BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur aljabar grup dan ring serta mengenai grup fuzzy.
A. Himpunan Fuzzy Sebuah himpunan klasik didefinisikan sebagai kumpulan dari elemen atau objek π₯ β π yang dapat terbatas, berhingga ataupun tak terbatas atau tak berhingga. Menurut Klir (1995: 6) terdapat beberapa metode dasar untuk menentukan himpunan tersebut yang dapat didefinisikan secara umum dalam himpunan π: 1. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh penamaan semua anggotanya (metode pendataan). Metode ini dapat digunakan hanya untuk himpunan berhingga. Himpunan π΄ dengan anggota π1 , π2 , π3 , β¦ , ππ sering ditulis sebagai π΄ = {π1 , π2 , π3 , β¦ , ππ }. 2. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh sifat yang memenuhi dari tiap anggotanya (metode aturan). Notasi umum yang menggambarkan metode ini adalah π΄ = {π₯ | π(π₯)}. Dengan simbol β|β dinotasikan sebagai βyang sepertiβ, dan π(π₯) menunjuk proposisi dari bentuk βπ₯ memiliki sifat πβ.
5
3. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi biasa disebut sebagai fungsi karakteristik yang menyatakan elemen dari π merupakan anggota dari himpunan tersebut atau tidak. Himpunan π΄ didefinisikan oleh sebuah fungsi karakteristik ππ΄ sebagai berikut: 1, untuk π₯ β π΄ ππ΄ = { 0, untuk π₯ β π΄. Fungsi karakteristik di atas memetakan elemen-elemen π΄ ke anggota-anggota himpunan {0, 1}, secara formal dinyatakan sebagai, ππ΄ : π β [0,1].
Untuk βπ₯ β π, ππ΄ (π₯) = 1, π₯ anggota π΄; saat ππ΄ (π₯) = 0, π₯ bukan anggota π΄. Fungsi keanggotaan π yang memetakan himpunan universal π yang merupakan himpunan klasik, ke interval bilangan riil [0,1] disebut himpunan fuzzy π menurut Klir (1995: 11). Definisi 2.1.1. Klir (1995: 11) Misal π adalah himpunan dari objek tertentu, himpunan fuzzy π dari himpunan π adalah pemetaan anggota-anggota π ke interval riil [0,1] dan dinotasikan sebagai berikut. π βΆ π β [0,1]. Untuk lebih jelas memahami definisi di atas, diberikan contoh himpunan fuzzy sebagai berikut:
6
Contoh 2.1.1. Suatu himpunan π΄ didefinisikan sebagai bilangan riil β yang mendekati 10. Dari definisi himpunan fuzzy, π΄ merupakan pemetaan dari bilanganbilangan riil β ke interval tertutup [0, 1], atau dapat ditulis sebagai π΄: β β [0,1]. Selanjutnya himpunan π΄ dapat digambarkan pada Gambar 2.1. berikut:
π΄(π₯)
Gambar 2.1. Bilangan riil β yang mendekati 10.
β‘
B. Grup Grup merupakan salah satu struktur aljabar yang memuat suatu operasi biner beserta aksioma-aksiomanya. Berikut diberikan definisi dari grup. Definisi 2.2.1. Gallian (2010: 41) Misalkan πΊ merupakan sebuah himpunan bersama dengan sebuah operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan pasangan berurutan (π, π) dari anggota-anggota πΊ dengan setiap anggota dalam πΊ dapat dinotasikan sebagai ππ. πΊ dikatakan sebagai grup atas operasi ini jika memenuhi tiga sifat berikut. i.
Asosiatif. Operator ini bersifat asosiatif; memenuhi (ππ)π = π(ππ) untuk setiap π, π, π dalam πΊ.
7
ii.
Identitas. Terdapat elemen identitas π di dalam πΊ sedemikian sehingga ππ = ππ = π untuk setiap π dalam πΊ.
iii.
Invers. Untuk setiap elemen π dalam πΊ, terdapat suatu elemen π dalam πΊ (π disebut sebagai invers dari π) sedemikian sehingga ππ = ππ = π. Dari definisi di atas diberikan contoh grup berikut.
Contoh 2.2.1. Himpunan bilangan bulat β€, himpunan bilangan rasional β, dan himpunan bilangan rill β merupakan grup dengan penjumlahan biasa, yang mempunyai elemen identitas 0 dan invers dari elemennya adalah negatif dari β‘
elemen tersebut.
Contoh 2.2.2. Himpunan bilangan rasional positif β+ merupakan suatu grup dengan perkalian biasa. Invers dari elemannya yakni 1/a = a-1.
β‘
Jika suatu grup memiliki sifat π β π = π β π untuk setiap π, π β πΊ, maka grup tersebut disebut sebagai grup komutatif atau grup abelian (Gallian, 2010: 41). Berikut contoh grup abelian. Contoh 2.2.3. (β€, +), (β, +), (β, +), dan (β, +) masing-masing merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0 dan invers dari setiap elemennya adalah negatif β‘
dari elemen tersebut.
Contoh 2.2.4. Jika π suatu bilangan bulat positif dan πβ€ adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan n, maka (πβ€, +) merupakan suatu grup abelian. Hal ini ditunjukkan untuk πβ€ = { ππ|π bilangan bulat}, dengan π suatu bilangan bulat positif.
8
a. Terdapat π₯, π¦ β πβ€, maka π₯ = ππ, π¦ = ππ, dengan π, π β β€, sehingga π₯ + π¦ = ππ + ππ = (π + π)π. Karena π, π β β€, maka (π + π) β β€, sehingga (π + π)π β πβ€, yaitu (π₯ + π¦) β πβ€. Jadi operasi + pada πβ€ merupakan operasi biner. b. Karena πβ€ β β€ dan operasi + pada β€ bersifat asosiatif dan komutatif, maka operasi + pada πβ€ juga bersifat asosiatif dan komutatif. c. Elemen identitasnya adalah 0, sebab jika π₯ β πβ€, maka π₯ + 0 = 0 + π₯ = π₯. d. Invers dari setiap elemennya adalah negatif dari elemen tersebut yakni jika π₯ β πβ€ maka inversnya adalah βπ₯ β πβ€, sehingga π₯ + (βπ₯) = (βπ₯) + π₯ = 0.
β‘
1. Subgrup Subgrup yang terdapat di dalam struktur grup didefinisikan oleh Gallian (2010: 58) sebagai berikut, Definisi 2.2.2. Gallian (2010: 58) Jika π» subhimpunan dari suatu grup πΊ sehingga π» merupakan suatu grup dengan operasi yang bersesuaian dengan πΊ, maka π» disebut sebagai subgrup dari πΊ. Untuk lebih jelas, diberikan contoh subgrup sebagai berikut. Contoh 2.2.5. Subgrup yaitu (β€, +) merupakan grup bilangan bulat dengan penjumlahan. Jika 5β€ = {5π |π β β€}, yaitu himpunan semua bilangan bulat
9
kelipatan 5, maka (5β€, +) adalah suatu grup. Kerana 5β€ β β€, maka 5β€ subgrup β‘
dari β€.
2. Sifat-Sifat Grup Merujuk pada tulisan Gallian (2010: 48-50), sifat-sifat dari struktur aljabar grup sebagai berikut. Pada Teorema 2.2.1. dinyatakan bahwa grup hanya memiliki satu elemen identitas. Teorema 2.2.1. Gallian (2010: 48) Dalam suatu grup πΊ hanya ada satu elemen identitas. Diberikan teorema berikut yang menyatakan hukum kanselasi oleh Gallian (2010: 48). Teorema 2.2.2. Gallian (2010: 48) Dalam suatu grup πΊ berlaku hukum kanselasi kiri dan kanan; yakni jika ππ = ππ maka π = π, jika ππ = ππ, maka π = π. Mengenai ketunggalan invers dari elemen-elemen dalam grup diberikan teorema berikut oleh Gallian (2010: 49). Teorema 2.2.3. Gallian (2010: 49) Untuk sebarang elemen π dalam grup πΊ, terdapat elemen tunggal π dalam πΊ sedemikian sehingga ππ = ππ = π.
3. Subgrup Normal Subgrup Normal didefinisikan menurut Gallian (2010: 178) sebagai berikut.
10
Definisi 2.2.3. Gallian (2010: 178) Subgrup π» dari grup πΊ disebut sebagai subgrup normal dari πΊ jika ππ» = π»π, untuk setiap π β πΊ, yang dinotasikan oleh π» β² πΊ. Berdasarkan definisi diberikan contoh subgrup normal sebagai berikut. Contoh
2.2.6.
Misalkan
π3 = { (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
merupakan grup simetri tingkat 3. π = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} adalah subgrup dari π3 . Untuk menunjukkan bahwa π merupakan subgrup normal dari π3 maka harus memenuhi ππ = ππ, untuk setiap π anggota π3 . (1)π = {(1 2), (1 3), (2 3)} (1 2)π = {(1 2), (2 3), (1 3)} (1 3)π = {(1 2), (2 3), (1 3)} (2 3)π = {(1 2), (2 3), (1 3)} (1 2 3)π = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} (1 3 2)π = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} π(1) = {(1 2), (1 3), (2 3)} π(1 2) = {(1 2), (2 3), (1 3)} π(1 3) = {(1 2), (2 3), (1 3)} π(2 3) = {(1 2), (2 3), (1 3)} π(1 2 3) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} π(1 3 2) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} Jadi π merupakan subgrup normal dari π3 .
11
β‘
4. Grup Faktor Menurut Gallian (2010: 180) grup faktor didefinisikan berikut. Definisi 2.2.4. Gallian (2010: 180) Misalkan πΊ grup dan π» subgrup normal dari πΊ. Himpunan πΊβπ» = { ππ» | π β πΊ} adalah grup atas operasi (ππ»)(ππ») = πππ». Berdasarkan Definisi 2.2.4. di atas, berikut diberikan contoh subgrup normal. Contoh 2.2.7. Misalkan π(11) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan Γ modulo 11 adalah suatu grup abelian. π = {1, 10} suatu subgrup normal dari π(11). 1π = {1, 10} = π = 10π 2π = {2, 9} = 9π 3π = {3, 8} = 8π 4π = {4, 7} = 7π 5π = {5, 6} = 6π, Jadi grup faktor π(11) oleh π adalah
π(11)β π = { π1, π2, π3, π4, π5}.
β‘
5. Homomorfisme Grup Selain subgrup, terdapat pula homomorfisme pada struktur grup. Menurut Gallian (2010: 200) homomorfisme grup didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.2.5. Gallian (2010: 200) Suatu homomorfisme π dari suatu grup πΊ ke grup πΊΜ
merupakan pemetaan dari πΊ ke πΊΜ
yang melanggengkan operasi grup. Hal tersebut menunjukkan bahwa π(ππ) = π(π)π(π), β π, π β πΊ.
12
Misalkan (πΊ,β) dan (πΊ1 ,β1 ) merupakan grup dan π merupakan fungsi yang memetakan πΊ ke πΊ1 . π disebut sebagai sebuah homomorfisme dari πΊ ke πΊ1 jika untuk setiap π, π β πΊ, π(π β π) = π(π) β1 π(π). Galian (2010: 200) mendefinisikan mengenai kernel dari suatu homomorfisme sebagai berikut. Definisi 2.2.6. Gallian (2010: 200) Kernel dari suatu homomorfisme π dari grup πΊ ke grup dengan elemen identitas π adalah himpunan {π₯ β πΊ|π(π₯) = π}. Kernel dari π dinotasikan sebagai Ker π. Sifat-sifat dari homomorfisme suatu grup yang berkaitan dengan kernel ditunjukkan oleh (Gallian, 2010: 202) pada teorema berikut. Teorema 2.2.5. Gallian (2010: 202), Misalkan π suatu homomorfisme dari grup πΊ ke πΊΜ
dan terdapat π anggota dari πΊ. Maka, Μ
1. π membawa identitas dari πΊ ke πΊ. π
2. π(ππ ) = (π(π)) untuk setiap bilangan bulat π. 3. Jika |π| terbatas, maka |π(π)| membagi habis |π|. 4. πΎππ π adalah subgrup dari πΊ. 5. π(π) = π(π), jika dan hanya jika π πΎππ π = π πΎππ π. 6. Jika π(π) = πβ² , maka π β1 (πβ² ) = {π₯ β πΊ|π(π₯) = πβ² } = π πΎππ π. Untuk lebih jelas mengenai homomorfisme grup, diberikan contoh mengenai homomorfisme berikut.
13
Contoh 2.2.8. Misalkan (β€, +) adalah grup bilangan bulat dengan penjumlahan aritmetik dan β€π = {[0], [1], [2], β¦ , [π β 1]} dengan penjumlahan (+) modulo π. Pemetaan π: β€ β β€π didefinisikan oleh π(π) = [π], βπ β β€. Apabila π, π β β€, maka π(π) = [π], π(π) = [π] dan (π + π) β β€, sehingga π(π + π) = [π + π] = [π] + [π] = π(π) + π(π). Jadi, π merupakan suatu homomorfisme dari β€ ke β€π .
β‘
Teorema pertama isomorfisme grup menurut Gallian (2010: 207). Teorema 2.2.6. Gallian (2010: 207) Misalkan π merupakan homomorfisme dari grup πΊ ke πΊΜ
. Maka pemetaan dari πΊ/πΎππ π ke π(πΊ), diberikan oleh ππΎππ π β π(π), adalah suatu isomorfisme yang ditulis sebagai, πΊβ πΎππ π β π(πΊ).
C. Ring Ring merupakan salah satu struktur aljabar yang menyertakan dua operasi biner. Merujuk dari tulisan Gallian ring didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.3.1. Gallian (2010: 237) Suatu himpunan π
tak kosong dengan dua operasi biner (penjumlahan + dan perkalian Γ), sedemikian sehingga untuk setiap π, π, π dalam π
berlaku: 1. π + π = π + π. 2. (π + π) + π = π + (π + π).
14
3. Terdapat identitas penjumlahan yang disebut 0. Sehingga memenuhi π + 0 = 0 + π = π untuk setiap π dalam π
. 4. Terdapat elemen β π dalam π
sedemikian sehingga π + (βπ) = 0. 5. π(ππ) = (ππ)π. 6. π(π + π) = ππ + ππ dan (π + π)π = ππ + ππ. Dari Definisi 2.3.1. di atas, diberikan beberapa contoh ring berikut. Contoh 2.3.1. Himpunan bilangan bulat (β€), himpunan bilangan rasional (β), himpunan bilangan riil (β), dan himpunan bilangan komplek (β), dengan penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring.
β‘
Contoh lain mengenai ring sebagai berikut. Contoh 2.3.2. Jika π β β€, subhimpunan πβ€ = {π β β€: π πππππππ π} dari bilangan bulat merupakan operasi tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian, yang jelas memenuhi aksioma ring, sehingga membentuk sebuah ring terhadap β‘
dirinya sendiri.
Contoh 2.3.3. β€7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} yaitu himpunan semua kelas bilangan bulat modulo 7. β€7 dengan penjumlahan modulo 7 dan perkalian modulo 7 adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan [1]. Berikut ini tabel cayley penjumlahan dan perkalian dari β€7 .
15
Tabel 2. 1 Tabel Cayley penjumlahan dari β€π . +7
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[1]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[2]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[1]
[3]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[1]
[2]
[4]
[4]
[5]
[6]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[5]
[6]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[6]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Tabel 2. 2 Tabel Cayley perkalian dari β€π . Γ7
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[2]
[0]
[2]
[4]
[6]
[1]
[3]
[5]
[3]
[0]
[3]
[6]
[2]
[5]
[1]
[4]
[4]
[0]
[4]
[1]
[5]
[2]
[6]
[3]
[5]
[0]
[5]
[3]
[1]
[6]
[4]
[2]
[6]
[0]
[6]
[5]
[4]
[3]
[2]
[1]
Memperhatikan Tabel 2.1 dan Tabel 2.2, tampak sifat tertutup dari penjumlahan dan perkalian modulo 7 dipenuhi, dengan elemen identitasnya adalah [0], invers terhadap penjumlahan modulo 7 dari elemen-elemennya adalah negatifnya, yaitu β [0] = [0], β[1] = [6], β[2] = [5], β[3] = [3], β[4] = [3], β[5] = [2], β[6] = [1]. Karena tabel simetris terhadap diagonal utama maka penjumlahan modulo 7 maupun perkalian modulo 7 pada β€7 bersifat komutatif. β€7 terhadap perkalian
16
modulo 7, bersifat tertutup dan invers dari setiap elemennya terhadap perkalian modulo 7, yaitu [1] β 1 = [1], [2] β 1 = [4], [3] β 1 = [5], [6] β 1 = [6]. β‘
Jadi β€7 juga merupakan medan.
Selain itu, terdapat juga ring komutatif seperti yang telah dicontohkan di atas, yakni suatu ring yang mempunyai sifat komutatif terhadap perkalian. Berikut didefinisikan oleh Musili (1992: 5) ring komutatif dan elemen satuan. Definisi 2.3.2. Musili (1992: 5) Suatu ring dikatakan sebagai ring komutatif jika semi-grup (π
, Β·) adalah komutatif yaitu π . π = π . π untuk semua π, π β π
. Lebih lanjut mengenai ring, diberikan Definisi 2.3.3. oleh Musili (1992: 5) mengenai elemen identitas perkalian dari ring. Definisi 2.3.3. Musili (1992: 5) Jika semi-grup (π
, Β·) mempunyai sebuah identitas yang tunggal dan dinotasikan sebagai 1R atau secara sederhana dilambangkan dengan 1 dan disebut sebagai elemen identitas perkalian atau unity dari R. Definisi berikut diberikan oleh Musili (1992: 5) menjelaskan mengenai invers pada ring. Definisi 2.3.4. Musili (1992: 5) Andaikan R merupakan ring dengan unity. Sebuah elemen π’ β π
dikatakan sebagai unit atau invertible jika terdapat π£ β π
sedemikian sehingga π’π£ = π£π’ = 1. Jika π’ adalah sebuah unit, terdapat π£ sedemikian π’π£ = π£π’ = 1 adalah tunggal dapat dinotasikan sebagai π’β1 dan disebut sebagai invers perkalian dari π’.
17
1. Sifat-sifat Ring Sifat-sifat ring yang terdapat pada Teorema 2.3.1. berikut membahas aturan perkalian pada ring. Teorema 2.3.1. Gallian (2010: 239). Andaikan π, π dan π elemen dari ring π
. maka 1) π0 = 0π = 0 2) π(βπ) = (βπ)π = β(ππ) 3) (βπ)(βπ) = ππ 4) π΄(π β π) = ππ β ππ πππ (π β π)π = ππ β ππ. Selain itu, jika π
memiliki elemen kesatuan 1, maka 5) (β1)π = βπ 6) (β1)(β1) = 1.
Teorema 2.3.2. berikut ini menjelaskan tentang ketunggalan dari elemen kesatuan dan invers dari ring oleh Gallian (2010: 240). Teorema 2.3.2. Gallian (2010: 240). Jika suatu ring mempunyai elemen kesatuan, maka itu tunggal. Jika elemen suatu ring mempunyai invers perkalian, maka itu tunggal.
2. Subring Di dalam struktur grup terdapat subgrup sedangkan pada struktur ring juga terdapat analogi dari subgrup yakni subring, berikut didefinisikan subring menurut Gallian (2010: 240).
18
Definisi 2.3.5. Gallian (2010: 240) Sebuah subhimpunan π dari suatu ring π
adalah subring dari π
jika π itu sendiri merupkan ring dengan operasi pada π
.
Untuk menjamin suatu subring, diperlukan syarat cukup dan syarat perlu yang juga akan dipakai untuk membangun definisi dari ring fuzzy. Berikut ini teorema mengenai subring oleh Gallian (2010: 240). Teorema 2.3.3. Gallian (2010: 240) Subhimpunan tak kosong π dari ring π
adalah subring jika tertutup atas pengurangan dan perkalian, yakni jika (π β π) dan (ππ) dalam π bilamana π dan π di dalam π. Mengenai definisi subring diberikan Contoh 2.3.4. sebagai berikut. Contoh 2.3.4. Misalkan β€ merupakan ring bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik dan β€2 adalah himpunan semua bilangan genap. β€2 dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik merupakan suatu ring. Karena β€2 subhimpunan dari β€ maka β€2 adalah subring dari β€.
β‘
3. Ideal Ring Ideal merupakan subring dengan sifat khusus seperti didefinisikan oleh Gallian (2010: 262). Definisi 2.3.6. Gallian (2010: 262) Suatu subring π΄ dari ring π
disebut ideal kiri dan kanan dari π
jika untuk setiap π β π
dan setiap π β π΄ keduanya ππ dan ππ berada dalam π΄.
19
Jadi, suatu subring π΄ dari π
merupakan suatu ideal jika π΄ menyerap elemen dari π
yakni jika ππ΄ = {ππ|π β π΄} β π΄ dan π΄π = {ππ|π β π΄} β π΄ untuk setiap π β π
. Diberikan teorema berikut yang menyatakan suatu ideal ring. Teorema 2.3.4. Gallian (2010: 262) Suatu subhimpunan tak kosong π΄ dari ring π
adalah suatu ideal dari π
jika, 1. π β π β π΄ untuk π, π β π΄. 2. ππ dan ππ dalam π΄ untuk π β π΄ dan π β π
.
Dari Definisi 2.3.6. dan Teorema 2.3.4. diberikan contoh ideal ring berikut. Contoh 2.3.5. Misalkan β€ merupakan ring bilangan bulat dan π΅ adalah himpunan semua bilangan genap. π΅ merupakan subring dari β€ dan π΅ adalah ideal kiri dan ideal kanan dari β€ sehingga π΅ adalah ideal dari β€.
β‘
4. Ring Faktor Selain ideal juga terdapat ring faktor yang merupakan analogi dengan grup faktor pada struktur aljabar grup, diberikan teorema oleh Gallian (2010: 264) sebagai berikut: Teorema 2.3.5. Gallian (2010: 264) Misalkan π
ring dan π΄ subring dari π
. Himpunan dari koset {π + π΄|π β π
} adalah ring atas operasi (π + π΄) + (π‘ + π΄) = π + π‘ + π΄ dan (π + π΄)(π‘ + π΄) = π π‘ + π΄ jika dan hanya jika π΄ adalah ideal dari π
. Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai ring faktor, diberikan Contoh 2.3.6. berikut.
20
Contoh 2.3.6. Misalkan β€ adalah ring bilangan bulat dan π adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5. π adalah ideal dari β€, sehingga koset-koset dari π dalam β€ adalah: π + 1 = {β¦ , β9, β4, 1, 6, 11, β¦ } = π + 6 = π β 4 = β― π + 2 = {β¦ , β8, β3, 2, 7, 12, β¦ } = π + 7 = π β 3 = β― π + 3 = {β¦ , β7, β2, 3, 8, 13, β¦ } = π + 8 = π β 2 = β― π + 4 = {β¦ , β6, β1, 4, 9, 14, β¦ } = π + 9 = π β 1 = β― π + 0 = {β¦ , β10, β5, 0, 5, 10, β¦ } = π + 5 = π + 10 = β― Diperoleh, ring faktor dari π dalam β€ adalah {π, π + 1, π + 2, π + 3, π + 4}.β‘
5. Homomorfisme Ring Homomorfisme ring merupakan peluasan dari konsep homomorfisme grup yang didefinisikan oleh Gallian (2010: 280) sebagai berikut. Definisi 2.3.8. Gallian (2010: 280) Suatu homomorfisme ring π dari ring R ke ring S adalah pemetaan dari R ke S yang melanggengkan dua operasi ring; yakni untuk setiap a, b dalam R, π(π + π) = π(π) + π(π) πππ π(ππ) = π(π)π(π). Homomorfisme ring yang keduanya bersifat satu-satu dan onto disebut isomorfisme ring. Diberikan Contoh 2.3.7. mengenai homomorfisme ring sebagai berikut. Contoh 2.3.7. Koresponden π: π₯ β 5π₯ dari π4 dan π10 merupakan homomorfisme ring ditunjukkan sebagai berikut.
21
π₯ + π¦ = 4π1 + π1 dan π₯π¦ = 4π2 + π2 . Dengan 0 β€ π1 < 4 dan 0 β€ π2 < 4. Maka, π(π₯ + π¦) = π(π1 ) = 5π1 = 5(π₯ + π¦ β 4π1 ) = 5π₯ + 5π¦ β 20π1 = 5π₯ + 5π¦ = π(π₯) + (π¦) dalam π10. Menggunakan 5 . 5 = 5 dalam π10 diperoleh, π(π₯π¦) = π(π2 ) = 5π2 = 5(π₯π¦ β 4π2 ) = 5π₯π¦ β 20π2 = (5 . 5)π₯π¦ = 5π₯5π¦ = π(π₯)π(π¦) dalam π10 .
β‘
D. Grup Fuzzy Merujuk pada tulisan Ajmal (1994), Kandasamy (2003) dan Karyati (2015) mengenai grup fuzzy dan semigrup fuzzy yang merupakan pemetaan dari suatu grup ke interval [0,1]. Didefinisikan grup fuzzy sebagai berikut.
22
Definisi 2.4.1. Ajmal (1994: 330) Misalkan πΊ merupakan suatu grup. Subhimpunan fuzzy π dari πΊ disebut subgrup fuzzy dari πΊ jika βπ₯, π¦ β πΊ, i. π(π₯π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦)}, ii. π(π₯ β1 ) β₯ π(π₯). Untuk jelas mengenai Definisi 2.4.1. diberikan contoh grup fuzzy sebagai berikut. Contoh 2.4.1. Himpunan bilangan bulat modulo 6 (β€6 ) terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan suatu grup yang ditunjukkan oleh tabel cayley 2.3 berikut. Tabel 2. 3 Tabel Cayley penjumlahan dari β€π . +6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
Dari Tabel 2.3. disimpulkan bahwa: i. Operasi biner +6 bersifat asosiatif karena memenuhi (π + π) + π = π + (π + π) untuk setiap π, π, π β β€6 . ii. Elemen identitasnya yakni 0.
23
iii. Setiap elemen β€6 mempunyai invers di dalamnya. 0β1 = 0, 1β1 = 5, 2β1 = 4, 3β1 = 3, 4β1 = 2, 5β1 = 1. Kemudian didefinisikan pemetaan π terhadap β€6 yakni, 2
π(π₯) = {33 4
, π’ππ‘π’π π₯ = 1, 3, 5, , π’ππ‘π’π π₯ = 0, 2, 4.
Terlihat bahwa setiap elemen β€6 dipetakan tepat satu elemen pada interval [0,1]. Sehingga π merupakan pemetaan. Akan ditunjukkan bahwa π grup fuzzy dari β€6 yaitu memenuhi aksioma berikut: i. π(π₯π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦)}, Untuk membuktikan aksioma ini, maka harus ditunjukkan berlaku untuk setiap π₯, π¦ β β€6 , sehingga harus diuji berlaku untuk setiap kemungkiunan yang terjadi. Kemungkinan Misalkan π = {0, 2, 4} dan π = {1, 3, 5}, kemungkinankemungkinan yang terjadi sebagai berikut: a. Untuk sebarang π₯ β π dan π¦ β π maka, 3 2
2
min{π(π₯), π(π¦)} = min {4 , 3} = 3 . Karena (π₯π¦) β π dan (π₯π¦) β π 2
3
3
4
π(π₯π¦) = dan π(π₯π¦) = . Dengan demikian dipenuhi π(π₯π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦)}. b. Untuk sebarang π₯ β π dan π¦ β π maka, 2 3
2
min{π(π₯), π(π¦)} = min {3 , 4} = 3 . Karena (π₯π¦) β π dan (π₯π¦) β π
24
2
3
π(π₯π¦) = 3 dan π(π₯π¦) = 4. Dengan demikian dipenuhi π(π₯π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦)}. c. Untuk sebarang π₯, π¦ β π maka, 3 3
3
min{π(π₯), π(π¦)} = min {4 , 4} = 4 . Karena (π₯π¦) β π 3
π(π₯π¦) = 4. Dengan demikian dipenuhi π(π₯π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦)}. d. Untuk sebarang π₯, π¦ β π maka, 2 2
2
min{π(π₯), π(π¦)} = min {3 , 3} = 3 . Karena (π₯π¦) β π 3
π(π₯π¦) = 4. Dengan demikian dipenuhi π(π₯π¦) β₯ min{π(π₯), π(π¦)}. Berdasarkan bukti di atas, dipenuhi aksioma pertama grup fuzzy sehingga π merupakan grup fuzzy dari β€6 . ii. π(π₯ β1 ) β₯ π(π₯). Bukti aksioma kedua ditunjukkan sebagai berikut: a. Untuk π₯ = 0 maka, 3
π(0β1 ) = π(0) = 4 = π(0). Dengan demikian dipenuhi π(0β1 ) β₯ π(0). b. Untuk π₯ = 1 maka,
25
2
π(1β1 ) = π(5) = 3 = π(1). Dengan demikian dipenuhi π(1β1 ) β₯ π(1). c. Untuk π₯ = 2 maka, 3
π(2β1 ) = π(4) = 4 = π(2). Dengan demikian dipenuhi π(2β1 ) β₯ π(2). d. Untuk π₯ = 3 maka, 2
π(3β1 ) = π(3) = 3 = π(3). Dengan demikian dipenuhi π(3β1 ) β₯ π(3). e. Untuk π₯ = 4 maka, 3
π(4β1 ) = π(2) = 4 = π(4). Dengan demikian dipenuhi π(4β1 ) β₯ π(4). f. Untuk π₯ = 5 maka, 2
π(5β1 ) = π(1) = 3 = π(5). Dengan demikian dipenuhi π(5β1 ) β₯ π(5). Berdasarkan bukti di atas, dipenuhi aksioma kedua grup fuzzy sehingga π β‘
merupakan grup fuzzy dari β€6 .
Struktur aljabar grup mengenal istilah subgrup normal, pada grup fuzzy diberikan definisi normal grup fuzzy sebagai berikut. Definisi 2.4.2. Kandasamy (2003: 11) Misalkan G Grup. Suatu subgrup fuzzy π dari G disebut normal jika π(π₯) = π(π¦ β1 π₯π¦) untuk setiap π₯, π¦ β πΊ.
26
Untuk memperjelas Definisi 2.4.2. tersebut, diberikan contoh sebagai berikut: Contoh 2.4.2. Diberikan grup β€6 dan pemetaan π seperti dalam Contoh 2.4.1.. Akan ditunjukkan π merupakan normal fuzzy untuk setiap π₯, π¦ β β€6 dengan memperhatikan setiap kemungkinan yang terjadi, yaitu: 3
i. Untuk π₯ = 0 sehingga π(π₯) = π(0) = 4, akan ditunjukkan π(π₯) = π(π¦ β1 π₯π¦). 3
π¦ = 1 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(5 + 0 + 1) = π(0) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 2 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(4 + 0 + 2) = π(0) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 3 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(3 + 0 + 3) = π(0) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 4 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(2 + 0 + 4) = π(0) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 5 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(1 + 0 + 5) = π(0) = 4 = π(π₯). 2
ii. Untuk π₯ = 1 sehingga π(π₯) = π(1) = 3, akan ditunjukkan π(π₯) = π(π¦ β1 π₯π¦). 2
π¦ = 0 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(0 + 1 + 0) = π(1) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 2 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(4 + 1 + 2) = π(1) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 3 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(3 + 1 + 3) = π(1) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 4 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(2 + 1 + 4) = π(1) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 5 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(1 + 1 + 5) = π(1) = 3 = π(π₯). 3
iii. Untuk π₯ = 2 sehingga π(π₯) = π(2) = 4, akan ditunjukkan π(π₯) = π(π¦ β1 π₯π¦). 3
π¦ = 0 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(0 + 2 + 0) = π(2) = 4 = π(π₯).
27
3
π¦ = 1 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(5 + 2 + 1) = π(2) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 3 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(3 + 2 + 3) = π(2) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 4 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(2 + 2 + 4) = π(2) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 5 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(1 + 2 + 5) = π(2) = 4 = π(π₯). 2
iv. Untuk π₯ = 3 sehingga π(π₯) = π(3) = 3, akan ditunjukkan π(π₯) = π(π¦ β1 π₯π¦). 2
π¦ = 0 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(0 + 3 + 0) = π(3) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 1 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(5 + 3 + 1) = π(3) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 2 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(4 + 3 + 2) = π(3) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 4 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(2 + 3 + 4) = π(3) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 5 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(1 + 3 + 5) = π(3) = 3 = π(π₯). 3
v. Untuk π₯ = 4 sehingga π(π₯) = π(4) = 4, akan ditunjukkan π(π₯) = π(π¦ β1 π₯π¦). 3
π¦ = 0 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(0 + 4 + 0) = π(4) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 1 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(5 + 4 + 1) = π(4) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 2 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(4 + 4 + 2) = π(4) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 3 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(3 + 4 + 3) = π(4) = 4 = π(π₯). 3
π¦ = 5 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(1 + 4 + 5) = π(4) = 4 = π(π₯). 2
vi. Untuk π₯ = 5 sehingga π(π₯) = π(5) = 3, akan ditunjukkan π(π₯) = π(π¦ β1 π₯π¦). 2
π¦ = 0 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(0 + 5 + 0) = π(5) = 3 = π(π₯).
28
2
π¦ = 1 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(5 + 5 + 1) = π(5) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 2 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(4 + 5 + 2) = π(5) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 3 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(3 + 5 + 3) = π(5) = 3 = π(π₯). 2
π¦ = 4 berlaku π(π¦ β1 π₯π¦) = π(2 + 5 + 4) = π(5) = 3 = π(π₯). Berdasarkan bukti di atas untuk setiap π₯, π¦ β β€6 memenuhi π(π₯) = π(π¦ β1 π₯π¦) β‘
sehingga π merupakan normal.
Lebih lanjut secara sederhana dijelaskan oleh Ajmal (1994: 330) mengenai normal. Misalkan elemen identitas dari πΊ adalah π, jika π(π) = π‘, dan π disebut normal jika π(π₯π¦) = π(π¦π₯) untuk setiap π₯, π¦ β πΊ. Selain itu, pada penelitian ini juga digunakan konsep pembuktian menggunakan subhimpunan level ππ‘ maupun subhimpunan level kuat ππ‘> yang didefinisikan oleh Ajmal (1993: 330) sebagai berikut. Definisi 2.4.3. Ajmal (1994: 330) Misalkan π merupakan himpunan fuzzy dalam himpunan π dan π‘ β [0,1]. Maka, subhimpunan level (ππ‘ ) dan subhimpunan level kuat (ππ‘> ) dari π didefinisikan, i. ππ‘ = {π₯ β π |π(π₯) β₯ π‘}, ii. ππ‘> = {π₯ β π |π(π₯) > π‘}. Guna memperjelas Definisi 2.4.3. diberikan contoh subhimpunan level dan subhimpunan level kuat sebagai berikut:
29
Contoh 2.4.3. Misalkan π΄ = {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan fuzzy π memetakan π΄ ke 2π₯
interval [0, 1] yang didefinisikan sebagai π(π₯) = 10 untuk setiap π₯ β π΄. Sehingga diperoleh derajat keanggotaan dari elemen-elemen π΄ sebagai berikut: i. Untuk π₯ = 1, diperoleh π(1) = ii. Untuk π₯ = 2, diperoleh π (1) = iii. Untuk π₯ = 3, diperoleh π(1) = iv. Untuk π₯ = 4, diperoleh π(1) = v. Untuk π₯ = 5, diperoleh π(1) =
2.1 10 2.2 10 2.3 10 2.4 10 2.5 10
2
= 10. 4
= 10. 6
= 10. 8
= 10. 10
= 10 = 1.
Ditunjukkan subhimpunan level ππ‘ dan subhimpunan level kuat ππ‘> dari himpunan fuzzy π dengan π‘ =
4
, yaitu π 4 = {π₯ β π΄ | π(π₯) β₯
10
10
4
} = {2, 3, 4, 5} subhimpunan
10
4
level, sedangkan subhimpunan level kuat π >4 = {π₯ β π΄ | π(π₯) > 10} = {3, 4, 5}. 10
Dalam hal ini berlaku π >4 β π 4 . 10
β‘
10
Penyelidikan mengenai sifat-sifat ring fuzzy juga dilakukan dengan memanfaatkan peta dan pra-peta homomorfisme. Definisi mengenai pemetaan yang digunakan oleh Ajmal (1994: 330) dalam grup fuzzy tidak jauh berbeda dengan yang akan digunakan pada penelitian ring fuzzy, yakni hanya pada struktur yang digunakan.
30
Definisi 2.4.4. Ajmal (1994: 330) Misalkan π pemetaan dari grup πΊ ke grup πΊ β² , π dan π masing-masing merupakan himpunan fuzzy dari grup πΊ dan grup πΊβ². Peta homomorfis π(π) didefinisikan untuk setiap π¦ β πΊ β² berlaku: sup
π(π)(π¦) =
{π₯βπβ1 (π¦)
π(π₯)
ππππ π β1 (π¦) β 0,
0 ππππ π β1 (π¦) = 0,
Prapeta dari π β1 (π) didefinisikan untuk setiap π₯ β πΊ berlaku: π β1 (π)(π₯) = π(π(π₯)), π’ππ‘π’π π₯ β πΊ. Guna memperjelas definisi Definisi 2.4.4. di atas, diberikan contoh sebagai berikut: Contoh 2.4.4. Misalkan dibentuk pemetaan π: β€4 β β€4 yang didefinisikan sebagai π(π₯) = 2π₯. Didefinisikan πΌ subhimpunan fuzzy dari β€4 sebagai berikut: 3
πΌ=
4 4 5 5
, π₯=1 , π₯=2
{ 6 , π₯ = 0,3, dengan demikian yang dimaksud dengan π(πΌ)(π₯) adalah: a. Untuk π¦ = 0, berlaku π(πΌ)(1) = sup {π(π₯)}, π₯βπ β1
= =
sup {π(0), π(2)}
{0,2}βπ β1
sup
{0,2}βπ β1 5
= 6.
31
5 4
{6 , 5}
b. Untuk π¦ = 1, berlaku π(πΌ)(1) = 0 karena π β1 (1) = β
. c. Untuk π¦ = 2, berlaku π(πΌ)(2) = sup {π(π₯)}, π₯βπ β1
= =
sup {π(1), π(3)}
{1,3}βπ β1
sup
{1,3}βπ β1
3 5
{4 , 6}
5
= 6. d. Untuk π¦ = 3, berlaku π(πΌ)(3) = 0 karena π β1 (1) = β
. Selanjutnya didefinisikan π½ subhimpunan fuzzy dari β€4 sebagai berikut: 3
π½ = {75 6
, π₯ = 0, 3 , π₯ = 1,2
Sehingga untuk π β1 (π½)(π¦) = π½(π(π₯)) diperoleh sebagai berikut: a. Untuk π₯ = 0, berlaku: 3
π β1 (π½)(0) = π½(π(0)) = π½(0) = 7. b. Untuk π₯ = 1, berlaku: 5
π β1 (π½)(1) = π½(π(1)) = π½(2) = 6. c. Untuk π₯ = 2, berlaku: 3
π β1 (π½)(2) = π½(π(2)) = π½(0) = 7. d. Untuk π₯ = 3, berlaku: 5
π β1 (π½)(3) = π½(π(3)) = π½(2) = 6.
32
β‘
Beberapa sifat-sifat dalam grup fuzzy yang telah dibuktikan oleh Ajmal (1993: 331). Proposisi 2.4.1. dibuktikan oleh Ajmal (1994: 331) dengan memanfaatkan subhimpunan level. Proposisi 2.4.1. Ajmal (1994: 331) Misalkan π merupakan himpunan fuzzy dalam grup πΊ. Maka, π adalah subgrup fuzzy dari πΊ jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level tak kosong dari π adalah subgrup dari πΊ. Sebagai akibat dari Proposisi 2.4.1. diperoleh Proposisi 2.4.2. yang dibuktikan oleh Ajmal (1994: 331) dengan menggunakan definisi subhimpunan level. Proposisi 2.4.2. Ajmal (1994: 331) Misalkan π merupakan himpunan fuzzy dalam grup πΊ. Maka, π adalah subgrup fuzzy dari πΊ jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level ππ‘ untuk π‘ β πΌπ π adalah subgrup dari πΊ. Selain sifat pada grup fuzzy, Ajmal (1994: 332) juga menyelidiki mengenai sifat dari subgrup normal fuzzy, sehingga diperoleh Proposisi 2.4.3.. Pembuktian yang dilakukan juga dengan memanfaatkan sifat dari subhimpunan level. Proposisi 2.4.3. Ajmal (1994: 332) Subgrup fuzzy π dari πΊ adalah suatu normal jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level tak kosong ππ‘ adalah subgrup normal dari πΊ. Proposisi 2.4.3. memberikan akibat pada Proposisi 2.4.4. sehingga berlaku sebagai berikut:
33
Proposisi 2.4.4. Ajmal (1994: 332) Subgrup fuzzy π dari πΊ adalah normal fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level ππ‘ untuk π‘ β πΌπ π adalah subgrup normal dari G.
34
