A g¨orb¨ uletek vil´aga1 Krist´ aly S´ andor Babe¸s-Bolyai Tudom´ anyegyetem, Kolozsv´ ar & ´ Obudai Egyetem, Budapest
2015. j´ unius 20.
1
¨ ond´ıj a Az MTA Bolyai J´ anos Kutat´ oi Oszt¨ ´ltal t´ amogatott kutat´ as.
Eukleid´eszi vil´agn´ezet Eukleid´esz: ∼ Kr. e. 300, Alexandria
Eukleid´eszi posztul´ atum: ”Ha egy egyenes u´gy metsz k´et m´asikat, hogy az egyoldalon fekv˝ o bels˝ o sz¨ ogek ¨ osszege k´et der´eksz¨ ogn´el kisebb, akkor a k´et m´ asik egyenes tal´ alkozzon egym´ assal, ha v´egtelen¨ ul meghosszabb´ıtjuk o ˝ket, ´espedig azon az oldalon, ahol a sz¨ ogek ¨ osszege kisebb k´et der´eksz¨ ogn´el;”
P´arhuzamoss´agi tranzitivit´ as: d1 k d2 ´es d2 k d3 ⇒ d1 k d3 ; H´aromsz¨og sz¨ogeinek ¨ osszege pontosan 1800 .
Egyenesek: a legr¨ ovidebb hossz´ us´ ag´ u g¨ orb´ek.
Eukleid´eszi vil´agn´ezet Eukleid´esz: ∼ Kr. e. 300, Alexandria
Aquin´oi Szt. Tam´ as (Summa contra Gentiles, 13. sz.) a Mindenhat´os´agi Paradoxonr´ ol: Tud-e Isten olyan h´ aromsz¨ oget alkotni, melynek sz¨ og¨ osszege 0 6= 180 ? Immanuel Kant (A tiszta ´esz kritik´ aja, 18. sz.): Az euklideszi axi´ om´ ak a tapasztal´ ast sz¨ uks´egszer˝ uen megel˝ oz˝ o emberi ismeretek. P´arhuzamoss´agi axi´ oma ”megt´ amad´ asa”!
G¨ombi geometria Egyenesek helyett f˝ ok¨ or¨ ok (geodetikus vonalak); Geodetikus h´aromsz¨ og sz¨ ogeinek ¨ osszege >1800 :
Mercator-t´erk´ep (t´erk´ep´eszet); Megjelenik a g¨ orb¨ ulet: a metszetg¨ orb¨ ulet K = R12 ; Ha R → ∞, akkor K → 0: ”flat” eset. F¨old eset´en: Rk¨oz´ep = 6372, 797km, Kk¨oz´ep ≈ 2.5 × 10−8 .
Hiperbolikus geometria ´ or˝ Utt¨ ok
Bolyai J´anos (1802-1860); Carl Friedrich Gauss (1777-1855); Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-1856). Az elm´elet ki´ep´ıt´ese 1860-t´ ol: Arthur Cayley, Felix Klein, Eugenio Beltrami, Henri Poincar´e, Bernhard Riemann, Paul Finsler, stb.
Hiperbolikus geometria ´ or˝ Utt¨ ok
Bolyai J´anos (1802-1860); Carl Friedrich Gauss (1777-1855); Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-1856). Az elm´elet ki´ep´ıt´ese 1860-t´ ol: Arthur Cayley, Felix Klein, Eugenio Beltrami, Henri Poincar´e, Bernhard Riemann, Paul Finsler, stb.
Hiperbolikus geometria I
Egy ”egyenesen” k´ıv¨ ul es˝ o ponton t¨ obb p´ arhuzamos is huzhat´o; P´arhuzamoss´agi tranzitivit´ as: nem teljes¨ ul! H´aromsz¨og sz¨ogeinek ¨ osszege <1800 . Mik a geodetikus vonalak?
Hiperbolikus geometria II: p´eld´ak
Hopf-klasszifik´aci´o (Riemann sokas´agok)
Riemann geometria ´es a relativit´aselm´elet B. Riemann: 1870-es ´evek
Einstein egyenlet (´ altal´ anos relativit´ aselm´elet): Gij + Λgij =
8πG Tij . c4
A t´er(id˝o) negat´ıvan megg¨ orb¨ ul a gravit´aci´o hat´as´ara: nem-eukleid´eszi geometria; Al´at´amaszt´as: csillagok mellett elhalad´ o f´eny meghajl´asa.
Riemann geometria ´es a relativit´aselm´elet B. Riemann: 1870-es ´evek
Einstein egyenlet (´ altal´ anos relativit´ aselm´elet): Gij + Λgij =
8πG Tij . c4
A t´er(id˝o) negat´ıvan megg¨ orb¨ ul a gravit´aci´o hat´as´ara: nem-eukleid´eszi geometria; Al´at´amaszt´as: csillagok mellett elhalad´ o f´eny meghajl´asa.
Busemann (vagy Thal´esz) egyenl˝otlens´eg H. Busemann: 1950-es ´evek eleje
Egy (M, d) metrikus t´er Busemann-g¨ orb¨ ult, ha minden γ1 , γ2 : [0, 1] → M geodetikus vonal eset´en, melyekre γ1 (0) = γ2 (0), teljes¨ ul 1 1 1 , γ2 ≤ d(γ1 (1), γ2 (1)). d γ1 2 2 2
[K¨ oz´epvonal hossz´ us´ aga nem nagyobb, mint a hozzatartoz´ o alapvonal hossz´ us´ ag´ anak fele.] Eukleid´ eszi eset:
Thal´esz t´etele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokas´ag. (M, dg ) Busemann-g¨ orb¨ ult akkor ´es csakis akkor, ha az (M, g) szekcion´alis g¨ orb¨ ulete nem-pozit´ıv. Ny´ılt k´erd´es (Busemann, 1955): Milyen nem-pozit´ıvan g¨ orb¨ ult Finsler sokas´ agok lesznek Busemann-g¨ orb¨ ultek? Fontos k´erd´es alkalmaz´ asok perspekt´ıv´ aj´ ab´ol (is)!!! F
E
Eu
M
c l id es ean spac
B
R
Thal´esz t´etele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokas´ag. (M, dg ) Busemann-g¨ orb¨ ult akkor ´es csakis akkor, ha az (M, g) szekcion´alis g¨ orb¨ ulete nem-pozit´ıv. Ny´ılt k´erd´es (Busemann, 1955): Milyen nem-pozit´ıvan g¨ orb¨ ult Finsler sokas´ agok lesznek Busemann-g¨ orb¨ ultek? Fontos k´erd´es alkalmaz´ asok perspekt´ıv´ aj´ ab´ol (is)!!! F
E
Eu
M
c l id es ean spac
B
R
Thal´esz t´etele Riemann esetben Busemann (1955): Legyen (M, g) egy Riemannian sokas´ag. (M, dg ) Busemann-g¨ orb¨ ult akkor ´es csakis akkor, ha az (M, g) szekcion´alis g¨ orb¨ ulete nem-pozit´ıv. Ny´ılt k´erd´es (Busemann, 1955): Milyen nem-pozit´ıvan g¨ orb¨ ult Finsler sokas´ agok lesznek Busemann-g¨ orb¨ ultek? Fontos k´erd´es alkalmaz´ asok perspekt´ıv´ aj´ ab´ol (is)!!! F
E
Eu
M
c l id es ean spac
B
R
Finsler-Poincar´e korong, K = −1/4 Fekete lyukak le´ır´ asa M = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 < 4 . Nem-reverzibilis Finsler metrika M −en: 1 p 2 ∂ pr ∂ F ((r, θ) , V) = p + r2 q2 + +q ∈ T(r,θ) M. 2 4 , V = p ∂r ∂θ 1 − r4 1 − r16 dF (∂M, (0, 0)) = ln 2; dF ((0, 0), ∂M ) = +∞.
´ Abra :(a) dF (p1 , p2 ) = 2.88728399 ´es dF (m1 , m2 ) = 1.71860536
Nem-projekt´ıv Finsler metrika; g¨orb¨ ulet 0 e3 ) ∈ R2 × Rm−2 : x21 + x22 < 1 , m ≥ 2; M = p = ((x1 , x2 ) , x e3 ) ∈ Tp M = Rm legyen y = ((y1 , y2 ) , y q (−x2 y1 + x1 y2 )2 + |y|2 (1 − x21 − x22 ) − (−x2 y1 + x1 y2 ) F (p, y) = . 1 − x21 − x22
´ Abra : (a) m = 2, dF (p1 , p2 ) = 1 ´es dF (m1 , m2 ) = 0.629171204; (b) m = 3, dF (p1 , p2 ) = 1.63538395 ´es dF (m1 , m2 ) = 1.03707673
Busemann k´erd´ese V´ alasz Berwald terekre
T´etel (A. Krist´aly, L. Kozma; J. Geom. Phys., 2006) Minden nem-pozit´ıvan g¨ orb¨ ult Berwald t´er egyben Busemann-g¨orb¨ ult is (teljes¨ ul Thal´esz t´etele). F
E
R
Eu
M
c l id es ean spac
B
K¨ovetkezm´eny γ1 , γ2 geodetikusok. Ekkor t 7→ dF (γ1 (t), γ2 (t)) konvex. Megjegyz´es: u ˝rhaj´ok burkolat´ anak optimaliz´ al´ asa (IMPAN) ↔ geodetikus konvexit´as.
Weber optimiz´aci´o Torricelli pont: a pap ´es a h´ arom falu
minS (AS + BS + CS) = AT + BT + CT; Analitikusan nem sz´ amolhat´ o ki a T pont helyzete (Galois elm´elet).
L´etez´esi ´es egy´ertelm˝ us´egi t´etelek igazol´asa ´ R´ A. Krist´ aly, A. oth, G. Moro¸sanu, J. Optim. Theory Appl., 2008
min (SP1 + SP2 + SP3 ) = Tf P1 + Tf P2 + Tf P3 ;
S∈(Sα )
min (P1 S + P2 S + P3 S) = P1 Tb + P2 Tb + P3 Tb .
S∈(Sα )
V´ızes´es Finsler-Poincar´e modell
Hogyan mozgassuk az MS anyahaj´ ot a v´ızen, hogy a ment˝ocs´onakok minim´ alis id˝ o alatt el´erj´ek a s´etahaj´okat?
K¨osz¨on¨om a figyelmet/t¨ urelmet!
