9
26 15 8
26 5 9
11. 85
27 12.
12 2
100
9
21
14
18 28
32 23
27
19
12 18 25
Yang berikut ini sifatnya sedikit berbeda dengan persegi ajaib 5 satuan di atas. Bilangan di pusat persegi bukan seperlima dari jumlah bilangan sebaris, sekolom atau sediagonal. Lengkapilah sehingga terjadi persegi ajaib dengan tetapan persegi ajaib seperti yang ditulis di bawah nomor masingmasing. 14.
13. 25
70
11 12
4 15
80 23
10
23 9 18
4 24 15. 90
24
10 13 7
16.
24
29
21
8
9 19
100
27 29
25 30
18
30 14
27
AlKris
5
13 25
Yang serba ajaib
Contoh : Bilangan yang disusun adalah 16 bilangan ganjil berurutan mulai dari 3 di dalam sebuah persegi berukuran 4 × 4, dengan jumlah bilangan setiap baris, kolom dan diagonal masing-masing 72. Bahkan setiap empat bilangan di sekitar tiap pusat persegi masing-masing juga berjumlah 72 (perhatikan angka-angka yang dilingkupi lingkaran). 5
7 31 29 →72
27 33 9
3 →72
17 11 19 25 →72
23 21 13 15 →72 ↓ ↓ ↓ ↓ 72 72 72 72 72 72 Lengkapilah kotak-kotak pada persegi berikut agar terbentuk persegi ajaib dengan sifat seperti pada contoh di atas dengan jumlah tetap seperti tertera di bawah nomor soal!
17. 34
3
13
14
19.
6
20. 11
12
58
5 9
20
11
16 12
15
8 19 13
AlKris
19
15
18
54
14
11
12
11
8
46
4
8
18.
8
6
Yang serba ajaib
21.
22
70
13 21
20 24 23 Ketiga persegi ajaib 4 × 4 di bawah ini mempunyai sifat yang lebih khusus dibandingkan yang telah dikenal sebelumnya.
Jumlah = 34
Jumlah = 34
1 15 10 8
8
12 6
13 12 6
7
3 13
9 16 2
14 4
5 11
2
1 15 10 7
3
9 16
11 14 4
5
Jumlah = 34 14 4
5 11
1 15 10 8 12 6 7
3 13
9 16 2
Jumlah sama (dalam hal ini 34) terjadi pada penjumlahan empat elemen sepersegi berpusat di setiap titik potong garis batas yang terjadi, selain pada elemen sebaris, sekolom atau sediagonal persegi utuh (4 × 4). Dengan kata lain setiap empat bilangan se-pasangan diagonal suatu persegi (2 × 2) masingmasing berjumlah sama (34) (lihat pasangan ruas garis beranak panah). Lebih dari pada itu setiap empat bilangan se-pasangan diagonal pada pojok persegi berukuran 3 × 3 masing-masing juga berjumlah sama (34). Lihat misalnya keempat bilangan yang angkanya dilingkari:
12 3 14 5
, dan
6 13 4 11
1 10 7 16
. Yang semacam itu adalah
15 8 9
2
,
.
Juga tampak bahwa keempat bilangan pada pojok persegi 4 × 4, yaitu
AlKris
1
8
14 11
pun juga berjumlah 34. Jadi semua bilangan
7
Yang serba ajaib
pada setiap ujung persegi (jadi terletak pada “ujung” pasangan diagonal) berapapun ukuran persegi itu, jumlahnya sama, yaitu 34. Persegi ajaib semacam ini dikenal sebagai persegi ajaib pandiagonal (pan-diagonal magic square). Keistimewaan lain dari persegi ajaib pan-diagonal adalah bahwa elemen-elemennya dapat “dipertukarkan”. Pertukaran itu misalnya dengan cara “translasi”. Pada gambar di atas dari persegi pertama ke yang kedua diperoleh dengan menggeser kolom 1 menjadi kolom 2, kolom 2 menjadi kolom 3, kolom 3 menjadi kolom 4 dan kolom 4 menjadi kolom 1. Pertanyaan 22. Pada gambar di atas, gambar ketiga dapat diperoleh dari gambar pertama, sehingga gambar ketiga tersebut tetap merupakan persegi ajaib pan-diagonal. Bagaimana cara memperoleh yang ketiga dari yang pertama? Lengkapilah persegi No. 23 – 26 berikut ini sehingga masing-masing merupakan persegi ajaib pan-diagonal.
No. 23, J = 38
No. 24, J = 42 7
10 3
17
13
9 6 11
5 18
No 25, J = 50
No 26, J = 58
20
12
17
17
5 14 9 AlKris
10
13 18
8
Yang serba ajaib
Sifat Lain dalam Persegi Ajaib Perhatikanlah kembali persegi ajaib 3 × 3 di bawah ini. 4
9
2
3
5
7
8
1
6
27. Berapakah jumlah kuadrat bilangan pada baris pertama (42 + 92 + 22)? Berapa pula jumlah kuadrat bilangan pada baris ketiga? Apakah jumlah kuadrat bilangan pada baris kedua sama dengan yang diperoleh di atas? 28. Berapakah jumlah kuadrat bilangan pada kolom pertama? Berapa pula jumlah kuadrat bilangan pada kolom kedua dan ketiga? 29.
5 10 3 4
6
8
9
2
7
Persegi ajaib pada nomor ini diperoleh dari persegi ajaib yang berkaitan dengan No. 27 yang setiap elemennya ditambah 1. Kerjakan seperti pada No. 27 atau 28.
30. Susunlah persegi ajaib baru seperti dilakukan pada No. 29, tetapi dengan menambah 2 pada setiap elemen persegi ajaib No. 27. Jawablah soal seperti pada No. 27 dan 28. 31. Jika setiap elemen pada persegi ajaib No. 27 dikalikan 2, apakah susunan bilangan-bilangan pada persegi itu merupakan persegi ajaib? 32. Selidikilah, apakah pada hasil susunan jawaban soal No.. 31 tersebut jumlah kuadrat elemen baris pertama dan ketiganya sama? Apakah jumlah kuadrat elemen kolom pertama dan ketiganya sama? 33. Apa hubungan antara jumlah kuadrat elemen-elemen pada baris pertama (dan ketiga) pada persegi ajaib No. 27 dan 32? Apakah hal serupa terjadi pada jumlah kuadrat elemenelemen pada kolom pertama (dan ketiga)
AlKris
9
Yang serba ajaib
34. Dugaan sifat apakah yang dimiliki persegi ajaib 3 × 3 berdasar hasil-hasil pada No. 27 – 32? Tunjukkan atau buktikan kebenaran sifat di atas secara umum! 35. Berdasar persegi ajaib dan hasil-hasil pengkuadratan elemen pada No. 27 – 31, jumlahkan ketiga hasil penjumlahan pada baris dan kolom. Bandingkan kedua hasil penjumlahan. Selalu sama? Berbeda? Tidak selalu? Untuk No. 36 – 48. Perhatikan kembali persegi ajaib 3 × 3 seperti yang digunakan pada soal No. 27. Unsur baris pertama dan ketiga berturut-turut (4, 9, 2) dan (8, 1, 6). Jumlahkan dan bandingkan bilangan-bilangan yang dapat disusun dari kedua kelompok tiga bilangan tersebut. 36. 482 + 912 + 262 dan 842 + 192 + 622 37. 482 + 962 + 212 dan 842 + 122 + 692 38. 412 + 982 + 262 = 11961 = 142 + 892 + 622 39. 412 + 962 + 282 = 11681 = 142 + 692 + 822 40. 462 + 982 + 212 = 12161 = 642 + 892 + 122 41. 462 + 912 + 282 = 11181 = 642 + 192 + 822 42. 48842 + 91192 + 26622 dan 84482 + 19912 + 62262 43. 48842 + 96122 + 21692 dan 84482 + 12962 + 69212 44. 41142 + 98892 + 26622 dan = 14412 + 89982 + 62262 45. 41142 + 96692 + 28822 dan 14412 + 69962 + 82282 46. 46642 + 98892 + 21122 dan 64462 + 89982 + 12212 47. 46642 + 91192 + 28822 dan 64462 + 19912 + 82282 48. 488484482 + 911919912 + 266262262 dan 844848842 + 199191192 + 622626622
AlKris
10
Yang serba ajaib
49. Selidiki, adakah hubungan seperti yang diperoleh pada persegi ajaib 3 × 3 diperoleh juga pada ketiga persegi ajaib 5 × 5 di bawah ini.
50.
2 15 17 23 8
3 16 18 24 9
10 22 1 20 12
11 23 2 21 13
6 45 51 69 24 3 36 30 66 3 60
21 19 13 7 5
22 20 14 8 6
63 57 39 21 15
14 6 25 4 16
15 7 26 5 17
42 18 75 12 48
18 3
19 4 10 12 25
54 9 27 33 72
9 11 24
14
4
5
11
1
15 10
8
12
6
3
13
7
9
16
2
Apakah sifat-sifat yang mirip sifat jumlah kuadrat elemen sebaris/ sekolom berlaku pada persegi ajaib di samping ini?
51. Perhatikan kembali persegi ajaib yang disusun Albert Dürer:
16 3
2
13
5 10 11 8 9
6
7
Apakah sifat-sifat yang mirip sifat jumlah kuadrat elemen sebaris/ sekolom berlaku pada persegi ajaib Albert Dürer?
12
4 15 14 1
AlKris
11
Yang serba ajaib
52.
4
9
6
15
4
9
6
14
7
12
1
14
7
12
11
2
13
8
11
2
13
5
16
3
10
5
16
3
4
9
6
15
4
9
6
14
7
12
1
14
7
12
11
2
13
8
11
2
13
Persegi ajaib yang diarsir diperluas ke arah kanan, bawah dan kanan-bawah sehingga terjadi sebuah persegi berukuran 7 × 7 seperti gambar di atas. - Ada berapa kelompok/macam “penjumlahan 34-an” (penjumlahan yang hasilnya 34) pada persegi di atas? - Berapa buah “penjumlahan 34-an” untuk setiap macamnya? 53. Pada abad ke-18 seorang matematikawan terkenal, Leonhard Euler menyusun sebuah persegi ajaib 8 × 8. Tetapan persegi ajaibnya 260, dan untuk setiap “separo jalan” jum-lahnya pun juga separonya, yaitu 130. 1
50
30
3
63
2
34 4
45
20
5
9 8 6
55
60
24
12 10
26 7
AlKris
18
22 11
12
Yang serba ajaib
Cukup banyak juga 4 elemen sepersegi 2 × 2 yang jumlahnya 130. Lebih menarik lagi, bilangan terurut yang dipasangnya mengikuti langkah kuda dalam permainan catur. Sebagian dari urutan langkah sesuai bilangan yang dipasangnya telah disediakan pada gambar di atas. Lengkapilah persegi ajaib itu untuk mencocokkannya dengan yang sudah dilakukan oleh Euler. 54.
43 61 1
73
Lengkapilah yang di samping ini sehingga menjadi sebuah persegi ajaib yang kecuali 1 yang telah terpasang, setiap elemen lainnya adalah bilangan prima.
55. Periksalah, apakah sifat seperti yang terjadi pada soal No. 27 juga berlaku untuk persegi ajaib yang 8 elemennya bilangan prima pada soal No. 54 tersebut.
AlKris
13
Yang serba ajaib
Sebuah Aplikasi Persegi Ajaib: Pasangan Balok Khusus Batang kawat sepanjang 120 cm dipotong-potong untuk membuat dua buah kerangka balok. Kedua ukuran balok berbeda, namun menggunakan kawat yang sama panjang yaitu 60 cm. Istimewanya adalah, panjang diagonal kedua balok sama. Dapatkah Anda membuat dua balok yang dimaksud? Karena jumlah panjang rusuk adalah 60 cm dan itu merupakan 4 kali panjang ketiga rusuk yang bersekutu pada satu titik sudut, maka jumlah panjang rusuk setitik sudut adalah 15 cm. Pasangan balok berbeda ukuran dengan jumlah panjang rusuk sama dan panjang diagonal sama yang dimaksud adalah: Pasangan (1): Balok berukuran panjang rusuk (4, 3, 8), panjang diagonal = 42 + 32 + 82
=
89
satuan dan balok berukuran panjang
rusuk (6, 2, 7), panjang diagonal = 62 + 22 + 72 = 89 satuan.
4
Pasangan (2):
7
3
2
8
Balok berukuran panjang rusuk (6, 1, 8),6 panjang diagonal = 62 + 12 + 82
=
101 satuan dan balok berukuran panjang
rusuk (4, 2, 9), panjang diagonal =
42 + 22 + 92 = 101 satuan.
4
6
2 1 9 8 Ternyata bahwa setiap pasang balok dengan ukuran di atas mempunyai keistimewaan lain yaitu bahwa luas permukaan keduanya sama. AlKris
14
Yang serba ajaib
Pasangan (1): Luas permukaan balok berukuran panjang rusuk (6, 1, 8) adalah 2 × (4 ×3 + 4 × 8 + 3 × 8) = 136 satuan luas. Luas permukaan balok berukuran (6, 2, 7) adalah (6 × 2 + 2 × 7 + 6 × 7) = 136 satuan luas.
2×
Pasangan (2): Luas permukaan balok berukuran panjang rusuk (6, 1, 8) adalah 2 × (6 ×1 + 6 × 8 + 1 × 8) = 124 satuan luas. Luas permukaan balok berukuran (4, 2, 9) adalah (4 × 2 + 4 × 9 + 2 × 9) = 124 satuan luas.
2×
Jika diperhatikan, dapatkah dikaitkan panjang sisi-sisi pasangan balok istimewa tersebut dengan elemen-elemen persegi ajaib berukuran 3 × 3? Carilah pasangan-pasangan balok yang: • ukuran panjang rusuknya berbeda, • jumlah panjang rusuknya sama, • panjang diagonalnya sama, dan • mempunyai luas permukaan sama, dengan ketentuan berikut ini. 56. Panjang ketiga rusuk yang bersekutu pada satu titik sudut adalah 18 (4 pasang). 57. Panjang ketiga rusuk yang bersekutu pada satu titik sudut adalah 21 (6 pasang). 58. Jumlah panjang semua rusuk 96 (8 pasang). 59. Luas permukaan 150 satuan luas. 60. Luas permukaan 676 satuan luas.
AlKris
15
Yang serba ajaib
2. PENGAMANAN SIKLIK YANG UNIK Seorang komandan jaga menyiapkan pasukannya untuk mengamankan pusat komando secara unik. Sebanyak 200 anggota pasukan disiagakan dalam penjagaan tersebut yang ditempatkan di dalam 16 pos jaga. Pada pos itu ditempatkan paling sedikit 5 dan paling banyak 20 orang anggota pasukan, dan tak satu pun pos jaga yang banyak penjaganya sama dengan pos jaga lain. Pos-pos itu disusun dalam empat lapis lurus ke pusat komando dan empat lapisan melingkar. Setiap empat pos jaga lurus ke pos komando dijaga 50 orang anggota pasukan tersebar di empat pos. Di setiap lapis melingkar tersebut jumlah anggota di empat pos jaga juga sebanyak 50 orang (pada gambar yang selingkar-an). Lebih lanjut, jumlah anggota pasukan yang ditem-patkan di empat pos yang terhubung secara spiral pun juga 50 orang (lihat empat macam garis putus-putus). Yang mengikuti arah spiral serupa tetapi dengan arah berlawanan jumlahnya juga 50 orang (spiral tak digambar). Jadi ada 20 kelompok berbeda yang masing-masing anggotanya 50 orang. 20 7 17 6 15 12 14 9
13 10 16 11 18 5 19 8
AlKris
16
Yang serba ajaib
Dengan cara serupa itu, tempatkanlah anggota pasukan di enam belas pos jaga empat lapis, jika sebagian pos telah ditentukan banyak anggota pasukannya dan jumlah anggota pasukan yang tersedia berturut-turut 136, 200, 248, dan 280. 1. Jumlah anggota pasukan 136 (= 4 × 34) 14 11
15
9
8
12 2.
Jumlah anggota pasukan 200 (= 4 × 50).
9 18
10
11 16
AlKris
17
Yang serba ajaib
3.
Jumlah anggota pasukan 248 (= 4 × 62). 21 22
14
16
10
4.
Jumlah anggota pasukan 280 (= 4 × 70).
10
14
23
12
11
Dengan cara serupa di atas, tempatkanlah pasukan di 25 pos jaga lima lapis, jika sebagian pos telah ditentukan banyak AlKris
18
Yang serba ajaib
pasukannya dan jumlah anggota pasukan yang tersedia berturutturut 350, 450, 450, 500, dan 500. 5. Jumlah anggota pasukan 350 (2 – 26 per pos) 24 3
2
21 22 17
15
4 25
6.
Jumlah anggota pasukan 450 (6 – 30 per pos).
30 23 13 27
20 16 8 26 10
AlKris
19
Yang serba ajaib
7.
Jumlah anggota pasukan 450 (6 – 30 per pos).
17 29 18 15
28
12 24 8
23
8.
Jumlah anggota pasukan 500 (8 - 32 per pos).
18
32 13
23
30
9 10
29
AlKris
20
Yang serba ajaib
9.
Jumlah anggota pasukan 500 (8 - 32 per pos). 32 13 11
14
24 30 15 9 29
10. Lengkapilah sehingga seluruh bilangan asli 1 - 25 terisikan dalam tempat yang tersedia dan terbentuk 20 kelompok lima bilangan dengan setiap lima bilangan selingkaran, segaris, sespiral berjumlah 65. 7 4 20
5
22 10 1 18 9 13
AlKris
21
Yang serba ajaib
11. Lengkapilah sehingga 30 buah di antara bilangan asli 1 - 49 terisikan ke dalam tempat yang tersedia dan terbentuk 24 kelompok enam bilangan dengan setiap enam bilangan selingkaran, segaris, sespiral berjumlah 150. 7 44
36
41 8 35 16
2
47 5
30 15 34 19 33
1
37 10 38 9
Untuk empat gambar berikut: Pada dua gambar pertama: Lengkapilah sehingga 35 buah di antara bilangan asli 1 - 49 terisikan dalam tempat yang tersedia dan terbentuk 28 kelompok tujuh bilangan dengan setiap tujuh bilangan selingkaran, segaris, sespiral berjumlah 175. Pada dua gambar kedua: Lengkapilah sehingga 40 buah di antara bilangan asli 1 - 64 terisikan ke dalam tempat yang tersedia dan terbentuk 32 kelompok delapan bilangan dengan setiap delapan bilangan selingkaran, segaris, sespiral berjumlah 260. Ada suatu petunjuk, bahwa setiap delapan bilangan selingkaran terdapat dua pasang empat bilangan “se-setengan lingkaran” yang masing-masing berjumlah 130.
AlKris
22
Yang serba ajaib
40 1
12.
17
14 24 45 19 29
34 23
22 7
3
28
38
6
30
25 8
10
43
9 48 31 21 4
32 5 37 7 13
13.
23 29 31 33
5 45
2
43
8
17 3 46
34 28 4 41 1
22 16 18 12
38 32
6 20 49 36
AlKris
23
Yang serba ajaib
64
14.
29 44 53
24
48 13 49 60 37 25 56 1 32
5740 17
7
12
5
21
3 54
39 58 15
50
4528
19 38
46 42 31 62 1
56 13 49 12 54 15 51 10 18 46
15.
20 48
3 32 36
7 14 16 53
62
55
47
9 42 19
26 35
2 64
31
4
57
28 24
33 29
17
AlKris
24
Yang serba ajaib
16. Lengkapilah gambar di bawah ini sehingga semua bilangan asli 1 - 81 terisikan di dalam tempat yang tersedia dan terbentuk 36 kelompok sembilan bilangan dengan setiap sembilan bilangan selingkaran, segaris, sespiral berjumlah 361. 36 2 53 15 68 79 29 4 17 46 22 58 72 66 37 55 21 39 31 9 27 63 42 60 10 51 25 43 20 70 75 4456 62 41 23
81 33
16 74 35
12
52 6 72 48 1 67 50
8 65
AlKris
14 76 28
59 26 38 61 24 45 57 19 40
25
7 69 54 3 64 49 5 71 47 30 73 13 32 80 11 34 78 18
Yang serba ajaib
3. KRISTAL AJAIB Letakkan masing-masing sebuah angka 1 - 16 pada setiap titik sudut persegi dan persegipanjang, sehingga jumlah setiap empat bilangan yang dilambangkannya pada setiap persegi atau persegipanjang adalah 34. 1.
3 14
4
2
7 11
10
6
12
15
2. 6 1
16 11
14
2
AlKris
26
Yang serba ajaib
3. 14
9 6
3 11
10 13
7 16 4. 11 8
9 6
12
1 9
7
5. 8
10
14
1 11
16
AlKris
6
27
Yang serba ajaib
