BAB III PORTOFOLIO POINT AND FIGURE 3.1 Diagram Point and Figure Dalam konteks Black-Scholes (Korn 1997), terdapat dua jenis aset dalam pasar modal, yaitu aset bebas risiko { {
( ): ≥ 0} dan aset berisiko (saham)
( ): ≥ 0}. Dalam melakukan investasi, aset dialokasikan dengan membentuk
portofolio. Investor yang mengalokasikan asetnya dalam perdagangan saham harus mempertimbangkan tingkat return dan risiko ketika memilih saham. Untuk meningkatkan tingkat return dengan risiko yang dapat diterima, investor harus melakukan analisis terhadap harga sahamnya. Salah satu analisis terhadap harga saham adalah analisis teknikal. Analisis teknikal mendasarkan pada informasi yang termuat dalam diagram/grafik pergerakan harga saham. Metode ini dilakukan dengan cara membandingkan gerakan harga saham saat ini dengan gerakan harga saham di masa lalu untuk memprediksi harga saham di masa depan yang logis (Salim 2003). Salah satu diagram/grafik yang digunakan dalam analisis teknikal adalah diagram point and figure (diagram PF). Diagram PF hanya menampilkan perubahan harga saham yang signifikan. Hal ini didasarkan kenyataan bahwa investor hanya memperjualbelikan sahamnya pada waktu harga saham mengalami perubahan (naik atau turun). Dorsey (2007) menyebutkan bahwa diagram PF menampilkan simbol x untuk harga saham naik (up) dan simbol o untuk harga saham turun (down). Dalam setiap kolom hanya berisi simbol x atau o. Perubahan simbol dalam kolom menandakan perubahan arah pergerakan harga saham. Konstruksi diagram PF dari pergerakan harga saham dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut (Elliott & Hinz 2002). 1. Menetapkan nilai ∆ > 0. 2. Memulai pengamatan pada waktu
.
3. Menuliskan salah satu simbol x atau o pada waktu melewati interval [ batas atas dari
( ) − ∆,
jika harga saham
( ) + ∆ ]. Jika harga saham naik sampai
( ) + ∆, maka pada diagram dituliskan simbol x dan jika
20 ( ) − ∆, maka dituliskan
harga saham turun sampai batas bawah dari simbol o.
4. Mengulangi prosedur yang sama untuk interval berikutnya, yaitu interval [
( ) − ∆,
( ) + ∆ ].
Proses tersebut dilakukan secara rekursif sehingga diperoleh sampel waktu { :
∈ ℕ} yang merupakan stopping time dari harga saham. Setiap sampel waktu
berpadanan dengan harga saham
( ).
Langkah-langkah konstruksi diagram PF tersebut diaplikasikan pada harga saham Bumi Resources Tbk periode tanggal 4 Januari s.d. 31 Maret 2010. Data pengamatan sebanyak 61 buah dengan nilai awal pengamatan
( ) = 2 425.
Harga Saham (Rupiah)
Sebaran data tersebut seperti pada Gambar 2 berikut ini.
2800
2600
2400
2200
10
20
30
40
50
60
Waktu Pengamatan per Hari (4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010)
Gambar 2 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010. Langkah-langkah konstruksi diagram PF pada data tersebut adalah sebagai berikut. 1. Tetapkan ∆= 100. 2. Nilai
( ) adalah harga saham awal pengamatan, yaitu
3. Untuk interval [
( ) − ∆,
( ) = 2 425.
( ) + ∆ ] = [2 325, 2 525] dan berdasarkan
Gambar 2 harga saham bergerak naik dan melewati interval tersebut. Sehingga pada waktu
harga saham berada pada level 2 525 sehingga
dan pada kolom pertama diagram PF dituliskan sombol x.
( ) = 2 525
21 4. Untuk interval berikutnya [
( ) − ∆,
( ) + ∆ ] = [2 425, 2 625] dan
berdasarkan Gambar 2 harga saham masih bergerak naik dan melewati interval tersebut. Sehingga
( ) = 2 625 dan masih pada kolom pertama diagram
PF dituliskan simbol x. Hal tersebut terjadi karena kenaikan harga saham ekivalen dengan tingginya simbol x pada kolom diagran PF demikiann halnya untuk penurunan harga. 5. Mengulangi proses tersebut untuk interval [
( ) − ∆,
( ) + ∆ ] dengan
= 2, 3, … ,18. Akhirnya, diperoleh barisan waktu { :
= 1, 2, … , 19} yang merupakan sampel
waktu. Harga saham yang bersesuaian dengan sampel waktu tersebut ditunjukkan oleh Tabel 1. Tabel 1 Sampel harga saham Bumi Resource Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010 k
( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2 525 2 625 2 725 2 825 2 725 2 625 2 525 2 425 2 325 2 225 2 325 2 425 2 325 2 225 2 325 2 425 2 525 2 425 2 325
22 Diagram point and figure dari harga saham tersebut ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut. 3025
Harga Saham (Rupiah)
2925 2825
X
2725
X O
2625
X O X O
2525
X
2425
O X
2325
O X O X O O O
2225
X O
2125 2025
Keterangan: X menyatakan harga saham naik dan O harga saham turun
Gambar 3 Diagram point and figure harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010. Berdasarkan prosedur konstruksi diagram PF tersebut, maka harga saham yang kecil dan tidak signifikan, yaitu yang berada dalam interval (
( ) − ∆,
( ) + ∆ ) dapat dihilangkan dalam diagram PF. Analis teknikal menyebut diagram PF sebagai filter yang hanya menampilkan informasi terpenting dari harga saham. Hal tersebut sesuai dengan kenyataan, walaupun saham diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi investor hanya memperjualbelikannya pada waktu diskret, yaitu waktu ketika harga saham naik atau turun. Portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Investor yang mengikuti portofolio PF akan memperjualbelikan saham hanya pada waktu { : keputusan investor hanya berdasarkan pengamatan
∈ ℕ}. Setiap waktu ( ),
( ), … ,
( ).
Sehingga optimasi portofolio PF adalah masalah pemilihan portofolio diskret.
3.2 Portofolio Point and Figure Misalnya {
( ): ≥ 0} adalah harga aset bebas risiko dan {
( ): ≥ 0}
adalah harga aset berisiko (saham) yang mempunyai dinamika (Korn 1997): ( )=
( ) ( ) ,
( )=
( )[ ( )
(0) = 1, + ( )
( )],
(0) ∈ (0, ∞).
23 di mana { ( ): ≥ 0} adalah tingkat bunga aset bebas risiko, { ( ): ≥ 0} rataan tingkat return, dan { ( ): ≥ 0} volatilitas. Ketiganya adalah proses stokastik yang terukur dan adapted dalam ruang peluang (Ω, ℱ, ) dengan filtrasi lengkap { : ≥ 0} adalah kontinu kanan dan { , Misalnya
(. ),
(. ),
(. ), dan
( ): ≥ 0} adalah gerak Brown. (. ) adalah terbatas,
(. ) adalah
(. ) > 0 hampir pasti ∀ > 0. Misalnya ℱ adalah filtrasi
deterministik, dan
lengkap yang dihasilkan oleh {
( ): ≥ 0}. ℱ menunjukkan informasi dari
pengamatan atas harga saham sampai waktu t. Asumsikan ℱ adalah satu-satunya informasi yang tersedia untuk investor pada waktu t. Berikut ini adalah beberapa definisi terkait portoflio PF. Definisi 3.2.1 (Portofolio) (Elliott & Hinz 2002) Suatu portofolio Θ(. ) adalah pasangan Θ (. ), Θ (. ) prosesnya terukur dan adapted dengan ∫ Θ ( )
dari {ℱ : ≥ 0} yang
< ∞ hampir pasti (i = 0, 1)
∀ ≥ 0. Dalam hal ini, Θ ( ) menunjukkan jumlah unit aset ke-i (i = 0,1) yang dimiliki pada waktu t. Definisi 3.2.2 (Proses Kekayaan) (Korn 1997) Proses kekayaan investor yang bersesuaian dengan Θ(. ) pada waktu t adalah ( )=
Θ ( ) ( ),
∀ ≥ 0.
Definisi 3.2.3 (Portofolio Self-Financed) (Korn 1997) Portofolio Θ(. ) disebut self-financed pada waktu t, jika berlaku ( )=
(0) +
Θ( )
( ) , ∀t ≥ 0.
Self-financed adalah strategi perdagangan ketika pembelian terhadap sejumlah aset hanya didanai dari hasil penjualan aset portofolio. Seorang investor dalam melakukan investasi akan memerhatikan tingkat kepuasan. Tingkat kepuasan tersebut tergantung dari tingkat return dan risiko yang ditimbulkan dari proses investasi tersebut. Dalam ilmu ekonomi, tingkat kepuasaan diukur dengan fungsi utilitas. Fungsi utilitas mengukur tingkat kekayaan investor di akhir periode perencanaan investasi.
24 Definisi 3.2.4 (Fungsi Utilitas) (Korn 1997) Suatu fungsi : (0, ∞) → ℝ dan
(0, ∞) disebut fungsi utilitas jika fungsi
∈
tersebut merupakan strictly concave, fungsi naik, dan dengan lim
→
( ) = +∞ dan lim
≔ min(U, 0) , yaitu
→
merupakan fungsi turun
( ) = 0. Selanjutnya definisikan
adalah bagian negatif dari .
Optimasi portofolio adalah menentukan strategi perdagangan yang memaksimumkan
return
pada
tingkat
risiko
yang
dapat
diterima.
Memaksimumkan return dapat dipandang sebagai memaksimumkan fungsi objektif dengan suatu kendala tertentu. Dalam penelitian ini, fungsi objektif investor berupa memaksimumkan nilai harapan utilitas dari kekayaan selama horison waktu T (periode perencanaan investasi). Fungsi objektif tersebut dapat dituliskan sebagai ( )
sup
dengan kendala kekayaan yang dimiliki investor selama horison waktu adalah tak negatif. Periode perencanaan investasi tersebut berupa waktu T yang kontinu sehingga saham harus diperdagangkan secara kontinu. Hal ini tidak mungkin terjadi secara nyata dalam pasar dunia karena akan melibatkan biaya transaksi yang tinggi. Oleh karena itu, diperlukan sampling waktu yang menjadi ide pokok dalam diagram PF. Sebelum membahas sampling waktu, terlebih dahulu didefinisikan proses harga didiskon. Definisi 3.2.5 (Proses Harga Didiskon) (Elliott & Hinz 2002) Proses harga didiskon
( ) didefinisikan sebagai ( )=
di mana
( ) , ( )
∀ ≥ 0
1 adalah faktor diskon. ( )
Misalnya 0 <
< 1 < , definisikan secara rekursif barisan hampir pasti
berhingga pada {ℱ : ≥ 0} yang merupakan stopping time { : berikut.
∈ ℕ} sebagai
25 ∶=0, ∶= inf
≥
( )∉[ .
:
( ), .
( )] . (3.1)
Definisikan proses waktu acak diskret oleh sampling ( ),
∶=
∶
Diketahui bahwa proses = di mana { :
( ),
∶=
∶=
( ), ∀ ∈ ℕ. (3.2)
∈ ℕ memenuhi persamaan rekursif
.
(3.3)
≥ 1} adalah proses stokastik yang mengambil nilai pada {d, u}
dengan 0 < (
= ) < 1, ∀ ≥ 1.
Berdasarkan definisi proses sampling waktu tersebut, kenaikan atau penurunan sampel harga dalam diagram PF tidak konstan sebesar ∆. Hal ini ( ) − ∆,
disebabkan perubahan selang kepercayaan dari [ ( ), .
[ .
( ) + ∆] menjadi
( )]. Meskipun demikian, proses sampling waktu tersebut tetap
memenuhi karakteristik diagram PF seperti yang diuraikan sebelumnya. Berdasarkan
proses
sampling
waktu
tersebut
selanjutnya
akan
didefinisikan portofolio PF sebagai berikut. Definisi 3.2.6 (Portoflio PF) (Elliott & Hinz 2002) Suatu portofolio self-financed Θ (. ) disebut portofolio PF jika ∀ ≥ 0 berlaku Θ ( ) ∶= Θ di
mana ∶=
[
{Θ ∶
,
](
∈ ℕ}
: ≤
) + dan
Θ
{Θ ∶
: ∈ ℕ =
,
](
,
∈ ℕ}
: ≤ ,
indikator pada himpunan A, dan dibangkitkan oleh
(
,…,
) , ( = 0, 1) (3.4) adalah
: ∈ ℕ ,
)−
( )
adalah medan-
dengan
adalah fungsi lengkap yang
,…, .
Selanjutnya, jika Θ (. ) adalah self-financed, maka kekayaan (
adapted-
( )=
Θ
S(
(. ) memenuhi
) − S ( ) , ∀k ∈ ℕ. (3.5)
