BARISAN DAN DERET Penggunaan Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
AHMAT RIF’AN MAULANA STIE PGRI Dewantara Jombang
Oktober 2013
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
1 / 26
Barisan dan Deret Pengertian Barisan Aritmatika (Deret Hitung)
De…nition Barisan yang selisih antar dua suku yang berurutan tetap (konstan) disebut Barisan Aritmatika (Deret Hitung ).
Example 1
2, 5, 8 11, .......(selisih/beda = 3)
2
20, 18, 16, 14, ......(selisih/beda = -2)
Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
2 / 26
Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Theorem Suku ke-n dari barisan aritmatika adalah Un = a + ( n
1)b
Keterangan: Un = suku ke-n barisan aritmatika a = suku pertama barisan aritmatika b = beda
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
3 / 26
Barisan Aritmatika Contoh
Example Carilah suku ke-50 dari barisan 2, 7, 12, 17, .....
Solution Oleh karena selisih antar suku selalu tetap, maka 2, 7, 12, 17, .....merupakan barisan aritmatika dengan a = 2, b = 5, n = 50 maka Un U50
= = = = =
a + (n
1)b
2 + (50
1)5
2 + 49 5 2 + 245 247
Jadi, suku ke-50 adalah 247. A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
4 / 26
Deret Aritmatika Pengertian
De…nition Jika pada barisan aritmatika tiap-tiap sukunya dijumlahkan, maka akan diperoleh yang disebut dengan Deret Aritmatika.
Example 1 2 + 7 + 12 + 18 + ...... adalah deret aritmatika dengan beda 5. 2 3 + 6 + 9 + 12 + ..... adalah deret aritmatika dengan beda 3.
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
5 / 26
Rumus Deret Aritmatika
Theorem Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn =
n (2a + (n 2
1)b )
Example Carilah jumlah 25 suku pertama dari deret aritmatika 50 + 46 + 42 + 38 + ....
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
6 / 26
Lanjutan...
Solution Deret aritmatika 50 + 46 + 42 + 38 + ...., maka a = 50,b = Sn S25
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
4.
n (2a + (n 1)b ) 2 25 (2(50) + (25 1)( 4)) = 2 25 = (100 96) 2 = 50
=
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
7 / 26
Barisan Geometri (Deret Ukur)
De…nition Barisan yang perbandingan/rasio antar dua suku yang berurutan selalu konstan (tetap) disebut Barisan Geometri.
Example 1
2, 4, 8, 16, ....(rasio = 2)
2
512, 256, 128, 64, ....(rasio = 0,5)
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
8 / 26
Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Theorem Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan dengan Un = ar n
1
Keterangan : Un = suku ke-n barisan geometri a = suku pertama barisan geometri r = rasio
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
9 / 26
Barisan Geometri Contoh
Example Carilah suku ke-12 dari barisan 2, 6, 18, 54, ....
Solution Barisan 2, 6, 18, 54, .... merupakan barisan geometri, sebab perbandingan antarsukunya tetap yaitu 3. Karena a = 2, r = 3, maka Un U12
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
= = = =
ar n
1
2 312
1
2 311 354.294
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
10 / 26
Deret Geometri
De…nition Jika pada barisan geometri tiap-tiap sukunya dijumlahkan, maka akan diperoleh yang disebut dengan Deret Geometri.
Example 1 2 + 4 + 8 + 16 + ....(rasio = 2) 2 512 + 256 + 128 + 64 + ....(rasio = 0,5)
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
11 / 26
Rumus Deret Geometri
Theorem Jumlah n suku pertama deret geometri adalah a (1 1
Sn =
a (r n 1) ,r > 1 r 1
atau
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
rn) ,r < 1 r
Sn =
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
12 / 26
Deret Geometri Contoh
Example Carilah jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 1 + 3 + 9 + 27 + ....
Solution Deret aritmatika 1 + 3 + 9 + 27 + ...., maka a = 1, r = 3. Sn S10
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
a (r n 1) r 1 1(310 1) = 3 1 = 29524
=
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
13 / 26
Penggunaan Barisan dan Deret dalam Ilmu Ekonomi
Example Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya dan 1,6 juta bungkus pada tahun ke tujuh. a. Andaikan perkembangan produksinya konstan. Berapa tambahan produksinya per tahun? b. Berapa produksinya pada tahun kesebelas? c. Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok? d. Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke-16?
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
14 / 26
Lanjutan... Penyelesaian
Solution Diketahui a = 1.000.000, U7 = 1.600.000
= U7 = 1.600.000 = 600.000 = b = Un
a + (n
1)b
a + (7
1)b
1.000.000 + 6b 6b 100.000
a. Jadi pertambahan produksinya pertahun adalah 100.000 bungkus rokok.
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
15 / 26
Lanjutan...
Solution b. Selanjutnya, akan dicari produksi pada tahun kesebelas U11 = a + (11
1)b
= 1.000.000 + 10(100.000) = 2.000.000 Jadi, banyaknya produksi pada tahun kesebelas adalah 2.000.000 bungkus rokok.
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
16 / 26
Lanjutan...
Solution c. Berikutnya, akan dicari tahun ketika banyak produksinya 2,5 juta Un 2.500.000 1.500.000
(n
1) n
= = = = =
a + (n
1)b
1.000.000 + (n
(n 15 16
1)100.000
1)100.000
Jadi, banyaknya produksi 2,5 juta terjadi pada tahun ke-16.
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
17 / 26
Lanjutan... Solution d. Banyak bungkus rokok yang dihasilkan sampai tahun ke-16, artinya jumlah produksi sampai tahun ke-16. Maka ini merupakan masalah deret aritmatika. Sehingga, Sn S16
n (2a + (n 1)b ) 2 16 (2(1.000.000) + (16 1)100.000 = 2 = 8(2.000.000 + 1.500.000)
=
= 8(3.500.000) = 28.000.000 Jadi, jumlah produksi selama 16 tahun adalah 28.000.000 bungkus rokok. A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
18 / 26
Latihan Soal Problem 1
Seorang Petani jeruk mencatat hasil panennya selama 11 hari pertama. Setiap harinya mengalami kenaikan tetap dimulai hari pertama, kedua, ketiga berturut-turut 15 kg, 17 kg, 19 kg dan seterusnya. Tentukanlah jumlah panen selama 11 hari pertama?
2
Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp 100.000,00 kepada empat orang anaknya. Makin muda usia anak makin kecil yang diterimanya. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp 5.000,00 dan Si Sulung menerima uang paling banyak, berapakah jumlah yang diterima oleh Si Bungsu?
3
A stock boy in a grocery store stacks a number of boxes of cereal so that there are 30 boxes in …rst row, 27 boxes in the second row, 24 boxes in the third row, and so on. How many boxes of cereal does he have if there are 3 boxes in the top row?
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
19 / 26
Latihan Soal Problem 4. Saat diterima bekerja di Penerbit Literatur, Memey membuat kesepakatan dengan pimpinan perusahaan, yaitu ia akan mendapat gaji pertama Rp 1.800.000,00 dan akan mengalami kenaikan Rp 50.000,00 setiap dua bulan. Jika ia mulai bekerja pada bulan Juli 2013, berapa gaji yang diterimanya pada bulan Desember 2013? 5. Ferdy membuka tabungan di Bank pada bulan Desember 2013 sebesar Rp 500.000,00. Pada bulan Januari 2014 , Ferdy menabung Rp 50.000,00, kemudian pada bulan Maret 2014 menabung lagi sebesar Rp 55.000,00. Pada bulan-bulan berikutnya, Ferdy menabung Rp 60.000,00, Rp 65.000,00 dan seterusnya sampai bulan Desember 2014. Berapakah jumlah seluruh tabungan Ferdy sampai akhir tahun 2014? 6. Ron Line is o¤ered a job as a mechanic starting at $ 700 per month. If he is guaranteed a pay increase of $ 10 per month every 3 months, what will his salary be after 8 years? A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
20 / 26
Bunga Majemuk
Theorem Rumus untuk mendapatkan modal akhir dari suatu modal P yang dibungakan dengan bunga i per tahun, dalam periode m setahun, selama n tahun, maka modal akhir dirumuskan dengan : FVn = P
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
1+
i m
mn
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
21 / 26
Contoh Soal Bunga Majemuk
Example A meminjam uang sejuta rupiah pada B untuk jangka waktu dua tahun dengan bunga sepuluh persen per tahun. Berapa jumlah uang yang harus dibayarkan oleh A pada saat jatuh tempo, jika pembayaran bunganya dilakukan: a. Pada setiap akhir tahun? b. Pada saat akhir semester? c. Mana yang lebih menguntungkan, bunga dibayarkan pada setiap akhir tahun ataukah pada setiap akhir semester?
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
22 / 26
Lanjutan... Penyelesaian
Solution a. Diketahui : P = 1.000.000, n = 2 tahun, m = 1, i = 0, 1 Maka, FVn
= P 1+
i m
mn
FV2 = 1.000.000 1 +
0, 1 1
2
= 1.210.000
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
23 / 26
Lanjutan... Penyelesaian
Solution b. Diketahui : P = 1.000.000, n = 2 tahun, m = 2, i = 0, 1 Maka, FVn
= P
i 1+ m
mn
FV2 = 1.000.000 1 +
0, 1 2
4
= 1.215.506, 20
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
24 / 26
Lanjutan... Penyelesaian
Solution c. Bagi A lebih menguntungkan jika bunga dibayar tiap tahun sebab jumlah uang yang harus dibayarkan pada saat jatuh tempo lebih sedikit daripada jika bunga dibayarkan tiap semester. Sebaliknya, bagi B lebih menguntungkan jika bunga dibayarkan tiap semester, sebab jumlah yang akan diterima pada saat jatuh tempo lebih banyak daripada jika bunga dibayarkan tiap tahun.
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
25 / 26
Latihan Soal
Problem 1
Rindu menanam modal sebesar Rp 20.000.000,00 dengan bunga majemuk 5%. Berapa besar modal setelah dua tahun?
2
Pada setiap awal tahun Wisnu menanamkan modalnya sebesar Rp 5.000.000,00 dengan bunga majemuk 6% per tahun. Hitunglah jumlah seluruh modal Wisnu setelah 3 tahun?
3
Bu Ijah membeli barang kredit seharga Rp 880.000,00. Ia melakukan pembayaran dengan diangsur berturut-turut setiap bulan sebesar Rp 25.000,00, Rp 27.000,00, Rp 29.000,00, demikian seterusnya. Berapa lamakah kredit barang tersebut akan lunas?
A.Rif’an M. (STIE PGRI Dew Jbg)
Barisan dan Deret pada Ilmu Ekonomi
Oktober 2013
26 / 26
