Bab1. Himpunan I. Pengantar Himpunan merupakan konsep yang sangat mendasar dalam ilmu matematika. Banyak sekali kegiatan-kegiatan dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan himpunan. Untuk memahami himpunan dengan baik perhatikanlah gambar-gambar binatang dibawah ini:
Gajah
Itik
Merpati Harimau
Burung Nuri Jerapah
Kucing
Elang
Bebek
Anjing
Ayam
Dari gambar diatas kita bisa mengelompokkan binatang-binatang berdasarkan ciri-ciri tertentu. Dibawah ini beberapa jenis pengelompokkan yang bisa dilakukan pada gambar diatas 1. Berdasarkan jumlah kaki Binatang-binatang berkaki dua yaitu ayam, bebek, itik, elang, nuri dan merpati Binatang-binatang berkaki empat yaitu anjing, kucing, gajah, harimau dan jerapah 2. Berdasarkan jenis makanan Binatang-binatang herbivora tumbuhan yaitu merpati, jerapah, gajah 1
Binatang-binatang carnivora/pemakan daging yaitu elang, harimau dan anjing. Binatang-binatang carnivora/daging dan tumbuhan yaitu ayam, kucing dan bebek. 3. Berdasarkan kemampuan sayap Binatang yang bersayap dan dapat terbang yaitu nuri, elang dan merpati Binatang yang bersayap dan tidak dapat terbang yaitu ayam, bebek dan itik Kelompok-kelompok binatang diatas dalam ilmu matematika disebut himpunan. Sehingga kita bisa mengatakan himpunan binatang berkaki dua adalah ayam, bebek, nuri, itik dan elang. Dari illustrasi diatas juga kita dapat mendifinisikan himpunan sebagai kumpulan objek-obek yang yang memiliki ciri-ciri tertentu. Objek-objek dalam himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen himpunan. Dibawah ini adalah contoh-contoh himpunan yang lainnya. 1. Himpunan nama-nama hari yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu. 2. Himpuanan nama-nama ibu kota provinsi di pulau jawa yaitu jakarta, bandung, semarang. yogyakarta, surabaya. 3. Himpunan huruf hidup yaitu a, i, o, u, e. 4. Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 10 yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 5. Himpunan nilai x yang memenuhi persamaan x2 - 4 = 0 yaitu -2 dan 2 Suatu himpunan dinotasikan dalam huruf besar misalnya A, B, C,...Z sedangkan anggota himpunan dinotasikan dalam huruf kecil misalnya a, b, c,...z.
II.
Penulisan Himpunan Secara umum ada tiga cara menuliskan himpunan yaitu menyebutkan pernyataannya,
mendaftarkan anggota-anggotanya dan menyebutkan syarat keanggotaannya. 1. Menyebutkan pernyataannya Contoh: P = himpunan huruf hidup R = himpunan nama-nama hari yang huruf awalanya s 2. Mendaftarkan anggota-anggotanya Contoh: A = {2, 3, 5, 7 B = {0, 1, 2, 3, 4 C = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 3. Menyebutkan syarat keanggotaannya/notasi pembentukan himpunan 2
Contoh: A = {x | x < 10, x bilangan prima B = { x | x < 5, x bilangan cacah C = { x | -4 < x < 4, x bilangan bulat
Latihan
1. Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar. a.
A = Himpunan bilangan asli yang kurang dari 8
b.
B = Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 10
c.
C = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
d.
D = Himpunan bilangan genap yang kurang dari 20
e.
E = Himpunan bilangan ganjil yang kurang dari 20
f.
F = Himpunan bilangan kuadrat yang kurang dari 1000
g.
G = Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 30
h.
H = Himpunan bilangan kelipatan lima yang kurang dari 50
i.
I = Himpunan bilangan kelipatan tujuh yang kurang dari 60
j.
J = Himpunan bilangan kelipatan sembilan yang kurang 40
2. Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar. a.
A = Himpunan 5 bilangan ganjil pertama
b.
B = Himpunan 6 bilangan asli yang pertama.
c.
C = Himpunan 10 bilangan genap pertama
d.
D = Himpunan 8 bilangan bulat positif pertama
e.
E = Himpunan 10 bilangan cacah pertama.
f.
F = Himpunan 5 bilangan kelipatan 6 pertama
g.
G = Himpunan bilangan asli diantara 10 dan 20
h.
H = Himpunan bilangan ganjil diantara 5 dan 25
i.
I = Himpunan bilangan prima antara 10 dan 20 3
j.
J = Himpunan bilangan kelipatan 5 antara 10 dan 50
3. Nyatakan himpunan di bawah ini dengan cara mendaftar. a.
A = { x | x bilangan ganjil}
b.
B = { x | x bilangan genap}
c.
C = { x | x bilangan cacah}
d.
D ={ x | x < 10, x bilangan asli}
e.
E = { x | x ≤ 8, x bilangan cacah}
f.
F = { x | -5 ≤ x ≤ 5, x bilangan bulat}
g.
G = { x | -10 ≤ x < -5, x bilangan bulat}
h.
H = { x | 25 < x ≤ 40, x bilangan prima}
i.
I = { x | 100 < x < 150, x bilangan kelipatan lima}
j.
J = { x | 300 ≤ x ≤ 1500, x bilangan kuadrat}
4. Nyatakan himpunan berikut ini dengan kata-kata. a.
A = { 6, 12, 18, 24, . . . }
b.
B = { 23, 29, 31, 37 }
c.
C = { 3, 5, 7, 9, 11 }
d.
D = { 0, 2, 4, . . . 16 }
e.
E = { 1, 4, 9, 16, 25 }
f.
F = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 }
g.
G = { a, b, c, d, e, f, g, h }
h.
H = { 4, 8, 12, 16, 20 }
i.
I = { 5, 10, 15, 20, . . . }
J.
J = { 1, 8, 27, 64, . . . }
5. Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan. a.
A = {12, 13, 14, 15, . . . , 25} 4
b.
B = {11, 13, 17, 19, . . .}
c.
C = Himpunan bilangan cacah genap tidak lebih dari 50
d.
D = Himpunan bilangan ganjil antara 10 dan 20.
e.
E = {4, 6, 8, 10, 12, 14}
f.
F = {a, i, u, e, o}
g.
G = Himpunan 4 bilangan cacah ganjil yang pertama.
h.
H = {0, 1, 4, 9, 16, 25}
i.
I = Himpunan 8 bilangan prima yang pertama.
j.
J = Himpunan bilangan kelipatan 7 dari bilangan asli.
III. Jenis-Jenis himpunan 1. Himpunan Semesta (Universal) Adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota-anggotanya semua objek yang sedang dibicarakan. Himpunan ini dinotasikan S atau U. Contoh: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 A = {2, 4, 6, 8 B = {1, 3, 5, 7, 9 S merupakan himpunan semesta dari himpunan A dan himpunan B 2. Himpunan bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B. Dan ditulis A B. Contoh: A = 1, 2, 3 B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Karena semua anggota A juga merupakan anggota B maka A B 3. Himpunan Kosong Adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Biasanya dinyatakan atau . Contoh: A = {x | x < 1, x bilangan prima atau ditulis A= Karena tidak ada bilangan prima yang kurang dari 1, maka A adalah himpunan kosong. 5
4. Himpunan komplemen Himpunan komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan yang anggotaanggotanya bukan anggota himpunan A. Himpunan komplemen A dinotasikan A’. Contoh: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 A = {2, 3, 5, 7 maka himpunan komplemen A adalah A’={0, 1, 4, 6, 8, 9, 10 5. Himpunan yang sama Himpunan A = Himpunan B jika dan hanya jika A B dan B A dengan kata lain semua anggota A sama dengan semua anggota B. Contoh: A = {a, b, c, d, e B = {a, b, c, d, e Semua anggota A sama dengan semua anggota B, maka A = B 6. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga Suatu himpunan dikatakan berhingga jika banyaknya anggota berhingga sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut memiliki banyaknya anggota tak berhingga. Contoh: A = {x | x = himpunan bilangan bulat positif, A disebut himpunan tak berhingga karena memiliki jumlah anggota yang tak berhingga. B = {1, 2, 3}, B disebut himpunan berhingga karena jumlah anggotanya hanya tiga.
IV.
Operasi Himpunan Untuk contoh-contoh setiap operasi himpunan berikut ini digunankan himpunan A dan B dimana A = {1, 2, 3, 4, 5 dan B = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 10.
1. Gabungan (Union) A
B
A
B
A B = x | x A atau x B Contoh: A B =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 2. Irisan (Intersection) 6
A B = x | x A dan x B Contoh: A B = 3, 4 3. Selisih (difference) A - B =x | x A, x B
A
B
A - B = A Bc Contoh: A - B = 1, 2, 5 4. Jumlah A + B = x | x A atau x B dan x A B
A
B
A + B = (A B) - (A B)
A + B = 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Latihan 1. Diketahui: A = {a, b, c, d, e}, B = {b, c, e, g, k} dan C = {a, c, e, g, h} a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah: 1) A B
2) A C 3) B C
b. Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soal tersebut. 2. Diketahui: A = {10 bilanagan cacah pertama} B = {bilangan ganjil hang kurang dari 12} C = {bilangan prima yang kurang dari 15} a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah: 1) A B 2) A C b. Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soal tersebut.
3. Diketahui: P = {x | x 6, x bilangan asli},
7
3) B C
Q = {x | 0 < x 9, x bilangan asli}, R = {x | 3 x 8, x bilangan asli} a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah: 1) P
2) Q
3) R
4) P Q
5) P R
6) P R
b. Gambarkan diagram Venn dari 4), 5) dan 6) 4. Misalkan S adalah himpunan semesta dan diketahui: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} P = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
Q = {2, 4, 6, 8},
R = {1, 3, 5, 7, 9}
a. Dengan cara mendaftar semua anggotanya, carilah: 1) PC
2) Qc
3) Rc
6) PC R 7) Pc Qc
3) P Q
8) Qc Rc
4) P Q
9) P - Q
5) P R
4) P - R
5) P - Rc
b. Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soal tersebut. 5. Diketahui: K = Himpunan kuadrat bilangan asli kurang dari 50. L = Himpunan bilangan kelipatan 4 kurang dari 50 M = Himpunan bilangan kelipatan 5 kurang dari 50. a.Dengan cara mendaftar semua anggotanya, tentukan : 1) K L 2) K M
3) L M
b.Gambarkan diagram Venn dari masing-masing soaltersebut. 6. Perhatikanlah gambar diagram Venn berikut ini. S
I
M 17
7
12
4 M adalah himpunan siswa yang gemar matematika. I adalah himpunan siswa yang gemar IPA. Tentukanlah: jumlah siswa yang hanya gemar matematika, jumlah siswa yang hanya 8
gemar IPA, jumlah siswa yang gemar kedua-duanya dan jumlah siswa yang tidak gemar kedua-duanya. 7. Perhatikanlah gambar diagram Venn berikut ini. S
B
A 20
5
15
8 A adalah himpunan siswa yang gemar bakso. B adalah himpunan siswa yang gemar siomay. Tentukanlah: jumlah siswa yang hanya gemar bakso, jumlah siswa yang hanya gemar siomay, jumlah siswa yang gemar kedua-duanya dan jumlah siswa yang tidak gemar kedua-duanya. 8. Perhatikan diagram Venn di bawah ini. Berdasarkan diagram Venn di bawah ini, dengan cara mendaftar semua anggotanya tentukan: a. S, yang merupakan himpunan semestanya. b. A
c. B
d. A B
3. A B
9. Pada seorang agen koran dan majalah tercatat 12 oang yang berlangganan keduanya, 20 orang berlangganan majalah saja, 8 orang berlangganan koran saja. a. Gambarlah diagram Venn untuk menggambarkan keadaan di atas, dengan M = Himpunan pelanggan majalah, dan K = Himpunan pelanggan koran. b. Berapa banyak pelanggan pada agen tersebut. 10. Dari 25 siswa diajukan pertanyaan tentang kegemarannya tentang bermain sepak bola dan bulu tangkis. Ternya 13 siswa gemar sepak bola, 11 siswa gemar bulu tangkis dan 4 siswa gemar dua-duanya. Berapakah jumlah siswa yang tidak gemar kedua-duanya? 11. Dalam suatu kelas terdapat 42 kelas. 27 anak gemar matematika, 19 anak gemar IPA, 10 anak gemar dua-duanya. Berapa banyak siswa yagn tidak gemar kedua-duanya?
V.
Hukum-Hukum Aljabar Himpunan 9
1. Hukum Idempoten: AA=A AA=A 2. Hukum Asosiatif: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 3. Hukum Komutatif AB=BA AB=BA 4. Hukum Distributif (A B) C = (A C) (B C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) A (B C) = (A C) (B C)
5. Hukum Identitas A=A A= AS=A AS=A
6. Hukum Komplemen: A Ac = S A Ac = (Ac)c = A Sc = c = S
7. Hukum de Morgan (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc VI.
Penggandaan Himpunan 10
Definisi Pergandaan Kartesius Jika A dan B sembarang himpunan, maka perkalian dua himpunan A dan B di tulis A x B adalah himpunan dari semua pasangan terurut berbentuk (x,y) dengan x A dan y B. A x B ={(x, y)| x A dan y B }
Jika himpunan A mempunyai n anggota dan himpunan B mempunyai m anggota, maka himpunan A x B mempunyai n x m anggota
Jika A dan B adalah dua himpunan kosong, maka A x B juga adalah himpunan kosong
Jika A adalah himpunan tidak kosong, maka hasil ganda terhadap dirinya dinyatakan sebagai A x A = A 2
Contoh: 1.
Diketahui himpunan A = {4, 5} dan B = {1, 3}. Tentukanlah himpunan A x B!
2.
Diketahui himpunan A = {a, b}, B={2, 3} dan C = {3, 4}. Tentukanlah himpunan a. A x (B C)
b. (A x B) (A x C)
Jawab 1.
A x B = {(4, 1), (4, 3),(5, 1),(5, 3)}
2.
B C = {2, 3, 4} A x (B C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)} A x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)} A x C = {(a, 3), (a, 4), (b, 3), (b, 4)} (A x B) (A x C)={ (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Nyatakanlah himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar! a. P = { x | x =huruf-huruf yang menyusun kata MATEMATIKA} b. Q = { x | x < 10, x bilangan cacah} c. R = { x | x < 20, x bilangan prima} d. S = { x | -10 < x 5, x bilangan bulat} e. T = { x | 100 < x 150, x bilangan kelipatan 6} 2. Diketahui A = {a, b, c}, tentukanlah semua himpunan bagian A! 3. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c, d}, Q = {c, d, e, f} dan R = {b, c, d, e} Tentukan: a. P Q; P Q; P R; P R; Q R; Q R 11
b. Apakah berlaku sifat assosiatif (P Q) R = P (Q R) ? c. Apakah berlaku sifat distributif P (Q R) = (P Q) (P R) ? d. Gambarkanlah diagram venn untuk soal 3a! 4. Dibawah ini diberikan beberapa gambar diagram venn dari tiga himpunan. Nyatakanlah daerah yang diarsir! b.
a.
A
A
B
B C
C
c.
d.
Q
P
R
K
M L
5. Misalkan himpunan semesta S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {1, 3, 5, 7, 9} Tentukanlah: a. A B
b. B C
c. C – A
d. B + C
e. Bc C
f. Ac Cc
g. (A - B)c
h. (B - Cc)c
i. Buatlah digram venn untuk soal no.5 6. Jika 50 pengikut tes masuk perguruan tinggi ada 35 calon lulus matematika, 20 calon lulus fisika, 10 calon lulus matematika dan fisika. Berapakah banyak calon pengikut yang tidak lulus kedua mata pelajaran? 7. Diketahui himpunan A = {a, b, c} dan B = {c, d}. Tentukanlah A x B 8. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, C = {6, 7}. Tentukanlah A x B x C, kemudian buktikan bahwa A x (B x C) =( A x B) x C. 9. Tunjukanlah bahwa pernyataan-pernyataan ini benar untuk A, B dan C himpunanhimpunan sembarang 12
a. A - (A - B) = A B b. (A - B)c = B Ac c. A - (B A) = A - B d. (A - B) B = e. A (B C) = (A B) (A C) f. A (B C) = (A B) (A C) g. A - (B C) = (A - B) (A - C) h. (A – B) (B – A)= (A B)- (A B)
13
