Bab II Tinjauan Pustaka
II.1 Persamaan Aliran Air Tanah II.1.1 Hukum Darcy Hukum Darcy menunjukan hubungan antara flux, gradien tekanan, dan konduktivitas hidrolik, yang tergantung pada media berpori dan air (Spliz dan Moreno,1996). Perhitungan secara matematis untuk aliran airtanah melalui media pori dirumuskan oleh Darcy sebagai berikut : q = −K
∂h = Ki ∂l
(2.1)
dimana
q K ∂h ∂l i
: : : : :
specific discharge (L/T) konduktivitas hidraulik (L/T) beda head (L) jarak (L) gradient hidraulik
II.1.1 Persamaan Aliran Air Tanah Media Jenuh (1) Kondisi Steady State Persamaan aliran air tanah dalam kondisi Steady State adalah sebagai berikut: ∂ 2 h ∂ 2h ∂ 2h + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(2.2)
(2) Kondisi Unsteady State Persamaan aliran airtanah untuk kondisi unsteady state pada akifer tertekan adalah sebagai berikut : ∂ 2 h ∂ 2h ∂ 2h S ∂h + 2 + 2 = s 2 ∂x ∂y ∂z K ∂t
5
(2.3)
Sedangkan persamaan aliran airtanah untuk kondisi unsteady state pada akifer tidak tertekan adalah sebagai berikut :
∂2h ∂ 2h ∂2h Sy ∂h + 2 + 2 = 2 ∂x ∂y ∂z K ∂t
(2.4)
II.2 Pemodelan Air Tanah II.2.1 Model Model adalah sebuah alat untuk mengambarkan penyerdehanaan dari kondisi nyata. Asumsi berupa penyederhanaan selalu dilakukan dalam membangun model karena keadaan nyata terlalu rumit untuk dipecahkan (Wang dan Anderson, 1982). Pemodelan air tanah dan dapat digunakan sebagai alat untuk monitoring, evaluasi, dan untuk memperkirakan aliran air tanah sebagai akibat dari suatu tindakan. Hal yang penting dalam pemodelan air tanah adalah data lapangan yang akurat (Spitz dan Moreno, 1996). Menurut Prickett (1975) dalam Wang and Anderson (1982) terdapat beberapa tipe model yang digunakan dalam penelitian air tanah. Secara garis besar dibagai menjadi tiga kategori, yaitu Sand Tank Models, Analog
Models, dan Mathematical Models. Seiring dengan kemajuan komputer, metode numerik yang dipergunakan untuk memecahkan model matematik semakin banyak digunakan. Hal ini disebabkan karena metode numerik mempunyai fleksibilitas untuk mengakomodasi kondisi akifer yang tidak homogen dan geometri daerah penelitian yang kompleks. Metode numerik yang paling umum digunakan adalah Metode Beda Hingga (Finite Different) dan Metode Elemen Hingga (Finite Element)
II.2.2 Tahapan Pemodelan Dalam pembuatan model harus diputuskan model yang akan digunakan, cara melakukan verifikasi dan pengetesan, kalibrasi, pengumpulan data, dan kemudian penggunaan model tersebut. Suatu model dituntut untuk mempunyai kemampuan untuk memperkirakan/predictive power ( Notodarmojo, 2005). Langkah-langkah yang umum untuk pembuatan model adalah seperti yang terlihat pada gambar II.1. Tahapan pada prinsipnya memberikan umpan balik pada proses sebelumnya. Umpan balik tersebut diperlukan supaya model lebih optimal.
6
Objektif Model
Pengumpulan Data
Pembuatan Model
Pemilihan Model
Wilayah Model
Pemrograman
Verifikasi
Analisa Sensitivitas
Tes Prediktif Model
Penyiapan Manual
Kalibrasi
Aplikasi Model
Gambar II.1 Diagram proses pemodelan (Notodarmojo, 2005)
7
II.2.3 Komponen Model Menurut Spitz dan Moreno (1996), dalam merancang model air tanah harus menggabungkan beberapa komponen pemodelan. Komponen seperti yang terdapat pada Tabel II.1 adalah sebagai berikut : (1) Sistem natural merupakan gambaran dari kenyataan yang akan dimodelkan dengan
mempertimbangkan
daerah,
geometri,
dimensi,
kondisi
hidrogeologi, sifat material dari daerah yang akan dimodelkan, respon terhadap pengamatan yang dilakukan dan masalah hidrogeologi yang akan dipecahkan. (2) Model konseptual merupakan sajian ideal dari natural sistem yang telah dibuat. Dalam konseptual model ini perlu diperhatikan beberapa hal antara lain : batas dan kondisi awal dari daerah yang akan dimodelkan. (3) Model matematik yang menggambarkan mekanisme yang mengontrol dengan persamaan matematik dalam proses perhitungan. (4) Solusi merupakan pemecahan masalah dalam pemodelan dengan menggunakan metoda yang mengacu dari persamaan matematik yang digunakan, misalnya menggunakan metoda beda hingga (finite diffrence). (5) Kalibrasi merupakan penyelesaian simulasi dengan menguji hasil model dengan kenyataan pada sistem natural. (6) Validasi/keakuratan dari prediksi model yang dibuat. (7) Simulasi berdasarkan kalibrasi dari model konseptual.
8
Tabel II.1 Komponen model
Sumber : Spitz dan Moreno (1996)
9
II.2.4 Kondisi Batas dan Kondisi Awal II.2.4.1 Kondisi Batas Ada tiga kemungkinan syarat batas yang dapat digunkan pada domaian dari model aliran air tanah. Gambar II.5 Memperlihatkan contoh kondisi batas pada suatu domain model aliran air tanah. (1) Head hidraulik yang telah ditentukan Batas dengan kondisi seperti ini juga disebut sebagai kondisi atau syarat batas tipe pertama (Dirichlet). Secara matematik, syarat batas ini dapat dituliskan sebagai berikut : h = f ( x, y, t ) pada batas
(2.5)
Dimana batas dapat berupa suatu garis lurus atau melengkung dalam bidang xy, dan f(x,y,t) adalah fungsi yang telah diketahui atau diberikan. Dalam suatu wilayah yang ditinjau harus ada paling tidak satu batas dari tipe
pertama untuk menjaga
supaya
solusi persamaan menjadi
unik(Notodarmojo, 2005). (2) Fluks aliran yang telah ditentukan Kondisi batas tipe ini disebut sebagai kondisi batas tipe kedua (Neumann). Secara matematis kondisi batas tersebut dapat diekspresikan sebagai berikut :
q = f ( x, y, t ) pada batas
(2.6)
Kondisi ini menyebutkan adanya fluks yang telah ditentukan pada batas dimana gradien hidrolis tegak lurus pada bata dan f(x,y,t) adalah sebuah fungsi yang telah diketahui. Kasus khusus dari kondisi batas ini adalah fluks nol (zero flux), misalnya batas dari tanah kedap air dan garis arus. (3) Kombinasi antara head dan fluks (semipermeabel boundaries) Kondisi tipe ini disebut kondisi tipe ketiga atau campuran (Cauchy). Misalnya digunakan pada batas semikedap air. Kondisi tipe ini biasanya mengandung informasi hubungan antar variabel dalam persamaan dan turunannya.
10
Gambar II.2 Kondisi batas dalam pemodelan air tanah (Spitz dan Moreno,1996)
11
Tabel II.2 menyajikan ringkasan kondisi batas yang umum digunakan dalam pemodelan air tanah. Tabel II.2 Kondisi batas model Tipe Kondisi Batas
Nama Kondisi Batas
Contoh Penggunaan
Tipe Pertama (Dirichlet Boundary) Tipe Kedua (Neumann Boundary)
Head atau tekanan Danau, sungai, mata air, ditentukan constant-head well Fluks ditentukan Batas kedap air, batas pemisah air, infiltrasi, penguapan, sink dan sources Tipe Pertama Semipermeabel atau fluks Leaky river, seepage (CauchyBoundary) yang tergantung head face, drain Sumber : Spitz dan Moreno (1996)
II. 3 Teori Permainan II.3.1 Pengertian
Teori Permainan (game theory) adalah metode yang berkaitan dengan proses pengambilan keputusan dimana beberapa pihak harus melakukan pilihan yang berpengaruh terhadap kepentingan pihak lain (Turocy dan Von Stengel, 2001). Teori permainanan adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan pembuatan keputusan pada dua pihak atau lebih yang berada dalam kondisi persaingan (Dimyati dan Dimyati,1987). Teori Permainan merupakan ilmu yang mempelajari tentang konflik dan kerjasama. Konsep Teori Permainan digunakan ketika hal yang dilakukan beberapa pihak saling berpengaruh. Pihak-pihak tersebut dapat merupakan individu, kelompok, firma atau kombinasinya. Konsep Teori Permainan membuat suatu bahasa untuk memformulasikan, membentuk, menganalisa dan memahami skenario strategi (Turocy dan Von Stengel, 2001). Teori Permainan
sangat berguna untuk membuat keputusan dalam keadaan
dimana terdapat dua atau lebih pembuat keputusan mempunyai konflik kepentingan (Winston,2004). Teori Permainan adalah cara formal untuk menganalisa interaksi strategi dalam suatu kelompok yang terdiri beberapa pihak dan
dapat
berperan
dalam
menyelesaikan
konflik
(Kuchanur
dan
Uddameri,2005). Pihak-pihak yang bersaing diasumsikan rasional dan cerdas, artinya masing-masing pihak akan melakukan strategi tindakan yang rasional unutk memenangkan persaingan tersebut, dan masing-masing pihak mengetahui
12
strategi pihak lawan. Selanjutnya pihak-pihak tersebut disebut pemain. (Dimyati dan Dimyati,1987).
II.3.2 Elemen Dasar Teori Permainan
Gupta dan Khanna (2004) serta Dimyati dan Dimyati (1987) secara umum menjelaskan elemen dasar teori permainan adalah sebagai berikut : (1) Pemain (Players) adalah pihak yang mempunyai kepentingan. Pemain dapat berupa individu, kelompok individu, atau organisasi (2) Strategi adalah tindakan pilihan yang mungkin dilakukan oleh para pemain. (3) Permainan (Game) merupakan suatu aturan yang menjelaskan bagaimana cara pemain dalam memilih startegi. (4) Pembayaran (Payoff) adalah nilai yang mencerminkan hasil yang akan diperoleh oleh pemain. Pembayaran dapat diartikan sebagai suatu ukuran keefektifan seperti uang, persentase, atau utilitas. (5) Nilai permainan menyatakan ekspektasi hasil ketika setiap pemain menggunakan strategi optimal (6) Strategi optimal adalah strategi yang menjadikan seorang pemain memperoleh hasil terbaik tanpa memperhatikan strategi dari pihak yang lain. (7) Solusi adalah strategi optimum bagi setiap pemain Nilai dari teori permainan agak terbatas karena adanya beberapa asumsi. Namun ide pengambilan keputusan pada situasi ini merupakan inti dari keputusan manajerial
II.3.3 Klasifikasi Teori Permainan
Model-model dalam teori permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara , bergantung pada faktor-faktor berikut yaitu
banyaknya pemain, jumlah
keuntungan dan kerugian, dan banyaknya strategi yang dilakukan dalam permainan (Gupta dan Khanna, 2004). Jika permainan mempunyai dua pemain maka disebut two-person game. Ketika pemain berjumlah tiga atau lebih disebut
13
n-person game. Solusi untuk n-person game masih dalam proses pengembangan. Apabila jumlah kerugian dan keuntungan dari permainannya adalah nol, disebut sebagai permaian berjumlah nol (zero-sum game) atau constant-sum game. Sebaliknya, jika kerugian dan keuntungan tidak berjumlah nol maka disebut sebagai non zero-sum game atau noncontant-sum game.
II.3.3.1 Two Person Zero-Sum Game
Dalam two person zero-sum game terdapat dua pemain yaitu pemain baris dan pemain kolom, seperti yang terlihat pada tabel II.3. Pemain baris harus memilih satu dari m strategi, secara bersamaan pemain kolom harus memilih satu dari n strategi. Jika pemain baris memilih strategi ke-i dan pemain kolom memilih strategi ke-j, maka pemain baris menerima keuntungan sebesar aij dan pemain kolom memperoleh kerugian sebesar aij. Terdapat dua jenis persoalan Two person
zero-sum game, yaitu permainan strategi murni (Pure-strategy Game) dan permainan strategi campuran (Mixed-strategy Game).
Tabel II.3 Two person zero-sum game Pemain Kolom Pemain Baris Strategi 1
Strategi 2
…
Strategi n
Strategi 1
a11
a12
…
a1n
Strategi 2
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
…
Strategi m
am1
am2
…
amn
(1) Permainan Strategi Murni (Pure-Strategy Game) Pada permaian permainan strategi murni ( Mixed-strategy Game), pemain yang akan memaksimumkan (Pemain Baris) akan mengidentifikasi strategi optimumnya dengan kriteria maksimin, sedangkan pemain yang akan meminimumkan
(Pemain
Kolom)
akan
mengidentifikasi
strategi
optimumnya dengan kriteria minimak. Jika nilai maksimin sama dengan nilai minimak, maka permainan telah terpecahkan. Nilai dimana nilai
14
maksimin sama dengan nilai minimak maka telah dicapai titik keseimbangan tersebut disebut dengan saddle point. (2.7)
Max(baris minimum)=min (kolom maksimum)
Saddle point condition atau equilibrium point merupakan nilai dimana tidak dari seorang pemain pun yang dapat memperoleh keuntungan dari perubahan strategi (2) Permainan Strategi Campuran (Mixed-Strategy Game) Jika dalam suatu permainan nilai maksimin tidak sama denga nilai minimaks, maka titik keseimbangan tidak tercapai. Hal ini berarti bahwa
Saddle point tidak ada, sehingga permainan tidak dapat diselesaikan dengan strategi murni dan harus diselesaikan dengan Permainan Strategi Campuran (Mixed-Strategy Game). Dalam Permainan Strategi Campuran para pemain
dapat
memainkan
seluruh
strategi
sesuai
dengan
probablitasnya yaitu :
xi=probabilitas pemain A memilih strategi i (i=1,2,..m) yi=probabilitas pemain B memilih strategi j (j=1,2,..n) dimana m dan n adalah banyaknya strategi yang dapat digunakan dan : m
n
∑x = ∑ y i =1
i
j =1
i
=1
xi, yi ≥ 0 untuk setiap i dan j dengan demikian matriks payoff dapat digambarkan sebagai berikut: Tabel II.4 Matriks payoff Pemain Kolom Pemain Baris
y1
y2
…
yn
x1
a11
a12
…
a1n
x2
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
…
xm
am1
am2
…
amn
15
Solusi persoalan ini berdasarkan pada kriteria maksimin dan minimaks. Pemain Baris akan memilih xi yang memaksimumkan ekspektasi payoff terkecil pada suatu kolom, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut: m m m v = maks min ∑ a11xi , ∑ a12 xi ,..., ∑ ain xi Xi i =1 i =1 i =1
(2.8)
Dimana m
∑x i =1
=1
i
xi ≥ 0 ( i=1,2...,m) Penyelesaian persamaan tersebut dapat dilakukan dengan Program Linier. m m m Jika v = min ∑ a11 xi , ∑ a12 xi ,..., ∑ ain xi i =1 i =1 i =1
Maka formulasi matematis program linier untuk Pemain Baris adalah sebagai berikut : (2.9)
Max z = v Dengan batasan
a11x1 + a21x2 + .... + am1xm ≥ v
(batasan kolom 1)
a12x1 + a22x2 + .... + am2xm ≥ v
(batasan kolom 2)
a1nx1 + a2nx2 + .... + amnxm ≥ v
(batasan kolom n)
x1 +x2 + .... + xm =1 xi ≥ 0 (
i=1,2, ...,m)
Sedangkan Pemain Kolom akan memilih yj yang dapat meminimumkan ekspektasi payoff terbesar pada suatu baris, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut: n n n v = min maks ∑ a1 j y j ,∑ a2 j y j ,..., ∑ amj y j Yj j =1 j =1 j=1
Dimana n
∑y j =1
j
=1
yj ≥ 0 (j = 1,2,...,n)
16
(2.10)
Penyelesaian persamaan tersebut dapat dilakukan dengan Program Linier. n n n Jika w = maks ∑ a1 j y j ,∑ a 2 j y j ,..., ∑ a mj y j j =1 j =1 j =1
Maka formulasi matematis program linier untuk Pemain Kolom adalah sebagai berikut : (2.11)
Min z = w Dengan batasan a11y1 + a21y2 + .... + a1nyn ≤ w
(batasan baris 1)
a12y1 + a22y2 + .... + a2nyn ≤ w
(batasan baris 2)
am1y1 + a m1y2 + .... + amnyn≤ w
(batasan baris n)
y1 +y2 + .... +yn =1 yj ≥ 0 (j = 1,2,...,n) Jika xi* dan yi* adalah solusi optimum, maka setiap elemen payoff aij akan dihubungkan dengan probalilitas xi* dan yi*. Dengan demikian nilai ekspektasi optimum dari permainan adalah m
v* = ∑ i =1
n
∑a i =1
ij
xi * y j *
(2.12)
II.3.3.2 Two Person Non Zero-Sum Game
Sebagain besar Teori Permainan model dalam dunia bisnis adalah non constant sum games, karena jarang persaingan bisnis dalam konflik total. Sebagai contoh dibawah ini adalah Two Person Nonconstant-Sum Games : Prisoners Dilemma.
Tabel II.5 Two person nonconstant-sum games
Pemain I
Pemain II NC
C
NC
(P,P)
(T,S)
C
(S,T)
(R,R)
17
dimana NC C P S R T
: : : : : :
non cooperative action cooperative action punishment for not cooperative payoff to person who doubled cross reward for cooperating if both cooperate temptation for double crosing opponent
Dalam permainan Prisoners Dilemma, (P,P) adalah nilai equilibrium. Dengan syarat P>S. Untuk (R,R) tidak menjadi nilai equilibrium memerlukan T>R. Jenis permainan ini terpenuhi jika R>P. Sehingga
syarat bahwa solusi bisa
diterima adalah T > R > P > S. Menurut Niam dkk (2007), Permainan Prisoners Dilemma mempunyai hal khusus dimana setiap pemain mempunyai strategi terbaik yang unik, tidak tergantung strategi yang dilakukan pihak lain. Setiap pemain i mempunyai sejumlah strategi si, dalam permainan ini pemain i memilih startegi si ∈ S. Permainan ini mempunyai solusi strategi dominan. Untuk strategi s ∈ S, si adalah stategi yang dilakukan pemain i dan s-i adalah (n-1) strategi yang dilakukan oleh pemain lain. Sedangkan ui(s) adalah payoff yang diperoleh pemain i, atau dapat ditulis dengan u i(si, s-i ). Maka s ∈ S adalah strategi dominan jika untuk setiap pemain i dan strategi alternatif s’ ∈ S, serta untuk setiap strategi pemain –i diperoleh u i (si , s ' −i ) ≥ u i (s 'i , s' −i )
(2.13)
Apabila terdapat baris atau kolom yang mempunyai matrik payoff yang tidak efektif pengaruhnya di dalam penentuan strategi optimum dan nilai permainan maka strategi tersebut dapat tidak digunakan sehingga mempermudah analisa.
18
