3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Proses Poisson Periodik
Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t
T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
ke suatu ruang state S. (Ross 2007)
Dapat dinilai X(t) adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering kita interpretasikan sebagai satuan waktu (walaupun tidak harus merupakan waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaan) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya. Definisi 2.2 (Proses stokastik dengan waktu kontinu) Suatu proses stokastik {X(t), t
T} disebut proses stokastik dengan waktu
kontinu jika T merupakan suatu interval. (Ross 2007) Definisi 2.3 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t inkremen bebas jika untuk semua
T} disebut memiliki
t0 < t1 < t2 < ... < tn , peubah acak
X(t1) – X(t0), X(t2) – X(t1), X(t3) – X(t2), ... , X(tn) – X(tn–1), adalah saling bebas. (Ross 2007) Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) adalah saling bebas.
4
Definisi 2.4 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t
T} disebut memiliki
inkremen stasioner jika X(t + s) – X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross 2007) Dapat kita katakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X adalah akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada antara sembarang suatu interval itu hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0, ). Definisi 2.5 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik {N(t), t > 0} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai beriku: (1).
N(t)
0 untuk setiap t
[0, ).
(2).
Nilai N(t) adalah integer.
(3).
Jika s < t maka N(s)
(4).
Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s,t].
N(t), s, t
[0, ).
(Ross 2007) Definisi 2.6 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan { N(t), t
0 } disebut proses Poisson dengan laju
0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (1).
N(0) = 0
(2). Proses tersebut mempunyai inkremen bebas.
,
>
5
(3). Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan t. Jadi
Dari syarat (3) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa: E(N(t)) = t yang menjelaskan mengapa
disebut sebagai laju dari proses Poisson tersebut.
Definisi 2.7 (Proses Poisson homogen) yang
Proses Poisson homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju merupakan konstanta untuk semua waktu t.
(Ross, 2007) Definisi 2.8 (Proses Poisson tak homogen) Proses Poisson tak homogen adalah proses Poisson dengan laju
pada sembarang
waktu t yang merupakan suatu fungsi tak konstan dari waktu t yaitu
(t).
(Ross, 2007) Definisi 2.9 (Fungsi periodik) Suatu fungsi
disebut periodik jika:
(s + k ) =
(s), untuk semua s
dan k
himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil disebut periode dari fungsi intensitas
, dengan adalah
yang memenuhi persamaan di atas
tersebut. (Browder, 1996)
Fungsi Intensitas Definisi 2.10 (Fungsi intensitas) Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t
0} yaitu
disebut
sebagai fungsi intensitas proses Poisson pada t. (Ross, 2007)
6
Definisi 2.11 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas pada titik s
adalah (s), yaitu nilai fungsi
di s.
Definisi 2.12 (Fungsi intensitas global) Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global
dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: jika limit di atas ada. (Mangku, 2001)
Definisi 2.13 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku, 2001) Definisi 2.14 (Proses Poisson periode ganda) Proses Poisson periode ganda adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik dengan periode ganda. (Helmers et al. 2007) 2.2
Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Ada dua jenis laju proses Poisson atau yang lebih dikenal dengan fungsi intensitas suatu proses Poisson yaitu fungsi intensitas global dan fungsi intensitas lokal. Fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval yang panjangnya menuju tak hingga. Sedangkan yang dimaksud dengan fungsi intensitas lokal adalah laju proses Poisson di suatu titik tertentu misalkan di titik s. Pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s yaitu dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s.
Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
Misalkan hn adalah barisan bilangan real positif dengan sifat hn 0, untuk dan N([0,t]) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [0,t]. Intensitas lokal di sekitar s dapat dihampiri dengan
7
Pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada kasus dengan periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al (2003) telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan sifat-sifat statistik dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut.
Selanjutnya Helmers dan
Mangku (2009) mengembangkan pemodelan untuk fenomena proses Poisson periodik dengan menambahkan tren linear, serta proses Poisson dengan periode ganda pada fungsi intensitasnya Helmers et al (2007). Pada Mangku (2006) telah dikaji sifat normalitas asimtotik penduga tipe kernel untuk fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan mengasumsikan bahwa periodenya diketahui. Pendugaan nonparametik fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda umum telah dibahas pada Martalena (2009).
dengan menggunakan fungsi kernel
