perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas mengenai estimasi parameter model Regresi Mkuantil, penurunan model Regresi M-kuantil, dan contoh penerapan model Regresi M-kuantil pada pengaruh pendapatan terhadap kebutuhan pangan rumah tangga. 4.1. Estimasi Parameter Model Regresi M-kuantil dengan metode Iterative Reweighted Least Square (IRLS) Pada Regresi M-kuantil, estimasi parameter dapat dilakukan dengan menggunakan metode Iterative Reweighted Least Square. Metode IRLS merupakan pengembangan dari metode Weighted Least Square. Hasil estimasi parameter dengan metode IRLS digunakan sebagai estimasi awal model Regresi M-kuantil seperti pada persamaan (2.1) yaitu
Proses estimasi pada metode IRLS ini dengan meminimumkan fungsi
dari
residu, yang dapat dituliskan sebagai berikut. ∑ dengan
∑
(4.1)
adalah fungsi yang berhubungan dengan fungsi likelihood untuk
menentukan distribusi residu yang tepat. Fungsi
diturunkan terhadap
sehingga persamaan (2.2) menjadi
∑ (4.2)
∑ commit to user
12
perpustakaan.uns.ac.id
dengan
digilib.uns.ac.id
adalah turunan
. Selanjutnya, perlu dilakukan estimasi skala
parameter, , sehingga persamaan (2.3a) menjadi ∑
.
dengan
/
(4.3)
. Menurut Montgomery dan Peck [5], persamaan
(2.3b) dapat dijabarkan menjadi ⁄ 1
0 ∑
(4.4)
⁄ (
)
sehingga persamaan (2.3c) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan ∑
(4.5)
⁄ 1
0
dengan
. Persamaan (2.4) dapat diubah dalam bentuk matriks
⁄
menjadi ∑
∑
∑
∑ (4.6)
dengan
adalah
matriks diagonal pembobot yang memiliki elemen
dan merupakan iterasi. Berdasarkan persamaan (2.5a) diperoleh estimasi commit to user
13
yaitu
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
̂
(4.7)
Pada iterasi selanjutnya, perlu dilakukan perhitungan ulang untuk pemberian bobot pada setiap sampel. Pemberian bobot pada iterasi ke- (
dihitung
berdasarkan estimasi pada iterasi ke- . Sehingga, metode ini memerlukan proses iteratif dengan
berubah-ubah pada setiap iterasinya. Perhitungan iterasi ini
berhenti bila selisih antara ̂
dan ̂ lebih kecil dari 0.1% atau dapat dikatakan
konvergen [7]. Langkah-langkah estimasi dengan metode IRLS sebagai berikut. 1. Proses iteratif dimulai dengan menentukan estimasi parameter awal. 2. Menghitung nilai ̂ dan nilai residu iterasi pertama, 3. Menghitung nilai
.
sebagai berikut
4. Menghitung skala residual
5. Memberi bobot
berdasarkan nilai skala residualnya. Jika
maka diberi bobot 1. Jika
,
, maka diberi bobot
6. Menghitung estimasi parameter dengan persamaan berdasarkan persamaan (2.5b) yaitu ̂ Matriks pembobot
pada Regresi M-kuantil pendekatan SAE merupakan
matriks pembobot dengan elemen bobot sampel,
pada daerah sampel ke- ,
sehingga persamaan (2.5b) menjadi ̂
(
)
7. Mengulangi langkah 2 – 6 hingga diperoleh nilai yang konvergen.
4.2. Pendekatan Model Regresi M-kuantil dengan SAE Regresi M-kuantil merupakan suatu analisis regresi yang digunakan untuk userdata. Salah satu contoh penerapan mengetahui bentuk model setiap commit kuantil to pada
14
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Regresi M-kuantil yaitu untuk mengestimasi suatu daerah kecil. Estimasi pada suatu daerah kecil biasanya memiliki tingkat ketepatan yang rendah. Sehingga, dikembangkan metode SAE untuk menangani permasalahan tersebut. Tzavidis dan Chambers [9], melakukan pendekatan untuk mengestimasi daerah kecil dengan menggunakan Regresi M-kuantil. Pendekatan Regresi M-kuantil pada SAE dengan Design Based Estimator yaitu ̂
[
∑
̂
∑
] (4.8)
dengan ̂
: estimasi rata-rata variabel y pada daerah kecil j, : sampel pada daerah kecil j, : bukan sampel pada daerah kecil j. Selanjutnya, Tzavidis et al. [10] menyarankan estimasi kuantil ke-
distribusi
bersyarat
dari
pada daerah kecil sebagai ∫
̂
(4.9)
dengan ̂
∑
[∑
]
̂
(4.10)
Berdasarkan persamaan (2.7a) dan (2.7b) diperoleh hasil yang bias, sehingga Tzavidis et al. [10], menggunakan estimator distribusi fungsi alternatif berdasarkan persamaan (2.3b) yang diperkenalkan oleh Chambers dan Dunstan yaitu 0∑
∑
∑
̂
̂ dengan ̂
̂ ̂
untuk sampel pada daerah kecil . commit to user
15
̂
1
(4.11)
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Menurut Tzavidis et al. [10], perhitungan alternatif untuk mengestimasi daerah kecil menggunakan Regresi M-kuantil seperti pada persamaan (2.6), dapat dilakukan dengan ̂
∫
̂
∫
,∑
,∑
∑
∑
∫
∑
∑
(̂
̂)
(̂
∫
̂)
-
-
(4.12) Karena ∫
̂
∫
̂
̂
̂ maka
persamaan (2.5a) menjadi
̂
∑
,∑
,∑
∑
*∑
,∑
*
∑
,∑
∑
̂
(̂
∑
̂ )-
̂
∑
̂ +∑
̂ ∑
4.3.
∑
̂ +-
̂ -
(4.13)
Contoh Kasus
4.3.1. Deskripsi Data Pada contoh kasus ini dimodelkan hubungan antara kebutuhan pangan dan pendapat pribadi pada suatu wilayah. Data yang digunakan adalah data penelitian yang dilakukan oleh Ernst Engel, yaitu data kebutuhan pangan rumah tangga di Eropa yang dapat dilihat pada Lampiran 1. Variabel x merupakan pendapatan rumah tangga dan variabel y merupakan kebutuhan pangan rumah tangga. commit to user
16
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Histogram masing-masing variabel disajikan dalam Gambar 4.1 dan Gambar 4.2. Grafik data Engel's 60
Mean StDev N
977.9 522.2 235
Mean StDev N
623.6 276.6 235
Frequency
50 40 30 20 10 0
0
750
1500
2250 y
3000
3750
4500
Gambar 4.1. Histogram variabel
Grafik data Engel's 50
Frequency
40
30
20
10
0
0
300
600
900
1200
1500
1800
x
Gambar 4.2. Histogram variabel Berdasarkan Gambar 4.1 dan Gambar 4.2 menunjukkan data tidak memiliki bentuk lonceng yang sempurna, sehingga perlu dilakukan uji normalitas untuk mengetahui distribusi residunya. commit to user
17
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
4.3.2. Estimasi Parameter pada Data Kebutuhan Pangan Estimasi parameter model Regresi M-kuantil dengan menggunakan metode IRLS diawali dengan menghitung estimasi parameter awal sehingga diperoleh model regresi berikut ̂
.
Kemudian, menghitung nilai ̂ dan nilai residunya,
̂ untuk iterasi
pertama. Sebagai contoh rumah tangga pertama dan rumah tangga ke-10. Residual rumah tangga pertama,
, bernilai -9.4062 dan rumah tangga ke-10,
,
bernilai -126.7911. Selanjutnya, menghitung nilai MAD yaitu
sehingga skala residual rumah tangga pertama,
, dan rumah tangga ke-10,
berturut-turut adalah
dan
Pemberian pembobot pada fungsi Huber berdasarkan nilai skala residualnya yaitu
{|
|
|
|
|
|
Karena nilai
, maka rumah tangga pertama pada iterasi
pertama diberi pembobot sebesar
= 1. Sedangkan nilai
, maka rumah tangga ke-10 diberi pembobot
.
Estimasi parameter yang dihasilkan pada iterasi pertama sebesar 0.6313. Proses iteratif ini diulang, sehingga diperoleh nilai yang konvergen. Proses estimasi parameter model Regresi M-kuantil dengan menggunakan metode Iterative Reweighted Least Square dapat dilihat pada Lampiran 2. Hasil commit user 4.1. estimasi parameter tersebut disajikan padatoTabel
18
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Tabel 4.1. Hasil iterasi estimasi parameter model regresi M-kuantil
Berdasarkan
Tabel
Iterasi
Estimasi parameter
Iterasi 0
0.6313
Iterasi 1
0.6476
Iterasi 2
0.6525
Iterasi 3
0.6543
Iterasi 4
0.6549
Iterasi 5
0.6550
Iterasi 6
0.6551
Iterasi 7
0.6551
4.1
diperoleh
nilai
estimasi
parameter
dengan
menggunakan metode IRLS konvergen pada iterasi ke-7 dengan nilai sebesar 0.6551, sehingga didapatkan model Regresi M-kuantil yaitu ̂ Artinya, setiap kenaikan satu satuan pendapatan akan mempengaruhi kenaikan kebutuhan pangan keluarga sebesar 0.6551 satuan. Hasil estimasi parameter dengan menggunakan metode IRLS, digunakan untuk menentukan estimasi model awal dalam Regresi M-kuantil. Setelah diperoleh estimasi model awal, selanjutnya dilakukan perhitungan untuk mencari nilai parameter pada setiap kuantil seperti yang disajikan pada Tabel 4.2. Tabel 4.2. Nilai parameter untuk tiap kuantil Kuantil
Nilai parameter
0.05
0.4631149
0.1
0.529766
0.15
0.5389513
0.2
0.5743479
0.25
0.5990381
0.3
0.6208163
0.35
0.6343782 commit to user
19
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
0.4
0.6406577
0.45
0.6472388
0.456
0.651668
0.5
0.6574609
0.55
0.6743338
0.6
0.6848058
0.65
0.6990031
0.7
0.7143874
0.75
0.7186578
0.8
0.7205792
0.85
0.7305775
0.9
0.7492595
0.95
0.7705197
Berdasarkan Tabel 4.2, semakin besar nilai kuantil yang dipilih, nilai estimasi parameter juga akan terus meningkat. Nilai parameter pada setiap kuantil, dapat disajikan dalam bentuk grafik seperti pada Gambar 4.4.
commit to user
20
digilib.uns.ac.id
1000
Keterangan:
500
kebutuhan
1500
2000
perpustakaan.uns.ac.id
500
1000
1500
2000
: 0.05
: 0.5
: 0.1
: 0.75
: 0.25
: 0.9
: 0.45
: 0.95
2500
pendapatan
Gambar 4.4. Grafik parameter tiap kuantil
4.3.3. Model Regresi M-kuantil pada Data Kebutuhan Pangan Setelah diperoleh model Regresi M-kuantil pada setiap kuantil, kemudian dilakukan perhitungan untuk memperoleh model Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE berdasarkan persamaan (4.13) dan disajikan pada Tabel 4.3. Tabel 4.3. Model Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE untuk tiap kuantil Kuantil 0.05
0.1 0.15
Model Regresi M-kuantil ̂
̂ ̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
commit to user
21
perpustakaan.uns.ac.id
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.456
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
digilib.uns.ac.id
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ ̂
̂
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
commit to user
22
perpustakaan.uns.ac.id
0.85
digilib.uns.ac.id
̂
0.9
̂
0.95
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
∑
∑
∑
̂
4.3.5. Uji Kebaikan Model pada Data Kebutuhan Pangan Model Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE, perlu dilakukan uji kebaikan model untuk mengetahui model yang terbaik dari beberapa model seperti yang disajikan pada Tabel 4.3. Uji kebaikan model dilakukan dengan membandingkan nilai Mean Square Error (MSE) setiap model dapat dilihat pada Lampiran 3. Model yang memiliki nilai MSE terkecil, merupakan model terbaik pada Regresi M-kuantil. Misalnya, MSE pada
dan
. Untuk
, nilai ̂ ( ̂ ) dan ̂ ( ̂ ) yaitu ̂( ̂ ) dan ̂( ̂ )
,
sehingga diperoleh nilai ̂ ( ̂ )
Sedangkan untuk
,
nilainya sebagai berikut ̂( ̂ ) dan ̂( ̂ )
,
sehingga diperoleh nilai ̂ ( ̂ ) Nilai MSE dihitung dari penjumlahan ̂ ( ̂ ) dan ̂ ( ̂ ) . Nilai MSE untuk dan
berturut-turut sebagai berikut ̂
dan
commit to user
23
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
̂ Nilai MSE masing-masing model pada tiap kuantil disajikan pada Tabel 4.4. Tabel 4.4. Nilai Mean Square Error model Regresi M-kuantil. Kuantil
Mean Square Error
0.05
33096.3171
0.1
27734.2128
0.15
27182.9769
0.2
25484.0018
0.25
24698.7254
0.3
24278.7939
0.35
24146.4536
0.4
24118.7542
0.45
24112.5339
0.456
24121.4900
0.5
24149.1613
0.55
24332.8249
0.6
24523.9853
0.65
24877.5360
0.7
25383.2911
0.75
25546.2948
0.8
25622.8479
0.85
2603.2961
0.9
27002.0001
0.95
28310.4877
Berdasarkan Tabel 4.4. diperoleh nilai MSE terkecil pada kuantil 0.45 dengan nilai sebesar 24112.5339. Jadi, model Regresi M-kuantil yang terbaik sebagai berikut. ̂
∑
∑
∑
commit to user
24
̂
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Artinya, setiap kenaikan pendapatan perkapita rumah tangga sebesar 0.6472388 akan mempengaruhi kenaikan estimasi rata-rata kebutuhan pangan rumah tangga sebesar satu satuan.
commit to user
25
