OPTIMISASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV
Oleh: ANDRI SURYANA G54102017
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
1
OPTIMISASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: ANDRI SURYANA G54102017
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
2
RINGKASAN ANDRI SURYANA. Optimisasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Hidden Markov. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan EFFENDI SYAHRIL. Dalam membuat keputusan investasi, investor tidak mengetahui secara pasti tingkat return (imbal hasil) dari saham. Ketidakpastian tingkat return yang diperoleh investor berkaitan dengan adanya resiko (naik-turunnya harga saham) dalam setiap aktivitas investasi. Resiko investasi dapat diprediksi melalui kinerja perusahaan yang tercermin dalam harga sahamnya. Untuk memperoleh keuntungan, investor yang akan membeli saham dari suatu perusahaan harus melakukan analisis terhadap nilai sahamnya. Salah satu analisis yang digunakan adalah analisis teknikal. Analisis teknikal merupakan metode analisis yang berdasarkan diagram/grafik dari harga saham. Metode ini dilakukan dengan cara membandingkan gerakan harga saham saat ini dengan gerakan harga saham di masa lalu untuk memprediksi harga saham di masa depan yang logis. Dasar dari analisis teknikal adalah diagram/grafik dari gerakan harga saham. Tipe diagram yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah diagram PF (Point and Figure Chart). Diagram PF adalah salah satu tipe diagram dari analisis teknikal yang hanya menampilkan perubahan harga yang signifikan. Dalam melakukan investasi, kekayaan dialokasikan dengan membentuk portofolio. Tujuannya adalah untuk meminimumkan resiko. Portofolio ini terdiri atas aset bebas resiko dan aset beresiko (saham). Portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Optimisasi portofolio PF merupakan masalah pemilihan portofolio diskret. Hal ini dikarenakan oleh saham (aset beresiko) diperdagangkan dalam waktu acak diskret. Akibatnya, diperlukan model waktu diskret. Model tersebut mempelajari hubungan antara masalah portofolio waktu diskret dengan konsep martingale dalam optimisasi portofolio. Model tersebut menjelaskan eksistensi dari portofolio PF yang optimal. Dalam perdagangan saham di pasar dunia, harga saham saat ini (harga didiskon) dipengaruhi oleh tingkat volatilitas (naik-turunnya harga). Tingkat volatilitas ini dihitung dengan Model Hidden Markov (HMM). HMM menyediakan dua alat yang sangat penting, yaitu algoritma yang memaksimumkan nilai harapan (EM-Algorithm) dan metode peluang acuan (Reference Probability Method). EM-Algorithm untuk menduga parameter-parameter dalam HMM berdasarkan data historis, sedangkan metode peluang acuan yang dikombinasikan dengan konsep martingale dalam model waktu diskret untuk memperoleh portofolio PF yang optimal. Portofolio PF yang optimal dari fungsi utilitas logaritmik diperoleh secara eksplisit dengan menggunakan model waktu diskret dan model Hidden Markov.
3
Judul Nama NRP
: Optimisasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Hidden Markov : Andri Suryana : G54102017
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 131 835 248
Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc. NIP. 131 804 163
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus : …………………..
4
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 16 Juni 1983 sebagai anak kelima dari lima bersaudara dari pasangan Bapak Atang dan Ibu Neneng. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Dwi Tunggal pada tahun 1996, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama di SLTPN 1 Warungkiara pada tahun 1999, Sekolah Menengah Umum di SMUN 1 Cibadak pada tahun 2002, dan masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) pada tahun yang sama. Selain mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Pengantar Matematika pada tahun ajaran 2005/2006, Kalkulus 1 pada tahun ajaran 2003/2004 dan 2004/2005, serta Kalkulus 2 pada tahun ajaran 2003/2004. Penulis sempat menjadi tenaga pengajar di Aljabar Power Institut, Exacta Privat dan Math Art Privat. Penulis juga aktif dalam kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2002/2003 sebagai anggota Departemen Kajian Ilmiah dan pada periode 2003/2004 sebagai ketua Departemen Kajian Ilmiah.
5
PRAKATA Bismillaahirrahmaanirrahiim, Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. yang selalu memberikan rahmat dan karunia sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Sholawat serta salam tidak lupa penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat, keluarga serta para pengikutnya sampai akhir zaman. Dengan segala ketulusan hati, penulis ingin berterima kasih kepada orang-orang yang secara langsung ataupun tidak langsung telah berkontribusi besar dalam membantu, mendukung dan memberi semangat dalam menyelesaikan karya ilmiah ini : 1. Ibu Berlian Setiawaty selaku pembimbing 1 yang telah memberikan saran, masukan serta bantuan dalam penulisan karya ilmiah ini. 2. Bapak Effendi Syahril selaku pembimbing 2 yang telah banyak membantu dalam penulisan karya ilmiah ini. 3. Ibu Endar Hasafah Nugrahani atas bimbingan dan kesediaannya sebagai penguji. 4. Bapak dan Ibu tercinta yang tiada hentinya memberikan nasihat, do’a, dukungan serta semangat. Terima kasih atas segenap kasih sayang yang tak terbalaskan. 5. Kakak-kakak tersayang yang senantiasa memberi nasihat dan support . 6. Keponakan-keponakan tersayang yang telah memberikan keceriaan. 7. Warga kamar C1-024 Asrama Putra TPB ’39 (Panji, Azmi, Dzulfikar), kosan Bafak 7 (Kharisma, Mukmin, Ilham, Suyadi, Dase dan lain-lain), Kosan KC-Math (Yana, Riswan, Agus, Ekam, Aden, Ungkap), kosan Aljabar (Lukman, Rodih, DC, Febri, Jayu, Yusuf) dan Wisma Gizi Abadi yang telah memberikan motivasi dan keceriaan. 8. Agus, Merdina dan Aden yang telah bersedia menjadi pembahas, serta Mar’atun dan Arif yang telah menyediakan konsumsi dalam seminar. 9. Alumni SMUN 1 Cibadak angkatan 39 di IPB : Febi (MATH), Mar’atun (THP), Arif (TMA), Desy (BIO), Lucky (TEP), Eka (STK), Neli (THH) dan Adel (INMT). Kalian adalah teman seperjuanganku. Terimakasih atas kebersamaannya. 10. Resti (atas dukungan dan kebersamaannya), Riswan (atas kritik dan sarannya), Yana (atas support-nya), Lusy MNJ ’39 (atas referensinya) dan Rahma FIS ’39 (atas persahabatannya). 11. Dosen-dosen Departemen Matematika atas segala ilmu yang telah diberikan tanpa lelah. 12. Staf-staf Departemen Matematika : Ibu Susi (atas segala nasihat dan ceritanya), Ibu Ade, Mas Deni, Mas Yono, Mas Bono, Ibu Marisi, Pak Juanda dan Mbak Yanti yang senantiasa direpotkan. 13. Teman-teman Math ’39 yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Terima kasih atas segala kebersamaan serta momen-momen terindah selama empat tahun terakhir. 14. Teman-teman Math ’37, Math ’38, Math ’40, Math ’41 serta angkatan 42 yang membuat kisah hidup lebih lengkap. 15. Serta semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat. Amin.
Bogor, Juni 2006 Andri Suryana
6
DAFTAR ISI Halaman RINGKASAN ................................................................................................................
ii
RIWAYAT HIDUP ........................................................................................................
iv
PRAKATA .....................................................................................................................
v
DAFTAR ISI.....................................................................................................................
vi
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................ vii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................... viii PENDAHULUAN .......................................................................................................... 1.1. Latar Belakang ............................................................................................... 1.2. Tujuan Penulisan ............................................................................................ 1.3. Metode dan Sistematika Penulisan .................................................................
1 1 2 2
LANDASAN TEORI ..................................................................................................... 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ............................................................... 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ..................................................................... 2.3 Penduga dan Kekonvergenan ............................................................................ 2.4 Proses Stokastik................................................................................................. 2.5 Barisan Bilangan Real, Kekontinuan, Konveks dan Concave........................... 2.6 Vektor................................................................................................................ 2.7 EM-Algorithm....................................................................................................
2 2 3 4 4 6 7 7
KONSTRUKSI DIAGRAM PF ........................................................................................
8
PORTOFOLIO PF ............................................................................................................ 11 MODEL WAKTU DISKRET ........................................................................................... 14 MODEL HIDDEN MARKOV.......................................................................................... 15 OPTIMISASI PORTOFOLIO PF ..................................................................................... 17 SIMPULAN DAN SARAN ........................................................................................... 18 8.1 Simpulan .......................................................................................................... 18 8.2 Saran ................................................................................................................ 18 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 19 LAMPIRAN ................................................................................................................... 20
7
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 : Perbandingan Diagram Harga Saham UNVR dengan Diagram PF-nya ..... 10 Gambar 2 : Pohon Biner dari Sk1 : 0 k n dengan 2 Step ...................................... 23
8
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran A : Perhitungan dalam Masalah 1 .................................................................... 21 Lampiran B : Penurunan Persamaan 7 ......................................................................... 22 Lampiran C : Penjelasan Mengenai Sebaran dari y1 ,..., yn terhadap P .................... 23 Lampiran D : Bukti Proposisi 2........................................................................................ 24
9
I. PENDAHULUAN depan yang logis. Dasar dari analisis teknikal adalah diagram/grafik dari gerakan harga saham. 2) Analisis fundamental, yaitu metode analisis yang berdasarkan fundamental ekonomi suatu perusahaan. Metode ini menitik-beratkan pada rasio finansial dan kejadian-kejadian yang secara langsung maupun tidak langsung mempengaruhi kinerja keuangan perusahaan. Kedua analisis tersebut bertujuan untuk memprediksi aliran pendapatan di masa depan baik dividen maupun capital gain. Aliran pendapatan diperoleh dengan mengoptimalkan portofolio, yaitu mencari strategi perdagangan yang memaksimumkan return. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas mengenai analisis teknikal. Adapun tipe diagram yang digunakan adalah diagram PF (Point and Figure Chart). Permasalahan di atas merupakan permasalahan dari suatu proses stokastik, yaitu permasalahan yang terkait dengan peluang suatu kejadian, dimana kejadian pada waktu yang akan datang tidak dapat diprediksi dengan pasti. Setiap kejadian tentu ada penyebabnya, hanya saja terkadang penyebabnya tidak diamati secara langsung. Penyebab kejadian dapat membentuk berbagai model matematika, salah satunya adalah Model Rantai Markov. Pasangan kejadian dan penyebabnya disebut sebagai Model Hidden Markov. Model tersebut dibangun oleh parameter-parameter yang akan digunakan untuk memprediksi kejadian di masa yang akan datang. Parameter tersebut dapat diduga berdasarkan data historis dengan menggunakan EMAlgorithm (algoritma yang memaksimumkan nilai harapan), yaitu salah satu metode pendugaan parameter yang akan memaksimumkan prediksi terhadap kejadian di masa yang akan datang. Dalam tulisan ini, dikaji metode adaptif dari optimisasi portofolio. Gagasan utamanya ialah untuk menjelaskan gerakangerakan penting dari harga saham dengan menggunakan Model Hidden Markov (HMM) dan menentukan portofolio optimal dengan menggunakan algoritma rekursif. Optimisasi portofolio ini bersifat adaptif, artinya EM-Algorithm sesuai dengan model berdasarkan data historis yang meningkatkan kinerja portofolio.
1.1 Latar Belakang Saham adalah surat berharga sebagai bukti kepemilikan individu maupun institusi atas suatu perusahaan. [Salim, 2003] Dalam membuat keputusan investasi, investor tidak mengetahui tingkat return (imbal hasil) dari saham secara pasti. Ketidakpastian tingkat return yang diperoleh investor berkaitan dengan adanya resiko dalam setiap aktivitas investasi. Resiko adalah kemungkinan kerugian yang akan dialami seseorang yang diakibatkan oleh bahaya yang mungkin terjadi tetapi tidak diketahui kapan terjadinya dan apa yang akan terjadi. Resiko investasi harus diperhitungkan secara tepat ketika memilih saham untuk menghindari kerugian. Dalam melakukan investasi, kekayaan dialokasikan dengan membentuk portofolio. Portofolio ini terdiri atas aset bebas resiko dan aset beresiko (saham). Portofolio tersebut dimaksudkan untuk meminimumkan resiko kerugian. Dalam kondisi normal, resiko investasi dapat diprediksi melalui kinerja perusahaan yang tercermin dalam harga sahamnya. Jika aktivitas perusahaan menunjukkan pertumbuhan yang prospektif maka harga sahamnya akan mengalami kenaikan. Saham-saham dari perusahaan dengan pertumbuhan seperti itu dapat memberikan capital gain. Capital gain adalah keuntungan yang diperoleh pemegang saham selain dividen jika harga jual sahamnya melebihi harga belinya. Dividen itu sendiri adalah bagian dari laba perusahaan yang dibagikan kepada pemegang saham. Setiap waktu, harga saham berfluktuasi naik-turun. Fluktuasi harga saham inilah yang merupakan resiko investasi saham karena menjadikan ketidakpastian tingkat return. Resiko investasi saham berupa standar deviasi dari nilai keuntungan real. Untuk memperoleh keuntungan, seorang investor yang akan membeli saham dari suatu perusahaan harus melakukan analisis terhadap nilai sahamnya. Analisis seperti ini terbagi atas 2 bagian, yaitu : 1) Analisis teknikal, yaitu metode analisis yang berdasarkan diagram/grafik dari harga saham. Metode ini dilakukan dengan cara membandingkan gerakan harga saham saat ini dengan gerakan harga saham di masa lalu untuk memprediksi harga saham di masa
10
1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Mempelajari diagram PF. 2. Mempelajari portofolio PF. 3. Menentukan portofolio PF optimal dengan model waktu diskret dan model Hidden Markov (HMM).
Karya ilmiah ini terdiri atas 8 bagian. Bagian ke-1 menjelaskan latar belakang masalah optimisasi portofolio, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian ke-2 menyajikan landasan teori yang membahas ruang contoh, kejadian dan peluang; peubah acak dan fungsi sebaran; penduga dan kekonvergenan; proses stokastik; barisan bilangan real, kekontinuan, konveks dan concave ; vektor; dan EM-Algorithm. Bagian ke-3 membahas konstruksi diagram PF dan bagian ke-4 membahas portofolio PF. Selanjutnya, bagian ke-5 membahas model waktu diskret dan bagian ke-6 membahas model Hidden Markov (HMM). Selain itu, bagian ke-7 membahas optimisasi portofolio PF serta bagian ke-8 menyajikan simpulan dan saran dari pembahasan sebelumnya.
1.3 Metode dan Sistematika Penulisan Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur dan materi karya ilmiah ini diambil dari jurnal yang berjudul ”Portfolio optimization, hidden Markov models, and technical analysis of P&FCharts” oleh Robert Elliot dan Juri Hinz pada tahun 2004.
II. LANDASAN TEORI Definisi 1.3 (Medan Borel) Medan borel adalah medan terkecil yang mengandung semua selang berbentuk ,r,r , dinotasikan .
Berikut ini adalah aspek teoritis yang menjadi landasan teori bagi penulisan karya ilmiah ini. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini yang dapat diulang dalam kondisi yang sama disebut percobaan acak. [Hogg dan Craig, 1995]
Contoh : Jika a b • a, b •
Ai
memenuhi : 1. P( ) 0 , P( ) 2.
.
Jika A1 , A2 ,...
1. adalah
himpunan
yang saling lepas yaitu Ai untuk setiap pasangan i
P
Ai i 1
Pasangan
, ,P
Aj
j , maka
P Ai . i 1
disebut ruang peluang.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
.
Definisi 1.5 (Kejadian Saling Bebas) Misalkan , , P adalah ruang peluang
i 1
3. Jika A
b
.
Definisi 1.4 (Ukuran Peluang) adalah medan - dari ruang Misalkan contoh . Ukuran peluang adalah suatu fungsi P : yang 0,1 pada ,
Definisi 1.2 (Medan - ) Medan adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut : 1. . maka
a, b
,a
[Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 1.1 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang . Suatu contoh, dinotasikan dengan kejadian A adalah himpunan bagian dari . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
2. Jika A1 , A2 ,...
a, b
, maka ,b
maka AC . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
. Kejadian A dan B dikatakan dan A, B saling bebas jika
11
P A B
Definisi 2.3 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Catatan : Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota dapat C dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
P A P B .
Misalkan I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian Ai , i I dikatakan saling bebas jika
P
Ai i J
P Ai i J
untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 1.6 (Keekivalenan Ukuran Peluang) Ukuran peluang P dan Q pada ruang contoh disebut ekivalen jika untuk kejadian A berlaku : Q( A) 0 jika dan hanya jika P( A) 0 . [Loeve,1962] Definisi 1.7 (Peluang Bersyarat) Misalkan A1 sehingga P A1
Definisi 2.4 (Fungsi Kerapatan Peluang) Misalkan , , P adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p : 0,1 yang diberikan oleh p X ( x ) P ( X x) . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 2.5 (Nilai Harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang, maka nilai harapan dari X adalah
0.
Misalkan pula adalah sebarang A2 himpunan dalam . Peluang bersyarat dari A2 jika diketahui A1 , dinotasikan dengan
P A2 A1
E X
ialah
P A2 A1
xp X ( x) x
P A1
A2
P A1
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg dan Craig, 1995]
.
[Hogg dan Craig, 1995]
Lema 2.6 (Sifat Nilai Harapan) Beberapa sifat nilai harapan, antara lain : 1) Jika k adalah suatu konstanta, maka E k k.
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.1 (Peubah Acak) Misalkan adalah medan - dari ruang contoh . Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : dengan sifat : X( ) x untuk setiap .
2) Jika k adalah suatu konstanta dan V adalah peubah acak, maka E kV kE V . 3) Jika k1 , k 2 adalah konstanta dan V1 ,V2 adalah peubah acak, maka E k1V1 k2V2 k1 E V1 k2 E V2 .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992] Catatan : Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar seperti X , Y , Z , sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z .
[Bukti lihat Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 2.2 (Fungsi Sebaran) Misalkan , , P adalah ruang peluang.
Definisi 2.7 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi F: 2 0,1 yang didefinisikan oleh
Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi F: yang 0,1
F x, y P X x, Y y . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
didefinisikan oleh FX x
P X
x .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
12
2.3 Penduga dan Kekonvergenan
Definisi 4.3 (Proses Stokastik dengan Waktu Diskret dan Kontinu) Suatu proses stokastik X t : t T disebut
Definisi 3.1 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada parameter (yang tidak diketahui). [Hogg dan Craig, 1995]
proses stokastik dengan waktu diskret jika gugus indeks T adalah gugus tercacah (countable set), sedangkan Xt : t T disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. [Ross, 1996] Catatan : Contoh gugus indeks T pada proses stokastik dengan waktu diskret adalah T 0,1, 2,... , sedangkan contoh gugus
Definisi 3.2 (Penduga/estimator dan Dugaan/estimate) Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n adalah peubah acak. Suatu statistik yang U U X 1 , X 2 ,..., X n U X digunakan untuk menduga fungsi parameter g , dikatakan sebagai penduga (estimator)
bagi
U X 1 , X 2 ,..., X n amatan X 1
g
.
Nilai
dari U
x1 ,..., X n
indeks T pada proses stokastik dengan waktu kontinu adalah T [0, ) , atau gugus bilangan nyata.
amatan
dengan nilai
Definisi 4.4 (Filtrasi) Misalkan 0 , 1 ,...
xn disebut sebagai
dugaan (estimate) bagi g
.
submedanjika k
[Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 4.5 (Measurable/ Terukur) Misalkan , , P adalah ruang peluang.
, , P . Suatu
barisan peubah acak X 1 , X 2 ,... dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X , ditulis X n berlaku :
a.s
X untuk n
P lim X n n
X
, jika
Jika fungsi X : : X( ) x
0
memiliki sifat untuk setiap
maka X dikatakan terukur. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
1.
Definisi 4.6 (Adapted) Misalkan , , P adalah ruang peluang.
Dengan kata lain, konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang 1. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
X { X t : t ! 0} dikatakan adapted ke filtrasi jika X t merupakan terukuruntuk semua t . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Barisan
2.4 Proses Stokastik Definisi 4.1 (Ruang State) Misalkan S merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 4.2 (Proses Stokastik) Proses Stokastik Xt : t T
dari , disebut filtrasi untuk semua k [0, ) . 1 [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 3.3 (Konvergen Hampir Pasti) Misalkan X 1 , X 2 ,... adalah peubah acak dalam ruang peluang
k
adalah barisan
peubah
acak
Definisi 4.7 (Martingale) Proses Stokastik Xt : t ! 0
disebut
proses Martingale jika E | Xt | < untuk semua t dan E[ X t 1 | X 0 , X 1 ,..., X t ]
yang
Xt . [Ross, 1996]
, ,P adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke ruang state S . [Ross, 1996] terdefinisi pada ruang peluang
Teorema 4.8 (Representasi Martingale) Misalkan Xt : t ! 0 adalah proses martingale.
Xt : t ! 0
direpresentasikan dalam bentuk :
13
dapat
untuk semua t ! 0 dan i, j S . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
t
Xt
X0
1
mj yj
1,
1
j 0
dengan m j adalah adapted-
dan y j
Definisi 4.13 (Gerak Brown) Suatu proses stokastik X t : t
1
adalah proses stokastik yang mengambil nilai pada {d , u} dengan 0 d 1 u ,
0
P ( yk
(i) X 0
{T
X ti
proses
t}
{ X t : t ! 0}
ditentukan
jika
oleh
kejadian
peubah
acak
X1 ,..., X t . Artinya, dengan mengetahui X1 ,..., X t apakah T
t atau
,
B
C
Xi
j
untuk i, j
1
j Xt
•
j
i
•
1, 2,..., N . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
j Xt
i
P X1
j X0
P C
i
Xi
$#
dP untuk semua
.
dP , disebut Kerapatan dP Radon-Nikodym dari dP terhadap dP . dP 1 1 Untuk , disebut dP Kerapatan Radon-Nikodym dari dP terhadap dP . Untuk
Definisi 4.16 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan , , P adalah ruang peluang
homogen jika 1
0,
Catatan :
Definisi 4.12 (Rantai Markov yang Homogen) Rantai Markov Xt : t ! 0 disebut P Xt
0 menyebabkan P B
dP #. dP [Bukti lihat Wong dan Hajek, 1985]
adalah matriks dari
P Xt
.
Notasikan :
dan S adalah ruang state yang berukuran
Xi
A
0
C
Definisi 4.11 (Matriks Transisi) Misalkan X t : t ! 0 adalah rantai Markov
berukuran N " N peluang transisi
, P B
sehingga
X
setiap
A
akibatnya ada peubah acak tak-negatif # ,
i)
transisi
untuk .
jika
Teorema 4.15 (Radon-Nikodym) Jika P dan P merupakan dua ukuran sehingga untuk setiap peluang pada ,
untuk semua kemungkinan nilai dari i0 , i1 ,..., it 1 , it ; j S . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Matriks
1, 2,...n adalah saling
[Royden, 1963]
rantai Markov dengan waktu diskret jika t berlaku : P( X t 1 j X t it , X t 1 it 1 ,..., X 0 i0 )
N.
tn , peubah acak
. Ukuran peluang v dikatakan kontinu
maka vA 0 , Dinotasikan v
dan S adalah ruang state. Proses stokastik X t : t ! 0 dengan ruang state S disebut
j Xt
X ti 1 , i
absolut ke ukuran peluang
Definisi 4.10 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Misalkan , , P adalah ruang peluang
1
...
t2
Definisi 4.14 (Kontinu Absolut) Jika v dan adalah ukuran peluang pada
tidak. Jika
P{T } 1 , maka waktu acak T disebut sebagai stopping time. [Ross, 1996]
P( X t
t1
bebas, (iii) untuk 0 s t , berlaku : X t X s ~ N (0, t s ) . [Karatzas dan Shreve, 1987]
{ } . T disebut waktu acak
dari
0 ,
(ii) untuk 0
Definisi 4.9 (Waktu Acak) Misalkan , , P adalah ruang peluang.
T:
disebut
proses gerak Brown dimensi 1 jika untuk t0 0 berlaku :
1 k !1 . [Bukti lihat Williams, 1991]
d)
T
dan . Jika X adalah submedan- dari adalah peubah acak tak negatif dan
j
14
2. jika s v s S , maka u v . disebut infimum (ii) Suatu bilangan w (batas bawah terbesar ) dari S , jika memenuhi dua kondisi berikut : 1. w s s S , 2. jika v s s S , maka v w . [Bartle dan Sherbert, 1982]
terintegralkan, maka E % X & ' (didefinisikan dan sebagai peubah acak yang terukurbersifat tunggal kecuali pada kejadian berpeluang nol, serta memenuhi : X & . $ XdP $ E % ' (dP, A A
A
[Elliott dkk, 1995]
Teorema 4.17 (Teorema Bersyarat Bayes) Misalkan , , P adalah ruang peluang
Definisi 5.4 (Kontinu Kanan) Suatu fungsi f disebut kontinu kanan pada bilangan c jika dan hanya jika lim f ( x) f (c) .
adalah submedan dari . dan Misalkan P adalah ukuran peluang lain yang kontinu absolut terhadap P serta berlaku aturan turunan Radon-Nikodym : dP #. dP Jika ) adalah sebarang peubah acak yang bisa diintegralkan dari terukur- , maka E% )# & ( & ' E% ) . ' ( E% & # ' ( [Bukti lihat Elliott dkk, 1995]
x
[Purcell dan Varberg, 1999]
Definisi 5.5 (Himpunan Konveks) Suatu himpunan S di n disebut himpunan konveks jika untuk setiap x dan y di S , segmen garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di S . [Peressini dkk, 1988] Definisi 5.6 (Concave) Suatu fungsi f ( x) f ( x1 , x2 ,..., xn ) didefinisikan pada himpunan konveks S disebut concave di S jika f ((1 ) x 0 x) ! (1 ) f ( x 0 ) f ( x)
2.5 Barisan Bilangan Real, Kekontinuan, Konveks dan Concave Definisi 5.1 (Barisan) Suatu barisan S
Si
adalah suatu fungsi
i 1
dari bilangan real
dari
bilangan bulat positif) ke bilangan real).
c
x0 , x
(himpunan
(0,1) .
(0,1) dan x
Jika
himpunan
S dan
f ((1
) x0
x)
x 0 sehingga
(1
) f ( x0 )
f ( x)
maka f adalah strictly concave . [Sydsaeter dan Hammond, 1995]
[Goldberg, 1976]
Definisi 5.2 (Batas Atas dan Batas Bawah) Misalkan S . (i) Suatu u disebut batas atas dari S jika s u s S . (ii) Suatu w disebut batas bawah dari S jika w s s S . Himpunan S terbatas di atas jika memiliki batas atas, dan terbatas di bawah jika memiliki batas bawah. Jika himpunan S memiliki batas atas dan batas bawah, maka himpunan tersebut disebut terbatas. [Bartle dan Sherbert, 1982]
Definisi 5.7 (Fungsi Naik dan Fungsi Turun) (i) Jika f ( x1 ) f ( x2 ) ketika x1 x2 , maka f disebut fungsi naik. (ii) Jika
f ( x1 )
f ( x2 )
ketika
x1
x2 ,
maka f disebut fungsi turun. [Sydsaeter dan Hammond, 1995]
Definisi 5.8 (Fungsi Indikator) Fungsi indikator dari himpunan A, dinotasikan dengan I A x , didefinisikan sebagai fungsi :
Definisi 5.3 (Supremum dan Infimum) (i) Suatu bilangan u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S , jika memenuhi dua kondisi berikut : s S, 1. s u
IA x
15
*++ 1; x A , +.+0; x - A. [Casella dan Berger,1996]
Lp
Lp
untuk p
, ,
f
kelas dari fungsi real p
f
dimana
1,
adalah
f
p
p
6.
1
p d & . 0 ( [Billingsley,1995]
yang memenuhi : 1. d ( x, x) 0,
disebut
dinotasikan
Definisi 6.2 (Perkalian Dalam) Jika u u1 , u2 , un
y y
v
d
metrik
diskret,
d
d
)
M
d
adalah subkeluarga fungsi dari M
d
bernilai real di
. M1
d
2. u
M1
d
u, w
v, w .
k u, v .
4. v, v ! 0; dan
v, v
jika dan hanya jika v
sup g x x
v, w
3. ku, v
dengan supremum norm :
g
adalah sebarang vektor
pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua u, v, w V dan skalar k: v, u . 1. u, v
adalah keluarga dari fungsi terukur
g
, vn
Definisi 6.3 (Ruang Hasil Kali Dalam) Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real u, v dengan masing-masing
[Goldberg, 1976]
M
v1 , v2 ,
dan
pada , maka hasil kali dalam euclid u 1 v didefinisikan dengan u 1 v u1v1 u2 v2 un vn . [H. Anton,1997]
.
Definisi 5.11 ( M
lu .
n
ruang d
ku
[H. Anton, 1997]
2. d ( x, y ) 0, x y, 3. d ( x, y ) d ( y, x), 4. d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z , y ), x, y , z . d disebut jarak (metrik) diskret untuk . ,d
l )u
9. k (lu ) (kl )u . 10. 1u u .
Definisi 5.10 (Ruang Metrik Diskret) Misalkan d : " 0, . Definisikan
d ( x, y )
(k
yang terukur terintegralkan.
*++0, x , +.+1, x
7. 8.
5.
adalah
Notasikan untuk f dalam Lp :
% f / $ '
Ada 0 V sehingga 0 u u 0 u, u V. Untuk u V , ada u V yang dinamakan negatif u sehingga u ( u) ( u) u 0 . Jika k adalah sebarang skalar dan u V , maka ku V . k (u v) ku kv .
4.
Definisi 5.9 (Ruang Lp ) Misalkan adalah ruang peluang. , ,
0 0.
Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real . [H. Anton,1997]
d
. [Rolski dkk, 2000]
2.7 (EM-Algorithm/Algoritma yang Memaksimumkan Nilai Harapan) Misalkan P v : v V adalah keluarga dari
2.6 Vektor Definisi 6.1 (Ruang Vektor) V disebut sebuah ruang vektor, jika untuk setiap vektor u, v, w V dan sebarang skalar k dan l dipenuhi aksioma berikut : 1. Jika u, v V , maka u v V . 2. u v v u . 3. u (v w) (u v) w .
ukuran peluang pada ruang terukur ( , ) yang kontinu absolut terhadap ukuran peluang P 0 . Misalkan pula . Fungsi likelihood untuk menghitung pendugaan dari parameter v berdasarkan informasi yang ada pada adalah
16
% v & dP 0 E0 / / 0 0 dP / 0 ' ( dan penduga maksimum likelihood (MLE) didefinisikan sebagai :
Q v, v*
L v
v
3) (Langkah
vk
arg max L v .
& 0 . 0 0 ( Mencari
arg max Q v, v* . v V
4) Mengganti k dengan k+1 dan mengulangi proses tersebut dari langkah 2 sampai kriteria penghentian dipenuhi.
v V
Secara umum, penghitungan secara langsung dengan menggunakan MLE cukup sulit. Untuk mengatasinya, digunakan EMAlgorithm. EM-Algorithm adalah metode aproksimasi iteratif yang digunakan untuk menghitung secara langsung pendugaan dari parameter v . Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. 1) Menetapkan k
1
% dP v Ev* / log / v* / ' dP M)
EM-Algorithm menghasilkan barisan v j : j ! 0 dari parameter yang membuat nilai dari fungsi likelihood adalah tak turun. [Elliott dkk, 1995]
0 dan memilih v 0 .
2) (Langkah E) Menetapkan v*
vˆk dan
*
menghitung Q v, v , dimana
III. KONSTRUKSI DIAGRAM PF tampil, ini menunjukkan bahwa harga sedang bergerak naik dan ketika kolom o tampil, ini menunjukkan bahwa harga sedang bergerak turun. Secara umum, diagram PF dari harga saham dapat dikonstruksi sebagai berikut. 1. Menentukan 2 0. 2. Memulai pengamatan pada waktu 0 . 3. Menuliskan salah satu simbol x atau o pada waktu 1 ketika harga saham melewati interval 1 1 % & S ( 0 ) 2, S ( 0 ) 20 . Jika harga / ' (
Dalam konteks Black-Scholes, terdapat 2 jenis aset dalam pasar modal yaitu aset bebas resiko S 0 (t ) : t ! 0 dan aset beresiko
S 1 (t ) : t ! 0 .
Masalah dari optimisasi portofolio (tanpa konsumsi) ialah untuk mencari strategi perdagangan yang memaksimumkan return. Secara nyata dalam pasar dunia, saham (aset beresiko) diperdagangkan dalam waktu acak diskret. Dalam hal ini, diperlukan metode sampling waktu. Diskretisasi yang tepat hanya meliputi waktu penting, yaitu waktu yang dapat menghasilkan portofolio tidak setimbang akibat perubahan harga saham. Dalam kenyataannya, sampling dari harga saham digunakan oleh analis teknikal dalam Point and Figure Chart (diagram PF). Diagram PF hanya menampilkan perubahan harga yang signifikan. Diagram tersebut menampilkan penawaran dan permintaan yang mendasari suatu harga. Adapun aspek terpenting dari diagram tersebut adalah polapola yang ditampilkan oleh kolom x dan o. Kolom x menggambarkan permintaan melebihi panawaran sehingga harga menjadi naik, sedangkan kolom o menggambarkan penawaran melebihi permintaan sehingga harga menjadi turun. Setiap kolom dapat berisi x atau o, tetapi tidak pernah berisi keduanya. Perubahan kolom menandakan perubahan arah pergerakan harga. Ketika kolom x
4.
saham berada pada S1 ( 0 ) 2 , maka pada diagram tersebut dituliskan simbol x dan jika harga saham berada pada S1 ( 0 ) 2 , maka pada diagram tersebut dituliskan simbol o. Mengulangi dengan prosedur yang sama terhadap interval berikutnya % S 1 ( ) 2, S 1 ( 1 ) 2& . / 0 ' 1 (
Cara kerjanya berlangsung secara rekursif sehingga diperoleh waktu { k :k } . Setiap waktu { k : k } memiliki salah satu simbol x atau o. Simbol tersebut diatur dalam kolom suatu diagram PF. Sebagai ilustrasi, diberikan data historis dari harga saham UNVR (Unilever Indonesia Tbk) sebagai berikut.
17
Berdasarkan diagram (a) pada gambar 1, harga saham masih bergerak naik dari waktu interval 1 dan melewati
Data Harga Saham UNVR k tk Sk 0 29/7/2005 4300 1 1/8/2005 4500 2 2/8/2005 4600 3 3/8/2005 4675 4 4/8/2005 4550 5 5/8/2005 4400 6 8/8/2005 4300 7 9/8/2005 4325 8 10/8/2005 4375 9 11/8/2005 4400 10 12/8/2005 4500 11 15/8/2005 4325 12 16/8/2005 4250 13 17/8/2005 4250 14 18/8/2005 4250 15 19/8/2005 4450 16 22/8/2005 4425 17 23/8/2005 4500 18 24/8/2005 4450 19 25/8/2005 4525 20 26/8/2005 4400 Sumber data : Kompas (29 Juli – 26 Agustus 2005)
4300, 4500 . Harga saham tersebut
5.
Akhirnya, diperoleh waktu yang merupakan { k : k 1, 2,...,13} stopping time dari harga saham dengan
S1
1
4400
2
4500
3
4600
4
4500
5
4400
6
4300
7
4400
S1
8
4500
S1
9
4400
S
1
S1 S
Adapun diagram PF-nya dapat dikonstruksi sebagai berikut. 1. Misalkan 2 100. 2. Pengamatan awal 0 diambil dari t0
1
S1
dari data harga saham UNVR dengan S0 S 1 0 4300. 3.
berada pada waktu 2 ketika harganya berada pada level 4500 dan masih pada kolom pertama diagram PF dituliskan simbol x. Hal ini dikarenakan oleh kenaikan harga saham ekivalen dengan tingginya simbol x pada kolom diagram PF dan penurunan harga saham ekivalen dengan tingginya simbol o pada kolom diagram PF. Mengulangi proses tersebut untuk interval berikutnya : % S 1 ( ) 2, S 1 ( k ) 2& / 0 ' k ( dengan k 2,...,12.
Untuk interval : % S 1 ( ) 2, S 1 ( 0 ) 2& 4200, 4400 . / 0 ' 0 ( Berdasarkan diagram (a) pada gambar 1, harga saham bergerak naik dari pengamatan awal dan melewati interval 4200, 4400 . Harga saham tersebut
S
1
S
1
S
1
S1 S
1
S1
berada pada waktu 1 ketika harganya berada pada level 4400 dan pada kolom pertama diagram PF dituliskan simbol x. 4. Untuk interval berikutnya : % S 1 ( ) 2, S1 ( 1 ) 2& 4300, 4500 . / 0 ' 1 (
10
4300
11
4400
12
4500
13
4400.
Diagram harga saham UNVR (dalam waktu tk dan k ) dan diagram PF-nya diberikan pada Gambar 1.
18
Diagram PF Harga Saham UNVR
Diagram Harga Saham UNVR
4700
4700
4600
4600 X
4500
4500 X
O
X
4400
O
X
4400
saham
X
O
X X
O
O
O
20
18
14
4000 16
4000 12
4100
8
4100
10
4200
4
4200
6
4300
0
4300
2
Sk
4800
k
(a)
(c)
Diagram Harga Saham UNVR 4800 4700 4600
Sk 4500 4400
saham
4300 4200 4100 4000 1
3 2
Gambar 1.
6
4
5
9
7 8
11
10
13
12
(b) Perbandingan Diagram Harga Saham UNVR (dalam waktu tk (a) dan dengan Diagram PF-nya (c)
19
k
(b))
waktu dari harga saham yang bergerak dari nilai sekarang S ke salah satu Su atau Sd dengan u dan d adalah konstanta tetap dengan d e r2T u .
Pergerakan harga saham yang kecil dan tidak signifikan yaitu harga saham yang berada dalam interval
S1 (
k)
2, S 1 (
k)
2
dengan
k 0,1,... dapat dihilangkan dalam diagram PF, dan hanya ciri-ciri terpentinglah yaitu harga saham yang S 1 ( ) 2, S 1 ( k ) 2& melewati interval % / 0 ' k ( dengan k 0,1,... yang berada dalam diagram tersebut. Beberapa analis teknikal berpendapat bahwa metode tersebut seperti sebuah filter yang hanya menampilkan informasi terpenting dari harga saham. Portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Seorang investor yang mengikuti portofolio PF akan memperjual-belikan sahamnya hanya pada waktu { k : k } . Setiap waktu k hanya berdasarkan pengamatan S 1 ( 0 ),..., S 1 ( k ) . Optimisasi portofolio PF merupakan masalah pemilihan portofolio diskret. Catatan bahwa diskretisasi dari perubahan harga saham diberikan oleh dua nilai, yaitu x atau o. Hal ini mempunyai beberapa keuntungan dari sudut pandang matematika ketika harga sample digambarkan dalam Model Cox-Ross-Rubinstein sehingga diperlukan metode martingale dari optimisasi portofolio.
Catatan : Bentuk seperti ini berupa model binomial. Peluang dari harga saham pada waktu k : k j k j P S k S0 u j d k j p 1 p j dengan j
0,1,..., k e r2T d u d 1 . d
p u
Untuk menentukan portofolio PF yang optimal, diperlukan pendugaan sebaran peluang terhadap proses harga sample. Gagasan utamanya ialah untuk menjelaskan harga sample dengan Model Hidden Markov (HMM). Model tersebut menyediakan dua alat yang sangat penting, yaitu algoritma yang memaksimumkan nilai harapan (EM-Algorithm) dan metode peluang acuan (Reference Probability Method). EM-Algorithm sesuai dengan Model Hidden Markov yang berdasarkan data historis, sedangkan metode peluang acuan yang dikombinasikan dengan pendekatan martingale terhadap pemilihan portofolio untuk mendapatkan portofolio PF yang optimal.
Definisi 1 : Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) adalah bentuk khusus dari model biner multiperiodik untuk setiap interval
IV. PORTOFOLIO PF Misalkan
adapted , , P,{
{S 0 (t ) : t ! 0} adalah harga
aset bebas resiko dan {S1 (t ) : t ! 0} adalah harga aset beresiko (saham) yang mempunyai dinamika : dS 0 (t )
S 0 (t ) r (t )dt , S 0 (0)
dS 1 (t )
S 1 (t ) b(t )dt
t: t
{
t , W (t ) : t ! 0}
(0,
terbatas,
)
(.)
peluang filtrasi
adalah kontinu kanan dan
r (.)
adalah
gerak
Brown.
1
(.) adalah
(.) dan
adalah deterministik dan
0 hampir pasti Misalkan
dengan {r (t ) : t ! 0} adalah tingkat bunga,
{b(t ) : t ! 0}
! 0}
{
ruang dengan
Misalkan r (.), b(.) ,
1;
(t )dW (t ) , S 1 (0)
dalam t : t ! 0}
t
t !0.
adalah filtrasi lengkap
yang dihasilkan oleh {S1 (t ) : t ! 0} . t menunjukkan informasi dari pengamatan atas harga saham sampai waktu t. Asumsikan bahwa t adalah satu-satunya
adalah rataan tingkat return
dan { (t ) : t ! 0} adalah volatilitas (standar deviasi dari return harga saham). Ketiganya adalah proses stokastik yang terukur dan
20
Fungsi utilitas tersebut dapat berupa fungsi objektif dengan kendala yang ada. Fungsi utilitas pada karya ilmiah ini berupa fungsi objektif investor yang memaksimumkan nilai harapan utilitas dari kekayaan selama horison waktu (periode perencanaan investasi). Fungsi objektifnya dapat ditulis sebagai berikut : sup E % . U X3 T & / 0 ' ( 3
informasi yang tersedia untuk investor pada waktu t. Berikut ini adalah beberapa definisi yang dibutuhkan dalam membahas portofolio PF.
Definisi 2 : Suatu portofolio 3(.) adalah pasangan (30 (.), 31 (.)) dari { t : t ! 0} yang prosesnya terukur dan adapted t
$
dengan
2
3i s ds
Adapun kendalanya adalah kekayaan yang dimiliki oleh investor selama horison waktu tidak negatif. Berikut ini adalah masalah optimisasi portofolio yang berkaitan dengan horison waktu kontinu.
hampir pasti
0
(i
t ! 0 . Dalam hal ini, 3i (t )
0,1)
menunjukkan jumlah unit aset ke–i (i yang dimiliki pada waktu t.
0,1)
Masalah 0 : Diberikan fungsi utilitas U , endowment awal x (0, ) dan horison waktu
Definisi 3 : Proses kekayaan investor yang bersesuaian dengan 3(.) pada waktu t adalah 1
X 3 (t )
i 0
berhingga T
3i (t ) S i (t ); t ! 0 .
*
3 (.)
3
Definisi 4 : Portofolio 3(.) disebut selffinanced pada waktu t, jika X 3 (t )
X 3 (0)
1
$
yang
X 3 (0)
3i (u ) dS i (u ); t ! 0
untuk menentukan
memberikan
supremum
pada
himpunan
E U X3 T
3(.) :
t
0,
portofolio
U x, E% / '
self-financed,
X3 T & 0 (
.
i 0 0
dengan asumsi bahwa melibatkan konsumsi.
investor
Untuk memperoleh 3* (.) , saham harus diperdagangkan secara kontinu. Hal ini tidak mungkin terjadi secara nyata dalam pasar dunia. Selain itu, aproksimasi dari perdagangan tersebut melibatkan biaya transaksi yang tinggi. Untuk alasan itulah, diperlukan suatu sampling waktu dalam diagram PF. Untuk membahas lebih lanjut mengenai sampling waktu, definisikan terlebih dahulu proses harga didiskon yang merupakan harga saat ini (present value).
tidak
Catatan : Self-financed merupakan strategi perdagangan dimana pembelian terhadap sejumlah aset hanya didanai dari hasil penjualan aset dalam portofolio. Seorang investor dalam melakukan investasinya mementingkan tingkat kepuasan. Tingkat kepuasan investor bergantung pada tingkat return dan resiko. Dalam ilmu ekonomi, tingkat kepuasan diukur dengan fungsi utilitas.
Definisi 6 : Proses harga didiskon didefinisikan sebagai
1
Definisi 5 : Suatu fungsi U C ((0, )) disebut fungsi utilitas jika fungsi tersebut merupakan strictly concave dan fungsi naik, dan U merupakan fungsi turun dengan
lim U ( z ) z
Definisikan
U
dan
0
U
max
lim U ( z )
z
U,0 ,
adalah bagian negatif dari U
S 1 (t ) :
S1 (t )
:
S 1 (t ) , S 0 (t )
t ! 0.
Catatan : 1 adalah faktor diskon. 0 S t
0.
dengan
.
Diberikan 0 d 1 u . Definisikan secara rekursif barisan hampir pasti
21
{
berhingga t:t
{ 0
k
:k
}
stopping
Berikut ini adalah masalah optimisasi portofolio yang berkaitan dengan waktu acak n .
time-
! 0} :
: 0,
k 1
( ) : inf t !
k
( ) : S 1 (t )( ) -
Masalah 1 : Diberikan fungsi utilitas U , endowment awal x (0, ) dan horison waktu n
% d 1 S ( k ( ))( ), u 1 S ( k ( ))( )& / 0 ' ( 1
1
untuk proses harga didiskon S 1 (t ) .
untuk menentukan portofolio PF 3* (.) yang memberikan supremum 3 & 3 E% U X pada himpunan n 0 / ' ( A( x) = 3(.) : portofolio PF, X 3 (0) x,
Definisikan proses waktu acak diskret oleh sampling : Sk0 : S 0k , S k1 : S 1k , S k1 : Sk1 ( k ), k .
...(1) 1 k
S :k
Diketahui bahwa persamaan rekursif : Sk1 1
X 3(
n)
memenuhi
Sk1 yk
Masalah ini akan diselesaikan dengan teknik optimisasi portofolio waktu diskret. Untuk menyelesaikan masalah ini, definisikan proses :
1
...(2) dengan { yk : k ! 1} adalah proses stokastik
P ( yk
d)
0 , 1]
3ik 1(
(t )
Xk
k , k 1]
(t ), (i
:k
}
adapted
dan
:k
}
(S 1 ( j ) : j
Catatan : Jika 3(.)
dan x
k
:k
). pula
3k0 : X kx,
adalah
Jx ( )
merupakan
k
, 31k :
k,
k
Misalkan
k) : k !1 .
a ( x) :
self-financed,
X 3( k )
1
3ik (S i (
k 1)
. ... 5
k) : k !1
adalah
,
} adapted-
portofolio PF seperti dalam persamaan (3) dengan
diketahui
: adapted -
proses :
dengan X nx,
0
untuk x (0, ). Suatu perhitungan langsung (lihat lampiran A) menunjukkan bahwa jika supremum E% U X nx , & / 0 pada a ( x) ' (
maka
kekayaan X (.) memenuhi : S i ( k )),
* diberikan oleh , maka supremum 3 % & 3 E/ U X T 0pada himpunan A( x ) ' (
i 0
k
(0,
Misalkan
0,1)
3
k 1)
{
, dengan
(yj : j
X 3(
S X kx, , k
untuk setiap
... 3 {31k
S 1j
1
... 4
k 1
{30k
S 1j
0 k
x,
Definisi 7 : Suatu portofolio self-financed t!0 3(.) disebut portofolio PF jika berlaku : 3i (t ) : 3i01[
j
j 0
k !1 .
1
k 1
X kx, : x
yang mengambil nilai pada {d , u} dengan
0
0 .
.
diberikan
Dalam hal ini, kekayaan tidak akan dimaksimumkan pada waktu T , tetapi pada waktu acak n . Hal ini dikarenakan oleh penggantian masalah optimisasi dari waktu kontinu ke waktu diskret dalam rangka memperkenalkan sampling waktu acak.
oleh
Jx
*
.
Masalah
1
merupakan masalah optimisasi portofolio waktu diskret.
22
V. MODEL WAKTU DISKRET Berikut ini akan dibahas mengenai model waktu diskret. Model tersebut mempelajari hubungan antara masalah portofolio waktu diskret dengan konsep martingale. Hal ini meliputi Model CoxRoss-Rubinstein yang merupakan versi waktu diskret dari Model Black-Scholes. Hal-hal yang diperlukan dalam optimisasi portofolio PF adalah • Nilai S01 , Sn0 (0, ), 0 d 1 u ,
a ( x)
Proses { yk :1
k
x *
U X n,
n} pada ( , , P)
k
P ( yk
0
dengan
d)
Nilai S01 (seperti dalam persamaan (1)) adalah harga dari aset beresiko (saham) pada waktu 0 dan Sn0 (seperti dalam persamaan (1)) adalah harga dari aset bebas resiko pada waktu n . Berdasarkan persamaan (2),
S
persamaan awal oleh
S01
(0,
S yk
1
:0
k
(yj : j
0
{ , }.
Misalkan x awal dan U
k
):
1 dQ S n0 dP
2) Jika
B
0
E )B X nx,
k
n
adalah
Definisikan
:
. adalah terukur-
x , maka ada
n
dan
a ( x) dengan
B.
3) Pemetaan : (0, ) (0, ) , dengan 1 % mempunyai z E/ ) U ' z) & 0 ' ( invers. 4) x 0, dan U , ada * a ( x)
dengan nilai
n
sehingga
k)
X nx ,
% x, dan E / U X / n '
(0, ) adalah endowment adalah fungsi utilitas.
*
*
U'
1
1
( x))
& % x, & . 0 sup E U X n 0 0 a( x) / ' ( (
Bukti : lihat Elliot & Hinz, 2004.
x,
Definisikan X n dan X n seperti dalam persamaan (4) untuk setiap proses { k : 0 k n} adapted - . Berikut ini adalah masalah optimisasi portofolio yang berkaitan dengan model waktu diskret. x,
Sk1 : 0
martingale- Q .
) . Filtrasi historis diberikan k
dengan
dalam Masalah 2 dijelaskan oleh
sehingga
n} secara rekursif oleh 1 k
a ( x)
1) Ada ukuran peluang tunggal Q pada ekivalen dengan P pada n n
proses { yk :1 k n} menggambarkan naik-turunnya harga didiskon dari aset beresiko. Proses tersebut merupakan pengamatan berdasarkan komponen/pola dari diagram PF. Harga sample didiskon Sk1 : 0 k n dari aset beresiko diperoleh 1 k 1
*
0 .
Proposisi 1 :
... 6
k
dengan X nx,
metode martingale untuk optimisasi portofolio dalam Proposisi 1 berikut.
1
1, 2,..., n.
dari { yk :1
: adapted -
Hubungan antara
dan nilai {d , u} .
n •
Tentukanlah proses * a ( x) adapted yang memberikan supremum % x, & E/ U X 0 pada himpunan / n ( 0 '
Proposisi 1 menjelaskan eksistensi dari . Kuantitas yang utama dalam proposisi 1 dQ tersebut adalah ) . Jika S n0 dP kuantitas tersebut sudah ditentukan, maka dijamin ada * ketika alur Sk1 : 0 k n *
Masalah 2 : Diberikan fungsi utilitas U , endowment awal x (0, ) dan horison waktu n .
membentuk suatu pohon biner. Meskipun demikian, untuk memperoleh nilai P jika merupakan masalah yang diketahui n
23
Dalam hal ini, diperlukan aproksimasi berikut. Ada proses xk : 0 k n sehingga
sulit. Solusinya meliputi uraian terperinci yang mengenai yk :1 k n dikombinasikan dengan pendugaan parameter berdasarkan data historis. Misalkan keadaan pasar global yang tidak diamati secara langsung dapat diidentifikasi oleh elemen dari himpunan S setiap waktu. Himpunan tersebut menggambarkan semua state pasar yang penting untuk perilaku aset beresiko. akan menjadi Evolusi dari state pasar proses
xk : 0
k
n
, , P, xk : 0
n , yk :1
k
k
n
adalah Model Hidden Markov (HMM). Kegunaan dari Teori Hidden Markov untuk optimisasi portofolio diuraikan sebagai berikut. Setelah sampling waktu berada dalam diagram PF, setiap alur S 1 (t )( ) : t ! 0 dari aset beresiko yang didiskon memberikan barisan y1 ( ), y2 ( ),... dari
dan nilainya berada
di S ketika keadaan global berubah secara permanen. Misalkan S adalah berhingga dan xk : 0 k n adalah rantai Markov. State
u, d . Deret acak
pengamatan dalam
yk : k ! 1
secara aproksimasi diuraikan
global mempengaruhi pergerakan harga saham. Pergerakan harga yk 1 bergantung
oleh HMM sehingga diperlukan kumpulan pengamatan sebelumnya yk ( ) :1 k n
pada pergerakan sebelumnya y1 ,..., yk yang
dan penerapan EM-Algorithm untuk menduga parameter-parameter dalam HMM.
hanya melalui state global xk pada waktu k.
VI. MODEL HIDDEN MARKOV (HMM) Pada umumnya, HMM digunakan untuk pemodelan berbagai fenomena stokastik. Gagasan utamanya ialah untuk menjelaskan deret waktu { yk :1 k n} dengan asumsi bahwa y bersifat acak dan bergantung pada operasi rejim. Operasi tersebut tidak diamati secara langsung dan merupakan rantai Markov. Pada awal perumusan HMM, pengamatan diasumsikan bersifat diskret. Hal tersebut merupakan realisasi dari yang berada dalam yk :1 k n
1)
himpunan berhingga.
terdiri atas p P x0 0
Definisi 8 : Misalkan
, ,P
x0
k
n , yk :1
k
merupakan
,..., xn
Rantai
adalah 4nj 1 Y j .
n
Y :
S
adalah
Catatan bahwa HMM digambarkan oleh tripel
X
X
j
j 1
transisi Y
bebas
secara tunggal p, X , Y yang
sebaran peluang pada S, matriks transisi pada
Y j 1 Cj
S,
dan
matriks d
dari S ke
seperti
dalam syarat (3) HMM. Sebaran bersama dari x0 , x1 , y1 ,..., xn , yn ditentukan oleh
P x0
hanya elemen ke-i yang bernilai 1 dan sisanya 0. Proses output yk :1 k n
, P, xk : 0
n
stokastik identik.
state berhingga S yang mempunyai N elemen. Tanpa kehilangan keumuman, S dapat diidentifikasi oleh himpunan e1 ,..., eN dari vektor unit ei di N dimana
,
0
3) Ukuran
ruang peluang. Diketahui bahwa proses sistem xk : 0 k n berada pada ruang
d
k
Markov dengan sebaran awal p dan matriks transisi X . 2) Sebaran dari ketika y1 ,..., yn
adalah
mengambil nilai dalam ruang output Pasangan proses stokastik
xk : 0
P x0
n 0
j 1 n 0
j 1
xj X
j
j 1
, yj
Cj Y j 1 Cj
j
... 7
. 0 ,..., n
n
S , C1 ,..., Cn
d
.
Adapun penurunan persamaan 7, diberikan pada lampiran B.
disebut Model Hidden Markov (HMM) jika
24
,
Misalkan
yk :1
k
filtrasi
n
n , k
Definisikan penduga takternormalkan h dari h setelah diketahui k : k
sebagai berikut :
:
k
:0
:
k
k: 0
:
k .
=
,P .
1
, 0
k
n
suatu
hk : 0
proses
k
diselesaikan dengan Metode Peluang Acuan yang akan diuraikan berikut.
Markov diberikan oleh
Definisi 9 : Ukuran peluang µ di d disebut Ukuran Peluang Acuan jika hal tersebut ekivalen dengan Y , S.
xk
k 1
1
k
xk ,
S 0
x0
dY
yk
d
X
1
E x0 ,
dengan
X
.
e1 ,..., X
X
Istilah penormalan
N
eN
1
k
dengan menjumlahkan semua komponen 0
k
k
n
xk ketika 1, xk k
1
k
=
k
1 , yaitu :
xk ,1 xk ,1 . ... 12
5
5
q u
,
d
y1 ,..., yn
terhadap
P
1 q
d
k
adalah fungsi indikator
1 d 5 q . u d Adapun penjelasan mengenai diberikan pada lampiran C.
hal
.
Untuk h 1 pada persamaan (9), maka untuk 0 k n :
dengan u
N
1 menunjukkan vektor dari 1,1,...,1
... 8 adalah 4
.
diperoleh
#0 : 1.
n j 1
. ,
... 11
Gagasan dari metode peluang acuan adalah untuk memperkenalkan ukuran peluang baru P yang ekivalen dengan P , dengan kerapatan #n sehingga
Sebaran dari
n
adapted- . Secara umum, penduga takternormalkan memenuhi hubungan rekursif. Sebagai contoh, penduga takternormalkan dari state Hidden k n k xk : 0
n
berdasarkan pengamatan dari proses output Masalah ini dapat yk : 0 k n .
dP #n : . dP Definisikan #k untuk sebagai berikut : k d #k : yj j 1 dYx j 1
,
L
... 10 untuk
k
hk
k k
menentukan penduganya
& :0 (
1
Dengan menggunakan Teorema Bersyarat Bayes, maka ^ EP % # k 1hk k & / 0 ' ( % & hk : E ' hk k ( 1 % & EP ' # k( /k 0
HMM terkenal dalam aplikasi. Hal ini dikarenakan oleh HMM menyediakan solusi rekursif yang efisien dari masalah berikut. Diberikan proses tanpa diamati secara langsung hk : 0 k n adapted- untuk
k
& , 0 (
untuk setiap peubah acak h
n
xj , yj : j
% hk : E ' hk
k
... 9
k
k
^
h : EP % # k 1h / '
n
yj : j
: k
k
adalah HMM. Definisikan
dan
k
, P, xk : 0
ini,
25
1 : EP % #k 1 1 k & / 0 ' ( % k 1 dYx j 1 EP / yj / j 1 d / ' % k dYx j 1 EP / yj / j 1 d / '
k
& 0 0 0 (
dYxk d
yk
1
k
& 0 0 0 (
Dalam hal ini,
%dYx & k 0 y #k 1 EP / k 1 k /d 0 / 0 ' ( %Y u Yxk d x #k 1 / q k 1 q / q 1 q / ' Yxk u Yxk d & #k 1 % / 0 ' ( 1 #k 1
v: & 0 0 0 (
dP
adalah 4nj
1
v n
dP
1.
dP
, ,P .
1
k
k
merupakan
1
k
S, v V
adalah ekivalen dengan
Dalam hal ini, diketahui secara
vj n
d
n j 1
1 adalah turunan RadonPv
terhadap
jika
Q
n.
v n
rekursif
1
mudah dihitung
dari
y1
,..., yn
1
: j!0
meningkat. Algoritma
tersebut akan berhenti setelah langkah ke –N dan diperoleh sehingga vN V
.
v0 n
vN 1 1 . Artinya, penjelasan n dari pengamatan HMM yang disesuaikan , , P vN , xk : 0 k n , yk :1 k n
lebih baik v0 , , P , xk : 0
#vn dP v
dengan
#vn :
v V.
v V seperti dijelaskan dalam persamaan (11). EM-Algorithm menghasilkan barisan vj : j ! 0 dari parameter sehingga
n :v V
M1
v n
Kuantitas
Misalkan perubahan ke ukuran peluang acuan diberikan oleh v
& 0 0 0 (
,
Nikodym dari
... 14
dP
v
... 15
dari HMM memenuhi asumsi : semua ukuran Y v :
v
P :v V
turunan
parameter
n , yk :1
k
% dP v 1 : Ev/ P / v / dP ' dP v
pada ruang peluang
keluarga
, , P v , xk : 0
. Semua ukuran
dP dP v dQ
Radon-Nikodym dari P terhadap P jika diketahui k . Aspek penting lainnya dari HMM adalah sebaran peluang dari proses output dapat diduga ulang oleh EM-Algorithm. Misalkan
1
P
v
Berdasarkan persamaan (13), adalah martingale-
.
, , P , maka
peluang
Catatan : 0
N
adalah bebas stokastik identik. Ukuran tersebut dinotasikan dengan Q . Berdasarkan penjelasan sebelumnya, adalah martingalepada ruang 1 k
.
0:
d
j
Sebaran dari y1 ,..., yn terhadap
... 13
Untuk k
, Y j 1 Cj , 1
j
j 1
S, C j
j
#k 1 dP
X
dari model k n , yk :1 k
awal n .
d yj , v V. dYxvj 1
VII. OPTIMISASI PORTOFOLIO PF adalah HMM. Proposisi berikut menunjukkan bahwa portofolio PF yang optimal dari fungsi utilitas logaritmik akan diperoleh secara eksplisit dengan
Misalkan diberikan kuantitas seperti dalam persamaan (6). Misalkan
, , P , xk : 0
k
n , yk :1
k
n
26
menggunakan model waktu diskret dan model Hidden Markov.
E
Misalkan x
0,
*
ln z ,
xSn0
x
k
n
xk ,
z
Y
u
p
X
1 p
d u 1
n
z
0
*
xS
E * k
xmk Sk1
dengan adapted-
1
n
0 n
k proses
n
1
1 p 1 P P 1
dengan
k
adalah kerapatan Radon-Nikodym
portofolio PF yang optimal dari fungsi utilitas logaritmik harus dikalikan dengan xSn0 . Hal ini merupakan penyesuaian HMM terhadap pengamatan dari diagram PF yang meningkatkan kinerja portofolio PF logaritmik jika hal tersebut dievaluasi pada pengamatan sebelumnya.
,
0,..., n 1,
mk : 0
1
dari sebaran peluang y1 ,..., yn terhadap sebaran acuan. Berdasarkan Proposisi 2, pemilihan terhadap ukuran martingale Q sebagai sebaran acuan mengakibatkan kerapatan pada kekayaan suatu n 1
0,1 , maka x, n
1.
Catatan : Pendugaan terhadap parameter oleh EMAlgorithm meningkatkan kuantitas n 1 .
1 d
zp ,
p 1
1
Y
0,..., n 1. U ( z)
1
mk yk k 0
Bukti : diberikan pada lampiran D dan diturunkan dari Proposisi 1.
S k1
2) Jika
n
n 1
1
0 , maka
1,
S
* k
k
.
Jika U ( z )
X nx ,
1 p 1 p
Proposisi 2 :
1)
1
n
n 1
ditentukan oleh
VIII. SIMPULAN DAN SARAN •
8.1 Simpulan Diagram PF (Point and Figure Chart) merupakan metode analisis teknikal dalam menganalisis nilai saham suatu perusahaan untuk memperoleh return. Diagram PF hanya menampilkan perubahan harga yang signifikan. Portofolio PF adalah portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF. Model waktu diskret mempelajari hubungan antara masalah portofolio waktu diskret dengan konsep martingale. Model tersebut menjelaskan eksistensi dari portofolio PF yang optimal. Model Hidden Markov digunakan untuk menghitung tingkat volatilitas dari harga saham saat ini (harga didiskon). Model tersebut menyediakan 2 alat yang sangat penting, yaitu • EM-Algorithm, digunakan untuk menduga parameter-parameter dalam HMM berdasarkan data historis.
Metode peluang acuan yang dikombinasikan dengan konsep martingale dalam model waktu diskret, digunakan untuk memperoleh portofolio PF yang optimal. Portofolio PF yang optimal dari fungsi utilitas logaritmik diperoleh secara eksplisit dengan menggunakan model waktu diskret dan model Hidden Markov.
8.2 Saran Tema dalam karya ilmiah ini dapat diteruskan bagi yang berminat, salah satunya adalah perhitungan portofolio PF yang optimal secara numerik dan penggunaan analisis fundamental dalam menganalisis nilai saham untuk memperoleh portofolio optimal.
27
IX. DAFTAR PUSTAKA Loeve, M. 1962. Probability Theory. Ed. ke3. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, New Jersey.
Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer. Ed. ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Penerbit Erlangga. Jakarta.
Peressini, A. L. dkk. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. Springer-Verlag. New York.
Bartle, R. G. dan D. R. Sherbert. 1982. Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons. New York.
Purcell, E. J. dan D. Verberg. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitik. Jilid 2. Ed. ke-5. Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan Rawuh. Penerbit Erlangga. Jakarta.
Billingsley, P. 1995. Probability & Measure. Ed. ke-3. John Wiley & Sons. New York. Casella, G. dan R. L. Berger. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth&Brooks/cole. Pasific Grove, California.
Rolski, T. dkk. 2000. Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley & Sons. New York.
Elliot, J. R. dkk. 1995. Hidden Markov Models. Continuous. Springer-Verlag. New York.
Ross, S. M. 1996. Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York.
Elliot, R. dan J. Hinz. 2004. Portfolio optimization, hidden Markov models, and technical analysis of P&F-Charts. http://www.ifor.math.ethz.ch/staff/hinz/ PF.pdf [16 Juli 2005].
Royden, H. L. 1968. Real Analysis. Ed. ke2. Macmillan Publishing co, Inc. New York. Salim, L. 2003. Analisa Teknikal dalam Perdagangan Saham. PT Elex Media Komputindo Kelompok Gramedia. Jakarta.
Goldberg, R. R. 1976. Methods of Real Analysis. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York.
Sulistyastuti, D. R. 2002. Saham dan Obligasi: Ringkasan Teori dan Soal Jawab. Ed. ke-1. Universitas Atma Jaya. Yogyakarta.
Grimmett, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford.
Sydsaeter, K. dan P. J. Hammond. 1995. Mathematics for Economic Analysis. Prentice Hall. Toronto.
Hogg, R. V. dan A. T. Craig. 1995. Introduction to Mathematics Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey.
Williams, D. 1991. Probability with Martingale. Cambridge University Press, Cambridge. England.
Karatzas, I. dan S. E. Shreve. 1987. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag. New York.
Wong, E dan B. Hajek. 1985. Stochastic Processes in Engineering Systems. Springer-Verlag. New York.
28
LAMPIRAN
29
Lampiran A. Perhitungan dalam Masalah 1 Akan dibuktikan bahwa H * U X x, & 6 H Jx sup E % / ' n 0 ( a x
sup E % U X3 T & sup E % U X3 / 0 ' ( 3 Ax / '
n
3 A x
U X3 T & sup E % . / 0 ' (
*
3 A x
& . 0 (
...(1.1)
Diketahui bahwa
H
*
sup E % U X x, & / ' n 0 ( a x % 0 x, sup E / U Sn X n / ' a x
& 0 0 (
% / 0 U S x sup E / / n a x / ' Diketahui juga bahwa
X3
n
Untuk n
X
3
X3
X3
X
3
j
1
& 0 0 . 0 0 (
S 1j
1
S0
n
S0
31n
n 1
1
S1
0
300 S 0
1
S0
0
310 S 1
1
S1
0
1
X3
0
300 S 0
1
S0
0
310 S 1
1
S1
0
2
S1
1
2
.
n 1
1:
X3
2
S1
n
1
Untuk n
X
S 1j
j 0
30n
n 1
X3 0 3
n 1
300 S10
S00
310 S11
S01 .
S0
1
311 S 1
1
311
2:
X3 X
3
X3
1
310 S 0
1
310
S
2
0
S
2
0
1
310 S20
S10
311 S21
S11
= X3 0
300 S10
S00
310 S11
S01
1
= X3 0
j 0
Secara umum, X 3
% 30j S 0j / '
n
1
S 0j
j 0
% 30 S 0 / 'j j
S
2
310 S20
31j S 1j
n 1
X3 0
S
1
1
1
S10
311 S12
S11
S 1j & . 0 ( S 0j
1
1
31j S 1j
1
S 1j & . 0 (
Dari persamaan (1.1) diperoleh :
sup E % U X3 / ' 3 Ax
n
% & sup E / U X3 0 / 0 ( 3 Ax / / '
Dengan mensubstitusi 30j Dengan kata lain, H J x
x
X j, *
j
n 1 j 0
% 30 S 0 / 'j j
dan 31j :
j,
U X3 T & sup E % . / 0 ' (
3 Ax
30
1
S 0j
31j S 1j
1
& 0 S 1j & . 0 0 (0 0 (
... 1.2
persamaan (1.2) diberikan oleh J x
*
.
Lampiran B. Penurunan Persamaan 7 n
P x0
0
P xn
, yn
n
P xn
n
P xn
1
0
0
Cn
P x1
1
0
1
, y1
xj
j 1 n 1
x0
1
Cj n 1
x0
Cn , yn
, yj
j
Cn
, yn n 1
P x0
xj
j 1
j
xj
j 1
0
C1
x0
, yj
j n 2
x0
, yj
n
j
, yj
P xk
0
n 1
P x0
0
Cj
k
n 2
P x0
, yk
Ck
0
j 1
k 1
x0
0
j 1
k 2
P x0
P x1
0
1
, y1
C1
n
x0
xj
j 1
j
, yj
Cj
Cj
xj
j 1
Cj
P xk
0
k
, yk
Ck
xk
1
xj
j
, yj
Cj
xj
j
, yj
Cj
k 1
, yk
Ck
1
1
k 2
P x0
P x0
P
P x0 P
n
y1
, x1
1
P x0
0
0
0
C1
x0
0
, x1
0
yk
, y1
P x1
1
P x0 Ck
xk
k 1
1
, yk
Ck 1 , xk
1
P
0
yk
P
y1
Ck
xk
C1 1
x0 k 1
k 1
1
P x0
0
Ck 1 , xk
1
1
k 1
n
P
0
yj
Cj
P xk 1
k
xk
k 1 , yk
1
1
x0
k
P x1
P xk
xj
xk
1
j 1
1
P xj
j 1
P x0
n 0
j 1
X
j 1
j
Ck
1
, yk
Ck
1
0
k 1
1
Ck
, yk
1
Ck
1
1
0
k 1
k 2
P x0
, yk
k
0
k
0
, yk
P xk
x0
1
P xk
P x0
P xk
n k 2
k 2
n
C1
Y j 1 Cj .
31
j
xj
1
j 1
P xk
1
k 1
, yk
1
Ck
1
Lampiran C. Penjelasan Mengenai Sebaran dari y1 ,..., yn terhadap P Pada ruang peluang ( , , P) terdapat harga aset bebas resiko {S 0 (t ) : t ! 0}, harga aset beresiko {S1 (t ) : t ! 0} dan proses { yk :1 1 k
S :0
didiskon
0
1
d
k
n
n} yang menggambarkan naik-turunnya harga
dari aset beresiko yang mengambil nilai pada {d , u} dengan
P ( yk
u dan 0
k
d)
1
k
1, 2,..., n .
Sk1 : 0
Pada ruang peluang ( , , P) terdapat proses harga didiskon
k
n
dari aset
Sk1 yk 1 dengan nilai awal S01 (0, ) , yaitu +* S 1 u S k1 1 +, 1k +.+Sk d dengan nilai {d , u} berdasarkan komponen/pola pada diagram PF. Dengan kata lain, proses harga beresiko yang diperoleh dari persamaan S k1
didiskon
Sk1 : 0
k
n
1
memenuhi Model Cox-Ross-Rubinstein yang diilustrasikan sebagai
berikut . Harga didiskon awal S01 akan bergerak naik ke level S01u dengan peluang q atau bergerak turun ke level S01 d dengan peluang 1-q selama waktu akan bergerak naik ke level S01uu
S01ud
ia akan bergerak naik ke level S01 du
. Begitu juga untuk harga didiskon S01 d
S11 ,
S11u dengan peluang q atau bergerak turun ke level
S11d dengan peluang 1-q selama waktu
, dan seterusnya sehingga membentuk pohon
S01uu
q q
S11
S11u dengan peluang q atau bergerak turun ke level
S11d dengan peluang 1-q selama waktu
S01 dd biner.
. Selanjutnya, harga didiskon S01u
S01u
1-q
S 01
S01 du
q
1-q S01 d
1-q
S01dd
S11
S21
Step 1
Step 2 Gambar 2. Pohon biner dari S k1 : 0
Jadi, sebaran dari y1 ,..., yn u
,
d
terhadap P
adalah 4in
adalah fungsi indikator.
32
1
q
k
n dengan 2 step
u
1 q
d
dengan q
1 d dan u d
Lampiran D. Bukti Proposisi 2 1) Jika U ( z ) ln z , maka
1 z
( z) U'
1
z
1
z 1.
U ' (z)
Dari proposisi 1(3) diperoleh : 1 % & (z) E / ) U ' ( z))0 ' ( 1 =E% ) z) & / 0 ' ( 1 1& % =E/ )) z 0 ' ( 1 =E% z & / ' 0 ( 1 =z .
z
1
(z)
1
7
( z)
z 1.
Dari proposisi 1(4) diperoleh :
X nx ,
*
U'
1
U'
1
1
( x ))
1
x ) 1
x 1) ) 1x
dP dQ dengan Q adalah ukuran peluang dari Proposisi 1(1). Sn0 x
Dengan menggunakan HMM, diperkenalkan ukuran peluang baru P oleh d P #n dP dengan n
5 #n : 5 5
u,
d
yj
j 1 dY xj
1
1 q
d
q
u
d
adalah fungsi indikator
1 d . u d
5 q
Dengan menggunakan persamaan (15), maka * dP X nx , Sn0 x dQ
Sn0 x
n
1
0 n
n
1.
xS
Akibatnya :
33
*
X nx , Sn0
x, *
Xn
(dari persamaan (4))
xSn0
=
S x
1
n 0 n
1.
n
... ( 2.1) Di lain pihak, sehingga
1 :0
k
1 :0
k
k
k
n
adalah martingale-
pada ruang peluang
, ,Q
n dapat direpresentasikan dalam bentuk :
k
1
k 1
mj yj
1
0
1
1, k
0,..., n 1
j 0 k
1
k 1
mj yj
1
1
1
j 0
X kx, x
1
X kx, x X kx,
k
S 1j
j 0
S 1j
k
mj
*
1
*
1
1
j 0
*
k
x
1
j 0
S
mj y j S 1j y j
1 j
xm j S
S 1j
1 j
1
1
dari persamaan 2.1
S 1j
1
S 1j
1
(dari persamaan (2)).
Berdasarkan persamaan (4) :
X kx,
*
k
x
1
* j
S 1j
1
S 1j ,
k
0,..., n 1
j 0
maka * j
xm j S
1 j
atau
xmk , Sk1
* k
k
0,..., n 1.
Untuk k
0,..., n 1, mk terukur-
mk yk
1
1
k 1
1,
1
= 1,
xk k
1,
1
xk ,
S
=
k
xk ,
S
k
xk ,
S
=
k
xk ,
S k S
dan ditentukan oleh
1
k
k 1
k
xk ,
dY d dY d
dY d dY d
dY d yk
xk
k
yk
1
(dari persamaan (12)) X
.
1, X
.
1
1,
k
, S
yk
1
1
k
xk , S
yk
1
k S
yk
1
34
xk
xk ,
k
(dari persamaan (11))
xk
=
dY
k
xk ,
k
xk ,
k
xk ,
k
xk ,
k
xk ,
k
xk ,
k
xk ,
yk
d
S
Y
u
Y
Y
u
Y
u
Y
u
1 d
S
Y
u
u
Y
1 d
k
xk ,
k
xk ,
k
xk ,
k
xk ,
S
Y
Y
u
d
u
Y
d u 1
Y
d u 1
u
d
1
Y
1
xk ,
Y
u
1 d
Y
u
yk
1
yk
1
Y
Y
1 d d
d
u 1
Y
u
1 d
1
1
1
u 1
d u 1
Y 1
.
Y
d u 1
d
u
d
35
d
u 1
yk
1
Y
Y
1 d
u 1
d
u
u
Y
Y
d
yk
d
u
Y
1 d
u 1
u 1
u 1
k
Y
d
d
Y
d
d
Y
yk
u
d
u 1
1
d
u 1
Y
yk
u
d
Y
d
u 1
1 d
S
Y
1 d
Y
u
mk
1
Y
1 d
S
sehingga
u
1 d
S
S
u
1 d
S
=
d
u
1 d Y
d
u
u
u
1
u 1 u d
1 d Y
d
Y
u
1 d
S
1
1 d 1 u d
u
1 d
S
xk ,
Y
1 d u d
S
k
d 1 q
1 d u d
S
=
Y
q
S
Y
1
1
d u 1
u 1
Jadi,
xmk Sk1
* k
x
xk ,
k
Y
u
1 d
S
Y
d u 1
,
Sk1 Terbukti.
zp
U' ( z)
z p , maka
1 p
2) Jika U ( z )
1 1
1
U ' ( z)
z p 1.
Dari proposisi 1(3) diperoleh : 1 (z) E % ) U ' ( z))& / 0 ' ( 1 % p 1& =E/ ) z) 0 ' ( % p1 1 p1 1 & =E/ )) z 0 / 0 ' ( % pp 1 p1 1 & =E/ ) z 0 / 0 ' (
1
zp
1
% pp 1 &p1 1 =E/ z . ) 0 / ( 0 ' ( z) % pp 1 & ) 0 E/ / ' 0 ( p 1
( z) % pp 1 & ) 0 E/ / ' 0 (
z
z
0,
p 1 1
7
( z)
z % pp 1 & ) 0 E/ / ' 0 (
.
Dari proposisi 1(4) diperoleh :
X nx ,
*
U' 1
1
( x))
1
( x))
1 p 1
1 p 1
p 1
x % pp 1 & E/ ) 0 / ( 0 '
)
1
x) p 1 . % pp 1 & E/ ) 0 / ' 0 (
36
k
0,..., n 1.
Karena
)
Sn0 dP dQ
1
S n0
1
n
(dari persamaan (15))
maka
x Sn0
*
X nx ,
n
1
n
1
% E /Sn0 / '
xSn0
n
1 p 1
p p 1
1 p 1
1
% E /n 1 / ' Akibatnya : * * X nx , X nx, Sn0
1
n
% E /n 1 / ' Di lain pihak, sehingga
p p 1
. & 0 0 (
(dari persamaan (4))
xSn0 n 1 % E /n 1 / = ' 0 Sn x
& 0 0 (
k
1 p 1
p p 1
& 0 0 (
1 p 1
p p 1
k
.
& 0 0 (
1 :0
1 :0
k
k
n
adalah martingale-
pada ruang peluang
n dapat direpresentasikan dalam bentuk :
k k 1
1
0
mj yj
1
1, k
1
0,..., n 1
j 0 k k 1
1
mj yj
1
1
1
j 0
sehingga
n
1
% E /n 1 / '
1
1 p 1
n 1
mk yk
1
1
1 p 1
k 0 p p 1
& % 0 / 0 1 ( E/ / / '
1
n 1
mk yk
1
1
P P 1
k 0
n 1
mk yk
1
1
1 p 1
k 0
1
n 1
mk yk
1
1
& 0 0 0 0 (
P P 1
1
n 1 k 0
k 0
37
mk yk
1
1.
, ,Q
Akibatnya :
x
x, *
Xn
1 p 1
1
n
% E /n 1 / ' x1
n 1
p p 1
& 0 0 (
mk yk
1
1
k 0
x
n 1
Sk1 mk yk Sk1
x
k 0
x
n 1 k 0
x
n 1 k 0
xmk 1 S k yk Sk1 xmk 1 Sk Sk1
dengan mk : 0
1
1
1
S k1
1
S k1
(dari persamaan (2))
n 1 adapted-
k
k
.
Berdasarkan persamaan (4) :
X nx,
*
x
n 1
* k
Sk1
1
Sk1
k 0
maka
xmk Sk1 Terbukti. * k
k
0,..., n 1.
38
