5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.
Definisi 2.1.2 (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ghahramani 2005) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian
adalah himpunan bagian dari .
Definisi 2.1.3 (Ukuran Peluang) (Ghahramani 2005) pada (
Suatu ukuran peluang
) adalah suatu fungsi
,
- yang
memenuhi syarat-syarat berikut. 1. 2.
( )
dan ( )
Jika
adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
untuk setiap Pasangan (
;
dengan
, maka (⋃
)
∑
,
( ).
) disebut ruang peluang (probability space).
Definisi 2.1.4 (Peubah Acak) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya (
) adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable)
merupakan fungsi
di mana *
( )
+
untuk setiap
. Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
6
Definisi 2.1.5 (Fungsi Distribusi) (Ghahramani 2005) Jika
yang terdefinisi pada (
adalah peubah acak, maka fungsi
( )
(
) disebut fungsi distribusi dari
) oleh
yang memenuhi syarat-syarat
berikut. 1.
tidak turun; ( )
2.
;
( )
3.
;
kontinu kanan.
4.
Definisi 2.1.6 (Fungsi Kepekatan Peluang) (Ghahramani 2005) Misalnya
adalah peubah acak. Misalnya ada fungsi bernilai riil tak negatif ) sehingga untuk setiap subset bilangan riil
,
dapat dikonstruksi dari
interval oleh bilangan terhitung dari operasi himpunan, ( Maka
)
∫
disebut kontinu mutlak. Fungsi
( )
.
disebut fungsi kepekatan peluang atau
fungsi kepekatan dari . Misalnya
fungsi kepekatan dari peubah acak
dengan fungsi distribusi
maka
berlaku syarat-syarat berikut ( )
1.
∫
( )
( )
2. ∫ 3. Jika
( ∫
)
( );
(
4. Untuk bilangan riil 5.
( )
kontinu mutlak, maka
(
) )
(
∫
( ) )
(
)
( )
Teorema 2.1.7 (Metode Transformasi) (Ghahramani 2005) Misalnya
adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan fungsi kepekatan
dan himpunan kemungkinan nilai-nilainya disimbolkan dengan . Untuk fungsi yang dapat diinverskan, misalnya himpunan nilai-nilainya
( )
* ( )
( ) adalah peubah acak dengan + . Misalnya invers
( )
7
( ), yang terturunkan untuk setiap nilai-nilai
adalah fungsi
. Maka
, fungsi kepekatan dari , diberikan oleh ( )
( ))|(
(
) ( )|
Definisi 2.1.8 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) (Ghahramani 2005) Jika
adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan fungsi kepekatan peluang
, maka nilai harapan dari
didefinisikan oleh ( )
( )
∫
Definisi 2.1.9 (Ragam dan Simpangan Baku) (Ghahramani 2005) Jika dan
adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan ( ) yang merupakan ragam dan simpangan baku dari
( )
, maka
, berturut-turut
didefinisikan oleh ( )
,(
) -,
√ ,(
) -.
Definisi 2.1.10 (Peubah Acak Normal) (Ghahramani 2005) Peubah acak
disebut normal, dengan parameter
dan , jika fungsi kepekatan
peluangnya adalah ( )
√
[
(
)
]
Lema 2.1.11 (Peubah Acak Normal Baku) (Ghahramani 2005) Jika
(
baku
adalah
) maka (
adalah (
) Yaitu, jika
(
) normal
).
Definisi 2.1.12 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama) (Ghahramani 2005) Dua peubah acak
dan
, yang terdefinisi pada ruang contoh yang sama,
memiliki sebaran bersama yang kontinu jika terdapat fungsi dua variabel yang taknegatif, (
) pada
sehingga untuk sembarang wilayah
pada bidang
8
yang dapat dibentuk dari persegi-persegi oleh operasi himpunan bilanganbilangan terhitung, )
(( Fungsi (
∬ (
)
)
) disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari
dan .
Teorema 2.1.13 (Nilai Harapan dari Fungsi Dua Peubah Acak) (Ghahramani 2005) Misalnya (
) adalah fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak
dan
adalah fungsi dua variabel dari
. Jika
ke
maka (
) adalah
peubah acak dengan nilai harapan , (
)-
(
∫ ∫
) (
)
jika integralnya konvergen mutlak. Definisi 2.1.14 (Sebaran Poisson) (Ghahramani 2005) Peubah acak diskret parameter
dengan nilai-nilai
disebut Poisson dengan
jika (
)
Teorema 2.1.15 (Nilai Harapan dari Penjumlahan Variabel Acak) (Ghahramani 2005) Untuk variabel acak
yang terdefinisi pada ruang contoh yang sama, (∑
)
∑
( )
Definisi 2.1.16 (Kovarian) (Ghahramani 2005) Misalnya
dan
sebaran bersama peubah acak, maka kovarian
didefinisikan oleh ( Jika
dan
)
( ))(
[(
independen (saling bebas) maka (
)
(
)
( ) ( )
( ))]
dan
9
Teorema 2.1.17 (Peubah Acak ) (Walpole 1993) Bila ̅ dan
masing-masing adalah nilai tengah dan ragam suatu contoh acak
berukuran ragam
yang diambil dari suatu populasi normal dengan nilai tengah ̅
, maka
dan
merupakan sebuah nilai peubah acak T yang
√
mempunyai sebaran dengan
derajat bebas.
Teorema 2.1.18 (Limit Pusat Sebaran Peluang Normal) (Brase & Brase 2009) Misalkan
adalah variabel acak yang menyebar normal dengan rataan
dan
. Misalkan ̅ adalah rataan dari contoh yang terkait dengan
standar deviasi
contoh acak berukuran
yang diperoleh dari sebaran . Maka pernyataan berikut
ini adalah benar. 1. Sebaran ̅ adalah sebaran normal; 2. Rataan dari sebaran ̅ adalah ; 3. Simpangan baku dari sebaran ̅ adalah
√ .
Teorema 2.1.19 (Limit Pusat Sembarang Sebaran Peluang) (Brase & Brase 2009) Jika
merupakan sembarang sebaran dengan rataan
dan simpangan baku
maka rataan contoh ̅ yang diperoleh dari contoh acak berukuran
akan memiliki
sebaran yang menghampiri sebaran normal variabel acak dengan rataan √
simpangan baku
ketika
,
dan
menuju tak hingga.
2.2 Kekontinuan Definisi 2.2.1 (Kekontinuan) (Purcell & Varberg 1999) Suatu fungsi Fungsi
disebut kontinu pada bilangan
jika berlaku
disebut kontinu kanan pada bilangan
( ) , sedangkan fungsi
( ). Fungsi
pada bilangan
untuk semua
interval dinotasikan sebagai
disebut kontinu pada interval
( ). ( )
jika berlaku
disebut kontinu kiri pada bilangan
( )
( )
jika berlaku jika
kontinu
Himpunan fungsi-fungsi yang kontinu pada ( ).
