balancování: koště vs. tužka
Nestabilní = nebezpečný
koště koště jednoduchý model obrácené kyvadlo, hmotnost v těžišti, linearizace v horní poloze, … − g l má 2 reálné póly: stabilní g l a nestabilní regulátor řídicí algoritmus nás nezajímá dovnitř nevidíme a je nám to jedno
základní fakta Základní fakta o nestabilních soustavách I. Nestabilní soustavy jsou fundamentálně a měřitelně obtížnější k řízení než stabilní II. Regulátory pro nestabilní soustavy jsou kritické pro provoz a proto nesmí selhat III. Uzavřené smyčky s nestabilními komponentami včetně regulátorů jsou jen lokálně stabilní
Nestabilní soustava je nebezpečná!
H∞ norma
• norma přenosu (c-t)
L
∞
= sup L(jω) ω
neurčitost • neurčitost v otevřené smyčce (vlivem zanedbané dynamiky, nelinearit, omezení, ...)
L(s) = L0 (s) 1 + W(s)Δ(s) , Δ(s) ∞ ≤ 1, L0 = G0K0 • n. je v soustavě, ale i v regulátoru (např. je-li číslicový) • neurčitost je obvykle velká na větších frekvencích, tj. W(jω) je velké pro velké ω
robustní stabilita • na větších ω tedy nemůžeme řídit přesně • jsme rádi, když tam aspoň zachováme stabilitu • podmínka robustní stability T0 (s)W(s) ∞ < 1 ∀ω : T0 (jω)W(jω) < 1 W(jω)L0 (jω) < 1 + L0 (jω)
• z podmínky plyne: pro
d =|1+L0 (jω) |
L(jω)
r =| L0 (jω)W(jω) |
W(jω) ↑ 1
musí být
T(jω) ↓ 0
L0 (jω)
využitelné pásmo ne-využitelné pásmo ω ∈ ( Ω, ∞ ) • kde je W(jω) ≈ 1 a kde proto • nemůžeme řídit přesně (což by bylo S(jω) ≈ 0 ) ( S + T = 1) • jsme rádi, když tam zachováme stabilitu tím, že zajistíme T(jω) ≈ 0 neboli S(jω) ≈ 1 • navrhneme L0 (jω) < δ ω2 tj. s relativním řádem aspoň 2 1 využitelné pásmo ω ∈ [0,Ω] S(s) = 1+L(s) • kde je W(jω) ≈ 0 • kde si můžeme dělat „co chceme“ • kde za to také musíme nést „důsledky“ • Ω není předmětem návrhu (nezáleží na L0 (jω) ), ale je dáno fyzikálními vlastnostmi použitého HW
zákon zachování plochy - efekt vodní postele
když L má relativní řád ≥ 2 a np nestabilních pólů pi , platí • Bodeho integrální omezení :
∫
∞
∫
∞
0
0
•
∞
0
•
ln S(jω) dω = π ∑ 0p Repi n
speciálně pro stabilní L(s)
∫ •
log S(jω) dω = π ∑ 0 Repi loge np
0
ln S(jω) dω = 0
když měřítko log. u amplitudy a lin. u ω , musí se obě plochy rovnat nestabilní póly → plocha „zesilování“ je dokonce větší
příklad 2 4 -2 + s + s Pro L = nestabilní je S = (s + 2)(s -1) 2 + s + s2 • ale
∫
∞
0
•
ln S(jω)dω = π
stabilní
-2 + s + s2 S= 2 + s + s2
a dokonce
S(jω) > 1 ∀ω celá plocha je nad nulou •
pochopitelné: za stabilizaci musíme něco zaplatit
při návrhu regulátoru • platí zákon zachování (Bodeho integrál) • „hlína“ nemůže zmizet, může se jen přemístit • a to platí pro všechny metody návrhu !!!
ale navíc • „hlínu“ smíme přemisťovat jen uvnitř využitelného pásma • mimo něj musí být S(jω) ≈ 1 , tj. ln S(jω) ≈ 0 • a příspěvek integrálu je tam skoro nulový • takže ve skutečnosti pro nestabilní
∫
Ω
0
ln S(jω) dω = π ∑ 0 Repi + ε np
a pro stabilní
∫
Ω
0
ln S(jω) dω = ε
0
• i zhoršení musí být uvnitř využitelného pásma
Ω
balancování – vliv délka sstab = - g l snestab = g l
l = 2 l = 0.5 l =1 l=
2
1
0.5
0.2
0.1
snestab 2
3
4.5
7
10
[m]
l = 0.2
• kratší koště → nestabilnější pól
l = 0.1
koště – využitelné pásmo • koště samotné je OK • je dost tuhé, aerodynamický odpor je zanedbatelný, nelinearita tu nehraje roli • v čem je tedy problém? • v „regulátoru“ • HW, fyzikální implementace lidským operátorem má mnoho složitých omezení • vnímání, výpočet, pohyb ruky, …. • experimentální studie na vojenských pilotech ukazují, že • člověk jako regulátor je dobrý asi tak do 2 Hz neboli asi do 10-15 rad/s • využitelné pásmo pro tento systém je tedy ω ∈ [0,Ω], Ω ≈ 10 -15rad/s
koště – řídicí algoritmus • protože přenos poruchy na výstup je právě citlivost, • rozumné řízení zajistí • co nejmenší citlivost S = Smin ve využitelném pásmu ω ∈ [0,Ω], Ω ≈ 10 -15rad/s
• jednotkovou citlivost S = 1 mimo využitelné pásmo ω ∈ ( Ω, ∞ )
• • • • •
nezabývejme se algoritmem, který člověk používá, stejně to nezjistíme ale prozkoumejme jeho omezení, tj. jakého nejlepšího výsledku může dosáhnout bez ohledu na použitou metodu
koště – citlivost předpoklady: • relativní řád L(s) ≥ 2 (kvůli robustní stabilitě) • citlivost (kvůli robustní stabilitě a pro jednoduchost)
Smin ω ∈ [0,Ω] S= 1 ω ∈ ( Ω, ∞ ) Ω = 10 -15rad/s
S
ln S
1 Smin
0 ln Smin Ω
•
ω
hodnotu Smin najdeme z Bodeho integrálu
∫
∞
0
ln S(jω) dω = πRe snestab
koště – Bodeho integrál • •
obecně (pro jeden nestabilní pól)
∫
∞
0
pro koště
∫
Ω
0
ln S(jω) dω = πRe snestab ∞
lnSmin dω + ∫ ln(1)dω = π g l Ω
Ω lnSmin + 0 = π g l π g lnSmin = Ω l
Smin = e
π g Ω l
koště – Bodeho integrál • •
minimální citlivost ve využitelném pásmu
Smin = e
pro koště
Ω =10
S min
l=[0.1:0.01:1.5]; plot(l,exp((pi/10).*sqrt(10./l)),l,exp((pi/12). *sqrt(10./l)),l,exp((pi/15).*sqrt(10./l)))
Ω =15 l
π g Ω l
koště – Bodeho integrál • •
minimální citlivost ve využitelném pásmu
Smin = e
pro koště
Ω =10
S min
l=[0.1:0.01:1.5]; plot(l,exp((pi/10).*sqrt(10./l)),l,exp((pi/12). *sqrt(10./l)),l,exp((pi/15).*sqrt(10./l)))
Ω =15 l tužka
koště
π g Ω l
koště – citlivost S1 ω ∈ [ 0, Ω 2] = S S2 ω ∈ [ Ω 2, Ω ] 1 ω ∈ ( Ω, ∞ )
0 ln S1 Ω2 Ω
Ω ≅ 10 rad/s
2π ln S 2 = Ω
ln S2
g − ln S1 l
ω
>> l=0.1; g=10; OM=10; lnS1=-1; >> lnS2=(2*pi/10)*sqrt(10./l)-lnS1 lnS2 = 7.2832 >> exp(lnS1),exp(lnS2) ans = 0.3679 ans = 1.4556e+003
logarithmic scale linear scale
koště - shrnutí • nevadí, že nestabilní pól je velký, ale to, • že je velký vzhledem k využitelnému pásmu
• regulátor s rychlejším HW by to zvládl
X-29
X-29 • • • •
experimentální letadlo vyrobené Grumman Aircraft Comp. sponzorované USAF, DARPA a NASA řízení: HW+SW Honeywell, návrh Grumman+Honeywell zlepšené aerodynamické vlastnosti díky novým materiálům a tvaru křídel • křídla zahnutá dopředu (při velkém úhlu náběhu posiluje vztlak) • blízko nich kachní křídla
statická nestabilita statická nestabilita: – nastane když centrum vztlaku cp (bod, kde působí vztlakové síly) leží před těžištěm cg – vztlaková síla roste nepřímo úměrně náběhu, každá počáteční změna náběhu změní vztlak. vzdálenost mezi cp-cg vytváří moment ve stejném směru a poloha diverguje • linearizovaný model je podobný koštěti: • přenos má dva kořeny zhruba stejné velikosti, jeden stabilní a druhý nestabilní nestabilní Cg
stabilní Cp
Cp
Cg
X-29 • v dobách, kdy se nevěřilo automatickému řízení, byla většina letadel stabilní při všech režimech letu a všech naloženích (výjimka: první letadlo bratří Wrightů) • teď se toho využívá (stabilní letadlo musí mít ocasním plochy a závaží na zádi) • nestabilní letadlo má lepší manévrovací schopnosti a rychleji reaguje
X-29 • X-29 bylo úmyslně navrženo mírně nestabilní v transsonickém a supersonickém režimu • bohužel základní aerodynamický jev: cp zvedajícího se povrchu se dramaticky posouvá na záď při překročení rychlosti zvuku • tedy X-29 bylo mírně nestabilní při velkých rychlostech ale dramaticky nestabilní při podzvukových rychlostech: nestabilní pól +6 rad/s • což odpovídá koštěti délky asi 30 cm • což pilot manuálně řídit nezvládne (aspoň ne dlouho) supersonic: subsonic: mírně nestabilní dramaticky nestabilní
Cg Cp
Cg
Cp
Hlavní HW prvky ve smyčce, využitelné pásmo které omezují využitelné pásmo: • senzory (accelerometry, rate gyros použité pro stabilizaci vnitřní smyčky): pásmo (měřené v klas. smyslu 3-dB-zes.) typicky 120 rad/s • řídicí procesory (čísl. poč.+vzork., řídicí povely 80Hz), rozumě věrné signály do 30-40 rad/s (2-3 vzorky na rad) • akční členy (hydraulické systémy s velkým tlakem se servy ovládajícím řídicí aerodynamické povrchy) asi 70 rad/s • aerodynamika (obtékání kolem povrchu letadla, které mění polohu řídicích povrhů na síly a momenty) 100 rad/s (při větších ω je závislost složitá a neznámá) • kostra letadla (pro nás: mechanické struktury spojující akční členy a senzory, pro nízké frekvence tuhá, ale pro vyšší kmitá) pro trup stíhačky asi 7Hz 40 rad/s (nad touto frekvencí je vše neurčité, závisí na rozložení hmotnosti (palivo, náklad) a typu manévru) Celkem tedy: využitelné pásmo X-29 je asi do 40 rad/s • je omezeno hlavně mechanickými strukturami a rychlostí vzorkování počítačů.
omezení • využitelné pásmo ln S do 40 rad/s • a přitom má nestabilní pól 6 rad/s
Smin
Ω1
Ω = 40rad/s
lnω
Ω ωSmin ∫0 ln Ω1 dω + ∫Ω1 lnSmindω = πRe snestab -Ω1 +Ω1lnSmin + ( Ω - Ω1 ) lnSmin = -Ω1 +ΩlnSmin = πResnestab Ω1
lnSmin =
πResnestab +Ω1 , Ω
Smin = e
πResnestab +Ω1 Ω
Smin
Smin
Ω1 = 10 Ω1 =3 Ω1 = 1
GM ≈
GM < 2 = 6dB
S min S min − 1
= p 6 rad/s, = Ω1 3rad/s Smin = 1.75 ⇒ PM = 37o
PM<45o
Smin = 1.3 → PM = 45° 1 PM ≈ 2 arcsin 2 S min
hraniční hodnoty: norma pro vojenská letadla požaduje PM 45º, GM 6 dB (=2)
Smin • prototyp • realizovatelná aproximace S (4. řád): • výsledná Bodeho charakteristika • největší dosažitelné PM = 35 o • nestačí
• frekvenční charakteristika naměřená za letu
X-29
X-29 závěr • neudělali jsme žádný návrh • přesto jsme ukázali, že omezení daná HW jsou příliš přísná • a také to tak dopadlo: žádný z týmů nenavrhl vyhovující řízení • X-29 létá jen proto, že dostalo výjimku z norem • v současné době ještě nelze navrhovat tak divoce nestabilní letadla • praktické pravidlo: u letadel by mělo být aspoň
Ω > 10 × p
