Bab II Tinjauan Pustaka Misalkan X vektor acak berdimensi p dengan X k sebagai komponen ke-k dan matriks kovariansi Σ = (σ ij ) . Koefisien korelasi antara dua komponen X i dan X j adalah
ρij =
σ ij σ iiσ jj
=
Cov ( X i , X j )
Var ( X i ) Var ( X j )
,
Nilai ρij memenuhi ρij ≤ 1 dan ρij = ±1 jika dan hanya jika X i dan X j memiliki hubungan linear dengan probabilitas 1. Jadi ρij secara umum menunjukkan ukuran ketergantungan linear antara X i dan X j . Matriks korelasi X adalah P = ( ρij ) .
Misalkan X 1 , X 2 , … , X N sampel acak berukuran N dari X dan A = nS =
∑( X − X )( X − X ) , dengan ′
N
i =1
i
i
n = N − 1 dan S adalah matriks kovariansi sampel.
Koefisien korelasi sampel antara X i dan X j adalah
rij =
aij aii a jj
=
sij sii s jj
Matriks korelasi sampelnya adalah R = ( rij ) . Muirhead (1982) menggaris bawahi bahwa, jika sampel acak tersebut diambil dari distribusi normal multivariat dengan semua parameter-parameternya tidak diketahui, maka rij merupakan penaksir maksimum likelihood dari ρij . Dengan demikian, R adalah penaksir maksimum likelihood bagi P.
6
II.1 Pengujian Kesamaan Dua Matriks Korelasi
Dalam berbagai literatur dilaporkan bahwa pengujian matriks korelasi sama dengan matriks tertentu telah dapat ditemui sejak tahun 1930 an. Hal ini dapat dilihat dalam Bartlett dan Rajalakshman (1953), Bartlett (1954), Lawley (1963), Gleser (1968) dan Aitkins (1969) serta berbagai pustaka di dalamnya.
Misalkan X k 1 , X k 2 , … , X knk sampel acak ke-k berukuran nk dari X , k = 1, 2. Kedua sampel diketahui saling bebas dan berasal dari distribusi normal p-variat. Berdasarkan kedua sampel tersebut, pengujian hipotesis kesamaan dua matriks korelasi dapat dinyatakan oleh H 0 : P1 = P2 lawan H1 : P1 ≠ P2 . Pada tahun 1940 an, Box (1949) tidak hanya mengembangkan alat penguji untuk hipotesis ini saja. Dia bahkan langsung mengembangkannya untuk kesamaan beberapa matriks korelasi yakni untuk k = 1, 2, ..... , m berdasarkan m buah sampel acak. Oleh karena itu, statistik M-Box, begitulah nama statistik ini dikenal, akan dibahas pada Bagian II.2.
Pada tahun 1970, berdasarkan gagasan Kullback, Jennrich (1970) melaporkan hasil penelitiannya tentang pengujian H 0 : P1 = P2 lawan H1 : P1 ≠ P2 di atas. Apabila Kullback (1967) membatasi diri untuk p = 2, maka Jennrich (1970) mengembangkan H 0 : P1 = P2 lawan H1 : P1 ≠ P2 statistik penguji untuk p yang lebih umum. Statistik Jennrich yang akan menjadi bahan diskusi lebih lanjut dalam disertasi ini adalah sebagai berikut.
J=
( )
1 Tr Z 2 − ∆ t H −1∆ 2
dengan, a. Z = cR t ( R1 − R2 ) ; b. ∆ adalah vektor kolom di mana elemen-elemennya sama dengan elemen-elemen diagonal dari Z; c. H = δ ij + rij r ij , i, j = 1, 2, ....., p;
7
d. R = ( rij ) = e. c =
n1 n2 n1 + n2
n1 R1 + n2 R2 n1 + n2
;
.
d Jika H 0 benar, Jennrich (1970) menunjukkan bahwa J ⎯⎯ → χ df2 dengan derajat
kebebasan df =
p ( p − 1) . Hipotesis H 0 ditolak pada tingkat keberartian α apabila 2
J > χα2 ;df , dengan χα2 ;df adalah kuantil ke- ( 1 − α ) dari χ df2 .
II.2 Pengujian Kestabilan Barisan Matriks Korelasi
Misalkan X k 1 , X k 2 , … , X knk sampel acak ke-k berukuran nk dari X , k = 1, 2, ... , m, di mana sampel yang satu dengan yang lain saling bebas dan berasal dari distribusi normal p-variat. Berdasarkan m buah sampel ini hendak diuji hipotesis H 0 : P1 = P2 = ….. = Pm lawan H1 : Pi ≠ Pj untuk suatu pasangan i dan j.
Masalah kestabilan barisan m buah matriks korelasi ini merupakan masalah yang amat sangat penting. Aplikasinya dapat dijumpai dalam berbagai bidang mulai dari bisnis tanah milik Eichholtz (1995) dan Cook dkk (2002), bisnis perumahan (real estate) Lee (1998), bisnis asset Fischer (2007), manajemen risiko Annaert
dkk (2003) dan Ragea (2003), pasar ekuitas Meric dan Meric (1997), pasar saham Tang (1998), Gande dan Parsley (2002) dan Da Costa dkk (2005), pasar global Goetzmann dkk (2005) hingga bisnis finansial dan ekonomi secara umum Olivares (2000) dan Ragea (2003) dan komputasi paralel Chilson dkk (2006). Sebagian hasil penelitian ini telah kami aplikasikan pada data proses pembuatan komponen sayap pesawat terbang PT DI. Dari aplikasi ini telah dihasilkan satu artikel, Djauhari dan Herdiani (2008), yang akan terbit di jurnal international.
Dari segi teori, pengujian kestabilan barisan matriks korelasi tersebut pada umumnya didasarkan kepada pendekatan Likelihood Ratio Test (LRT) dengan menggunakan statistik M-Box seperti dikemukakan dalam Meric dan Meric (1997), Tang (1998), Lee (1998), Annaert dkk. (2002), dan Da Costa dkk. (2005)
8
atau statistik Jennrich seperti dalam Eichholtz (1995), Olivares (2000), Annaert
dkk. (2003), Gande dan Parsley (2003) dan Fischer (2007).
II.2.1 Statistik M-Box Untuk menguji hipotesis H 0 : P1 = P2 = ….. = Pm lawan H1 : Pi ≠ Pj untuk suatu pasangan i dan j. Box (1949) memperkenalkan statistik penguji berikut, m
M = nln Rtotal − ∑ ni ln Ri i=1
m
∑n R ,
1 N
dengan Rtotal =
ni
i i
dan Ri adalah ukuran sampel dan matriks korelasi
i =1
dari sampel ke-i dan i = 1, 2, ..., m. Jika H 0 benar, Box (1949) menunjukkan bahwa
M d ⎯⎯ → b a. b =
(
b. f1 = c. f 2 =
F f1 , f 2 f1
1 − D1 −
f1 f2
, dengan
)
;
p ( p + 1)( m − 1) ; 2
( f1 + 2 )
(D
2
− D12 )
;
d. D1 =
2 p2 + 3 p − 1 ⎡ m 1 1 ⎤ ⎢∑ − ⎥ ; 6 ( p + 1)( m − 1) ⎣ i =1 ni n ⎦
e. D2 =
( p − 1)( p + 2 ) ⎡ m 1 − 1 ⎤ . ⎢∑ ⎥ 6 ( m − 1) ⎣ i =1 ni2 n 2 ⎦
Selanjutnya, hipotesis H 0 ditolak pada tingkat keberartian α apabila
Fα ; f1 , f2 dengan Fα ; f1 , f2 adalah kuantil ke- ( 1 − α ) dari distribusi Ff1 , f2 .
9
M > b
II.2.2 Statistik Jennrich
Statistik Jennrich untuk p yang lebih umum adalah, m
J=
1 ∑ ⎩⎧⎨ 2 Tr ( Z ) − ∆ H 2 i
t i
−1
i=1
⎫ ⎭
∆i ⎬
dengan, −1 a. Zi = ni Rtotal ( Ri − Rtotal ) ;
b. ∆i adalah vektor kolom di mana elemen-elemennya sama dengan elemen-elemen diagonal dari Zi ; −1 Rtotal
c. H = I + Rtotal
dengan
menyatakan perkalian Hadamard antara
dua buah matriks, yang dapat dilihat dalam Schott (1997). d Jika H 0 benar, Jennrich (1970) menunjukkan bahwa J ⎯⎯ → χ df2 dengan derajat
kebebasan df =
( m − 1) p ( p − 1) . Hipotesis 2
H 0 ditolak pada tingkat keberartian α
apabila J > χα2 ;df , dengan χα2 ;df adalah kuantil ke- ( 1 − α ) dari χ df2 .
Apabila diperhatikan kedua statistik di atas, tampak dengan jelas bahwa statistik M-Box melibatkan perhitungan determinan matriks korelasi. Sedangkan statistik Jennrich menuntut perhitungan invers matriks. Oleh karena itu, tingkat kompleksitas komputasi kedua statistik tersebut akan semakin tinggi manakala variabel-variabel yang terlibat semakin banyak.
Sebenarnya, pengujian kesamaan beberapa matriks korelasi telah lama berkembang.
Hotteling
(1940)
mengusulkan
tentang
pengujian
dengan
menggunakan statistik t bersyarat untuk kesamaan dua korelasi dalam tiga variabel berdistribusi normal. Awal tahun 1960 an, Lawley (1963) dan Anderson (1963) memperkenalkan pengujian untuk kesamaan semua korelasi dalam suatu distribusi normal multivariat. Selanjutnya, Aitkin dkk. (1968) mengusulkan pengujian berdasarkan Likelihood Ratio Test (LRT) dan Jennrich (1970)
10
mengusulkan statistik yang merupakan bentuk perumuman dari statistik Kullback (1967). Penggunaan statistik M-Box dalam pengujian kesamaan dari matriks korelasi diperkenalkan oleh Tang (1998). Sejak saat itu, para peneliti lainnya seperti Lee dkk. (1998), Cook dkk. (2002), Ragea (2002) dan Goetzmann dkk. (2005) mengikuti jejak Tang (1998) menggunakan statistik M-Box tersebut untuk pengujian kesamaan matriks korelasi.
II.3. Masalah yang Hendak Diteliti
Penelitian tentang pengujian kestabilan matriks korelasi terus berkembang. Tahun 2007 yang lalu, Schott (2007) melaporkan hasil penelitiannya tentang pengembangan pengujian tersebut apabila matriks-matriks korelasi tidak saling bebas. Statistik penguji yang dikembangkan Schott didasarkan kepada statistik Wald, yang dapat dilihat dalam Schott (2007), dan operator vec serta matriks komutasi. Dalam disertasi ini uraian yang dikemukakan tidak berada pada jalur yang dipilih oleh Schott (2007), akan tetapi tetap pada jalur di mana barisan matriks korelasi saling bebas yang satu terhadap yang lain.
Berdasarkan hasil survey kepustakaan di atas, seperti sudah diuraikan pada Bab Pendahuluan, masalah utama dalam disertasi ini adalah pengujian hipotesis kestabilan barisan matriks korelasi yang saling bebas yang tidak melibatkan perhitungan determinan matriks dan juga tidak melibatkan perhitungan invers matriks.
Kedua
perhitungan
itu
ingin
dihindari
karena
menimbulkan
ketidakefisienan dalam komputasi tatkala bekerja dengan matriks korelasi yang berukuran besar. Untuk itu, dalam disertasi ini diusulkan sebuah statistik penguji yang dibangun berdasarkan variansi vektor (VV) sebagai ukuran dispersi multivariat seperti dikemukakan dalam Djauhari (2007) dan Herwindiati dkk. (2007). Berdasarkan VV dibentuk vektor variansi variabel-variabel standar (VVVS). Selanjutnya, penyelidikan tentang distribusi VVVS sample vec ( R )
2
didasarkan
kepada hasil penelitian Browne dan Saphiro (1986), Neudecker dan Wesselman
11
(1990), Neudecker (1996) serta Schott (2007) tentang distribusi vec ( R ) , yang akan dirumuskan dalam Teorema III.1, Bab III. Hasil penelitian tentang distribusi asimtotik dari vec ( R ) akan disajikan dalam bab-bab berikutnya dalam disertasi 2
ini.
12
