5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Kristal Fotonik Kristal fotonik merupakan kumpulan lapisan medium optik dengan
struktur yang tersusun secara alami maupun buatan dengan modulasi periodik berdasarkan nilai indeks bias. Beberapa medium optik yang digunakan sebagai bahan memiliki sifat yang khas sehingga mampu memberikan keuntungan untuk sejumlah aplikasi (IA. Sukhiovanov, 2009).1 Berdasarkan periodisitasnya, kristal fotonik dibagi menjadi tiga macam, yaitu Kristal fotonik satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi. Hal ini dapat diilustrasikan pada Gambar 1. Kristal fotonik satu dimensi memiliki permitivitas dengan periodisasi dalam satu dimensi saja. Sebagai contoh beberapa kristal fotonik dapat diberikan Bragg grating yang secara luas digunakan sebagai reflektor dalam permukaan ruang yang pemancar laser. Selain itu, beberapa struktur juga digunakan sebagai lapisan antirefleksi yang dapat menurunkan nilai reflektansi permukaan serta digunakan untuk meningkatkan kualitas lensa.1 Kristal fotonik dua dimensi memiliki permitivitas dengan periodisasi dalam aarah dua dimensi, adapun arah yang ke tiga dalam kondisi seragam. Contoh yang dapat ditemukan di alam adalah pola pada sayap kupu-kupu dan corak warnanya yang disebabkan oleh refleksi cahaya dari mikrostruktur sayap. Adapun kristal fotonik tiga dimensi, permitivitasnya memiliki periodisasi dalam arah tiga dimensi. Di alam, struktur tiga dimensi paling banyak dijumpai pada batu-batu barharga yang digunakan sebagai perhiasan.1,2
Gambar 1. Contoh struktur kristal fotonik berdasarkan peroidisitasnya. (a) Satu dimensi, (b) Dua dimensi, (c) Tiga dimensi (IA. Sukhiovanov, 2009)
6
Ketika
cahaya
mengenai
lapisan,
masing-masing
permukaan
merefleksikan sebagian dari medan. Jika ketebalan dari masing-masing lapisan dipilih untuk nilai yang sesuai, medan yang direfleksikan akan berkombinasi di dalam fase, menghasilkan interferensi konstruktif, dan reflektansi yang kuat, yang disebut sebagai refleksi Bragg. Telah dibuktikan bahwa hamburan Bragg dalam struktur dielektrik periodik menjadi penyebab munculnya Photonic Band Gap (PBG).3 Ketika periodisitasnya dirusak oleh adanya defek dalam kristal fotonik, lokalisasi modus defek akan muncul di dalam PBG karena perubahan interferensi dari cahaya yang disebut Photonic Pass Band (PPB) (O. Schmidt et.al, 2007).4
2.2
Sensor Optik Sensor bekerja dengan cara mengubah sinyal-sinyal dari sumber energi
yang berbeda-beda menjadi sinyal listrik.5 Sumber energi utama dapat berupa magnet, kimia, radiasi, proses mekanik maupun suhu sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 2. Salah satu sumber penting untuk diukur oleh sensor adalah sumber sinyal radiasi atau optik. Dalam hal ini, diperlukan suati sensor optik yang bekerja dengan cara mengubah sinyal-sinyal radiasi gelombang elektromagnetik ke dalam sinyal listrik. Sebagai contoh adalah sensor gambar yang bekerja dengan cara mengubah sinyal berupa gambar ke dalam sinyal-sinyal listrik berupa arus ataupun tegangan.5 Beberapa parameter penting dalam sensor optik antara lain pencitraan warna, gambar, polarisasi sinar, panjang gelombang, luminance, intensitas cahaya, pemantulan (refleksi), dan indeks bias.
Gambar 2. Klasifikasi sensor dengan mengacu pada enam sumber sinyal (GCM Meijer, 2008)
7
Gambar 3. Contoh susunan sensor optik dalam aplikasi pengukuran konsentrasi larutan gula (M.Rahmat, 2009)
Selama tiga dekade terakhir, bagian sensor optik untuk pengukuran terhadap indeks bias menjadi objek penelitian yang sangat menarik, dan hingga saat ini masih menjadi pondasi beberapa teknologi baru. Aplikasi dari sensor berbasis indeks bias sejauh ini masih berorientasi pada pengukuran gas dan larutan sebagai objek, sebagai contoh adalah pengukuran beberapa parameter seperti
suhu,
kelembaban,
komposisi
kimia
dan
biosensing.
Dalam
perkembangannya, sensor optik memasuki wilayah pengukuran yang lebih luas seperti deteksi DNA, protein, interaksi antibody-antigen, sel dan bakteri.6 Sensor optik memiliki beberapa komponen utama untuk aplikasi pengukuran antara lain sumber cahaya, sensor, bahan yang akan diuji, detector cahaya, analisator (komponen elektronik), dan alat baca (komputer atau alat ukur listrik).7 Hal ini seperti diilustrasikan pada Gambar 3.
2.3
Persamaan Maxwell Gelombang elektromagnetik merambat lurus dalam suatu ruang hampa
dengan kecepatan konstan c = 2,99 x 108 m/s. Gelombang elektromagnetik akan mengalami refraksi ketika merambat melalui dua medium dengan indeks bias yang berbeda. Saat mengalami refraksi, gelombang terjadi pergeseran panjang gelombang yang nilainya bergantung pada perbedaan indeks bias dari medium mula-mula ke medium yang dituju oleh gelombang. Gelombang elektromagnetik dibagi menjadi beberapa spektrum berdasarkan perbedaan panjang gelombangnya. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 1.
8
Tabel 1. Spektrum gelombang elektromagnetik
Secara umum gelombang elektromagnetik dapat dinyatakan dengan
persamaan diferensial parsial seperti pada Persamaan 1. 8 2 ∂ 2u 2 ∂ u = c ∂t 2 ∂x 2
(1)
Besaran u = u ( x, t ) merupakan fungsi posisi dan waktu. Variable u sendiri adalah medan tertentu yang bekerja pada gelombang yang secara umum memiliki solusi u ( x, t ) = F ( x + ct ) + G ( x − ct )
(2)
dengan F dan G merupakan fungsi sembarang yang dapat memenuhi Persamaan (2). Variabel x adalah posisi (dalam meter) dan t adalah waktu (dalam sekon).
9
Gambar 4. Evolusi waktu terhadap medan elektromagnetik yang dibangun oleh persamaan Maxwell di dalam domain ruang dengan syarat batas tertentu. (Berenger, 2007)
Gambar 4 mengilustrasikan perubahan medan listrik dan medan magnet yang terdapat pada gelombang elektromagnetik ketika berevolusi terhadap waktu pada posisi (domain) tertentu dengan menggunakan penjabaran oleh Persamaan Maxwell. Persamaan Maxwell sendiri merupakan persamaan diferensial parsial yang dipenuhi oleh jumlah solusi yang tidak terbatas. Akan tetapi hanya ada satu solusi yang dapat memenuhi dua kondisi tambahan berikut: 1. Kondisi awal (initial conditions), dimana medan listrik dan magnet memiliki kondisi awal yang diketahui di dalam ruang yang telah ditentukan pada waktu awal. 2. Kondisi syarat batas (boundary conditions), dimana syarat batas tersebut berlaku pada medan listrik dan magnet pada setiap waktu ketika keseluruhan permukaan memasuki ruang yang telah diberikan. Meninjau betapa rumitnya fenomena kelistrikan dan kemagnetan yang tergabung dalam gelombang elektromagnetik, maka semua mekanisme yang terjadi dalam gelombang ini terangkum dalam empat buah persamaan yang popular dengan istilah persamaan Maxwell. Melalui keempat persamaan tersebut, pengkajian fenomena fisis yang terjadi ketika suatu gelombang elektromegnetik berinteraksi dengan lingkungan menjadi lebih mudah. Semua mekanisme yang terjadi di dalam kasus kelistrikan dan kemagnetan secara umum dijelaskan oleh empat persamaan Maxwell yang terbagi menjadi Hukum Ampere, Hukum Faraday, Persamaan Poisson dan persamaan kondisi kerapatan fluks magnetic solenoidal.9
10
Hukum Ampere: ∇×H = J +
∂D ∂t
(3)
Hukum Faraday: ∇× E = −
∂B ∂t
(4)
Persamaan Poisson: ∇⋅D = ρ
(5)
dan kondisi kerapatan fluks magnetik solenoidal
∇⋅B = 0
(6)
Dalam hal ini, H adalah medan magnet (A/m), J kerapatan arus listrik (A/m2), D merupakan rapat muatan (C/m2), E medan listrik (V/m), B fluks magnetik
(Tesla), ρ rapat muatan listrik (C/m3), dan t variabel waktu (s). Selain itu, dikenal juga bentuk Persamaan (7) untuk menjelaskan lebih lanjut mengenai medan magnet dan rapat muatan. H=
B
µ0
−M;
D = ε0 E + P
(7)
Besaran µ0 = 4π × 10-7 Vs/Am merupakan permeabilitas magnetik ruang hampa,
ε 0 = 8,854 × 10-12 As/Vm sebagai permitivitas ruang hampa. Permeabilitas dan permitivitas masing-masing mewakili karakteristik kemagnetan dan kelistrikan dari suatu medium ketika berinteraksi dengan medan magnet dan listrik. M adalah magnetisasi dan P adalah polarisasi. Di dalam ruang hampa, kecepatan cahaya adalah 299792458 m/s. Selain itu kita akan membedakan material menjadi tiga macam yaitu material linier, isotropic dan nondispersif yang mengikuti relasi menurut Persamaan (8) B = µH ;
D=εE
(8)
Untuk bahan konduktif terhadap listrik, sebuah medan listrik menyebabkan kerapatan arus J menurut Persamaan (9).
J =σ E Variabel σ merupakan nilai konduktivitas listrik suatu medium.
(9)
11
Gambar 5. Laju energi gelombang elektromagnetik yang menempuh jarak sebesar cc∆t dan menembus penampang seluas A. Variabel c adalah kecepatan cahaya (m/s) dan ∆t adalah interval waktu (s).
Ketika merambat, laju energi gelombang elektromagnetik atau yang lebih dikenal dengan istilah vector pointing menyebar ke berbagai arah secara isotropik. Pola penyebaran dalam satu dimensi diilustrasikan pada Gambar 5. Vektor pointing memiliki nilai dan ar arah ah yang dapat dinyatakan sesuai Persamaan (10). S=
2.4
1
µ0
E×B
(10)
Finite Different Time Domain (FDTD) Ketika tidak terdapat kerapatan arus listrik ( J = 0 ), bentuk Persamaan
Maxwell bergantung waktu dalam persaman (3) dan (4) dapat dinyatakan sebagai8, 10, 11 ∂E 1 = ∇× H ∂t ε 0
(11a)
∂H 1 = − ∇× E ∂t µ0
(11b)
Variabel E dan H merupakan vektor tiga dimensi, sehingga secara umum Persaman (11a) dan (11b) masing-masing mewakili tiga persamaan. Untuk kasus satu dimensi (misalkan hanya menggunakan Ex dan H y ),
Persamaan (11a) dan (11b) menjadi
∂Ex 1 ∂H y = ∂t ε 0 ∂z ∂H y ∂t
=−
1 ∂Ex µ0 ∂z
(12a)
(12b)
12
Persamaan (12a) dan (12b) merupakan persamaan gelombang bidang dengan medan listrik terorientasi dalam arah sumbu x, medan magnet terorientasi dalam arah sumbu y, dan gelombang bergerak dalam arah sumbu z. Dengan mengambil pendekatan pada perbedaan pusat untuk turunan spasial dan temporal memberikan n n Exn +1/ 2 (k ) − Exn −1/ 2 ( k ) 1 H y (k + 1/ 2) − H y (k − 1/ 2) =− ∆t ε0 ∆x
H yn +1 (k + 1/ 2) − H yn ( k + 1/ 2) ∆t
−
1 E xn +1/ 2 (k + 1) − E xn +1/ 2 ( k ) ∆x µ0
(13a)
(13b)
Dalam dua persamaan ini, waktu ditandai dengan superskrip ‘ n ’ yang berarti waktu berlangsung t = ∆t.n . Kita harus mendiskritkan setiap variabel untuk memformulasikannya ke dalam komputer. Bentuk ‘ n + 1 ’ berarti satu langkah waktu berikutnya. Bentuk subskrip lainnya menandakan jarak, ‘ k ’ berarti bahwa jarak yang telah ditempuh z = ∆x.k . Formulasi Persamaan (13a) dan (13b) mengasumsikan bahwa medan E dan H saling bertumpang tindih dalam ruang dan waktu. H menggunakan argument k + 1 2 dan k − 1 2 untuk menandakan bahwa medan H
diasumsikan terletak antara nilai medan E . Hal ini
diilustrasikan dalam Gambar 6. Demikian juga untuk superskrip n + 1 2 dan n − 1 2 masing-masing menandakan bahwa peristiwa terjadi sangat cepat sesudah
dan sebelum n .
Gambar 6. Saling berselang antara medan E dan H di dalam ruang dan waktu pada formulasi FDTD. Untuk menghitung Hy (k + 1/2), nilai Ex tetangga pada k dan k + 1 diperlukan. Dengan cara yang sama untuk mendapatkan Ex (k + 1) juga memerlukan nilai Hy pada
k +1/2 dan k + 1 ½.
13
Dengan mengubah Persamaan (13a) dan (13b) ke dalam bentuk persamaan iterasi, serta membuat pengubah variabel berikut
E =
ε0 E µ0
(14)
kemudian mensubtitusikannya, maka akan didapatkan Persamaan (15a) dan (15b) sebagai berikut:
E xn+1/ 2 (k ) = E xn−1/ 2 (k ) −
∆t H yn (k + 1/ 2) − H yn (k − 1/ 2) ∆ x ε 0 µ0
1
H yn +1 (k + 1/ 2) = H yn (k + 1/ 2) −
(15a)
∆t n +1/ 2 Ex (k + 1) − E xn+1/ 2 (k ) (15b) ε 0 µ0 ∆x
1
Dengan memilih ukuran sel sebesar ∆x , interval waktu (time step) diformulasikan sebagai ∆t =
∆x 2c0
(16)
variabel c0 merupakan kecepatan cahaya di dalam ruang hampa, sehingga didapat penyederhanaan
∆x 2 ⋅ c0 1 ∆x = c0 = ∆x 2 µ0ε 0 ∆t 1
(17)
2.4.1 FDTD dalam Dua Dimensi11 Dimulai dengan Persamaan Maxwell ternormalisasi yang sebelumnya telah digunakan untuk satu dimensi pada Persamaan (12a) dan (12b), maka dengan sedikit modifikasi diperoleh Persamaan (18a), (18b) dan (18c).
∂D 1 = ∇× H ∂t ε 0 µ0
(18a)
1 ∂H =− ∇ × E ∂t ε 0 µ0
(18b)
D (ω ) = ε r∗ (ω ) ⋅ E (ω )
(18c)
Dua grup vektor yang dapat dipilih antara lain mode transverse magnetic (TM) yang tersusun atas E z , H x , dan H y , atau mode transverse electric (TE) yang tersusun atas E x , E y dan H x .
14
Gambar 7. Susunan ruang dari variabel-variabel medan di dalam FDTD untuk kasus TE dua dimensi
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan mode transverse electric (TE). Dalam mode tersebut, Persamaan (18a) dan (18b) mengalami reduksi menjadi Persamaan (19a), (19b) dan (19c).
∂D z 1 = ∂t ε 0 µ0
∂H y ∂H x − ∂y ∂x
(19a)
∂H x 1 ∂E z =− ∂t ε 0 µ0 ∂y ∂H y
=
∂t
(19b)
∂E z ε 0 µ0 ∂x
1
(19c)
Ketiga persamaan di atas nantinya akan dijadikan dasar untuk melakukan simulasi dengan menggunakan metode FDTD. Namun demikian, ketiga persamaan itu terlebih dahulu harus diubah ke dalam bentuk iterasi menurut Persamaan (20a), (20b) dan (20c).
Dzn +1 2 (i, j ) − Dzn −1 2 (i, j ) 1 = ∆t ε 0 µ0
H yn (i + 1 2, j ) − H yn (i − 1 2, j ) ∆x
H xn (i, j + 1 2) − H xn (i, j − 1 2) − ∆y ε 0 µ0
1
(20a)
15
H xn +1 (i, j + 1 2) − H xn (i, j + 1 2) 1 Ezn +1 2 (i, j + 1) − Ezn +1 2 (i, j ) =− (20b) ∆t ∆y ε 0 µ0 H yn+1 (i + 1 2, j ) − H yn (i + 1 2, j )
=−
∆t
Ezn+1 2 (i + 1, j ) − Ezn +1 2 (i, j ) (20c) ∆x ε 0 µ0
1
Persamaan (20a), (20b) dan (20c) merupakan persamaan yang nantinya akan digunakan dalam simulasi. Sebagai bantuan, maka perlu memanipulasi ketiga persamaan tersebut dengan cara memasukkan Persamaan (21) berikut11 ∆t =
∆x . 2.c0
(21)
Hubungan antara Ez dan Dz dalam ketiga persamaan tersebut sama seperti yang ditunjukan
oleh
Persamaan
(18c)
pada
kasus
satu
dimensi
yaitu
D (ω ) = ε r∗ (ω ) ⋅ E (ω ) .
Simulasi gelombang elektromagnetik dengan menggunakan metode FDTD di atas belumlah sempurna. Hal ini disebabkan masih adanya kemungkinan efek pemantulan gelombang oleh batas medium pada domain komputasi. Hal ini dapat menimbulkan gangguan terhadap gelombang sumber sehingga hasil perhitungan menjadi tidak akurat. Untuk itu diperlukan suatu medium khayal pada daerah batas domain komputasi yang mampu menyerap dan mengatenuasikan setiap gelombang yang melaluinya sehingga efek pemantulan pada boundary menjadi minimal atau bahkan tidak ada sama sekali. Adapun salah satu medium khayal yang cukup optimal untuk tujuan tersebut adalah perfectly matched layer (PML).
2.5
Perfectly Matched Layer (PML)12 Teknik ini diperkenalkan oleh JP Berenger di tahun 1994. Pada teknik ini,
domain komputasi dikelilingi oleh lossy material yang menyerap pemantulan yang tidak diinginkan sehingga medan mengalami decay secara eksponensial di dalam daerah PML. Metode ini hanyalah merupakan model matematika dengan tanpa medium dalam arti fisis. Impedansi gelombang disesuaikan pada batas antara daerah komputasi dan lapisan penyerap melalui pemisahan medan H z = H zx + H zy untuk TE dan E z = Ezx + E zy untuk TM, dan mengasumsikan
16
bahwa
σ σ∗ = ε µ
dimana σ dan σ ∗ masing-masing merupakan konduktivitas
elektrik dan magnetik.10,11,12,13 Tujuan dari diciptakannya PML adalah untuk mengurangi galat yang terjadi dalam komputasi ketika gelombang elektromagnetik dirambatkan pada suatu medium tertentu. Dengan adanya PML pada bagian batas medium, kemungkinan terjadinya efek pemantulan gelombang pada syarat batas menjadi lebih kecil karena PML mampu mengatenuasikan gelombang yang sampai hingga sampai batas yang terkecil. Kondisi yang terjadi pada domain komputasi diharapkan sama seperti kondisi riil ketika gelombang elektromagnetik merambat pada ruang bebas. Di dalam lapisan PML, pembedaan eksponensial digunakan karena medan meluruh secara cepat sehingga perbedaan linier tidak cukup memadai. Mungkin terdapat sedikit pemantulan dari lapisan ini, akan tetapi medan terpantul merambat pada daerah PML ke arah daerah komputasi dan kemudian dilemahkan. Jika ketebalan lapisan PML cukup luas maka medan pemantulan balik selalu berada pada amplitudo yang sangat kecil atau bahkan mendekati nol.10, 12, 14 Ekspresi untuk lapisan batas sekeliling domain komputasi untuk mode transverse electric (TE) adalah dengan mengambil medan magnet H dengan orientasi masing-masing pada sumbu x dan sumbu y, adapun medan listrik E pada sumbu z. Ketiga medan tersebut dinotasikan sebagai H x , H y dan Ez . Dalam PML dua dimensi, medan listrik Ez dibagi lagi menjadi dua bagian yaitu Ezx dan Ezy . Hal ini bertujuan agar batas komputasi pada sudut-sudut ruang
sepanjang PML terwakili3,6. Dengan mengacu pada Persamaan Maxwell (tentang humum Ampere dan Hukum Faraday), maka didapat empat buah persamaan yang terangkum dalam Persamaan (22a), (22b), (22c) dan (22d). 13
µ
µ
∂ ( Ezx + Ezy ) ∂H x + σ y∗ H x = − , ∂t ∂y ∂H y
∂t
ε
+ σ x∗ H y =
∂ ( Ezx + Ezy )
∂x
∂H y ∂E zx + σ x Ezx = , ∂t ∂x
,
(22a)
(22b) (22c)
17
∂Ezy
ε
∂t
+ σ y Ezy = −
∂H x , ∂y
(22d)
Di dalam komputasi, empat bentuk persamaan di atas diubah menjadi persamaan finite different sebagai berikut13:
H xn +1 ( i + 1 2, j ) = e
−σ *y ( i +1 2, j )δ t µ
H xn ( i + 1 2, j )
n +1 2 −σ ( i +1 2, j )δ t µ n +1 2 (1 − e y ) Ezx ( i + 1 2, j + 1 2 ) + Ezy ( i + 1 2, j + 1 2 ) − * σ y ( i + 1 2, j ) δ − Ezxn +1 2 ( i + 1 2, j − 1 2 ) − Ezyn +1 2 ( i + 1 2, j − 1 2 ) *
(23a)
*
H yn +1 ( i, j + 1 2 ) = e −σ x (i , j +1 2)δ t µ H yn ( i, j + 1 2 ) * n +1 2 n +1 2 (1 − e −σ x (i , j +1 2)δ t µ ) Ezx ( i − 1 2, j + 1 2 ) + Ezy ( i − 1 2, j + 1 2 ) − * σ x ( i, j + 1 2 ) δ − Ezxn +1 2 ( i + 1 2, j + 1 2 ) − Ezyn+1 2 ( i + 1 2, j + 1 2 )
Ezxn+1 2 ( i + 1 2, j + 1 2 ) = e −
Ezxn −1 2 ( i + 1 2, j + 1 2 )
(1 − e−σ x ( i +1 2, j +1 2)δ t ε ) H yn ( i, j + 1 2 ) + H yn ( i + 1 2, j + 1 2 ) σ x ( i + 1 2, j + 1 2 ) δ
E zyn +1 2 ( i + 1 2, j + 1 2 ) = e −σ
−
−σ x ( i +1 2, j +1 2 )δ t ε
−σ y ( i +1 2, j +1 2 )δ t ε
( i +1 2, j +1 2)δ t ε
(23b)
(23c)
E zyn −1 2 ( i + 1 2, j + 1 2 )
(1 − e y ) H n ( i + 1 2, j + 1) + H xn ( i + 1 2, j ) σ y ( i + 1 2, j + 1 2 ) δ x
(23d)
Di dalam daerah PML, konduktivitas magnetik dan elektrik disesuaikan sedemikian sehingga tidak akan ada efek pantulan pada lapisan ini. Kondisi impedansi gelombangnya disesuaikan menurut Persamaan (24) berikut10 – 12
σe σm = ε µ
(24)
Penggunakan PML tidak hanya melingkupi batas kanan, kiri, atas dan bawah saja, akan tetapi juga mencakup wilayah pertemuan dari tiap-tiap batas domain komputasi (dalam Gambar 8 diilustrasikan dengan wilayah berwarna hijau). Hal inilah yang menjadi keunggulan PML jika dibandingkan dengan syarat batas lainnya seperti periodik boundary condition (PBC) dan absorbing boundary condition (ABC) secara umum.
18
Gambar 8. Implementasi PML ABC untuk FDTD dua dimensi dengan kasus polarisasi TE.
Gambar 8 menunjukan skema domain komputasi yang dikelilingi oleh PML. Tampak bahwa semua batas domain komputasi terselubungi oleh PML sedemikian sehingga ketika gelombang elektromagnetik masuk ke dalam PML akan langsung diserap sehingga efek pemantulan pada batas domain komputasi dapat dikurangi. Hal ini dapat dianalogikan dengan perambatan gelombang pada ruang bebas dan hanya ada struktur sensor kristal fotonik di bagian tengah ruang tersebut. Dengan kondisi ini, diharapkan hasil simulasi akan lebih mendekati kondisi yang sebenarnya.
