BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA II.1. Konsep Elemen Hingga Struktur dalam istilah teknik sipil adalah rangkaian elemen-elemen yang sejenis maupun yang tidak sejenis. Elemen adalah susunan materi yang mempunyai bentuk relatif

teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang

tergantung kepada bentuk fisik dan materi penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun elemen tersebut akan menggambarkan totalitas dari elemen tersebut. Totalitas sifat elemen inilah yang disebut dengan kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur mempunyai Modulus Elastis (E), Modulus Geser (G), Luas Penampang (A), Panjang (L) dan Inersia (I). Inilah satu hal yang perlu dipahami didalam pemahaman elemen hingga nantinya, bahwa kekakuan adalah fungsi dari E, G, A, L, I. Kontinum dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan elemen hingga karena ukuran elemen kecil ini berhingga (bukannya kecil tak berhingga) dan umumnya mempunyai bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya akan lebih sederhana. Misalnya suatu batang panjang yang bentuk fisiknya tidak lurus, dipotong-potong sependek mungkin sehingga terbentuk batang-batang pendek yang

7 Universitas Sumatera Utara

relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga. Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotong-potong berbentuk segi tiga atau bentuk segi empat yang beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga merupakan elemen diskrit dari suatu kontinum yang mana perilaku strukturnya masih dapat mewakili perilaku struktur kontinumnya secara keseluruhan. Pendekatan dengan elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi dari kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya. Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut : 1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat, dan lain sebagainya). 2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi. 3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik nodalnya.


4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya. 5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan menggunakan prinsip usaha atau energi. 6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi. 9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.

II.2. Metode Elemen Hingga Untuk Elemen Grid Metode elemen hingga merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Metode elemen hingga juga dikenal sebagai metode kekakuan ataupun displacement methode karena yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian gaya batang dicari. Balok silang adalah struktur bidang yang dibentuk oleh balok menerus yang saling bertemu atau bersilang dimana pertemuan dari sambungan tersebut adalah kaku. Berbeda dari portal gaya luar berada dalam bidang struktur, gaya luar pada balok silang tegak lurus bidang struktur, dan vector momen semua kopel berada dalam bidang balok. Arah beban seperti ini dapat menimbulkan puntir dan lenturan pada sejumkah batang. Penampang lintang setiap batang memiliki dua sumbu simetri, sehingga lenturan dan puntir tidak daking bergantungan.


Gambar II.1 Elemen Grid

Beberapa keuntungan dari sistem struktur grid adalah: 1. Mempunyai kekakuan yang besar, terutama pada bentang lebar, sehingga dapat memberikan kekakuan arah horizontal yang lebih besar pada portalbangunannya. 2. Mempunyai bentuk yang seragam dengan berbagai variasi dan cetakannya dapat digunakan berulang kali. 3. Dapat mendistribusikan beban dan momen pada kedua arah bentangnya secara merata dengan ukuran model grid yang dapat dikembangkan sebagai kelipatan dari bentang kolom-kolomnya. 4. Mempunyai sifat fleksibilitas ruang yang cukup tinggi dan sederhana sehingga lebih luwes dalam mengikuti pembagian panel-panel eksterior maupun partisi interiornya. Dalam hubungannya dengan tugas akhir ini, metode elemen hingga ini digunakan untuk menganalisis atau menghitung besarnya momen, lendutan dan torsi yang terjadi dalam komponen struktur. Untuk itu, metode elemen hingga yang digunakan adalah metode elemen hingga untuk elemen grid dimana gaya yang


bekerja pada struktur yang diperhitungkan hanya terbatas pada gaya vertikal, momen lentur dan momen torsi.

Persamaan umum untuk metode elemen hingga ini adalah : ...............(II.1)

dimana : {f}

= Matriks gaya-gaya batang ( kg )

[k]

= Matriks kekakuan struktur ( N/m2 )

{d}

= Matriks perpindahan ( m dan rad )

{fred} = Matriks gaya-gaya pada titik simpul akibat beban merata Dalam menggunakan metode elemen hingga, perlu diperhatikan, bahwa pada tiap elemen / batang akan terdapat dua buah titik simpul yaitu simpul awal yang diberi tanda (1) dan simpul akhir yang diberi tanda (2) dan sebuah elemen yang diberi tanda (a) seperti tampak pada Gambar.II.2.

1

2

Gambar.II.2.Titik Simpul dan Elemen Derajat kebebasan adalah jumlah komponen perpindahan yang dapat terjadi pada kedua simpul yang ada pada suatu elemen. Jumlah derajat kebebasan berbedabeda untuk tiap jenis struktur. Misalnya, untuk elemen rangka, jumlah derajat kebebasannya adalah dua yaitu masing-masing satu perpindahan dalam arah sumbu batang ( biasanya disebut sebagai sumbu 1 ) pada titik simpul (1) dan (2). Dari jumlah derajat kebebasan yang ada, suatu matriks kekakuan untuk suatu jenis struktur dapat ditentukan. Masing-masing jenis struktur memiliki suatu matriks kekakuan tersendiri dimana matriks kekakuan untuk elemen rangka berbeda 11 Universitas Sumatera Utara

dengan matriks kekakuan untuk elemen frame dan lain-lainnya. Begitu pula halnya dengan matriks kekakuan untuk elemen grid. Matriks kekakuan dari elemen grid dapat diperoleh dengan menggabungkan matriks kekakuan dari elemen batang (memiliki 4 derajat kebebasan) dengan matriks kekakuan untuk elemen torsi murni. Kekakuan dalam suatu struktur terbagi dalam dua jenis yaitu kekakuan lokal dan kekakuan global. Kekakuan lokal adalah kekakuan elemen yang mengacu arah sumbu masing-masing elemen sedangkan kekakuan global adalah kekakuan elemen yang mengacu pada sistem koordinat global yaitu sistem koordinat kartesian (XYZ). Jika dalam suatu struktur terdapat lebih dari satu batang dengan arah sumbu lokal yang berbeda, maka maka kekakuan lokal dari tiap elemen harus diubah menjadi kekakuan global agar matriks kekakuan dari semua elemen yang ada dapat digabungkan. Μz1

GJ ΕΙ

Mx1 Sy1

Μz2 Mx2 Sy2

L Gambar.II.3.Derajat Kebebasan Pada Elemen Grid Untuk elemen grid, seperti yang telah disebutkan di atas, kekakuan lokalnya merupakan gabungan dari kekakuan lokal untuk elemen batang dengan kekakuan lokal untuk elemen torsi murni. Berikut ini adalah matriks kekakuan yang disebutkan di atas :

• Matriks kekakuan lokal untuk elemen batang (Frame Element)


• Matriks kekakuan lokal untuk elemen torsi murni

Grid adalah sebuah struktur yang terbentuk dari rangkaian balok-balok yang terhubung secara kaku pada nodal, dimana seluruh balok dan nodal tersebut berada pada bidang (X-Y) yang sama. Penggambaran ini identik dengan penggambaran portal bidang. Perbedaan antara struktur grid dan portal terletak pada arah beban yang bekerja pada struktur dan respons struktur terhadap beban tersebut. Pada portal bidang seluruh beban bekerja pada bidang portal dan seluruh peralihan juga terjadi pada bidang tersebut. Balok-balok portal mengalami lentur dan deformasi aksial pada arah bidang. Pada struktur grid seluruh beban bekerja pada arah tegak lurus bidang, demikian juga dengan peralihan yang terjadi. Balok-balok grid mengalami lentur keluar bidang dan juga puntir. Sistem koordinat global yang akan kita pakai untuk menempatkan struktur grid adalah pada bidang X-Y. Beban vertikal akan bekerja pada arah Z dan momen nodal bekerja pada bidang grid seperti tampak pada Gambar 2.4. Gambar 2.4 memperlihatkan sistem koordinat lokal elemen yang digunakan. Y Z

Myi fzi Mxi

X Gambar II.4 Arah Positif Gaya Nodal Struktur dalam Sistem Global


Pada elemen grid, terdapat efek lentur terhadap sumbu horizontal penampang seperti halnya balok, dan juga efek puntir terhadap sumbu batang, yang berarti dapat menahan momen torsi. Karenanya, pada setiap nodal terdapat: peralihan vertikal wi, rotasi terhadap sumbu horizontal penampang (arah y) akibat momen lentur, dan rotasi

terhadap sumbu elemen akibat torsi. Tiap nodal mempunyai 3 derajat

kebebasan (wi, θxi, θyi ).

x z y

Gambar II.5 Sistem Koordinat Lokal Elemen


Tabel II.1 Beban Nodal Ekuivalen (BNE) untuk Grid

z -bz

=

=

=

=

x L

= -bz

=

a

=

L

= -bz

L

=

=

=

=

=

=

=

=

-bz

L

-bz a

b L

= a

= =

=


z -P

=

=

=

=

x L/2

L/2

-P

b

a

=

=

=

=

L

M L/2

L/2

M a

b

-P

-P L/3

L/3

L/3

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Keterangan: bz dan P adalah bilangan positif


Tabel II.2 Gaya Internal Ekuivalen (GIE) untuk Grid

z -bz

=

=

x L

=

=

= -bz

=

a

=

L

= -bz

L

=

=

=

=

-bz

L

-bz a

b L

=

=

=

=

= a

= =

=


z -P

=

=

=

=

x L/2

L/2

-P

= b

a

=

L

M L/2

L/2

a

b

=

=

=

L/3

=

=

=

=

-P

-P

=

=

=

M

L/3

=

L/3

=

=

=

Keterangan: bz dan P adalah bilangan positif


II.3. Torsi Torsi adalah puntir yang terjadi pada batang lurus apabila batang tersebut dibebani momen yang cenderung menghasilkan rotasi terhadap sumbu longitudinal batang. Sebagai contoh dalam kehidupan sehari-hari yaitu jika seseorang memutar obeng, maka tangannya memberikan torsi ke obeng. Demikian pula halnya dengan komponen struktur suatu bangunan. Jika diperhatikan lebih seksama, sebenarnya balok-balok pada bangunan mengalami torsi akibat beban-beban pada pelat. Demikian pula halnya dengan kolom. Namun torsi pada kolom kebanyakan diakibatkan oleh gaya-gaya yang arahnya horizontal seperti gaya angin ataupun gempa. Torsi timbul karena adanya gaya-gaya yang membentuk kopel yang cenderung memuntir batang terhadap sumbu longitudinalnya. Seperti diketahui dari statika, momen kopel merupakan hasil kali dari gaya dan jarak tegak lurus antara garis kerja gaya. Satuan untuk momen pada USCS adalah (lb-ft) dan (lb-in), sedangkan untuk satuan SI adalah (N.m). Untuk mudahnya, momen kopel sering dinyatakan dengan vektor dalam bentuk panah berkepala ganda. Panah ini berarah tegak lurus bidang yang mengandung kopel, sehingga dalam hal ini kedua panah sejajar dengan sumbu batang. Arah momen ditunjukkan dengan kaidah tangan kanan untuk vektor momen yaitu dengan menggunakan tangan kanan, empat jemari selain jempol dilipat untuk menunjukkan momen sehingga jempol akan menunjuk ke arah vektor. Representasi momen yang lain adalah dengan menggunakan panah lengkung yang mempunyai arah torsi. Lihat Gambar.II.6. dan Gambar. II.7


T

Berat Pelat

Balok Balok

Beban Angin atau Gempa Beban Angin atau Gempa

T

Gambar.II.6.Ilustrasi Torsi yang Terjadi Pada Pelat dan Balok

P

T T

P

T T

Gambar.II.7.Arah Kerja Torsi Sesuai Dengan Kaidah Tangan Kanan dan Panah Lengkung

Momen yang menghasilkan puntir pada suatu batang disebut momen puntir atau momen torsi. Batang yang menyalurkan daya melalui rotasi disebut poris atau as (shaft).


II.3.1. Efek Torsi Gambar di bawah ini melukiskan sebuah elemen torsi yang dapat berupa tongkat pada mesin atau batang pada struktur grid. Element ini juga memiliki peralihan umum tunggal θx, yaitu rotasi kecil dalam arah x. Jadi, u = [ θxi ]. Akibat adanya peralihan elastis ini (rotasi kecil tadi) akan dihasilkan gaya tubuh b = Mx berupa momen (persatuan panjang) yang bekerja dalam arah sumbu x positif. Peralihan titik nodal terdiri dari rotasi aksial yang kecil pada titik nodal 1 dan 2. Maka:

q=

=

……………………………………………..… (a)

u

1

2

x

x

q1

q2 L

(a)

f1

1

(b) 1

f2

(c)


Gaya titik nodal yang dihasilkan pada titik 1 dan 2 adalah:

p=

=

Karena hanya ada dua peralihan titik nodal pada elemen torsi ini, maka dapat digunakan fungsi peralihan yang linier, yaitu: θx = c1 + c2 x………………………………………………………

(b)

Fungsi bentuk peralihan pada elemen torsi ini sama seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 2.9 (b) dan (c). f = g h-1 = [ f1

f2 ] =

………………………….

(c)

Kemudian turunkan hubungan regangan-peralihan untuk elemen torsi dengan penampang lingkaran seperti yang terlihat dalam Gambar. Asumsikan jari-jari penampang tetap lurus selama terjadi deformasi torsi. Disini dapat disimpulkan bahwa regangan geser γ akan bervariasi linier terhadap panjang jari-jari r seperti berikut: γ=r

= rψ……………………………………………….……

(d)

dimana ψ adalah putaran (twist), yaitu besarnya perubahan dari putaran sudut. Jadi: ψ=

…………………………………………………………..

(e)

z


τ r x

y d dx Gambar II.8. Deformasi Torsi

Dari persamaan dapat dibuktikan bahwa nilai maksimum regangan geser terjadi pada permukaan. γmax = Rψ dimana R adalah jari-jari penampang (lihat gambar). Selanjutnya, pada persamaan jelas terlihat bahwa operator diferensial linier d yang menghubungkan γ dengan θx adalah:

d=r

………………………………………………….………..

(f)

maka, matriks regangan-peralihan B akan menjadi: B=df=

[-1

1]……………………………………………...

(g)

yang mirip dengan matriks B pada elemen aksial, kecuali muncul nilai r. Pada elemen torsi, hubungan antara tegangan geser τ dengan regangan gesernya γ dinyatakan dengan: τ = G γ…………………………………………………………….

(h)

dimana simbol G menunjukka n modulus geser material. 23 Universitas Sumatera Utara

Jadi:

E = G dan E B = G B……………………………………………

(i)

Kekakuan torsi sekarang bisa diperoleh dengan menurunkan persamaan sebagai berikut:

K=

[-1

K=

1] r dr dθ dx

K=

Dengan GJ konstan. Momen inersia polar J didefinisikan sebagai:

J=

=

Untuk penampang bukan lingkaran/sembarang, momen inersia polar J diturunkan dari rumus:

+

= -2 G v’

, dimana: ϕ = fungsi torsi

Dengan bantuan penyelesaian memakai teori Prand’l maka: J=

II.4. Elastisitas Elastisitas ialah sifat suatu bahan apabila gaya luar mengakibatkan perubahan bentuk (deformation) tidak melebihi batas tertentu, maka perubahan


bentuk akan hilang setelah gaya dilepas. Hampir semua bahan teknik memiliki sifat elastisitas ini. Dalam pembahasan torsi dalam tugas akhir ini, bahan-bahan akan dianggap bersifat elastis sempurna yaitu benda akan kembali seperti semula secara utuh setelah gaya yang bekerja padanya dilepas. Hukum Hooke menyatakan bahwa untuk benda elastis, perbandingan antara tegangan yang ada pada elemen terhadap regangan yang dihasilkan adalah konstan. Perbandingan antara tegangan dan regangan akan menghasilkan suatu konstanta yang disebut dengan modulus elastisitas ( E ). II.5. Tegangan Tegangan didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada tiap satuan luas bahan. Untuk menjelaskan ini, maka akan ditinjau sebuah benda yang dalam keadaan setimbang seperti terlihat pada Gambar.II.7. Akibat kerja gaya luar P1, P2, P3, P4, P5, P6, dan P7, maka akan terjadi gaya dalam di antara benda. Untuk mempelajari besar gaya ini pada titik sembarang O, maka benda diandaikan dibagi menjadi dua bagian A dan B oleh penampang mm yang melalui titik O. P1

z

P2 m B P7 O

A

x

y

P3

P4 m

P6

P5

Gambar.II.9.Benda Tampang Sembarang yang Dibebani oleh Gaya-Gaya Luar


Kemudian tinjaulah salah satu bagian ini, misalnya A. Bagian ini dapat dinyatakan dalam keadaan setimbang akibat gaya luar P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 dan gaya dalam terbagi di sepanjang penampang mm yang merupakan kerja bahan. Oleh karena intensitas distribusi ini, tegangan dapat diperoleh dengan membagi gaya tarik total P dengan luas potongan penampang A. Untuk memperoleh besar gaya yang bekerja pada luasan kecil δA, misalnya dari potongan penampang mm pada titik O, dapat diamati bahwa gaya yang bekerja pada elemen luas ini diakibatkan oleh kerja bahan bagian B terhadap bahan bagian A yang dapat diubah menjadi sebuah resultante δP. Apabila tekanan terus diberikan pada luas elemen δA, harga batas δP/δA akan menghasilkan besar tegangan yang bekerja pada potongan penampang mm pada titik O. arah batas resultante δP adalah arah tegangan. Umumnya, arah tegangan ini miring terhadap luas δA tempat gaya bekerja sehingga dapat diuraikan menjadi dua komponen tegangan yaitu tegangan normal yang tegak lurus terhadap luas dan tegangan geser yang bekerja pada bidang luas δA. Tegangan normal dinotasikan dengan huruf σ dan tegangan geser dengan huruf τ. Untuk menunjukkan arah bidang dimana tegangan tersebut bekerja, digunakan subskrip terhadap huruf-huruf ini. Tegangan normal menggunakan sebuah subskrip yang menunjukkan arah tegangan yang sejajar terbadap sumbu koordinat tersebut, sedangkan tegangan geser menggunakan dua buah subskrip dimana huruf pertama menunjukkan arah normal terhadap bidang yang ditinjau dan huruf kedua menunjukkan arah komponen tegangan. Untuk menjelaskan tegangan yang bekerja pada sisi-sisi elemen ini diperlukan tiga simbol σx, σy, σz untuk tegangan normal dan enam simbol τxy, τyx, τxz,


τzx, τyz, τzy untuk tegangan geser. Dengan meninjau kesetimbangan elemen secara sederhana, maka jumlah simbol tegangan geser dapat dikurangi menjadi tiga. τZX

z

C

τXZ

P

τXZ

τZX x

Gambar.II.10.Potongan Melintang Kubus yang Melalui Titik P

Apabila momen gaya yang bekerja pada elemen terhadap garis yang melalui titik tengah C dan sejajar sumbu x, maka hanya tegangan permukaan yang diperlihatkan pada Gambar.II.8 yang perlu ditinjau. Gaya benda, seperti berat elemen, dapat diabaikan karena semakin kecil ukuran elemen, maka gaya benda yang bekerja padanya berkurang sebesar ukuran linier pangkat tiga. Sedangkan gaya permukaan berkurang sebesar ukuran linier kuadrat. Oleh karena itu, untuk elemen yang sangat kecil, besar gaya benda sangat kecil jika dibandingkan dengan gaya permukaan sehingga dapat dihilangkan ketika menghitung momen. Dengan cara yang sama, orde momen akibat ketidak-merataan distribusi gaya normal lebih tinggi dibandingkan dengan orde momen akibat gaya geser dan menjadi nol dalam limit. Juga gaya pada masing-masing sisi dapat ditinjau sebagai luas sisi kali tegangan di tengah. Jika ukuran elemen kecil pada Gambar.II.4 adalah dx, dy, dz, maka momen gaya terhadap P, maka persamaan kesetimbangan elemen ini adalah : τxz dx dy dz = τzx dx dy dz


Dua persamaan lain dapat diperoleh dengan cara yang sama sehingga didapatkan : τxy = τyx

τzx = τxz

τzy = τyz

Dengan demikian enam besaran σx, σy, σz, τxy = τyx, τzx = τxz, τzy = τyz cukup untuk menjelaskan tegangan yang bekerja pada koordinat bidang melalui sebuah titik. Besaran-besaran ini disebut komponen tegangan pada suatu titik.

II.6. Regangan Regangan didefinisikan sebagai suatu perbandingan antara perubahan dimensi suatu bahan dengan dimensi awalnya. Karena merupakan rasio antara dua panjang, maka regangan ini merupakan besaran tak berdimensi, artinya regangan tidak mempunyai satuan. Dengan demikian, regangan dinyatakan hanya dengan suatu bilangan, tidak bergantung pada sistem satuan apapun. Harga numerik dari regangan biasanya sangat kecil karena batang yang terbuat dari bahan struktural hanya mengalami perubahan panjang yang kecil apabila dibebani. Dalam membahas perubahan bentuk benda elastis, selalu dianggap bahwa benda terkekang sepenuhnya sehingga tidak bisa bergerak sebagai benda kaku sehingga tidak mungkin ada perpindahan partikel benda tanpa perubahan bentuk benda tersebut. Pada pembahasan ini yang ditinjau hanya perubahan bentuk yang kecil yang biasa terjadi pada struktur teknik. Perpindahan kecil pertikel yang berubah bentuk ini diuraikan ke dalam komponen u, v, w berturut-turut sejajar dengan sumbu koordinat. Besar komponen ini dianggap sangat kecil dan bervariasi di seluruh volume benda.


z dx dy

O P

dz

B

A

x

y

C

Gambar.II.1. Elemen Kecil Berdimensi dx dy dz

Tinjau elemen kecil dx dy dz dari sebuah benda elastis seperti terlihat pada Gambar.II.9. Apabila benda mengalami perubahan bentuk dan u, v, w merupakan komponen perpindahan titik P, perpindahan titik di dekatnya , A, dalam arah x pada sumbu x adalah orde pertama dalam dx, yaitu u + (ju/jx) dx akibat pertambahan fungsi u sebesar (ju/jx) dx sesuai dengan pertambahan panjang elemen PA akibat perubahan bentuk adalah (ju/jx) dx. Sedangkan satuan perpanjangan (unit elongation) pada titik P dalam arah x adalah (ju/jx). Dengan cara yang sama, maka diperoleh satuan perpanjangan dalam arah y dan z adalah (jv/jy) dan (jw/jz). O

x dx

P v u

A v + vx dx

P'

A'

dy

B u + uy dy

B'

y Gambar.II.12. Perpindahan Titik-Titik P, A, dan B

Sekarang tinjaulah pelentingan sudut antara elemen PA dan PB dalam Gambar.II.6. Apabila u dan v adalah perpindahan titik P dalam arah x dan y, perpindahan titik A dalam arah y dan titik B dalam arah x berturut-turut adalah v + (jv/jx) dx dan u + (ju/jy) dy. Akibat perpindahan ini, maka P’A’ merupakan arah


baru elemen PA yang letaknya miring terhadap arah awal dengan sudut kecil yang ditunjukkan pada gambar, yaitu sama dengan (jv/jx). Dengan cara yang sama arah P’B’ miring terhadap PB dengan sudut kecil (ju/jy). Dari sini dapat dilihat bahwa sudut awal APB yaitu sudut antara kedua elemen PA dan PB berkurang sebesar (jv/jx) + (ju/jy). Sudut ini adalah regangan geser (shearing strain) antara bidang xz dan yz. Regangan geser antara bidang xy dan xz dan bidang yx dan yz dapat diperoleh dengan cara yang sama. Selanjutnya kita menggunakan huruf Є untuk satuan perpanjangan dan huruf γ untuk regangan geser. Untuk menunjukkan arah regangan digunakan subskrip yang sama terhadap huruf ini sama seperti untuk komponen tegangan. Kemudian diperoleh dari pembahasan di atas beberapa besaran berikut :

Keenam besaran ini disebut sebagai komponen regangan geser.


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Recommend Documents