BAB ΙΙ LANDASAN TEORI

7

BAB ΙΙ

LANDASAN TEORI

Berubahnya nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, bisa saja berubahnya nilai suatu variabel disebabkan oleh adanya perubahan nilai pada variabel lain yang tentunya memiliki hubungan dengan variabel tersebut. Untuk mengetahui perubahan nilai suatu variabel yang diakibatkan oleh variabel lain memerlukan alat analisis yang memungkinkan dalam membuat perkiraan (prediksi) nilai variabel tersebut pada nilai tertentu yang mempengaruhinya. Untuk mengetahui analisis hubungan antara dua variabel atau lebih teknik yang digunakan adalah analisis regresi linier multiple.

Dalam persamaan regresi linier berganda terdapat dua macam variabel, yaitu variabel terikat (dependen) dan variabel bebas (independen). Variabel terikat merupakan variabel dimana nilainya tergantung pada nilai variabel bebasnya yang berarti nilainya akan mengalami perubahan sesuai dengan perubahan variabel bebasnya, sedangkan variabel bebas merupakan variabel yang nilainya tidak dipengaruhi oleh variabel lain. Sehingga bisa dikatakan sifat hubungan antara variabel dalam persamaan regresi multiple merupakan hubungan sebab akibat.

Hal utama dalam menentukan persamaan regresi linier multiple adalah melihat adanya hubungan sebab akibat antara variabel dependen dan independen, baik itu pada dasar teori, hasil penelitian, serta yang didasarkan pada penjelasan logis tertentu. Karena jika hal tersebut tidak terpenuhi maka persamaan regresi multiple yang diharapkan tidak akan akurat, yang berdampak pada tidak

bermanfaatnya

pencarian yang dilakukan.

Universitas Sumatera Utara

8

2.1

Skala Pengukuran

Skala merupakan suatu konsep yang mempunyai variasi nilai dimana secara minimal dapat dibedakan menjadi dua atribut, seperti variabel jenis kelamin yang dapat dipisahkan ke dalam atribut laki-laki dan perempuan.

Berdasarkan skala pengukurannya variabel penelitian dapat dibedakan menjadi empat tingkatan yakni (Steven,1976) : a. Skala nominal b. Skala ordinal c. Skala interval d. Skala rasio

a. Skala Nominal Skala nominal merupakan skala pengukuran yang paling sederhana dilambangkan dengan kata-kata, huruf, simbol atau bilangan. Dalam skala ini tidak ada asumsi tentang jarak ataupun urutan antara katagori-katagori dalam urutan. Dengan kata lain hasil pengukurannya dapat dibedakan, tetapi tidak bisa diurutkan mana yang lebih tinggi, mana yang lebih rendah dan mana yang dikesampingkan. Misalnya ;jenis kelamin, agama yang dianut, dan lain sebagainya.

b. Skala Ordinal Skala ordinal merupakan skala pengukuran yang selain memiliki ciri membedakan juga mempunyai ciri-ciri untuk mengurutkan pada rentangan yang tertentu. Skala ini mengurutkan (merangking) responden dari tingkat paling rendah ke tingkat paling tinggi, menurut suatu atribut tertentu tanpa ada yang jelas tentang berapa jumlah absolut yang dimiliki oleh masing-masing responden tersebut dan berapa interval antara responden yang satu dengan responden yang lainnya. Hubungan lebih dari atau kurang dari yang mengandung tingkatan tersebut dapat dinyatakan dengan angka atau huruf. Misalnya variabel kelas sosial yaitu bawah, menengah, dan atas, kepangkatan dalam militer, tingkat jenis pekerjaan atau jabatan suatu


9

perusahaan tertentu, tingkat kualitas produk, tingkat kesuburan tanah, tingkat kepuasan pelanggan, stadium suatu penyakit, dan lain sebagainya.

c. Skala Interval Skala interval merupakan skala yang tidak semata-mata hanya mengurutkan (merangking) orang atau objek berdasarkan suatu atribut, tetapi juga memberikan informasi tentang interval antara satu orang atau objek dengan orang atau objek lainnya, tetapi skala ini tidak membeikan informasi tentang jumlah absolute atribut yang dimiliki oleh seseorang. Misalnya berat badan balita dihitung dari berat badan balita terendah, suhu tertinggi dari beberap kota.

d. Skala Rasio Skala rasio merupakan skala pengukuran yang mempunyai empat ciri yaitu membedakan, mengurutkan, jarak yang sama, serta memiliki titik nol tulen (titik nol yang berarti). Semua ciri-ciri skala interval menjadi ciri skala rasio mempunyai titik nol yang berarti dan rasio (pembanding) antar dua nilai juga berarti. Ukuran ini selain memberikan informasi tentang urutan dari interval antara orang-orang , juga memberikan informasi tambahan tentang jumlah absolut atribut yang dimiliki oleh salah satu dari orang-orang tersebut. Jadi skala rasio adalah suatu bentuk interval yang jaraknya tidak dinyatakan dalam perbedaan angka ratarata suatu kelompok, tetapi dengan titik nol. Misalnya variabel pendapatan, produksi, hasil panen, dan sebagainya yang dihitung dari titik nol.

2.2

Model Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana adalah regresi yang melibatkan hubungan antara satu variabel bebas

(independent variable) dengan satu varibel tak bebas

(dependent variable).

disebut juga variabel terikat karena nilainya selalu dipengaruhi oleh variabel bebas.


10

Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana

yang sederhana yang

menunjukkan hubungan antara dua variabel, yakni variabel bebas

dan variabel tak

bebas

adalah :

untuk

pasangan pengamatan

dengan: = variabel tak bebas pada pengamatan ke-i = variabel bebas pada pengamatan ke-i = konstanta yang merupakan perpotongan dengan sumbu Y = kemiringan kurva (slope) = nilai kesalahan (error) pada pengamatan ke-i

Persamaan diatas dapat digunakan untuk menaksirkan nilai Y jika nilai βi, dan X diketahui. Nilai

pada persamaan tersebut merupakan nilai Y yang

dipotong oleh kurva linier pada sumbu vertikal Y dengan kata lain pada saat x = 0. Nilai

dan

,

adalah nilai Y

merupakan parameter yang akan ditaksir/diestimasi,

nilainya hanya dapat ditentukan bila keseluruhan nilai populasi X dan Y diketahui. Untuk mengestimasi parameter β dapat digunakan metode kuadrat terkecil (least square method).

2.2.1

Estimasi Parameter Dengan Metode Kuadrat Terkecil

Dalam regresi linier sederhana maupun regresi linier berganda metode yang digunakan untuk mengestimasi nilai parameter adalah metode kuadrat terkecil (least square method). Dalam penerapannya metode ini mendapatkan standard baku atau asumsi yang harus dipenuhi yakni: a. Variabel bebas X1i, X2i, … ,Xki adalah ukuran yang bebas dari kesalahan b. Error

adalah perubahan acak dengan rata-rata nol yaitu E( ) = 0

c. Peubah acak

mempunyai varians yang sama yaitu E( ) =

d. Peubah acak

tidak berkorlasi dengan yang lainnya dengan kata lain bebas

terhadap sesamanya Cov. (, e.

) = 0 untuk i

j

adalah bebas linier


11

Metode kuadrat terkecil (least square method) merupakan suatu metode dalam pemilihan regresi linier yang meminimumkan jumlah kuadrat error (residu) yaitu jumlah kuadrat dari selisih nilai observasi variabel terikat dengan nilai dugaan. Secara sistematis meminimalkan nilai error dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut: )2

-

s= s= Jika masing-masing

)2

–

-

terkecil maka

juga akan terkecil.

Prinsip metode kuadrat terkecil menyatakan bahwa perlu menaksir sehingga

minimum. Sebagai nilai dugaan

dan

adalah

dan

dengan mendeperensialkan (menurunkan) persamaan diatas terhadap

dan dilakukan dan

kemudian menyamakannya dengan nol.

lalu menyamakannya dengan nol:

Turunan parsial s terhadap =

(2.1) Turunan S terhadap β1, lalu menyamakannya dengan nol: = (2.2)

Nilai

dan

diperoleh dengan mensubtitusikan ( , ) kedalam persamaan

(2.1) dan persamaan (2.2) sebagai berikut: = =n

=0

+

(2.3)

dan = +

-

=0 (2.4)


12

Persamaan (2.3) dan (2.4) diatas merupakan persamaan linier yang disebut dengan persamaan normal, bila: = = maka diperoleh: = =

-

Untuk memperoleh

substitusikan

ke persamaan (2.4) sehingga

diperoleh:

Maka persamaan garis regresi linier sederhana estimasi kuadrat terkecil (least square method line) adalah :

dengan: = nilai estimasi (dugaan bagi variabel tak bebas Y) nilai estimasi (dugaan bagi

)

= nilai estimasi (dugaan bagi )

2.3

Model Regresi Linier Berganda

Bentuk umum persamaan regresi linier multiple Y atas X1, X2,…,Xn adalah:

dengan: Y = variabel dependen (variabel tak bebas) X = variabel independen ( variabel bebas) ,

,…, βn = merupakan koefisien regresi = merupakan galat taksiran (residu) data ke-i, dimana i = 1,2,…,n

Bentuk data yang akan diproses disajikan dalam tabel berikut :


13

Tabel 2.1 Bagan Observasi No observasi

Variabel tak bebas (Y)

Varibel bebas (X)

1 2 3

n

2.3.1 Membentuk Persamaan Linier Multiple

Seperti yang sudah diketahui persamaan regresi linier multiple terdiri lebih dari satu variabel bebas (penduga) dimana bentuk umumnya adalah ; Yi

i

dengan: Yi = variabel tak bebas pada pengamatan ke-i = variabel bebas pada pengamatan ke-i = konstanta yang merupakan perpotongan dengan sumbu Y = kemiringan kurva (slope) = nilai kesalahan (error) pada pengamatan ke-i

Dimana bentuk persamaan penduganya adalah ;

Untuk mendapatkan atau menentukan nilai besaran dari b0, b1,…, bn akan digunakan metode kuadrat terkecil (least square method)

karena seperti yang

diketahui bahwa yang menjadi prinsip dasar dari metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah kuadrat residu (

) maka ;

=


14

= dengan: i = 1,2,…,n = jumlah kuadrat kesalahan Dengan notasi matriks hal ini sama dengan membuat minimum e sebab:

e=

,…, )

Sehingga diperoleh: e= e= dimana untuk mencari nilai dari

adalah nilai transpose dari e. Bila harga dari

e

dinotasikan dengan Q maka untuk mendapatkan nilai penduga dari bo,b1,…,bn dan membuatnya menjadi nol akan diperoleh persamaan sebagai berikut :

Jika persamaan tersebut diturunkan terhadap b0 akan diperoleh

Jika diturunkan terhadap b1

Jika diturunkan terhadap b2

Sehingga dapat disimpulkan jika persamaan tersebut diturunkan terhadap nilai bn akan diperoleh :

Langkah selanjutnya adalah dengan membuat setiap persamaan sebesar nol. Maka dapat dituliskan menjadi seperti berikut:


15

Atau bisa dituliskan menjadi seperti berikut :

Dalam hal ini nilai i dapat dihilangkan.

2.4 Pendekatan Metode Numerik Dengan Gauss-Seidel

Metode numerik merupakan metode (teknik) yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar permasalahan yang dimaksudkan dapat terselesaikan dengan operasi hitungnya. Seperti yang telah diketahui metode numerik memiliki banyak ragam, tetapi kesemuanya memiliki kesamaan ciri dimana semua metode numerik tanpa terkecuali mencakup sebagian besar perhitungan yang menjemukan.

Metode numerik juga menyediakan suatu sarana pada seseorang untuk memperkuat pengertian matematikanya karena seperti yang sudah diketahui metode numerik juga berguna untuk menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi matematika yang sederhana (mendasar).

Metode numerik Gauss Seidel merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan kira-kira 2 atau lebih persamaan linier simultan.


16

Metode numerik Gauss Seidel juga sering digunakan untuk masalah galat pembulatan yang terkadang metode eliminasi terbukti tidak sesuai untuk sistem yang besar. Oleh karena itu asumsikan bahwa diberikan himpunan n persamaan.

Dari bentuk umum sistem persamaan linier berikut: + + +

+

Dalam menyelesaikan persamaan, jika elemen-elemen diagonal semuanya tidak sama dengan nol, penyelesaian pertama dapat diselesaikan untuk x1, yang kedua untuk x2, dan seterusnya sehingga dari bentuk umum sistem persamaan linier diatas diperoleh:

.

.

.

.

Cara mudah untuk memperoleh terkaan awal adalah dengan mengasumsikan bahwa semuanya adalah nol. Nilai nol ini dapat disubsitusikan kepersamaan di atas. Prosesnya diulangi ke tiap persamaan sampai persamaan akhir mencapai kekonvergenan. Kekonvergenan dapat diperiksa dengan memakai kriteria sebagai berikut (scarborough,1966).


17

= =

,dengan m = 3

=0.05%

dengan: = galat relative i

= 1,2,3,…,n

j

= iterasi-iterasi yang sekarang

j-1 = iterasi-iterasi yang sebelumnya = galat-galat dengan banyaknya angka bena dalam aproksimasi m = angka bena

2.4.1 Pengujian Terhadap Pengaruh Variabel Tak Bebas

Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah semua variabel bebas mempunyai pengaruh yang sama terhadap variabel tak bebas. Pengujian yang dilakukan uji distribusi F, dengan nilai Fhitung (F-ratio) yang terdapat pada tabel analisis variansi berikut:

Tabel 2.2 Bagan Analisis Variansi Sumber

dk

Variansi

Jumlah

Rata-Rata

Kuadrat

Jumlah Kuadrat

Regresi

v

JK(R)

Residu

n-1-v

JK(T)-JK(R

Total

n-1

JK(T)

dengan: dk

= derajat kebebasan


18

JK(T) = jumlah kuadrat total JK(R) = jumlah kuadrat regresi

Pengujian terhadap variabel bebas secara bersama-sama (simultan) terhadap perubahan nilai variabel tak bebas dilakukan melalui pengujian terhadap besarnya perubahan nilai variabel tak bebas yang dapat dijelaskan oleh perubahan nilai semua variabel bebas. Nilai untuk perumusan hipotesis adalah: :

Variasi perubahan nilai variabel bebas tak dapat menjelaskan variasi dari

perubahan nilai tak bebas = Variasi perubahan nilai variabel bebas dapat menjelaskan variasi dari perubahan nilai variabel tak bebas. Kesimpulan untuk hipotesis diatas adalah: Jika

>

maka

ditolak

Jika

<

maka

diterima

2.4.2 Pengukuran Persentase Pengaruh Semua Variabel Bebas

Pengukuran persentase pengaruh semua variabel bebas terhadap nilai variabel tak bebas diperlihatkan oleh besarnya koefisien determinasi. Kofisien determinasi

2

)

merupakan nilai yang menyatakan besarnya nilai keterandalan model. Apabila diketahui nilai koefisien nilai determinasi dari suatu model regresi mendekati atau sama dengan 100% berarti model yang dihasilkan baik untuk mengestimasi nilai variabel tak bebas, dimana nilai 0≤

2

≤1.


19

2.4.3 Pengujian Terhadap Koefisien Regresi (Uji Parsial)

Pengujian hipotesis terhadap koefisien regresi membandingkan nilai dari

ditentukan dengan cara

masing-masing koefisien regresi dengan nilai dari

yang bisa dilihat dari tabel distribusi t dengan memperhatikan tingkat signifikasi ( ) dan banyaknya sampel yang digunakan.

Tabel 2.3 Nilai

Untuk Setiap Variabel

Penduga

Koefisien

Kesalahan Baku

Konstanta

Regresi

Koefisien Regresi

1

1 1 1

Kesimpulan:

1

:

1

:

1

0 ,artinya koefisien

1

tidak berarti

≠ 0, artinya koefisien regresi

1

berarti

dengan nilai taraf signifikan sebesar 5% maka kesimpulan yang bisa ditarik untuk hipotesis diatas adalah: Jika

koefisien rergresi >

maka

ditolak

Jika

koefisien rergresi <

maka

diterima

2.4.4 Pemilihan Variabel Pertama Yang Keluar Dari Model

Untuk mengetahui variabel pertama yang keluar dari model adalah variabel yang mempunyai nilai

terkecil pada tabel, andaikan itu adalah nilai dari

1

ntuk


20

menentukan apakah

1

keluar atau tidak dari model maka nilai untuk thitung dari

dibandingkan dengan nilai

1

. Hal ini merupakan uji keberartian koefisien regresi

dengan hipotesanya sebagai berikut:

1

= koefisien regresi

1

tidak berarti

= koefisien regresi

1

adalah berarti

Kesimpulan: Jika regresi

1

Jika regresi

≥

salah satu variabel adalah berarti sehingga salah satu variabel 1

1

maka

ditolak, yang berarti koefisien

tetap berada dalam model.

<

adalah tidak berarti sehingga

maka 1

diterima, yang berarti koefisien

keluar dari model.

2.4.5 Membentuk Persamaan Regresi Ganda Yang ke dua

Bila

ditolak maka proses dihentikan dan penduga yang digunakan adalah

persamaan regresi linier multiple. Sebaliknya jika

diterima maka langkah

selanjutnya adalah membentuk persamaan linier ganda yang memuat semua variabel dimana i≠1 atau dengan kata lain akan membentuk persamaan regresi linier ganda yang memuat (k-1) variabel independen.

2.4.6 Membentuk Persamaan Regresi (Penduga)

Jika proses pengeluaran variabel dari persamaan regresi telah diketahui dan telah selesai maka langkah selanjutnya adalah menetapkan persamaan regresi yang menjadi penduga linier yang diharapkan. Bentuk umum persamaan penduga adalah:

Dimana: = keseluruhan variabel X yang masih tinggal dalam penduga = nilai konstanta = koefisien regresi dari


21

2.4.7 Pertimbangan Terhadap Persamaan Regresi (Penduga)

Cara untuk mengetahui kecocokan model sehingga model tersebut dapat dipastikan merupakan suatu model yang dihasilkan adalah baik atau tidak , jika sudah memenuhi asumsi sebagai berikut; a. Distribusi kesalahan (error) adalah normal. Normal tidaknya dapat dilihat dari grafik plot residunya. b. Homokedastisitas, dimana varian error untuk semua variabel adalah tetap dimana bentuk lain Varian

= Varian

2

=

=0

keadaan ini akan dibuktikan melalui uji statistik yaitu dengan uji t, dengan terlebih dahulu menghitung koefisien korelasi Rank Spearman. Dimana diperlukan nilai dari rank

) dan rank

serta mencari selisihnya yang dinamakan(

) =

)

Tabel 2.4 Residu Rank Spearman No

Penduga

Residu

Rank

Rank

2

Observasi

( )

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

)

jumlah

2

dimana rumusan dari pada rank spearman adalah: 2

1

2 1

1


22

dimana: ; selisih dua rank ke-j dari dua karakteristik yang berbeda. n : banyaknya data observasi. : rank Spearman Langkah selanjutnya adalah pengujian dengan melakukan uji t. dimana 2

1

1 2

dimana: n-2 = derajat kebebasan α

= derajat taraf nyata hipotesa

Dengan membandingkan nilai atau dipenuhi jika

<

terhadap sehingga varian

homokedastisitas akan diterima = varian

. Non otokorelasi,

yang berarti tidak ada terdapat pengaruh dari variabel dalam model melalui tenggang waktu (time lag).


BAB ΙΙ LANDASAN TEORI

Recommend Documents