5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Model Life Table Life table adalah tabel mengenai angka kematian menurut umur yaitu
berkaitan dengan peluang bertahan hidup menurut umur. (Coale & Demeny 1983) Dengan menggunakan data empiris dari beberapa negara, Coale-Demeny (1983) mengklasifikasikan model life table menjadi empat, yaitu model Timur (East model), model Utara (North model), model Selatan (South model), dan model Barat (West model). Model Timur (East model) berasal dari negara Austria, Jerman, Italia, Polandia, dan Czechoslauvakia, yang ditandai angka kematian bayi yang tinggi dan peningkatan dengan cepat angka kematian setelah umur 50 tahun. Model Utara (North model) berasal dari Islandia, Norwegia, dan Swedia didasarkan angka kematian bayi rendah sedangkan angka kematian anak dan umur diatas 50 tahun tinggi. Model Selatan (South model) berasal dari negara Spanyol, Portugis, dan Italia, didasarkan angka kematian dibawah umur 5 tahun, umur 40 sampai 60 tahun rendah namun angka kematian untuk umur 65 tahun tinggi. Selain model life table di atas digolongkan ke dalam model Barat (West model), cirinya mempunyai pencatatan kelahiran, kematian maupun migrasi penduduk yang lengkap. Brown (1997) menyusun life table dengan kolom-kolomnya terdiri dari: x : umur n lx
: banyaknya orang yang tepat berumur x
ndx
: banyak orang yang mati antara umur x sampai (x+n)
nqx
: peluang orang yang berumur x, akan mati sebelum mencapai umur (x+n)
npx
: peluang orang yang berumur x sebelum mencapai umur (x+n)
n
Lx : banyaknya waktu yang dijalani sejumlah lx dari umur x sampai umur (x+n)
Tx : total waktu yang dijalani sejumlah lx dari umur x sampai akhir hayat (ω) ẽx
: harapan hidup dari umur x sampai akhir hayat (ω)
6
dari kolom-kolom tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut: ndx
= nlx – nl(x+1)
(2.1)
npx
= 1- nqx
(2.2)
nl(x+1) ndx
= nlx .npx
(2.3)
= nlx .nqx
(2.4) (2.5) (2.6) (2.7)
Berikut contoh dari life table Coale-Demeny pada kematian perempuan di Jepang pada tahun 2005, ditunjukkan oleh Tabel 1. Tabel 1 Complete Life Table for Female, Japan 2005 x
n lx
0 1-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 95-99 100-104 105-109 110-114 115
100.000 99.748 99.658 99.614 99.576 99.489 99.338 99.178 98.966 98.665 98.232 97.566 96.549 95.086 93.077 90.058 85.054 76.839 62.965 42.706 20.840 6.090 808 32 1
ndx
252 34 11 7 12 26 32 37 52 74 111 172 256 347 499 802 1.338 2.227 3.586 4.511 3.740 1.711 334 18 0
n qx
npx
0,00252 0,00034 0,00011 0,00007 0,00012 0,00026 0,00032 0,00037 0,00053 0,00075 0,00113 0,00176 0,00265 0,00365 0,00536 0,00891 0,01573 0,02898 0,05695 0,10563 0,17946 0,28095 0,41337 0,56250 0,70259
0,99748 0,99966 0,99989 0,99993 0,99988 0,99974 0,99968 0,99963 0,99947 0,99925 0,99887 0,99824 0,99735 0,99635 0,99464 0,99109 0,98427 0,97102 0,94305 0,89437 0,82054 0,71905 0,58663 0,43750 0,29741
n Lx
99.800 99.730 99.653 99.611 99.571 99.476 99.322 99.160 98.940 98.628 98.177 97.481 96.423 94.914 92.831 89.664 84.396 75.746 61.193 40.453 18.938 5.202 629 22 0
Tx 8.551.573 8.451.773 8.052.997 7.554.824 7.056.838 6.559.144 6.062.060 5.565.763 5.070.372 4.576.253 4.083.942 3.594.327 3.108.874 2.629.605 2.158.898 1.700.476 1.261.615 855.184 502.782 236.336 78.555 15.470 1.370 36 1
85,52 84,73 80,81 75,84 70,87 65,93 61,02 56,12 51,23 46,38 41,57 36,84 32,20 27,66 23,19 18,88 14,83 11,13 7,99 5,53 3,77 2,54 1,70 1,13 0,82
7
2.2
Multistate Life Table Life table Coale-Demeny disebut juga life table unistate karena hanya
terdapat dua kondisi yaitu bertahan hidup atau mati, dengan state-nya hidup dan mati. Kondisi ini dapat diperluas dengan melakukan penambahan atau pengurangan state penyebab kematian. Sebuah contoh dalam bidang kesehatan penyebab kematian karena suatu penyakit, maka terdapat penambahan state baru yaitu sakit. Karena lebih dari dua state, dapat disebut multistate, sehingga dalam life table disebut multistate life table (MSLT). Berdasarkan penambahan dan pengurangan state pada multistate life table Rogers (1979), mengelompokkan menjadi uniradix multistate life table dan multiradix multistate life table. Radix adalah satuan jumlah orang yang memasuki kelompok pengamatan, biasanya ditentukan dengan besaran 1.000, 10.000, 100.000 dan seterusnya. Perbedaan antara uniradix dengan multiiradix adalah jika uniradix dalam satu radix semua orang berada dalam state yang berbeda dan dapat berinteraksi, maka multiradix adalah gabungan dari beberapa uniradix yang state–nya dapat berinteraksi. Unistate life table oleh Lynch (2010), dimodifikasi menjadi multistate life table, dengan cara memperluas state mati sebagai pengurang tunggal (single decrement), menjadi lebih dari satu state. Sebagai contoh ditunjukkan pada Gambar 1, penyebab kematian karena suatu penyakit, sehingga terjadi beberapa kemungkinan individu berubah status: tetap sehat, dari sehat ke sakit, dari sehat ke mati, tetap sakit, dari sakit menjadi sehat, dan dari sakit ke mati. p11
p12
Sehat p21 p13
p22 Sakit sehat p23
Mati
Gambar 1 Proses multistate pada bidang kesehatan.
8
Dengan demikian lx tidak hanya menunjukkan banyaknya individu yang bertahan hidup, namun dapat memisahkan individu-individu yang sehat, sakit, dan mati. Misalkan
= jumlah orang yang sehat,
= jumlah orang yang sakit, dan
= jumlah orang yang mati, sehingga untuk mengetahui l(x+1), selain lx dikurangi oleh banyak kematian ( ), namun juga ada pengurang lain yaitu jumlah individu yang sakit ( ), dapat dinyatakan: (2.8) Peluang individu yang mengalami perubahan dari state yang satu ke state lainnya digunakan perbandingan antara jumlah individu yang mengalami perubahan status dengan populasinya disebut peluang transisi. Dalam multistate life table, digunakan untuk mengukur peluang suatu kejadian perubahan status. Gabungan dari beberapa peluang transisi biasanya dinyatakan dalam bentuk matriks. Untuk menentukan jumlah individu yang bertahan setelah berumur
,
lx dikalikan dengan matriks peluang transisi masing-masing state, dimana lx = [
=0] dan Px=
dimana sakit, sehat,
: peluang transisi tetap sehat, : peluang dari sehat ke mati,
peluang transisi sehat menjadi : peluang transisi dari sakit menjadi
: peluang transisi tetap sakit, dan
: peluang trasnisi dari sakit
menjadi sakit. Jumlah elemen dalam satu baris adalah satu, sehingga diperoleh l(x+1) = lx . Px
=[
=[
=0]
. phh
+
. puh
. phu
+
. puu
. phd
+
. pud]
(2.9)
Masing-masing peluang transisi oleh Seigel dan Swanson (2004) dapat dikumpulkan berdasarkan state, sehingga pada kasus bidang kesehatan dapat pula dijumlahkan peluang transisi yang sehat, sakit, dan mati. Diantaranya adalah
9
peluang sehat (h): ph = phh + puh, peluang sakit (u): pu = phu + puu , dan peluang mati (d): pd = phd + pud, dimana ph = pu = pd = 1. Pada umumnya model multistate life table didefinisikan sebagai model proses stokastik yang memungkinkan individu dapat berpindah state yang terbatas, termasuk keluar dan masuk kembali ke dalam state yang sama. Titik awal dari life table menurut Roger (1979) beranjak dari perubahan jumlah penduduk karena faktor kematian, yang dirumuskan ,
(2.10)
dimana µ(x) menjelaskan perubahan kematian pada saat umur x. Solusi dari persamaan (2.10) adalah (2.11) Bukti pada Lampiran 1 Dari (2.11) dapat dihitung peluang tepat pada umur x akan hidup sampai umur x+h sebagai berikut (2.12) Bukti pada Lampiran 2 Seperti pada persamaan (2.10), untuk multistate life table dapat diperoleh dengan mengubah l(x) ke dalam matriks skalar (2.13) dimana l(x) dan µ(a) adalah matriks skalar, yang didefinisikan
dan
Untuk kasus khusus ketika µ(a) adalah matriks konstan pada interval (x,x+h), adalah l(x+h) = exp[-hM(x)]. l(x)
(2.14)
dimana M(x) merupakan matriks aproksimasi dari µ(a), sehingga µ(a) = M(a) Bukti pada Lampiran 3 Menentukan matriks menurut umur dari peluang transisi antar state P(x)=I(x+h).I(x)-1, dengan mengembangkan eksponensial pada persamaan (2.14) diperoleh:
10
P(x) = I – hM(x)
(2.15)
dimana I adalah matriks identitas
Bukti pada Lampiran 4 Untuk memperbaiki aproksimasi pada persamaan (2.14), kedua ruas dikalikan dengan exp[
, sehingga diperoleh (2.16)
Bukti pada Lampiran 5 Dari persamaan (2.16) kemudian diperoleh persamaan (2.17) Metode konstruksi ini merupakan perluasan dari life table unistate, sehingga dapat dikembangkan pada model life table multistate dengan cara memperluas matriks, oleh Rogers (1979) dinyatakan dalam matriks peluang transisi Pij (x),
dengan pij(x) adalah dari individu yang hidup di wilayah i pada tepat berumur x dan hidup setelah (x+h) di wilayah j. Penerapan dari metode multistate tidak hanya sebatas pada multi regional namun sudah meluas ke berbagai bidang, misalkan terkait keluarga (Bongaarts 1987), partisipasi angkatan kerja (Willekens 1982), migrasi (Rogers & Willekens 1986), status perkawinan (Willekens 1987), penggunaan alat kontrasepsi (Islam 1994), harapan hidup (Rogers et al. 1989), status kesehatan dan harapan hidup (Crimmins et al. 1994)
dan
resiko
perokok
terhadap
kardiovaskular
(Mamun 2003). 2.3
Sebaran Seragam Kematian Jika terdapat d(x) kematian antara umur x sampai (x + 1), maka akan terjadi
w.d(x) kematian sebelum waktu w pada interval umur, dimana 0 < w < 1.
11
Sehingga jumlah orang yang hidup pada saat umur
adalah
lx+w = lx – w.dx. (Brown 1997) 2.4
Peluang Kejadian dan Peluang Bersyarat Misalkan S adalah ruang contoh dan A adalah kejadian. Peluang kejadian A
adalah Jika P(B) > 0 maka peluang terjadinya A jika diketahui B terjadi didefinisikan sebagai
(Ghahramani 2005) 2.5
Peubah Acak dan Kejadian Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω→R dengan sifat bahwa
{ω Є Ω: X (ω)≤x} Є F, untuk setiap x Є R, dimana R adalah himpunan bilangan real. Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.6
Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah suatu fungsi F:R→[0,1]
yang diberikan oleh F(x) = P(X≤x). (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.7
Proses Stokastik Proses stokastik adalah koleksi peubah peubah acak {Xn:n∊I} untuk
himpunan terhitung dengan I ={1,2,3,…} atau {X(t):t∊T} untuk himpunan tak terhitung dengan T = [0,∞). Selanjutnya {Xn:n = 1,2,…}disebut sebagai proses stokastik dengan waktu diskret, sedangkan untuk
{X(t):t≥0} disebut proses stokastik waktu kontinu.
Untuk kasus diskret, proses stokastik biasanya dinotasikan dengan Xn. Nilai yang mungkin untuk X(t) disebut state, sedangkan proses X(t) berada pada state x dan
12
pada waktu t dinotasikan dengan X(t) = x. Semua himpunan yang memenuhi semua nilai untuk Xn dan X(t) disebut ruang state dari proses stokastik. (Ghahramani 2005) 2.8 Rantai Markov Rantai Markov diskret adalah sebuah proses Markov yang ruang state-nya adalah gugus berhingga atau gugus yang dapat dihitung, dan gugus indeksnya adalah T = {0, 1, 2, ...}. Pada umumnya, sifat Markov dinyatakan sebagai: P{Xn+1 = j│X0 = i0, ..., Xn-1 = in-1, Xn = i} = Pr{Xn+1 = j│Xn = i}, untuk semua titik waktu n dan semua state i0, ..., in-1, i, j. (Jones & Smith 2010) 2.9 Matriks Peluang Transisi Matriks peluang transisi adalah suatu matriks yang memuat semua informasi yang mengatur perpindahan sistem dari suatu state ke state lainnya. Unsur-unsur dari matriks tersebut menunjukkan besarnya peluang perpindahan sistem dari satu state ke state lainnya. Untuk rantai markov terbatas dengan n state dari E1,E2, …,En, dinotasikan pij = P{ En = j│En-1 = i}, dimana i,j=1,2,…,m. pij > 0,
. Untuk setiap
i = 1,2,…,m. Jika pij > 0, maka dikatakan state Ei dapat berkomunikasi dengan state Ej, komunikasi dua arah dimungkinkan jika pij > 0. Bentuk dari matriks peluang transisi berordo (m x m) adalah sebagai berikut
Px = [pij] =
(2.18)
(Jones & Smith 2010) 2.10 Fungsi Eksponensial Matriks Diberikan matriks konstan A dengan ordo (n × n). Fungsi matriks eksponensial dari
dapat didefinisikan menjadi
(Goode 1991)
