BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Partikel Elementer

Partikel elementer secara garis besar dapat dibedakan berdasarkan nilai spinnya atau berdasarkan interaksi yang mempengaruhi. Berdasarkan perbedaan nilai spinnya partikel dibedakan menjadi partikel fermion (spin pecahan) dan partikel boson (spin bulat), sedangkan berdasarkan interaksi yang mempengaruhi partikel dibedakan partikel hadron, yang dipengaruhi interaksi kuat, interaksi lemah dan interaksi elektromagnetik, sedangkan partikel lepton dipengaruhi oleh interaksi lemah dan interaksi elektromagnetik.

2.1.1 Fermion dan Boson

Suatu partikel dikatakan boson identitas jika memiliki spin bilangan bulat dan fungsi fungsi gelombang dari kedua partikel tidak berubah ketika saling bertukaran, seperti 1⇔ 2

berikut ini ψ → ψ , demikian juga suatu partikel dikatakan sebagai fermion identitas jika memiliki spin setengah bilangan bulat dan fungsi fungsi gelombang dari kedua 1⇔2

gelombang berubah ketika saling bertukaran seperti berikut ini ψ → − ψ . Berikut ini fungsi gelombang yang diwakili ψ yang menggambarkan sifat identitas kesimetrian partikel. Fermion identitas

= ψ (1,2) = - ψ (2,1) antisimetris

(2.1)

Boson identitas

= ψ (1,2) = ψ (2,1) simetris

(2.2)

Universitas Sumatera Utara

Fungsi gelombang total dari pasangan partikel yang tidak bermuatan dapat dirumuskan sebagai berikut:

ψ = α (ruang ) β ( spin)

(2.3)

α (ruang ) = ψ (r ,θ , ϕ ) = X (r )Yl m (θ , φ ) α (ruang ) = ψ (r ,θ , ϕ ) = X (r )

(2.4) (2l + 1)(l − m)! m Pl (cos θ )e imφ 4π (l + m)!

Dengan α menggambarkan gerakan orbital partikel 1 mengitari partikel lainnya dan

α dapat dirumuskan sebagai fungsi harmonik bola yang dirumuskan sebagai berikut:

α = Yl m (θ , φ )

(2.5)

Dengan θ dan φ adalah koordinat bola. Perubahan koordinat ruang antara partikel satu dengan partikel lainnya (tanpa memperhatikan faktor spin) adalah sebagai berikut:

θ → π −θ φ →φ +π

(2.6)

Akan menghasilkan persamaan :

α (ruang ) = ψ (r , θ , φ ) = X (r )Yl m (θ , φ )

α (ruang ) = ψ (r ,θ , φ ) = X (r )

(2.7)

(2l + 1)(l − m)! (−1) l Pl m (cos θ )e imφ 4π (l + m)!

(2.8)

Pada persamaan (2.4) akibat faktor rotasi, maka akan terdapat faktor pengali (-1)l yang diperlihatkan pada persamaan (2.8), jika l bernilai genap maka α bersifat simetris dan sebaliknya jika nilai l bernilai ganjil maka α bersifat antisimetris. Demikian juga dengan fungsi spin β akan bersifat simetris jika spin paralel dan bersifat antisimetris jika spin antiparalel. Jika dihubungkan dengan persamaan (2.3) maka untuk boson


identitas harus memenuhi α dan β bersifat simetris atau antisimetris sedangkan pada fermion identitas α bersifat simetris dan β bersifat antsimetris atau sebaliknya. Jika kedua partikel memiliki muatan, maka pers ( 2.3) menjadi :

ψ = α (ruang) β (spin) γ (muatan)

(2.9)

Maka untuk boson identitas harus memiliki γ antisimetris dan untuk fermion identitas maka γ harus simetris.

Umumnya materi tersusun atas fermion dan boson, lepton dan kuark juga barion termasuk dalam keluarga fermion sedangkan pada keluarga boson terdapat partikel meson serta foton

2.1.2 Lepton dan Hadron.

Dalam fisika partikel, jika ditinjau dari interaksi yang mempengaruhinya maka partikel elementer dibedakan menjadi dua bagian yaitu lepton dan hadron.

Lepton berasal dari kata Yunani yang berarti partikel ringan atau zarah ringan. Lepton memiliki keluarga sebagai berikut : e- (elektron) dan ν e (neutrino elektron), µ − (muon) dan ν µ (neutrino muon), τ − (tau) dan ν τ (neutrino tau). Semua lepton memiliki nilai spin ½ . Untuk lepton yang memiliki muatan yaitu ± e , sedangkan lepton netral atau lepton yang bermuatan 0, disebut neutrino yang memiliki massa yang sangat kecil sekali. Lepton yang bermuatan memiliki dua interaksi yakni interaksi lemah dan interaksi elektromagnetik, sedangkan neutrino hanya memiliki satu interaksi yaitu interaksi lemah. Berikut adalah tabel mengenai keluarga lepton


Tabel 2.1 Muatan dan Massa Lepton

Lepton

Muatan (e)

Massa (MeV/c2)

e-

-1

0,51099892 ± 0,00000004

νe

0

<10-5

µ−

-1

105,658369 ± 0,000009

νµ

0

<0,17

τ−

-1

1776,99 ± 0,29

ντ

0

<18,2

Tidak seperti lepton, hadron mengalami tiga interaksi yakni interaksi kuat, interaksi lemah dan juga mengalami interaksi elektromagnetik. Keluarga dari hadron terdiri atas meson dan barion. Meson merupakan partikel yang tersusun dari pasangan kuark dan antikuark, anggota dari meson sendiri terdiri dari meson bermuatan dan meson netral atau bermuatan 0 yaitu antara lain partikel pion bermuatan ( π ± -meson) dan pion netral ( π 0 -meson), partikel kaon ( K ± -meson dan K 0 -meson), serta partikel

η -meson yang bermuatan 0. Sedangkan barion merupakan partikel yang tersusun dari tiga buah kuark, anggota dari barion yaitu nukleon yang terdiri atas proton dan neutron. Barion yang lebih besar dari neutron disebut hiperon dan semuanya tak mantap dengan waktu peluruhan kurang dari 10-9 detik. Empat kelas hiperon yaitu Λ (lamda), Σ (sigma), Ξ (ksi) dan Ω (omega), berbagai hiperon dapat meluruh dengan

berbagai cara, tetapi hasil akhir selalu memuat proton dan neutron.

2.2 Kuark Flavour Pembentuk Barion

Nukleon terdiri atas proton dan neutron, sedangkan anti nukleon terdiri atas antiproton dan antineutron. Hiperon pada awalnya didefinisikan sebagai partikel yang lebih berat dari nukleon. Bagaimanapun juga seperti kita ketahui definisi ini tidak sepenuhnya benar dan harus memenuhi syarat bahwa hiperon memiliki bilangan barion (B) 1, sedangkan antihiperon memiliki bilangan barion -1, seperti halnya nukleon, hiperon juga merupakan fermion yang mempunyai nilai spin pecahan.


Meson didefinisikan sebagai partikel yang dipengaruhi interaksi kuat dan mempunyai nilai bilangan barion 0, meson termasuk keluarga boson yang mempunyai spin bulat. Partikel yang dipengaruhi interaksi kuat secara kolektif dikenal sebagai hadron.

2.2.1 Barion

Dalam fisika partikel, barion termasuk keluarga partikel subatomik, anggota barion yaitu proton dan neutron (secara kolektif keduanya disebut nukleon), serta sejumlah partikel tidak stabil, yang lebih berat disebut hiperon. Istilah "barion" berasal dari bahasa Yunani barys, yang berarti "berat", karena partikel ini lebih berat daripada kelompok partikel yang lain. Barion merupakan bagian dari fermion berinteraksi kuat - yaitu, partikel yang mengalami gaya nuklir kuat dan dijelaskan oleh statistik FermiDirac, yang berlaku untuk semua partikel mematuhi prinsip larangan Pauli. Hal ini kontras dengan boson, yang tidak mematuhi prinsip larangan Pauli. Barion, bersama dengan meson, merupakan keluarga partikel hadron, yang tersusun kombinasi kuark. Partikel barion terdiri dari tiga kuark (qqq), sedangkan meson adalah partikel boson yang terdiri dari kuark dan antikuark.

Selain nukleon (proton dan neutron), anggota lain dari keluarga barion adalah partikel delta (Δ), partikel lambda (Λ), partikel sigma (Σ), partikel Ksi (Ξ) dan partikel omega (Ω). Partikel delta dan resonansinya (Δ + +, Δ +, Δ 0, Δ -) terdiri dari kombinasi kuark atas dan kuark bawah, dan meluruh menjadi partikel pion serta proton atau neutron. Partikel lambda (Λ 0, Λ

+

) tersusun atas satu kuark atas, satu kuark bawah

serta kuark pesona atau kuark aneh, pengamatan keberadaan kuark aneh ditemukan pertama kali pada partikel lambda netral. Partikel sigma (Σ+, Σ 0, Σ-) tersusun atas satu kuark aneh dan kombinasi kuark atas dan kuark bawah. Partikel sigma netral memiliki komposisi kuark yang sama dengan partikel lambda netral (terdiri atas kuark atas, kuark bawah, dan kuark aneh, uds ), dan begitu waktu peluruhannya jauh lebih cepat daripada Σ

+

(uus) atau Σ - (dds). Partikel Ksi (Ξ

0,

Ξ -), terdiri atas komposisi dua

kuark aneh dan kuark atas atau kuark bawah. Netral ksi, Ξ

0

(ssu), meluruh menjadi

lambda netral dan pion netral, yang akan meluruh menjadi sebuah elektron dan sebuah positron, akan saling memusnahkan, sehingga tampak bahwa hasil peluruhan ksi


adalah sebuah lambda yang memancarkan sinar gamma. Partikel omega minus (Ω -) terdiri dari tiga quark aneh (sss), penemuan partikel ini telah diprediksi terlebih dahulu keberadaannya oleh Gell-Mann yang hasil eksperimennya hampir sama dengan perhitungan yang diprediksikan.

2.2.2 Kuark

Kuark merupakan partikel fundamental yang memiliki spin ½ , membangun partikel yang mengambil tempat pada interaksi kuat yang disebut hadron. Barion dan meson

( )

merupakan bagian dari hadron, meson tersusun atas kuark dan anti kuark q q sedangkan barion tersusun atas tiga kuark (qqq).

Kuark memiliki beberapa variasi atau cita rasa (flavour) yaitu antara lain kuark atas (up quark, u), kuark bawah (down quark, d), kuark aneh (strange quark, s), kuark pesona (charm quark, c), kuark dasar (bottom quark, b), dan kuark puncak (top quark, t). Masing-masing kuark tersebut memiliki massa yang berbeda yaitu massa kuark atas dan bawah (mu = md) 300 MeV/c2, massa kuark aneh = 500 MeV/c2, massa kuark pesona adalah 1500 MeV/c2 sedangkan untuk kuark dasar adalah sekitar 4800 MeV/c2 serta untuk kuark puncak 15 GeV/c2. Model kuark yang disusun oleh Gell-mann dengan menngunakan SU(3) yang melibatkan tiga buah kuark yaitu kuark atas, kuark bawah dan kuark aneh. Pada barion dengan kombinasi ketiga kuark ini akan menghasilkan sepuluh (decuplet) partikel barion yakni pada spin 3/2 dan menghasilkan delapan (octet) partikel barion pada spin ½, yang tersusun secara simetri. Selanjutnya dengan ditemukannya kuark pesona pada tahun 1974, maka model kuark ini menggunakan grup Lie SU(4), terdapat beberapa partikel yang dihasilkan dengan kombinasi kuark ini, diantaranya adalah η c

yang

( )

dibentuk dari kombinasi kuark pesona dan antikuark pesona cc yang memiliki massa sekitar 2980 MeV/c2. Penemuan kuark pesona ini adalah generasi kedua. Generasi pertama sebelumnya adalah kuark atas dan kuark bawah. Generasi ketiga kuark adalah kuark dasar (b) dan kuark puncak (t). Kuark dasar lebih dulu ditemukan oleh kelompok Fermilab melalui eksperimen yang dihasilkan melelui reaksi :


ρ + N → µ+ + µ− + X

(2.10)

Dengan ρ adalah meson rho, µ + adalah muon positif, µ − adalah moun negatif, dan X adalah partikel resonansi yang diperkirakan sebagai pasangan kuark dasar dan antikuark dasar, N sendiri adalah inti platina. Kuark puncak ditemukan pada tahun 1995 juga oleh kelompok Fermilab. Model keenam kuark ini dibahas dengan menggunakan Grup Lie SU(6).

2.2.3 Partikel K-Meson

Partikel K-meson (kaon) terbagi atas dua bagian yakni kaon netral dan kaon bermuatan. Kaon bermuatan memiliki massa sekitar 494 MeV/c2 dan waktu peluruhan 1,2 x 10—8 detik dapat meluruh dengan beberapa cara. Kaon netral memiliki massa lebih besar dari kaon bermuatan yakni sekitar 498 MeV. Berikut ini beberapa model peluruhan partikel kaon positif yang disusun berdasarkan urutan terbesar peluang terciptanya hasil peluruhan tersebut, yakni: K + → µ + + υµ

(2.11)

→π + +π 0 →π + +π + +π − → π 0 + e+ + υe → π 0 + µ + + υµ →π + +π 0 +π 0 Untuk partikel kaon netral memiliki reaksi peluruhan sebagai berikut:

K0 →π + +π _

(2.12)

2.2.4 Λ - Hiperon Penemuan Λ - Hiperon pertama kali diketahui melalui reaksi peluruhan: Λ → pπ −

(2.13)


Dari reaksi diatas dapat dilihat bahwa reaksi tersebut menghsilkan proton dan pion negatif, sedangkan massanya dapat dihitung dari persamaan berikut :

(E

+ Eπ − ) = (Ρp + Ρπ − ) 2

p

2

(2.14)

Dengan E dan P adalah total energi dan momentum partikel, massa yang diperoleh dari reaksi tersebut yaitu (1115,60 ± 0,05) MeV/c2. Waktu peluruhan yang didapat dari eksperimen tersebut yaitu (2,632 ± 0,020) x 10-10 detik. Dalam keadaan bebas partikel ini juga dapat diperoleh dari reaksi berikut:

Λ → nπ 0

(2.15)

Reaksi peluruhan ini didapat dengan mendeteksi pasangan pion netral dengan sinar gamma. Selain itu partikel Λ dapat diperoleh melalui reaksi

Λ → nγ

(2.16)

Dengan energi sinar gamma antara 32 sampai 134 MeV. 2.2.5 Σ ± - hiperon

Partikel ini pertama kali dijelaskan dari hasil observasi dalam emulsi nuklir pada sinar kosmik yang meindentifikasi massa sekitar 1200 MeV/c2.

Model peluruhan yang biasa digunakan yaitu : Σ + → pπ 0 Σ + → nπ +

(2.17)

Σ − → nπ −


Pada keadaan ini, model peluruhan ini meliputi lepton dan sinar gamma yang banyak terjadi pada frekuensi sangat rendah, contoh model peluruhannya adalah: ` Σ + → pγ → ne +υ e → nµ +υ µ → nπ + γ

(2.18)

→ Λe +υ e

Sedangkan untuk hiperon sigma negatif yaitu: Σ − → ne −υ e

→ nµ −υ µ → Λe −υ e

(2.19)

→ nπ γ −

Perbedaan massa antara partikel hiperon sigma positif dengan hiperon sigma negatif relatif kecil. Massa kedua partikel yaitu: mΣ + = (1189,35 ± 0,06) MeV / c 2 mΣ − = (1197,34 ± 0,05) MeV / c 2

Sedangkan waktu peluruhan kedua partikel ini yaitu:

Σ + = (0,810 ± 0,013) x 10-10 detik Σ − = (1,650 ± 0,030) x 10-10 detik. 2.2.6 Σ 0 - hiperon

Menurut Gell-Mann dan Nishijima, peluruhan partikel sigma netral ini diperoleh dari reaksi berikut ini :


Σ 0 → Λγ

(2.20)

Peluruhan pada partikel sigma netral ini prosesnya dimungkinkan melalui interaksi elektromagnetik, dari hasil eksperimen diperoleh waktu peluruhan sekitar 10-15 detik, sedangkan massa partikel yang diperoleh yaitu 1193 MeV/c2 mendekati massa partikel sigma negatif. 2.2.7 Ξ − - hiperon Partikel ini akan meluruh menjadi pion negatif dan Λ - hiperon, reaksi peluruhannya adalah sebagai berikut:

Ξ − → Λπ −

(2.21)

Massa partikel Ksi negatif ini adalah (1321,32 ± 0,13) MeV/c2, sedangkan waktu peluruhannya adalah (1,641 ± 0,016) x 10-10 detik. 2.2.8 Ξ 0 - hiperon

Partikel sigma netral diperoleh dari reaksi peluruhan sebagai berikut:

Ξ 0 → Λπ 0

(2.22)

Seperti halnya partikel ksi negatif, partikel ksi netral juga menghasilkan pion netral dan Λ - hiperon. Partikel ksi netral diperoleh dari produksi melalui reaksi berikut: K − p → Ξ0K 0

(2.23)

Massa partikel ksi netral yang diperoleh dari hasil eksperimen yakni (1314,9 ± 0,6) MeV/c2 dan waktu peluruhannya adalah (2,9 ± 0,1) x 10-10 detik


2.2.9 Ω − -hiperon

Partikel ini diprediksi kehadirannya oleh Gell-Mann berdasarkan kesimetrian grup Lie SU(3) pada partikel barion, massa yang diprediksi oleh Gell-Mann yaitu 1673 MeV/c2. Model peluruhan berdasarkan eksperimen yaitu dihasilkan reaksi seperti berikut ini:

Ω − → Ξ −π 0 → Ξ 0π − → ΛK

(2.24)

−

Partikel omega negatif ini merupakan hasil dari reaksi berikut: K − p → Ω− K + K 0

(2.25)

Dari hasil eksperimen massa yang diperoleh tidak terlalu jauh meleset dari yang diperkirakan oleh Gell-Mann yaitu (1672,45 ± 0,32) MeV/c2, sedangkan waktu peluruhannya adalah (0,819 ± 0,027) x 10-10 detik.

2.3 Tipe Interaksi

Dalam ilmu fisika dikenal empat macam interaksi yaitu: interaksi kuat, interaksi lemah dan interaksi elektromagnetik serta interaksi gravitasi.

Gaya tarik menarik antara dua massa dikenal dengan interaksi gravitasi, sedangkan gaya yang dipengaruhi oleh suatu muatan listrik dalam medan elektromagnetik dikenal sebagai interaksi elektromagnetik. Interaksi lemah terjadi pada peluruhan yang dialami oleh peluruhan beta, sedangkan gaya yang mengikat nukleon dan proton dalam inti disebut gaya inti yang menyebabkan terjadinya peluruhan alpa, interaksi ini dikenal juga dengan interaksi kuat.


Dalam fisika partikel interaksi gravitasi dapat diabaikan hal ini karena interaksi ini tidak memiliki efek yang cukup berpengaruh yang disebabkan karena konstanta kopling interaksi gravitasi 4,6 x 10-40, sehingga sangat kecil apabila dibandingkan dengan konstanta sturuktur halus ( α ) yang tak berdimensi, harga α diberikan sebagai berikut:

α=

e2 1 = 4πc 137,0360

(2.26)

Konstanta struktur halus dihasilkan pada interaksi kuat antara foton dan partikel bermuatan.

Interaksi elektromagnetik bekerja pada partikel bermuatan, interaksi ini akan menghasilkan gaya tarik-menarik dan tolak-menolak. Proses dasar interaksi elektromagnetik diberikan sebagai berikut: e − → e − γ , terjadi pada saat elektron datang pada titik puncak akan memancarkan suatu foton. Amplitudo pada proses

α , dengan α adalah

interaksi sebanding dengan muatan elektron, tepatnya

konstanta struktur halus. Muatan listrik pada pada proses interaksi elektromagnetik, yaitu kuat medan memainkan peranan pada interaksi kuat.

Pada interaksi lemah mempunyai peranan pada peluruhan partikel misalnya pada peluruhan beta, peluruhan muon dan peluruhan pion. Proses dasar interasi lemah yaitu: n → p + e − υ − yang mempunyai jarak 10-18 meter.

Pada interaksi kuat mempunyai peranan pada interaksi antar inti atom. Gaunge boson pada interaksi kuat disebut gluon, sama seperti kuark yang membawa warna muatan, gluon dapat berinteraksi diantara kuark. Kopling dasar dari interaksi kuat adalah muatan elektron dan gluon, konstanta koplingnya yaitu

αs ,

Dengan

αs =

gs ≈1 4π

(2.27)


Konstanta kopling kuat sekitar 100 kali dari konstanta struktur halus. Interaksi kuat terjadi diatas 10-15 meter.

Jika terjadi interaksi maka akan ada didapati partikel perantara. Berikut ini adalah tabel perbandingan keempat interaksi tersebut.

Tabel 2.2 Perbandingan Empat Tipe interaksi

Partikel

Tipe interaksi

Sumber

G

Gravitasi

Massa

γ

Elektromagnetik

perantara

G

Kuat

W±

Lemah

Z0

Lemah

Muatan listrik Muatan warna Muatan lemah Muatan lemah

Massa

Muatan

Jarak (m)

0

0

∝

0

0

∝

0

0

10-15

80,41

±1

10-18

91,187

0

10-18

(GeV/c2)

2.4 Teori Grup

Teori grup adalah suatu cabang dalam fisika yang mempelajari tentang simetri. Simetri adalah sifat alami yang ada dalam fisika. Sifat simetri yang dimiliki suatu sistem fisika dapat diketahui dari invariant tidaknya Lagrangian dan Hamiltonian terhadap suatu transformasi. Ketika transformasi yang digunakan membentuk suatu grup, maka akan lebih menguntungkan mempelajari sistem tersebut dengan menggunakan teori grup.


2.4.1 Definisi Grup

Suatu himpunan G dari transformasi g akan membentuk suatu grup, apabila memenuhi ketentuan sebagai berikut:

1. Terdapat relasi tertutup (closure) g1 ∈ G, g 2 ∈ G

(2.28)

g1 g 2 = g ∈ G

(2.29)

2. Terdapat relasi asosiatif, untuk semua g1 , g 2 , g 3 ∈ G ( g1 g 2 ) g 3 = g1 ( g 2 g 3 )

(2.30)

3. Memiliki elemen identitas e, yang juga anggota dari grup itu sendiri ge = eg = g

(2.31)

4. Memiliki elemen invers g-1 yang juga merupakan anggota dari grup itu sendiri gg −1 = g −1 g = e

(2.32)

Sifat komutatif bukanlah suatu keharusan dalam grup, tapi apabila ada suatu grup yang memiliki sifat komutatif dengan ab = ba (dengan a,b merupakan elemen dari grup) maka grup tersebut adalah abelian, sedangkan grup yang memenuhi persyaratan 1 sampai 4 disebut grup abstrak.

2.4.2 Grup Lie

Grup kontinu memainkan peranan penting dalam fisika, mereka memiliki elemen grup yang tak berhingga, berbeda dengan grup terbatas (finitie grup).


Grup yang memilki elemen tak hingga dibagi menjadi dua jenis : diskrit dan kontinu. Pada jenis diskrit elemen grupnya dapat dihitung. Sedangkan pada kontinu elemen grupnya tidak bisa dihitung. Untuk dapat memahami jenis kontinu, maka perlu dihubungklan dengan grup diskrit, karena aljabarnya diketahui dengan baik adalah grup diskrit. Untuk keperluan tersebut maka diperkenalkan konsep ruang abstrak (grup manifold), dimana setiap titik a berhubungan tepat dengan satu elemen grup g a . a → ga

(2.33)

Atau dapat dikatakan bahwa perkalian g c = g a g b akan mendefinisikan suatu fungsi phi dari ruang abstrak, dengan:

c = φ (a; b)

(2.34)

Dengan nilai a, b, c,... memiliki nilai diskrit

Suatu grup kontinu dimana elemen-elemen grupnya dapat dilabelkan sebagai suatu kumpulan parameter real terhingga yang secara kontinu bervariasi maka tersebut adalah grup Lie.

Ide dasar dari Shopus Lie adalah dengan menganggap suatu transformasi terhingga dapat dari suatu urutan transformasi yang tak berhingga. Karena adanya transformasi dengan tetangga terdekat, maka grup kontinu dapat dipelajari secara keseluruhan dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi infitesimal, dimana struktur dari seluruh grup dapat ditentukan dengan mempelajari struktur lokal dekat elemen identitas.

Maka dapat dituliskan x = f ( x0 ; a)

dan

x = f (x;0)

(2.35)


Jika terdapat suatu transformasi x + dx = f ( x0 ; a + da )

(2.36)

Diperkenalkan suatu parameter transformasi ∂a maka persamaan diatas dapat dituliskan

x + dx = f ( x; ∂a )

(2.37)

Kemudian dapat dituliskan persamaan

 ∂f ( x; a )  σ dx =   ∂a σ  a =0  ∂a

(2.38)

Akan diperkenalkan suatu notasi baru

 ∂f ( x; a )  uσi ( x) =   σ  a =0  ∂a

(2.39)

Maka kita dapat penulisan persamaan (2.38) dengan dx i = uσi ( x)∂a σ

(2.40)

2.4.3 Generator

Generator adalah suatu elemen yang sangat penting dari grup Lie. Misalnya terdapat suatu fungsi F dari koordinat

x i , yang memiliki transformasi infinitesimal

x i → x i + dx i akan mengubah F menjadi

dF =

∂F i ∂F dx = ∂a σ uσi = ∂a σ X σ F i ∂x ∂x i

(2.41)


Dengan X σ = uσi

∂ ∂x i

(2.42)

Parameter inilah yang disebut dengan operator infinitesimal atau generator dari transformasi grup. Generator dari grup memenuhi relasi komutasi sebagai berikut:

[X κ , X δ ] = cκδτ X τ

(2.43)

τ Dengan cκδ adalah struktur konstan dari grup.

2.4.4 Isospin

Isospin adalah sebuah aproksimasi dari grup Lie SU(2) yang berguna untuk mengidentifikasi proton dan neutron. Jika proton dan neutron digambarkan sebagai dua keadaan bebas dari partikel yang sama, hal itu lazim dalam menggambarkan dua bentuk komponen vektor, spin up dan spin down dari sebuah sistem spin ½, seperti terlihat pada keadaan dibawah ini: 0 n =   1

1 p =  , 0

(2.44)

Lebih lanjut dapat dilihat bagian yang luas dari simetri yang sangat berguna untuk menggolongkan keluarga partikel, sebagai berikut ini:

p= I =

1 1 , I3 = , 2 2

n= I =

1 1 , I3 = − 2 2

(2.45)

Dalam kerangka model kuark, gambaran fundamental dari simetri isospin cocok untuk kuark atas dan kuark bawah, seperti berikut ini:


u=

1 1 , , 2 2

d=

1 1 ,− 2 2

(2.46)

2.4.5 Grup Lie SU(2)

Bentuk yang paling sederhana dari aljabar Lie non-abelian terdiri dari tiga generator yaitu τ k , dengan k = 1,2,3 dengan hubungan komutasi sebagai berikut:

[τ 1 ,τ 2 ] = iτ 3

(2.47)

[τ 2 ,τ 3 ] = iτ 1

(2.48)

[τ 3 ,τ 1 ] = iτ 2

(2.50)

Generator SU(2) adalah ½ dari matriks Pauli σ k , sehingga berlaku hubungan :

1 2

τk = σk

(2.51)

dengan 0 1

; σ 1 =  1 0 1

0 − i  0 

σ 2 =  i

0

 σ 3 =   0 − 1

Generator – generator tersebut juga mengambil peranan dalam SU(3)

2.4.6 Grup Lie SU(3)

Dengan ditemukannya jenis kuark ketiga yang dikenal dengan kuark aneh (strange quark, s), maka untuk menjelaskan konsep yang mempergunakan tiga kuark diperlukan suatu landasan matematis yaitu Grup Lie SU(3) yang memiliki 8 generator.


Dengan mengikuti kaidah seperti pada SU(2) maka dapat diperoleh sebagai berikut:

u = I3 =

1 1 ,Y = 2 3

s = I 3 = 0, Y = −

(2.52)

2 3

(2.53)

1 1 d = I 3 = − ,Y = 2 3

(2.54)

2.4.7. Generator SU(3)

Generator SU(3) adalah sebagai berikut: 0 1 0   λ1 = u d + d u =  1 0 0 ; 0 0 0  

 0 − i 0   λ 2 = −i (u d − d u ) =  i 0 0 ;  0 0 0  

1 0 0   λ3 = uu − d d =  0 − 1 0 ; 0 0 0  

0 0 1   λ 4 = u s − su =  0 0 0 ; 1 0 0  

0 0 − i   λ5 = −i (u s − su ) =  0 0 0 ; i 0 0   

0 0 0   λ6 = d s + s d =  0 0 1 ; 0 1 0  

0 0 0    λ7 = −i (d s − s d ) =  0 0 − i ; 0 i 0   

1 0 0   1  λ8 = (u u + s s − 2d d ) = 0 1 0  3 3  0 0 − 2 1


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Recommend Documents