BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t ∈ T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. (Ross, 2007) Dengan demikian, X(t) adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering
diinterpretasikan sebagai satuan waktu (walaupun tidak harus
merupakan waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaan) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya. Definisi 2.2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu) Suatu proses stokastik X ={X(t), t ∈ T}disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval. (Ross, 2007) Definisi 2.3 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t) , t ∈ T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t 0 < t 1 < t 2 < ... < t n , peubah acak
X(t 1 ) –
X(t 0 ), X(t 2 ) – X(t 1 ), X(t 3 ) – X(t 2 ) , ... , X(t n ) – X(t n–1 ) , adalah saling bebas. (Ross, 2007) Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) adalah saling bebas.
Definisi 2.4 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t) , t ∈ T} disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t + s) – X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross, 2007) Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0,∞). Definisi 2.5 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik {N(t), t > 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan N(t) harus memenuhi syaratsyarat sebagai beriku: (1). N(t) ≥ 0 untuk setiap t ∈ [0,∞). (2). Nilai N(t) adalah integer. (3). Jika s < t maka N(s) ≤ N(t), s, t ∈ [0,∞). (4). Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t]. (Ross, 2007)
Definisi 2.6 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {N(t), t ≥ 0} disebut proses Poisson dengan laju λ , λ > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (1). N(0) = 0 (2). Proses tersebut mempunyai inkremen bebas. (3). Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λt. Jadi
e − λt ( λ t ) P ( N (t + s ) − N ( s ) = k ) = ; k = 0,1, 2.... k! k
(Ross, 2007) Dari syarat (3) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa: E(N(t)) = λt yang juga menjelaskan mengapa λ disebut laju dari proses Poisson tersebut. Definisi 2.7 (Proses Poisson homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang merupakan konstanta untuk setiap waktu t. (Ross, 2007) Definisi 2.8 (Proses Poisson tak homogen) Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju λ pada sembarang waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu λ(t). (Ross, 2007)
Definisi 2.9 (Fungsi intensitas) Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t ≥ 0} yaitu λ(t), disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t. (Ross, 2007) Definisi 2.10 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas
λ pada titik s ∈ Ρ adalah λ(s), yaitu nilai fungsi λ di s. (Cressie, 1993) Definisi 2.11 (Fungsi intensitas global) Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global θ dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:
θ = lim
n →∞
EN ([ 0, n ]) n
jika limit di atas ada. (Cressie, 1993) Definisi 2.12 (Fungsi periodik) Suatu fungsi λ disebut periodik jika:
λ(s + kτ) = λ(s) untuk semua s ∈ dan k ∈ Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil τ
yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari
fungsi intensitas λ tersebut. (Browder, 1996)
Definisi 2.13 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Ross, 2007) Definisi 2.14 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh
= µ ( B)
∫ λ ( s ) ds < ∞. B
(Dudley,1989)
2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Fungsi intensitas suatu proses Poisson Periodik merupakan laju dari Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua yaitu fungsi intensitas lokal dan intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata – rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Untuk menduga
fungsi intensitas dapat digunakan pendekatan non
parametrik (Diggle, 1985). Salah satu pendekatan non parametrik yang dapat digunakan adalah pendekatan fungsi kernel. Adapun hal ini karena fungsi intensitasnya tidak diketahui, sehingga untuk menduga bentuk fungsinya dapat didekati dengan fungsi penduga kernel (Hardle, 1993). Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan hn ↓ 0 dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh
1 N ([ s − hn , s + hn ]) . 2hn
Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut pada selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan
1 N ([ 0, n ]) . n
Pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui.
Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan
fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al. (2003, 2005) telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan kekonsistenan dan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut. Pada Mangku (2006) telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. Kemudian penduga sebaran asimtotik pada turunan pertama dan kedua proses Poisson periodik dibahas pada Arifin (2008) dan sifat-sifat statistika orde kedua penduga proses Poisson periodik dengan tren linear telah dibahas pada Marliana (2008). Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear ( Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya ( Helmers et al.2007). Adapun pendugaan untuk
fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada
Mangku (2005). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren
berbentuk fungsi pangkat
dengan
menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat – sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan kernel seragam
telah
dikaji pada Rachmawati (2008), pendugaan fungsi intensitas global dari komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008).
Sedangkan sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji pada Farida (2008), sebaran asimtotik penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat telah dikaji pada Rachmawati (2010) dan kekonsistenan penduga fungsi distribusi dan kepekatan waktu tunggu pada proses Poisson siklik dengan tren linear telah dikaji pada Mangku (2010).
