4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi, lemma, dan teorema yang berkaitan dengan pembahasan. 2.1. Teori Grup Definisi 2.1. Struktur aljabar
tertutup terhadap operasi biner disebut
grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: a) Operasi biner
bersifat asosiatif: a b c a b c , untuk setiap
a, b, c G . b) Terdapat unsur identitas e G , untuk * pada G sehingga berlaku a e e a a untuk setiap a G . c) Untuk setiap a G ada unsur a 1 G sehingga a a 1 a 1 a e . ( a-1 disebut invers a terhadap operasi *). Grup G disebut grup komutatif atau grup abelian jika operasi * bersifat komutatif yaitu: a b b a , untuk semua a, b G . Grup berhingga yaitu grup yang kardinalitasnya berhingga. Dalam hal ini kardinalitas suatu grup G disebut dengan order dari G, dinotasikan ord G atau
O G atau G . Definisi 2.2. Jika H himpunan bagian atas grup G adalah grup di bawah operasi G, maka H subgrup dari G. Teorema 2.3. (Uji satu langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian yang tak kosong atas G. Maka H adalah subgrup atas G jika H tertutup di bawah operasi pembagian; yaitu jika
bilamana
5 Teorema 2.4. (Uji dua langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian tak bilamana
kosong atas G. Maka, H disebut subgrup dari G jika (tertutup terhadap perkalian), dan
bilamana
(tertutup terhadap
invers) Sebagai contoh, Z dan Q merupakan subgrup dari R terhadap operasi +. Tentu saja Z Q R dan masing-masing merupakan grup terhadap operasi yang sama yaitu +. Misal G sembarang grup, a G , dan n bilangan bulat positif, maka: a n : aa ...a , n kali
1 1 a n : a a ... a1 , n kali
n -1
= (a )
dan a0 : e . Jika ada bilangan bulat tidak nol m sedemikian sehingga a m e , maka order dari unsur a, notasi O a , didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga a n e . Jika tidak ada bilangan bulat tidak nol n sedemikian sehingga a n e , maka dikatakan a mempunyai order di tak hingga (infinity). Ringkasan 2.5. Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order. 1. Jika O a n , maka ada tepat n kuasa dari a (power of a) yang masingmasing berbeda, yaitu a 0 e, a, a 2 ,..., a n 1 . 2. Jika O a tak hingga, maka semua kuasa dari a berbeda. Artinya, jika r dan s yaitu dua bilangan bulat yang berbeda, maka a r a s . 3. Misalkan a yaitu unsur dari grup G dan O a n . Maka a t e jika dan hanya jika t yaitu kelipatan dari n (t kelipatan n artinya ada bilangan bulat q sehingga t=nq). Definisi 2.6. Misalkan H subgrup dari
grup G.
Himpunan
atas G disebut koset kiri atas H memuat himpunan bagian
bagian . Sedangkan
atas G disebut koset kanan atas H memuat .
6 Teorema 2.7. (Teorema Lagrange) Misalkan H subgrup dari grup berhingga G. Maka order dari H adalah pembagi dari order G. Teorema 2.8. Order dari unsur grup berhingga G membagi order G. Jika H merupakan subgrup dari grup G, indeks dari H di dalam G diartikan sebagai
jumlah
koset
sedangkan G : H
dari
H
di
dalam
G,
notasinya
G : H .
G H
2.2. Grup Siklik Grup G disebut siklik jika dan hanya jika ada unsur a G (a disebut generator) sehingga
G a an n Z .
Dalam kasus G grup aditif, dapat ditulis G a na n Z .
Ringkasan 2.9. (Sifat-sifat Grup Siklik) 1. Jika grup G berorder n, maka G siklik jika dan hanya jika ada a G sehingga
O a n . 2. Setiap grup siklik yaitu abelian. 3. Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik. 4. Jika G a dan b G , maka O b O a . 5. Jika G yaitu grup siklik berorder n dan suatu bilangan bulat k n , maka ada b G sehingga O b k .
6. Misalkan G yaitu grup abelian berorder mn dengan m dan n prima relatif. Jika G mempunyai suatu unsur a dengan O a m dan b dengan O b n , maka G yaitu grup siklik dengan G ab . 7. a r yaitu generator dari G a dengan G n jika dan hanya jika r dan n prima relatif. 2.3. Grup Homomorfisme dan Isomorphisme
7 Misal G dan H grup. Suatu homomorfisma (grup) dari G ke H yaitu suatu fungsi f : G H sedemikian sehingga untuk sembarang a dan b di dalam G,
f ab f a f b . Bayangan (Imej) dari f, dinotasikan Im f , yaitu Im f f G f x x G .
Kernel dari f, dinotasikan ker f , yaitu
ker f x G f x e (secara implisit e yaitu unsur identitas dari f).
Sifat-sifat dasar homomorfisma dinyatakan dalam Ringkasan berikut ini. Ringkasan 2.10. (Sifat-sifat Dasar Homomorfisma) Misalkan G dan H yaitu grup, f : G H homomorfisma, maka sifat-sifat berikut dipenuhi. 1.
f e e . untuk setiap a G .
2.
3. Im f merupakan subgrup dari H. 4. ker f merupakan subgrup dari G. Jika
homomorfisme yang bijektif, maka f disebut isomorfisme.
2.4. Ring Struktur aljabar dengan dua operasi biner yang paling umum yaitu Ring. Definisi 2.11. Ring R adalah himpunan dengan dua operasi + dan x (disebut dengan penjumlahan dan perkalian) yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: a.
R, adalah grup abelian untuk setiap a, b, c R .
b.
Operasi
c.
Berlaku hukum distributif atas R : Untuk setiap a, b, c R memenuhi
adalah asosiatif :
dan
8 Ring R disebut komutatif jika perkaliannya bersifat komutatif. Ring R disebut mempunyai
unsur
kesatuan
Definisi 2.12. Unsur bukan nol ada unsur bukan nol
jika
terdapat
dengan
unsur
dari Ring komutatif R disebut pembagi nol jika
sehingga
Definisi 2.13. Ring komutatif dengan unsur kesatuan
disebut daerah integral
jika tidak memuat pembagi nol Definisi 2.14. Karakteristik Ring R adalah sekurang-kurangnya integer positif sehingga
untuk setiap
. Jika tidak ada, R disebut berkarakteristik 0.
Teorema 2.15. Karakteristik daerah integral adalah 0 atau prima. Teorema 2.16. Di dalam sembarang Daerah Integral D dengan karakteristik p,
a b
p
a p b p untuk semua unsur a, b D .
Definisi 2.17. Field adalah suatu Ring komutatif, ada unsur kesatuan 1 dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (multiplikatif) Teorema 2.18. Daerah integral yang berhingga adalah field. Akibat 2.19. Untuk setiap bilangan prima p, Ring Zp integer modulo p, adalah field Definisi 2.20. SubRing A dari Ring R disebut ideal dari R jika untuk setiap dan setiap
,
dan
.
Teorema 2.21. Misal R Ring, I R , I tidak kosong. Himpunan bagian I disebut ideal jika memenuhi: a. b.
dan
dan
.
Untuk setiap Ring R, {0} dan R adalah ideal atas R. Ideal {0} disebut ideal trivial. Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan
. Suatu himpunan
merupakan ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang dibangun oleh .
9 Definisi 2.22. Suatu ideal I atas Ring komutatif R disebut ideal prima atas R jika dan
sehingga
dan
. Suatu ideal B atas Ring komutatif R
disebut ideal maksimal atas R jika B adalah ideal atas R dan
maka
B = A atau B = R. Misalkan Ring R dan I merupakan ideal dari R. Karena R merupakan grup terhadap penjumlahan dan I subgrup dari R, maka Ring faktor sebagai
dapat ditulis
.
Teorema 2.23. Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. I ideal maksimal dari R. Maka R
I
adalah field jika dan hanya jika I ideal maksimal.
Definisi 2.24. Suatu homomorfisma dari Ring R ke Ring R ' yaitu suatu fungsi f : R R ' yang memenuhi,
berlaku :
a.
f a b f a f b , dan
b.
f ab f a f b .
Jika f surjektif, maka R ' disebut bayangan homomorfik dari R. Kernel dari f diDefinisikan
ker f x R f x 0 , dan range dari f diDefinisikan ran f f x x R .
Jika f homomorfisma yang bijektif, maka f disebut isomorfisma. Dalam hal ini R dan R ' dikatakan isomorfik, dinotasikan Teorema
2.25.
Misal
f : R R'
Ring
homomorfisma.
Maka
ker f x R f x 0 merupakan ideal dari R. Teorema 2.26. R I merupakan bayangan homomorfik dari R. Teorema 2.27. (Teorema dasar homomorfisme) Misalkan merupakan epimorfisme, dan misalkan K yaitu kernel dari f. Maka
f : R R' .
10
2.5. Ring Polinomial Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan, dan x simbol yang tak disebut
tetap. Setiap ekspresi berbentuk polinomial dalam x dengan
. Polinomial dalam x dapat ditulis dengan
dan
lain-lain.
Misal merupakan
polinomial, derajat dari polinomial koefisien dari
yaitu bilangan terbesar n sehingga
bukan nol dan dinotasikan dengan deg
Polinomial
.
yang semua koefisiennya nol
disebut polinomial nol, dan dinotasikan dengan maka
sembarang
Jika polinomial
berderajat nol dan disebut polinomial konstan. Misalkan dan . Operasi penjumlahan dan
perkalian polinomial didefinisikan sebagai berikut :
Dimana
Dimana, Jika R Ring, maka
, untuk k = 0, …, m+n menotasikan himpunan semua polinomial dalam x yang
koefisiennya ada di R dengan operasi penjumlahan dan perkalian seperti yang didefinisikan sebelumnya. Teorema 2.28. Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Maka R[x] merupakan Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Teorema 2.29. Jika R adalah daerah integral, maka R[x] adalah daerah integral.
11 Definisi 2.30. Suatu polinomial
irredusibel atas F bila f(x) tidak dapat
dinyatakan sebagai perkalian
dimana
keduanya
berderajat lebih rendah dari f(x). Teorema 2.31. Misal F field dan Ring polinomial F x . Jika f x , g ( x) F x dengan g x 0 , maka ada polinomial unik q x , r ( x) F x sehingga
f ( x) q x g x r x dengan r x 0 atau derajat r x derajat g x . Teorema 2.32. Misal F field, I ideal tak nol di F[x], dan unsur jika dan hanya jika
Ideal
merupakan polinomial tak nol berderajat
terendah di I. merupakan ideal utama
Teorema 2.33. Semua ideal dari
.
Teorema 2.34. Misal F field dan hanya jika
ideal maksimal jika dan
irredusibel atas F.
Teorema 2.35.
ideal maksimal jika dan hanya jika
field.
2.6. Perluasan Field Definisi 2.36. Jika E field yang memuat subfield F, maka E disebut perluasan field dari F. Definisi 2.37. Misal E perluasan field dari field F dan c E . c disebut algebraic atas F jika f c 0 untuk f x F x yang tak nol.
F
E
c
Gambar 1. Perluasan Field F Definisi 2.38. Misal E perluasan field dari field F dan c E algebraic atas F. Polinomial monik p x merupakan polinomial irredusibel dengan akar c atas F
12 dinotasikan dengan irr c, F dan derajat dari polinomial irredusibel dengan akar c atas F dinotasikan dengan deg c, F Teorema 2.39. Misal F subfield dari field E, c E (indeterminate).
c : F x E
Pemetaan
yang
dan x tak tentu
diDefinisikan
dengan
c f x f c dimana f x a0 a1 x ... an x n , f x F x merupakan homomorfisma. Homomorfisma c disebut homomorfisma evaluasi dan berlaku
c x c serta c a a , a F . merupakan himpunan semua polinomial
Kernel atas homomorfisma sehingga
. Jadi, kernel
berisi semua polinomial
sehingga c merupakan akar dari dinotasikan sebagai
. Misalkan kernel
, menurut Teorema 2.25 kernel untuk setiap homomorfisma
merupakan ideal, sehingga
merupakan ideal dari F[x]. Menurut Teorema 2.33
setiap ideal dari F[x] merupakan ideal utama. Karena dan berdasarkan Teorema 2.32, dengan
,
polinomial berderajat terendah. Dengan Definisi 2.30 mudah untuk
membuktikan bahwa
merupakan polinomial irredusibel. Misalkan
Sehingga dimana
merupakan ideal utama
,
. Hal ini tidaklah mungkin, karena
merupakan
polinomial berderajat terendah di dalam
. Sehingga
polinomial berderajat lebih tinggi dari
Maka menurut Definisi 2.30,
merupakan
merupakan polinomial irredusibel. Karena setiap konstanta pengali dari di
maka
monik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa
polinomial minimum dari c atas F. Lalu bagaimana dengan Range dari
?
ada
merupakan
13 Range
Dari penjelasan di atas diperoleh dengan
merupakan epimorfisme,
polinomial irredusibel. Dengan menggunakan Teorema
dasar homomorfisme, maka
. Menurut Teorema 2.34, jika
polinomial irredusibel maka
merupakan ideal maksimal. Dan
berdasarkan Teorema 2.35 dapat disimpulkan bahwa field. Karena
maka
merupakan
juga merupakan field.
Teorema 2.40. Misal F field dan p x polinomial tak konstan di F x . Ada suatu perluasan field E dari F dan unsur c di E sehingga c akar dari p x . Definisi 2.41 V himpunan, F field, operasi di V yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. V disebut ruang vektor atas F jika memenuhi aksioma berikut: 1. Untuk setiap a , b V terdapat tunggal c V sehingga tertutup terhadap penjumlahan: a b c . 2. Untuk setiap a , b , c V bersifat asosiatif: a b c a b c .
3.
4.
5.
Terdapat tunggal identitas 0 V , untuk setiap a 0 0a a . Untuk setiap a V terdapat tunggal invers a b b a 0 , b a . Untuk setiap a , b V bersifat komutatif: a b b a .
a V
sehingga
b V
sehingga
7.
Untuk setiap k F dan setiap a V terdapat tunggal b V sehingga tertutup terhadap perkalian: ka b . Untuk setiap k F dan setiap a , b V , k a b ka kb .
8.
Untuk setiap k , l F dan setiap a V , k l a ka la .
9.
Untuk setiap k , l F dan setiap a V , kl a k la .
6.
14 10.
Untuk setiap a V , 1a a ; 1 unsur identitas di F , .
Definisi 2.42. Misal E perluasan field dari field F. Jika E ruang vektor atas F berdimensi hingga n, maka E disebut perluasan hingga berderajat n atas F. Derajat E atas F sama dengan n dinotasikan E : F n . Definisi 2.43. Jika field E dibangun oleh unsur satu c atas field F: E F c , maka E disebut perluasan tunggal dari F dan unsur c disebut unsur primitif atau akar primitif untuk perluasan.
E F c dengan
Teorema 2.44. Misal
cE
algebraic atas F, dan
deg c, F n , n 1 . Setiap unsur dari E F c dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk b0 b1c1 ... bn 1c n 1 , dimana bi F x . Teorema 2.45. Derajat dari
atas F sama dengan derajat dari polinomial
minimum dari c atas F. Sebagai contoh, i merupakan akar dari polinomial irredusibel R[x].
mempunyai derajat 2, menurut Teorema 2.44,
atas dengan
basisnya {1, i}. Setiap unsur dalam R[i] merupakan kombinasi linear dari 1 dan i yang
dimana
berbentuk
dan
dinotasikan
dengan
. Teorema 2.46. Misalkan berderajat m, maka
merupakan polinomial irredusibel adalah finite field berderajat
. Operasi
penjumlahan polinomial dan operasi perkalian polinomial dilakukan dalam modulo
.
Teorema 2.47. Misal E perluasan field dari field F dan c E algebraic atas F. Jika deg c, F n , maka F c ruang vektor atas F berdimensi-n dengan basis
1, c, c ..., c . 2
n 1
15 Lemma 2.48. Misal
basis dari ruang vektor K atas F dan
basis dari ruang vektor E atas K. Maka himpunan perkalian merupakan basis dari ruang vektor E atas field F.
