BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Dinamika Fluida Dinamika Fluida memberi gambaran tentang gerak fluida dalam batas ruang tertentu. Untuk dapat menjelaskan tentang gerak fluida maka gerak ini lebih dahulu harus dapat diketahui semua persamaan difrensial yang dapat diselesaikan secara analitik maupun numerik. Persamaan dasar yang dibutuhkan adalah persamaan kontinuitas dan persamaan gerak yang berkaitan dengan hukum Newton II. Fluida didefinisikan sebagai substansi yang terus-menerus berdeformasi bila ada tegangan geser yang bekerja pada fluida tersebut. Fluida tidak mampu menahan tegangan geser pada saat fluida dalam keadaan diam. Hal ini menyatakan secara tidak langsung bahwa tegangan geser akan timbul hanya apabila fluida dalam keadaan bergerak. Juga tegangan geser akan ada apabila fluida memiliki viskositas dan viskositas merupakan karakteristik
yang dimiliki oleh semua fluida nyata. Oleh
karena itu fluida ideal dapat didefenisikan sebagai fluida yang tidak memiliki viskositas dan tegangan geser, tidak akan timbul pada fluida ideal, apabila fluida ideal dalam keadaan bergerak. Beberapa fluida terutama zat cair mempunyai densitas yang hampir selalu mendekati konstan pada rentang tekanan dan temperatur yang lebar. Fluida-fluida yang menunjukkan kualitas seperti ini biasanya diperlukan sebagai zat yang inkompresibel (tak termampatkan). Gaya-gaya yang bekerja pada suatu fluida dibagi menjadi 2 kelompok umum: 1.
Gaya-gaya benda ( body forces) Gaya-gaya benda adalah gaya-gaya yang bekerja tanpa kontak fisik, misalnya, gravitasi dan gaya elektrostatik.
2.
Gaya-gaya permukaan (surface forces)
Universitas Sumatera Utara
Tekanan dan gaya-gaya gesekan membutuhkan
kontak fisik agar dapat
melakukan transmisi. Karena membutuhkan permukaan agar dapat bekerja gaya-gaya tersebut dinamakan gaya-gaya permukaan.
2.2 Persamaan-Persamaan Diferensial Aliran Fluida Persamaan dasar aliran yang telah dinyatakan didalam bentuk matematis untuk suatu volume kontrol sembarang, juga dapat dinyatakan di dalam bentuk matematis untuk jenis volume kontrol yang istimewa, elemen difrensial. Persamaan-persamaan difrensial aliran fluida ini menyediakan cara untuk menentukan variasi titik-per-titik properti fluida. Viskositas ( kekentalan) fluida besarnya dapat ditentukan melalui pengukurun terhadap tingkat hambatan yang ditimbulkan pada aliran fluida yang bersangkutan. Viskositas merupakan properti dari semua fluida nyata dan viskositas inilah yang membedakan fluida nyata dengan fluida ideal (fluida tak berviskositas). Hambatan geser terukur sebagai gaya geser total. Satuan tegangan geser adalah gaya geser persatu-satuan luas. Viskositas dinamik µ ditunjukkan sebagai perbandingan antara tegangan geser dan gradien kecepatan. Oleh karena itu dimensinya adalah gaya dikalikan dengan waktu persatuan luas atau massa persatuan panjang dan waktu. Dalam sistem SI tentang satuan, tegangan geser diberi satuan N/m2 dan gradient kecepatan dengan satuan (m/dt)/m. oleh karena itu satuan dari viskositas dinamik adalah sebagai berikut: N / m2 kg.dt.m / dt 2 kg μ= = = 2 (m / dt ) / m m m.dt
Viskositas kinematik (v) didefinisikan sebagai perbandingan antara viskositas dinamik dan rapat massa:
Universitas Sumatera Utara
v=
μ ρ
(2.1)
2.2.1 Persamaan Navier-Stokes
Persamaan Navier Stokes adalah bentuk diferensial dari hukum kedua newton tentang gerakan. Persamaan gerak yang paling lengkap untuk elemen fluida berviskositas dalam medan gravitasi adalah persamaan Navier Stokes. Ditinjau elemen fluida dengan volume ΔxΔyΔz , seperrti gambar dibawah ini.
τ zy + (
∂τ zy ∂y
)Δy
τ zz + (
∂τ zz )Δz ∂z
τ zx + (
∂τ zx ) Δx ∂x
τxx τ yz
τ yx + (
Δz
τ xz
τ yy
τ xy + (
∂τ xy ∂y
τ xx + (
τ xy
τ yx
)Δy
τ yy + (
Δy
Δx
∂τ xx )Δx ∂x τ xz + (
∂τ yx
τ zy
τ zx τ zz
τ yz + (
∂τ yz ∂z
∂x
)Δx
∂τ yy ∂y
)Δy
)Δz
∂τ xz ) Δz ∂z
Gambar 2.1 Tegangan normal dan tegangan geser pada elemen fluida berviskositas. Tegangan permukaan pada elemen fluida adalah tegangan normal ( σ ) dan tegangan geser ( τ ). Subskrib tegangan geser ( τ ) memberikan gambaran bahwa untuk
Universitas Sumatera Utara
subskrib pertama menunjukkan bidang tempat bekerjanya tegangan geser dan subskrib kedua menunjukkan sumbu yang sesuai dengan arah kerja tegangan geser (notasi tensor). Keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat tegangan normal dan tegangan geser dalam arah x , arah y dan arah z adalah:
⎤ ⎡ ∂τ xy ⎞ ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂τ ∂τ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Fx = −⎢τ XX ΔyΔz − ⎜τ xx + xx Δx⎟ΔyΔz⎥ − ⎢τ xyΔxΔz − ⎜⎜τ xy + Δy⎟⎟ΔxΔz⎥ − ⎢τ xzΔxΔy − ⎜τ xz + xz Δz ⎟ΔxΔy⎥ ∂x ⎠ ∂y ⎠ ∂z ⎠ ⎝ ⎝ ⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎦ ⎝ ⎦⎥ ⎣ ⎤ ⎡ ∂τ xy ⎞ ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂τ ∂τ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Fy = −⎢τ xxΔyΔz − ⎜τ xx + xx Δx⎟ΔyΔz⎥ − ⎢τ xyΔxΔz − ⎜⎜τ xy + Δy⎟⎟ΔxΔz⎥ − ⎢τ xzΔxΔy −⎜τ xz + xz Δz ⎟ΔxΔy⎥ ∂x ⎠ ∂z ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ⎝ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎝ ⎦ ⎣
⎤ ⎡ ∂τxy ⎞ ⎛ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ∂τ ∂τ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Fz = −⎢τxxΔyΔz −⎜τxx + xx Δx⎟ΔyΔz⎥ −⎢τxyΔxΔz −⎜⎜τxy + Δy⎟⎟ΔxΔz⎥ −⎢τxzΔxΔy −⎜τxz + xz Δz⎟ΔxΔy⎥ − ρgΔxΔyΔz ∂x ⎠ ∂y ⎠ ∂z ⎠ ⎝ ⎝ ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎦ ⎝ ……...(2.2)
Persamaan diatas merupakan tegangan geser pada elemen fluida untuk aliran laminar satu dimensi. Dan untuk aliran 3 dimensi ( Hukum Viskositas Stokes): ⎛ ∂v
∂v ⎞
⎛ ∂v
∂v ⎞
τ xy = μ ⎜⎜ x + y ⎟⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y
(2.4a)
τ yz = μ ⎜⎜ y + z ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂z
(2.4b)
⎛ ∂v x ∂v z ⎞ + ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂z
(2.4c)
τ xz = μ ⎜
Universitas Sumatera Utara
τ yx = τ xy Dengan: τ zy = τ yz
τ xz = τ zx Menurut Stokes, tegangan normal yang bekerja pada elemen untuk fluida Newtonian ( Newtonian Fluid) adalah:
σ x = τ xx = − p + 2 μ
σ y = τ yy = − p + 2 μ
σ z = τ zz = − p + 2μ
∂v x 2 ⎛ ∂v x ∂v y ∂v z + + μ⎜ + ∂y ∂z ∂x 3 ⎜⎝ ∂x
⎞ ⎟⎟ ⎠
(2.5a)
2 ⎛ ∂v x ∂v y ∂v z ⎞ ⎟ + + μ⎜ ∂y ∂z ⎟⎠ 3 ⎜⎝ ∂x
(2.5b)
∂v z 2 ⎛ ∂v x ∂v y ∂v z ⎞ ⎟ + + μ⎜ + ∂y ∂z ⎟⎠ ∂z 3 ⎜⎝ ∂x
(2.5c)
∂v y ∂y
+
Dari persamaan (2.5a), (2.5b), (2.5c) untuk fluida yang berviskositas nilai ratarata dari jumlah ketiga tegangan normal tersebut disebut tekanan. Apabila vektor gaya F = m.a dan massa m = ρΔxΔyΔz serta koefisien viskositas kinematik v =
μ , dimasukkan ke persamaan dibawah ini: ρ
F= ( − ∇p + μ∇ 2 v − ρg kˆ ) ΔxΔyΔz
(2.6)
Percepatan aliran fluida berubaah-ubah dalam ruang dan waktu. Hal ini dapat digambarkan dengan persamaan berikut.
ν = f(r,t) =
dx dt
(2.7)
Dengan ν = ν x iˆ + ν y ˆj + ν z kˆ
Universitas Sumatera Utara
ν = Vektor kecepatan fluida dengan komponen ν x , ν y , ν z . r = x iˆ + y ˆj + z kˆ
r = Vektor posisi dengan komponen x, y, z. Vektor kecepatan ν dengan komponennya dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom berikut ini.
⎧v x ⎫ ⎪ ⎪ ν = ⎨v y ⎬ ⎪ ⎪ ⎩v z ⎭
(2.8)
Apabila ν x ,ν y dan ν z merupakan fungsi dari x, y, z, t maka fungsi komponen kecepatan ini dapat ditulis dalam bentuk:
ν x = ν x (x, y, z, t)
(2.9a)
ν y = ν y (x, y, z, t)
(2.9b)
ν z = ν z (x, y, z, t)
(2.9c)
Difrensial total dari persamaan (2.9a), (2.9b), (2.9c) adalah:
dν x =
dν y =
dν z =
∂v x ∂v ∂v ∂v dx + x dy + x dz + x dt ∂x ∂y ∂z ∂t ∂v y
dx +
∂v y
dy +
∂v y
dz +
∂v y
(2.10a)
dt
(2.10b)
∂v z ∂v ∂v ∂v dx + z dy + z dz + z dt ∂x ∂y ∂z ∂t
(2.10c)
∂x
∂y
∂z
∂t
Jika persamaan (2.10a), (2.10b), (2.10c) dibagi dengan dt maka akan diperoleh persamaan berikut:
Universitas Sumatera Utara
ax =
∂v x dx ∂v x dy ∂v x dz ∂v x + + + ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
(2.11a)
ay =
∂v y dx ∂v y dy ∂v y dz ∂v y + + + ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
(2.11b)
∂v z dx ∂v z dy ∂v z dz ∂v z + + + ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
(2.11c)
az =
persamaan (2.11a), (2.11b), (2.11c) tidak lain adalah percepatan
a x , ay , dan az
dalam arah x, arah y dan arah z. Oleh karena itu vektor percepatan dapat ditulis menjadi: ⎧a x ⎫ ⎪ ⎪ a = ⎨a y ⎬ ⎪ ⎪ ⎩a z ⎭
Dengan: a x =
dv x dt
ay=
dv y
aZ =
dv z dt
(2.12)
(2.13a) (2.13b)
dt
(2.13c)
Maka pada persamaan (2.11a), (2.11b) dan (2.11c) dapat ditulis kembali:
ax = vx
a y = vx
az = vx
∂v x ∂v ∂v ∂v + v y x + vz x + x ∂x ∂y ∂z ∂t ∂v y ∂x
+ vy
∂v y ∂y
+ vz
∂v y ∂z
+
∂v y ∂t
∂v z ∂v ∂v ∂v + v y z + vz z + z ∂x ∂y ∂z ∂t
(2.14a)
(2.14b)
(2.14c)
Universitas Sumatera Utara
Persamaan percepatan (2.14a), (2.14b), (2.14c) dikenal dengan sebutan percepatan total dengan:
νx =
dx dt
(2.15a)
νy =
dy dt
(2.15b)
νz =
dz dt
(2.15c)
Dari persamaan (2.14a), (2.14b), (2.14c), pada ruas kanan,suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga berkaitan dengan gerak partikel fluida dan disebut dengan percepatan konvektif, sedang suku keempat berkaitan dengan perubahan salah satu sifat fluida dalam hubungannya dengan waktu dan disebut dengan percepatan lokal, (Makrub,lalu,2001).
2.2.1.1 Penyelesaian Persamaan Navier Stokes.
Secara umum penyelesain untuk suatu masalah yang berkaitan dengan persamaan Navier Stokes dapat dilakukan dengan tiga cara: 1. Ujikasi. 2. Analitik atau Teori.
Penyelesaian yang dipakai didalam skripsi ini adalah dengan cara Analitik atau Teori, dengan cara tersebut maka akan diperoleh persamaan kekekalan momentum yang dikenal dengan persamaan Navier Stokes . Banyak persoalan tidak
Universitas Sumatera Utara
dapat diselesaikan karena kerumitan dalam mencari penyelesaian yang tepat. Bagi masalah yang sederhana, penyelesaian secara Analitik dapat dilakukan. Indeks tegangan geser pertama adalah dalam arah tegak-lurus terhadap permukaan tempat komponen tegangan itu bekerja. Indeks kedua adalah dalam arah komponen tegangan yang bersangkutan. Jika sistem koordinat tegak lurus arah x, arah y dan arah z dapat berorientasi (berarah) sembarang. Maka persamaan Navier Stokes dibatasi untuk fluida tak termampatkan, maka menjadi:
(
)
(2.16a)
(
)
(2.16b)
(
)
(2.16c)
ax =
1 ∂ p − gkˆ + v∇ 2 v x ρ ∂x
ay =
1 ∂ p − gkˆ + v∇ 2 v y ρ ∂y
az =
1 ∂ p − gkˆ + v∇ 2 v z ρ ∂z
Dengan ax, ay, dan az adalah percepatan pada arah x, arah y dan arah z. Dan operator peubah-peubah turunan tertentu yang menentukan ciri atau sifat mekanika fluida adalah kekentalan, yang mengaitkan tegangan lokal dalam fluida yang bergerak dengan laju regangan dari unsur fluida tersebut. Bila fluida mengalami geseran, maka fluida mulai bergerak dengan laju regangan yang berbanding terbalik dengan suatu besaran yang disebut koefisien kekentalan (µ), (Victor L.Steeter dan Benjamin wylie, 1992). Persamaan momentum untuk massa, dm, dapat dicari dengan hukum kedua Newton dimana: dF = dm
dv ⎞ ⎟ dt ⎠ sistem
(2.17)
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan
∂v ∂v ∂v ∂v dv dv ⎞ = = vx x + v y x + vz x + x ⎟ ∂x ∂y ∂z dt ⎠ sistem dt ∂t
(2.18)
Jadi ∂v ⎡ ∂v ∂v ⎤ dF = dm ⎢v x x + v y y + v z z ⎥ ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x
(2.19)
Dalam arah x, arah y dan arah z: ⎛ ∂v ∂v ∂v ∂v ⎞ dFx =dm ⎜⎜ v x x + v y x + v z x + z ⎟⎟ ∂y ∂z ∂t ⎠ ⎝ ∂x
(2.20a)
∂v ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v dFy = dm ⎜⎜ v x y + v y y + v z y + y ⎟⎟ ∂y ∂z ∂t ⎠ ⎝ ∂x
(2.20b)
⎛ ∂v ∂v ∂v ∂v dFz = dm ⎜⎜ v x z + v y z + v z z + z ∂y ∂z ∂t ⎝ ∂x
(2.20c)
⎞ ⎟⎟ ⎠
Untuk aliran tak termampatkan dengan viskositas konstan, persamaan ini dapat disederhanakan ke bentuk: ⎛ ∂ 2v ∂v x ∂ 2v ∂ 2v ⎞ ∂p = ρg x − + μ ⎜⎜ 2x + 2x + 2x ⎟⎟ dt ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
(2.23a)
⎛ ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y ⎞ ∂p = ρg y − + μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ρ ⎜ ∂x ∂y ∂y ∂z ⎟⎠ dt ⎝
(2.23b)
⎛ ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz dv z ∂p ρ = ρg z − + μ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 dt ∂y ∂z ∂y ⎝ ∂x
(2.23c)
ρ
dv y
⎞ ⎟⎟ ⎠
Maka untuk aliran fluida tak termampatkan,
ρ
dv x ∂p = ρg x − dt ∂x
(2.24a)
Universitas Sumatera Utara
ρ
dv y
∂p ∂y
(2.24b)
ρ
dv z ∂p = ρg z − dt ∂z
(2.24c)
dt
= ρg y −
(Nawi, M.W.H, 2001)
2.2.2 Persamaan Kontinuitas
Gerak fluida didalam suatu tabung aliran haruslah sejajar dengan dingding tabung, meskipun besar kecepatan fluida dapat berbeda dari titik ke-titik lain didalam tabung. Dalam selang waktu sebesar Δt suatu elemen fluida Δm yang melalui luas A1 adalah: Δm1 = ρ1 A1v1 Δt
(2.26)
(Sutrisno,1977)
Gambar 2.2 Fluida mengalir pada suatu bagian pipa dengan aliran tunak.
Universitas Sumatera Utara
Keterangan: Fluida mengalir pada suatu bagian pipa dengan aliran tunak. A1 dan A2 adalah luas penampang pipa 1 dan 2. v1 dan v2 adalah kecepatan partikel-partikel pada pipa 1 dan pipa 2.
ρ1 dan ρ 2 adalah massa jenis fluida pada 1 dan 2 Dalam selang waktu Δt suatu elemen fluida Δm yang melalui luas A1 adalah: Δm1 = ρ1 A1v1 Δt
(2.27)
Dalam selang waktu Δt , fluida pada pipa 1 bergerak ke kanan menempuh jarak: x1 = v1.Δt Volum v1 = A1 . x1
(2.28) (2.29)
Massa fluida yang masuk: m1 = ρ1 .v1
(2.30)
m1 = ρ1 A1 ( v1 . Δt)
(2.31)
Fluida pada pipa 2 bergerak ke kanan menempuh jarak: x2 = v2 .Δt
(2.32)
Volum v2 = A2 . x2 Massa fluida yang keluar pada pipa 2: m2 = ρ 2 A2 ( v2 . Δt)
(2.33)
Universitas Sumatera Utara
Massa fluida yang masuk pada pipa satu sama dengan massa fluida yang keluar pada pipa 2. m1 = m2
(2.34)
ρ1 A1 ( v1 . Δt) = ρ 2 A2 ( v2 . Δt)
(2.35)
Persamaan kontinuitas menyatakan bahwa hasil kali antara luas penampang A dan kelajuan v pada titik sebarang selalu konstan. Secara matematis dapat ditulis:
A1 v1 = A2 v2 = konstan
(2.36)
v1 A2 = v 2 A1
(2.37)
Perbedaan tekanan antara dua titik mana pun pada ketinggian yang berbeda dalam suatu cairan diberikan : p2 – p1 = ρ g ( h2 – h1) Dengan
(2.38)
ρ g = satuan berat cairan ( N/m3)
h2 – h2 = perbedaan ketinggian (m) p2 – p1 = perbedaan tekanan (Pascal) Jika titik 1 berada dipermukaan bebas cairan dan h positif kearah bawah, persamaan diatas menjadi: p= ρgh.
(2.39)
Universitas Sumatera Utara
Besaran yang menyatakan volume fluida yang mengalir persatuan waktu dinamakan debit (Q).
Q=
v t
(2.40)
Karena (v) = luas penampang (A) x panjang lintasan ( l), maka: Q = A.v
(2.41)
Dengan: Q = debit A = luas penampang v = kecepatan fluida yang mengalir.
(Ronald, H.S dan Desi,A, 2005)
2.2.2.1 Bentuk Diferensial Persamaan Kontinuitas
Persamaan kontitinuitas adalah salah satu persamaan dasar mekanika fluida. Persamaan kontinuitas dapat dituliskan: ∂ρ ∂ (ρv x ) ∂ (ρv y ) ∂ (ρv z ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
(2.42)
Persamaan diatas berlaku untuk aliran tunak maupun taktunak, dan fluida termampatkan ataupun tak termampatkan. Aliran fluida disebut tunak jika kecepatan disetiap titik yang diberikan konstan terhadap waktu. Aliran fluida disebut tak termampatkan jika fluida yang mengalir tidak mengalami perubahan volum ataupun
massa jenis. Fluida ideal adalah fluida yang tak termamfatkan, tidak kental, dan memiliki aliran tunak.
Universitas Sumatera Utara
Dalam notasi vektor persamaan (2.42) dapat ditulis sebagai berikut: ∂ρ + ∇ • ρν = 0 ∂t
(2.43)
Ada dua hal yang harus diperhatikan. Untuk aliran tunak dari fluida mampu-mampat: ∇ • ρv = 0
(2.44)
Hal ini disebabkan karena menurut definisi ρ bukanlah fungsi dari waktu dalam aliran tunak, namun bisa merupakan fungsi posisi, untuk fluida tak termampatkan kerapatan fluidanya.
2.2.3 Persamaan Gerak
Secara umum ada dua jenis gaya yang perlu diperhatikan: Gaya-gaya permukaan yang bekerja pada permukaan elemen difrensial, dan Gaya-gaya badan, yang terdistribusi diseluruh elemen.Satu-satunya gaya badan δ F b , yang menjadi perhatian adalah massa dari elemen, yang dapat dinyatakan sebagai:
δFb = δm g
(2.45)
Di mana g adalah pernyataan vektor dari percepatan gravitasi. Dalam bentuk komponen:
δ F bx = δ m gx
(2.46a)
δ F by = δ m gy
(2.46b)
δ F bz = δ m gz
(2.46c)
Universitas Sumatera Utara
Di mana gx, gy dan gz adalah komponen-komponen dari vektor percepatan gravitasi masing-masing dalam arah x, arah y, dan arah z. Tegangan normal, σ n , didefinisikan sebagai
σ n = lim
δA→0
δFn δA
(2.47)
Dan Tegangan geser didefinisikan sebagai
τ = lim
δA→0
δF δA
(2.48)
σ untuk tegangan normal dan τ untuk tegangan geser. Dengan demikian intensitas dari gaya per satuan luas pada sebuah titik dapat disifatkan oleh sebuah tegangan normal dan tegangan geser, jika orientasi dari bidang ditentukan. Dapat dinyatakan gaya-gaya permukaan yang bekerja pada sebuah elemen kubus dari sebuah fluida dalam bentuk tegangan-tegangan yang bekerja pada permukaan-permukaan elemen. Gaya permukaan resultan dalam arah x, arah y dan arah z dapat dituliskan sebagai berikut: ∂τ yx ∂τ zx ⎛ ∂σ δFx = ⎜⎜ xx + + ∂y ∂z ⎝ ∂x
⎞ ⎟⎟δ xδ yδ z ⎠
(2.49a)
∂ τ zy ∂ σ yy ⎛ ∂ τ xy δ F y = ⎜⎜ + + ∂z ∂y ⎝ ∂x
⎞ ⎟δ x δ y δ z ⎟ ⎠
(2.49b)
∂ τ yz ⎛ ∂ τ xz ∂ σ zz δ F z = ⎜⎜ + + ∂z ∂y ⎝ ∂x
⎞ ⎟⎟ δ x δ y δ z ⎠
(2.49c)
Gaya permukaan resultan dalam arah x, arah y dan arah z dapat dinyatakan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
δF = δFX î + δFy ˆj + δFz kˆ
(2.50)
(Munson, R.B, 2003). Persamaan Navier Stokes adalah bentuk difrensial dari hukum kedua Newton tentang gerakan. Alat dasar yang akan digunakan di dalam mengembangkan persamaan Navier Stokes adalah hukum kedua Newton tentang gerakan untuk suatu volume kontrol sembarang. Gaya-gaya yang bekerja pada volume kontrol adalah gaya-gaya yang disebabkan oleh tegangan normal dan tegangan geser dan gaya benda seperti ini disebabkan oleh gravitasi, (Welty, R. James, dkk, 2002)
2.2.4 Persamaan Gerak Uuntuk Fluida Viskos (Persamaan Navier Stokes)
Didalam suatu fluida yang viskos, gaya permukaan yang bekerja pada elemen fluida dengan lebih kompleks. Ada dua macam gaya permukaan. 1. Gaya normal atau tegangan normal yang serupa dengan tekanan, tetapi mungkin tidak sama besarnya dalam segala arah. 2. Gaya geser atau tegangan yang arahnya sejajar dengan permukaan, pada permukaan mana gaya tersebut bekerja. Persamaan yang paling lengkap untuk elemen fluida berviskositas dalam medan gravitasi adalah persamaan Navier Stokes. Ditinjau elemen fluida dengan volume ΔxΔyΔz .
Universitas Sumatera Utara
Telah diperoleh secara eksperimentil bahwa dengan ketelitian yang besar tegangan dalam banyak fluida berhubungan secara linier dengan turunan dari kecepatan (
∂v ∂v ∂v , , ). ∂x ∂y ∂z
Demikian pula kebanyakan fluida tidak memiliki arah yang terpilih, fluida yang demikian disebut isotropik. Tambahan pula tegangan ini tidak bergantung secara eksplisit pada koordinat kedudukan dan kecepatan dari fluida. Maka suatu bentuk yang unik mengenai hubungan antara tegangan dan gradien kecepatan dapat diturunkan. Pada saat ini hanya akan diketengahkan hasil dari analisis matematik dan kemudian akan diselidiki karakteristik serta implikasi dari persamaan yang diperoleh. Hubungan antara tegangan dan turunan (gradien) kecepatan adalah: 2 3
∂v x +p ∂x
2 3
∂v y
+p
(2.51b)
2 3
∂v z +p ∂z
(2.51c)
σ xx = (λ − μ )θ + 2μ
σ yy = (λ − μ )θ + 2 μ
σ zz = (λ − μ )θ + 2μ
Dengan θ =
∂y
(2.51a)
∂v x ∂v y ∂v z + + (dilasi) ∂y ∂z ∂x
Persamaan ini memiliki parameter µ, λ dan p. Berdasarkan pemisalan mengenai hubungan linier diantara tegangan dan gradien kecepatan, semua ketiga parameter harus tidak tergantung pada gradien kecepatan, tetap masih tergantung pada sifat fluida seperti temperatur dan massa jenis. Seperti akibat µ, λ dan p dapat juga bergantung pada waktu dan kedudukan. Sekarang akan kita perhatikan parameter ini lebih lanjut untuk memperoleh pengertian fisik yang lebih baik. Untuk membahas besaran p, kita memperhatikan fluida yang dalam keadaan diam atau bergerak secara homogen. Dengan demikian
Universitas Sumatera Utara
semua tegangan geser sama dengan nol dan ketiga tegangan normal ( tegak lurus) sama dengan p.Sehingga:
σ xx = σ yy = σ zz = p
(2.52)
Untuk aliran yang sederhana ini, p hanyalah merupakan harga negatif dari tekanan, dalam hal ini sama besarnya dalam segala arah. Disini fluida ada dalam keadaan seimbang dalam jenis yang dibicarakan dalam termodinamika dan tekanan p dapat dikenali sebagai tekanan termodinamik, (Djojodihardjo, harijono,1983). Jadi
Persamaan
Navier
Stokes
merupakan
model
matematika
untuk
medeskripsikan bagaimana fluida mengalir, untuk bisa mendeskripsikan aliran fluida. Persamaan Navier Stokes membutuhkan 2 hal informasi yaitu: 2. Kekentalan fluida, kita tahu bahwa madu dan air mempunyai kekentalan yang berbeda, dalam fisika kekentalan adalah gaya gesek internal pada fluida 3. Kondisi awal yaitu kecepatan fluida disetiap titik pada saat t=0 Untuk fluida tak berviskositas ( µ = 0) diperoleh bahwa σ x = σ y = σ z = -p. Sedang untuk fluida berviskositas nilai rata-rata untuk jumlah ketiga tegangan normal tersebut disebut tekanan. Persamaan
Navier-Stokes
memiliki
bentuk
persamaan
diferensial
yang
menerangkan pergerakan dari suatu fluida. Persaman seperti ini menggambarkan hubungan laju perubahan suatu variabel terhadap variabel lain. Sebagai contoh, persamaan Navier-Stokes untuk suatu fluida ideal dengan viskositas bernilai nol akan menghasilkan hubungan yang proporsional antara percepatan (laju perubahan kecepatan) dan derivatif dengan persamaan Navier Stokes tekanan internal. Untuk mendapatkan hasil dari suatu permasalahan fisika menggunakan persamaan Navier-Stokes, perlu digunakan ilmu kalkulus. Secara praktis, hanya kasus-kasus aliran sederhana yang dapat dipecahkan dengan cara ini. Kasus-kasus ini biasanya melibatkan aliran non-turbulen dan tunak (aliran yang tidak berubah terhadap waktu) yang memiliki nilai bilangan Reynold kecil. Bentuk umum persamaan
Universitas Sumatera Utara
Bentuk umum persamaan Navier-Stokes untuk kekekalan momentum adalah :
( )
dv 1 = ∇p + v ∇ 2 v − gkˆ dt ρ
(2.53)
dengan: •
ρ adalah densitas fluida, dv adalah derivatif substantif (dikenal juga dengan istilah derivatif dari dt
material) •
v adalah vektor kecepatan,
•
P adalah tensor yang menyatakan gaya-gaya permukaan yang bekerja pada partikel fluida.
P adalah tensor yang simetris. Secara umum, (dalam tiga dimensi). P memiliki bentuk persamaan:
⎛ τ xx ⎜ P = ⎜τ yx ⎜τ ⎝ zx
τ xy τ xz ⎞ ⎟ τ yy τ yz ⎟ τ zy τ zz ⎟⎠
(2.54)
Persamaan di atas sebenarnya merupakan sekumpulan tiga persamaan, yakni satu persamaan untuk tiap dimensi. Dengan persamaan ini saja, masih belum memadai untuk menghasilkan hasil penyelesaian masalah. Persamaan yang dapat diselesaikan diperoleh dengan menambahkan persamaan kekekalan massa dan syarat batas ke dalam persamaan di atas.
Dalam mekanika fluida, maka aliran fluida dapat dibagi menjadi 3 jenis: 1. Aliran Laminer 2. Aliran turbulen 3. Aliran Transisi
Universitas Sumatera Utara
1. Aliran laminer
Aliran laminer terjadi apabila partikel-partikel zat cair bergerak teratur dengan membentuk garis lintasan kontiniu dan tidak saling berpotongan. Aliran laminer terjadi apabila kecepatan aliran rendah, ukuran saluran sangat kecil dan zat cair mempunyai kekentalan besar. Aliran dengan fluida yang bergerak dalam lapisan-lapisan, atau lamina-lamina dengan satu lapisan meluncur secara lancar . Dalam aliran laminar ini viskositas berfungsi untuk meredam kecendrungan terjadinya gerakan relatif antara lapisan.
Gambar 2.3 Aliran Laminer
Aliran laminar berkembang penuh dalam saluran lingkaran dengan penampang konstan.
2. Aliran turbulen
Aliran turbulen terjadi apabila pergerakan dari partikel- partikel fluida sangat tidak menentu karena mengalami percampuran serta putaran partikel antar lapisan, yang mengakibatkan saling tukar momentum dari satu bagian fluida kebagian fluida yang lain dalam skala yang besar. Dalam keadaan aliran turbulen maka turbulensi yang terjadi membangkitkan tegangan geser yang merata diseluruh fluida sehingga menghasilkan kerugian-kerugian aliran.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.4 Aliran Turbulen
Aliran Turbulen tidak lepas dari hukum dasar yang berlaku yaitu:
• Kekekalan massa • Kekekalam momentum disebut juga ( Hukum kedua dari Newton) • Kekekalan energi ( Hukum pertama dari termodinamik).
4. Aliran transisi
Aliran transisi merupakan aliran peralihan dari aliran laminar ke aliran turbulen, (Kodoatie,R,J. 2002).
Bilangan Reynolds
Bilangan Reynolds merupakan bilangan tak berdimensi yang dapat membedakan suatu aliran itu dinamakan laminar, transisi atau turbulen.
Re =
vDρ
μ
(2.55)
Dengan : v kecepatan (rata-rata) fluida yang mengalir (m/s) D adalah diameter dalam pipa (m)
ρ adalah masa jenis fluida (kg/m3) μ adalah viskositas dinamik fluida (kg/m.s) atau (N. det/ m2)
Universitas Sumatera Utara
Klasifikasi aliran berdasarkan bilangan Reynolds dapat dibedakan menjadi tiga kategori sebagai berikut:
• Re < 2300
Aliran Laminer
• 2300 < Re < 4000
Aliran Transisi
• Re > 4000
Aliran Turbulen
Umumnya aliran pada saluran terbuka mempunyai Re > 4000 sehingga aliran tersebut termasuk dalam kategori aliran turbulen. Berdasarkan bilangan Reynolds, aliran fluida dapat dibedakan menjadi dua yaitu aliran turbulen dan laminar, (Kodoatie,R,J 2002).
2.3 Tekanan Fluida
Tekanan fluida dipancarkan dengan kekuatan yang sama ke semua arah dan bekerja tegak lurus pada suatu bidang. Dalam bidang datar yang sama kekuatan tekanan dalam suatu cairan sama. Pengukuran pengukuran satuan tekanan dikakukan dengan menggunakan dengan berbagai bentuk meteran. Kecuali ditetapkan lain, tekanan meteran atau tekanan relatif yang akan dipergunakan.Tekanan meteran menyatakan harga-harga diatas atau dibawah tekanan atmosfir. p=
F A
(2.56)
Dengan: p = Tekanan (N/m2 atau pascal) F = Gaya (N) Untuk suatu keadaan dengan
gaya F terdistribusi merata diatas suatu
permukaan akan diperoleh rumus sebagai berikut: p (pascal) =
F F dan p (bar) = x 10-5 A A
(2.57)
Universitas Sumatera Utara
