BAB III PEMODELAN ALIRAN FLUIDA STREAMLINES DI BAWAH PERMUKAAN BUMI
3.1 Model Matematis Aliran Fluida Model matematis aliran fluida di bawah permukaan bumi dipengaruhi oleh persamaan aliran fluida ideal (persamaan bernoulli), persamaan untuk aliran streamline dan persamaan navier stokes untuk aliran incompressible.
3.1.1 Persamaan Bernoulli Suatu aliran fluida yang ideal dinyatakan pada persamaan sebagai berikut:
p1
p 1 2 1 2 + v1 + h1 g = 2 + v2 + h2 g ρ 2 ρ 2
Dari persamaan tersebut dapat kita ketahui bahwa suatu aliran fluida dipengaruhi oleh tekanan (p), densitas fluida tersebut ( ρ ) , kecepatan aliran fluida (v), lebar saluran tempat fluida tersebut mengalir (h), dan gravitasi (g).
3.1.2 Persamaan Fluida yang Dipengaruhi oleh Viskositas Zat cair pada keadaan yang sebenarnya mengalami resistansi viskositas untuk mengalir. Jika perubahan kecepatan antara dua bidang adalah du/dt, maka gaya per m2 dengan resistansi viskositas adalah f =η
du dz
16
17
Zat cair yang mengikuti persamaan ini dikenal dengan Newtonian Fluids. Aliran fluida pada reservoir diasumsikan bersifat streamline sehingga persamaan di bawah ini dapat digunakan Untuk
vρa
η
alirannya berupa streamlines
K adalah besaran Reynold (k ≈ 1000). Besaran ini tidak mempunyai dimensi dan hampir konstan untuk semua kondisi.
3.1.3 Persamaan Navier Stokes Untuk aliran fluida tak termampatkan (incompressible), densitas pada fluida tersebut konstan dan mengikuti persamaan ∇.v = 0 dan
∂u = 0 atau ∂x
perubahan komponen kecepatan pada vektor x terhadap perubahan jarak sama dengan nol. Jika dimisalkan fluida bergerak pada satu arah vektor (x saja), maka kecepatan pada arah y dan z akan sama dengan nol (v = 0, w = 0), dan aliran fluida tersebut dianggap steady flow (
∂u = 0 ) , maka u = u(y) sehingga ∂t
persamaan ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ∂u ∂u ⎞ ∂p +u +v + w ⎟⎟ = − + μ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + ρg x ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂t ⎝ ∂x
ρ ⎜⎜
⎛ ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ⎞ ⎛ ∂v ∂v ∂v ∂v ⎞ ∂p + u + v + w ⎟⎟ = − + μ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + ρg y ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂y ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂t ⎝ ∂x
ρ ⎜⎜
⎛ ∂2w ∂2w ∂2w ⎞ ⎛ ∂w ∂w ∂w ∂w ⎞ ∂p ⎜ ⎟ +u +v + w ⎟ = − + μ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + ρg z ρ⎜ ∂ ∂ ∂ ∂z ⎠ t x y ∂z ∂y ∂z ⎠ ⎝ ⎝ ∂x
18
Akan berubah menjadi
0=−
⎛ ∂ 2u ⎞ ∂p + μ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ∂x ⎝ ∂y ⎠
∂p − ρg ∂y ∂p 0=− ∂z 0=−
Dari persamaan- persamaan di atas maka akan didapatkan persamaan sebagai berikut: v=
h2 dp dpx; dpx = 2η a
2h 3dp q= 3aη
Dengan v (m/s) adalah Kecepatan fluida di vektor tersebut, h (m) adalah Lebar Saluran yang dilalui oleh fluida tersebut, η
adalah Viskositas fluida, dp
adalah Perubahan tekanan pada fluida, a adalah Panjang aliran fluida, q adalah debit fluida.
3.2 Model Fisis Aliran Fluida pada Reservoir Panas Bumi
Model fisis aliran fluida pada reservoir panas bumi yang digunakan dibuat sedemikian rupa untuk menyerupai aliran fluida pada bawah permukaan tanah atau pada reservoir alami lainnya. Di bawah permukaan bumi terdapat suatu reservoir dimana sejumlah air terkumpul dan mengalir pada celah-celah yang terdapat di bawah permukaan bumi. Aliran fluida tersebut dipengaruhi oleh
19
panjang dan lebar saluran tempat fluida tersebut mengalir, viskositas juga mempengaruhi aliran fluida tersebut, begitu pula dengan perubahan tekanan pada fluida tersebut. Simulasi aliran fluida ini menggunakan matriks, dimana setiap matriks mempunyai nilai-nilai yang dimiliki oleh fluida tersebut pada satu titik. Banyaknya matriks disesuaikan dengan data yang digunakan. Semakin banyak data yang digunakan, maka semakin banyak jumlah matriks yang didapatkan sehingga gambaran aliran fluida akan semakin baik. Pada pemodelan ini digunakan beberapa asumsi sebagai berikut: 1. Aliran fluida berupa aliran streamlines (tidak turbulent). 2. Fluida tidak termampatkan (incompressible). 3. Aliran dipengaruhi oleh viskositas dan perubahan suhu pada fluida tersebut. 4. Aliran tetap (Steady flow).
3.3 Diagram Alir Model Aliran Fluida
Pemodelan dimulai dengan memasukkan panjang aliran, viskositas fluida, nilai densitas dan jumlah matriks yang akan digunakan. Dilanjutkan dengan memasukkan parameter atau konstanta fisis yang digunakan seperti lebar saluran yang dilalui oleh fluida tersebut dan perubahan tekanan pada fluida tersebut. Kemudian perhitungan dimulai dengan menggunakan parameter yang ada, nilai-nilai untuk setiap titik pada matrik dimasukkan untuk setiap matrik sehingga didapatkan kecepatan fluida dan debit fluida pada titik tersebut. Data yang
20
didapatkan kemudian disimpan dalam bentuk notepad, data pada setiap titik matrik tersebut kemudian divisualisasikan dengan menggunakan Mathematika 6. Bahasa yang digunakan adalah C++, untuk visualisasi digunakan Mathematica 6.
