BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Program Linier Para ahli mendefinisikan program linier sebagai sebuah teknik analisa yang digunakan untuk memecahkan segala persoalan atau masalah-masalah keputusan yang ada sehingga didapatkan hasil yang optimal dengan memperhatikan batasan-batasan yang ada (M. Iqbal Hasan, 2002). Dalam pelaksanaannya program linier menggunakan model matematis untuk menjalankan persoalan yang dihadapinya. Menurut penggalan katanya sendiri adalah linier berarti model matematisnya merupakan fungsi yang linier ( lurus ) sedangkan program disini bukanlah sebuah program komputer melainkan lebih mengarah kepada sebuah perencanaan. Oleh karena itu maka program linier banyak digunakan untuk masalah meminimasikan atau memaksimalkan sebuah perencanaan. Nantinya hal-hal yang dihasilkan dari program linier berbentuk beberapa pertimbangan atau alternative penyelesaian masalah yang optimal yang dapat ditangani oleh teknik ini. Optimal disini berarti mencapai tujuan yang terbaik diantara seluruh alternative yang ada. Dari uraian diatas dapat disimpulkan program linier adalah merencanakan beberapa aktifitas secara tepat untuk memperoleh hasil yang optimum. Menurut J. Supranto (1983) suatu persoalan disebut persoalan Linier Programming apabila memenuhi hal-hal atau syarat sebagai berikut : 1. Tujuan yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. Fungsi ini disebut fungsi tujuan (fungsi obyektif). Misalnya jumlah hasil penjualan harus maksimal, jumlah biaya transportasi harus minimal. 2. Harus ada alternative pemecahan untuk dipilih salah satu yang terbaik. Pemecahan yang membuat nilai
fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang minimum, dan lain sebagainya). 3. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah yang terbatas (bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruang untuk menyimpan barang terbatas, dan lain sebagainya). 4. Pembatas-pembatas harus dinyatakan didalam bentuk pertidaksamaan yang linier. Dari syarat-syarat sebuah persoalan Linier Programming diatas maka dalam membuat permodelan linier programming harus melalui beberapa langkah yaitu : 1. menentukan variabel keputusan (masalah yang akan diselesaikan). 2. membuat rumusan tujuan. 3. merumuskan pembatas-pembatas yang menjadi kendala. Pada dasarnya bentuk umum persoalan linier programming dapat dirumuskan sebagai berikut : Fungsi tujuan : Z = C 1 x 1 +C 2 x 2 +...+C n x n (minimum atau maksimum). Dimana : x 1 , x 2 , . . . , x n adalah nilai yang dicari (variabel keputusan) Pembatas-pembatas : a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n <=> b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+ a 2n x n <=> b 2 . . . a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n <=> b m x j <=> 0 Ada beberapa metode atau cara yang dapat dipergunakan dalam memecahkan persoalan program linier. Beberapa cara tersebut antara lain : 1. Metode Aljabar 2. Metode Grafik 3. Metode Simplex 4. Alogaritma Simplex 5. Metode M Besar
6. Dan beberapa metode lain seperti Dual Programming, Integer Programming. 2.2. Beberapa cara penyelesaian program linier. Program linier dapat diselesaikan dengan beberapa cara antara lain adalah 2.2.1.
Penyelesaian Program Linier Metode Aljabar Metode Aljabar berarti dalam menyelesaikan permasalahan digunakan perhitungan matematika untuk mendapatkan nilai yang diinginkan (nilai yang memaksimumkan atau nilai yang meminimumkan). Biasanya model matematika yang dipecahkan adalah model pertidaksamaan. Sebagai contoh pemecahan persoalan linier programming dengan cara aljabar perhatikan persoalan yang telah dirumuskan sebagai berikut. Cari : x1, x2 Fungsi : Z = 5x 1 + 3x 2 , minimumkan Pembatas : 2x 1 + x 2 ≥ 2 x1 + x2 ≥ 0 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 persamaan tersebut harus dirubah dulu menjadi persamaan standar dengan memasukkan variabel yang harus dikurangkan di dalam suatu ketidaksamaan agar supaya menjadi persamaan. Persamaan kemudian menjadi sebagai berikut Cari : x1, x2, x3, x4 Fungsi : Z = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 , minimumkan Pembatas : 2x 1 + x 2 - x 3 = 3 x1 + x2 - x4 = 2 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0 Jawaban :
1. x 1 = x 2 = 0 3x 1 + 5x 2 – x 3 = 3 -x 3 = 3 x 3 = -3 5x 1 + 2x 2 – x 4 = 2 -x 4 = 2 x 4 = -2 Z 1 tidak perlu dihitung karena pemecahan ini tidak fisibel, x 3 dan x 4 tidak memenuhi syarat (negatif). 2. x 1 = x 3 = 0 2x 1 + x 2 – x 3 x2 = 3 x2 – x4 = 2 x1 + x2 – x4 3(1) – x 4 = 2 -x 4 = 2 – 3 = -1 x4 = 1 Z 2 = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 9 3. x 1 = x 4 = 0 2x 1 + x 2 – x 3 = 3 x1 + x2 – x4 = 2
x2 – x3 = 5 x2 = 2 x2 – x3 = 5 2 – x3 = 5 -x 3 = 5 – 2 = 3 x 3 = -3(tidak fisibel)
4. x 2 = x 3 = 0 2x 1 + x 2 – x 3 = 3 2x 1 = 3 x 1 = 3/2 x1 + x2 – x4 = 2 x1 – x4 = 2 3/2 – x 4 = 2 x 4 = -1/2 5. x 2 = x 4 = 0 2x 1 + x 2 – x 3 = 3 2x 1 -x 3 = 3 x1 + x2 – x4 = 2 x1 = 2 2x 1 – x 3 = 3 x3 = 1 Z 5 = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 10 6. x 3 = x 4 = 0 2x 1 + x 2 – x 3 = 3 2x 1 +x 2 = 3 x1 + x2 – x4 = 2 x 1 +x 2 = 2 x1 = 1 x2 = 1 Z 6 = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 8
Z 6 = Zmin karena merupakan nilai tujuan yang terkecil apabila dibandingkan dengan nilai tujuan lainnya. Pemecahan optimal memberikan nilai Z = 8 dengan x 1 = x 2 = 1. 2.2.2.
`Penyelesaian Program Linier dengan Metode grafik Metode Grafik dipergunakan dalam penyelesaian apabila program linier tersebut mempunyai dua variable saja. Bila program linier terdiri dari tiga variabel maka akan sangat susah dan rumit untuk digambarkan Prosedur pemecahan dengan metode grafik adalah sebagai berikut : a. Setiap pertidaksamaan harus digambarkan grafiknya sehingga secara keseluruhan bisa diperoleh daerah dimana variabel yang dicari boleh mengambil nilai ( harus lebih bersar dari nol). b. Fungsi obyektif juga harus digambarkan grafiknya dengan jalan menentukan nilai z semaunya saja, kemudian dibuat garis yang menunjukkan garis fungsi z tersebut. Kemudian tarik garis yang sejajar atau parallel dengan garis ini. Garis itu ditarik kearah yang memberikan nilai semakin besar atau semakin kecil sampai dicapai titik yang memberikan nilai fungsi obyektif z maksimum atau minimum (tergantung pada persoalan yang akan dipecahkan).
2.2.3.
Penyelesaian program linier dengan metode simplex. Penyelesaian program linier dengan metode simplex adalah metode yang paling efisien dalam memecahkan persoalan program linier. Walaupun
cara aljabar dapat dipergunakan untuk jumlah variabel lebih dari dua akan tetapi cara ini tidak efisien untuk variable yang terlalu banyak. Misalkan kalau ada 10 variabel dengan 5 persamaan, maka akan diperoleh lebih dari 200 persamaan dasar. Sedangkan cara grafik hanya cocok untuk dua variable saja. Untuk variabel lebih dari tiga akan susah dalam penggambarannya. Oleh karena itu cara simplex adalah metode yang paling efisien untuk dipakai. Metode simplex adalah suatu metode yang memerlukan perhitungan yang berulang-ulang atau bersifat iterative yang bergerak selangkah demi selangkah menuju titik ekstrim yang optimum. Pemecahanya adalah dengan mengadakan pengubahan pertidaksamaan menjadi persamaan dengan cara menambahkan slack variabel untuk pertidaksamaan yang mengandung tanda ≤ dan mengurangkan variabel surplus untuk pertidaksamaan yang mengandung tanda ≥. Beberapa langkah pemecahan dengan metode simplex seperti berikut ini. Langkah 1. Mengubah fungsi tujuan menjadi fungsi implicit, artinya c ij x ij dipindahkan ke sebelah kiri sehingga sama dengan nol. Kemudian mengubah fungsi pembatas dari pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambahkan slack variabel. Langkah 2. Data disusun kedalam bentuk tabel, dimana : Kolom variabel dasar (basis) memuat variabel Z dan variabel slack. Kolom Z memuat data koefisien Z dan koefisien variabel tambahan.
-
Kolom x1, x2, … memuat data koefisien yang bersesuaian dengan variabel. Kolom solusi memuat data sebelah kanan persamaan dari fungsi pembatas.
Langkah 3. Menentukan kolom kunci. Kolom kunci adalah kolom yang memiliki nilai pada baris funsi tujuan yang bertanda negative dan harga mutlak terbesar. Jika seandainya pada suatu table tidak terdapat lagi nilai yang bertanda negative pada baris fungsi tujuannya, maka jawaban sudah optimal. Langkah 4. Menentukan baris kunci. Baris kunci didapat dengan melihat kolom rasio. Kolom rasio adalah kolom hasil bagi antara nilai pada kolom solusi dengan nilai pada kolom kunci. Baris kunci merupakan baris yang pada kolom rasio nilainya positif terkecil. Langkah 5. Menentukan kolom pengali. Kolom pengali adalah kolom hasil bagi antara nilai pada kolom kunci dengan nilai perpotongan baris kunci dengan kolom kunci. Tiap nilai hasil kemudian dikalikan -1 kecuali nilai pada baris kunci. Langkah 6. Mengubah elemen pada baris kunci dangan cara semua elemen pada baris kunci dibagi dengan elemen perpotongan baris dan kolom kunci. Langkah 7. Mengubah elemen pada baris yang lain dengan rumus : EBB = EBL + (EKP x EBK) Keterangan : EBB = elemen baris baru
EBL = EKP = BK =
elemen baris lama elemen kolom pengali elemen baris kunci
Langkah 8 Apabila pada koefisien z masih terdapat nilai negative maka ulangi langkah 3 sampai langkah 7 hingga didapatkan hasil yang optimum. Langkah-langkah diatas adalah penyelesaian untuk persoalan maksimasi, sedangkan bila yang timbul adalah persoalan minimasi maka caranya adalah pada langkah 1 ubah persamaan fungsi tujuan dengan cara mengalikan dengan -1, kolom kunci merupakan kolom paling positif, kemudian selesaikan sebagai persoalan maksimasi. Persamaan yang minimum bila dikalikan -1 akan menjadi maksimum. Oleh sebab itu bila hasil perhitungannya sudah didapat, maka harus dikalikan -1 kembali untuk mendapatkan nilai minimum. Contoh, fungsi Z = 5x 1 + 3x 2 (minimumkan) Pembatas 2x 1 + x 2 ≥ 3 x1 + x2 ≥ 2 x1, x2 ≥ 0 Langkah 1 Ubah fungsi,
-Z = -5x 1 - 3x 2 → -Z = Z* Z* = -5x 1 - 3x 2 (maks) 2x 1 + x 2 - s 1 = 3 x1 + x2 - s2 = 2
Langkah 2 Tabel 2.1 Tabel Simpleks Bentuk table data
Iterasi Basis Z X 1 X 2 S 1 S 2 Solusi Rasio Pengali Z 1 5 3 0 0 0 0 S1 0 2 1 -1 0 3 0 1 1 0 -1 2 S2 Langkah 3 Menentukan kolom kunci X S X2 S1 Iterasi Basis Z 1
0
Z S1 S2
1 0 0
5 2 1
2
3 0 0 1 -1 0 1 0 -1 Kolom kunci
Langkah 4 Menentukan baris kunci S S X X2 Iterasi Basis Z 1
0
1
2
Solusi
Rasio
0 3 2
-
Solusi
Rasio
Z
1
5
3
0
0
0
-
S1
0
2
1
-1
0
3
3 2
S2
0
1
1 0 -1 Kolom kunci
2
Langkah 5 Menentukan kolom pengali X X S S Solusi Iterasi Basis Z
0
1
2
1
2
Pengali
Pengali
2 Baris kunci
Rasio
Z
1
5
3
0
0
0
-
S1
0
2
1
-1
0
3
3/2
S2
0
1
1
0
-1
2
2
Pengali
5 2
1/2
1 2
Langkah 6 Mengubah elemen baris kunci X S S Solusi Iterasi Basis Z S 1
0
2
1
2
0
0
Z
1
-400
-300
0
X1
0
1
1/2
1/2
0
3/2
S2
0
2
2
0
1
300
-
Rasio
Pengali
-
Langkah 7 Mengubah elemen baris yang lainnya Iterasi Basis Z S 1 X 2 S1 S 2 Solusi Rasio Pengali
0
Z
1
0
X1
0
1
S2
0
0
1 2 1 2 1 2
5 2
0
1 2
1 2
0 -1
15 2 3 2 1 2
-
Langkah 8 Karena pada koefisien z masih terdapat nilai yang positif maka langkah 3 sampai langkah 7 diulang sehingga di dapat tabel Iterasi Basis Z X 1 X 2 S 1 S 2 Solusi rasio Pengali 0
Z
1
0
0
2
1
-8
X1 X2
0 0
1 0
0 1
-1 1
1 -2
1 1
-
Dengan demikian didapatkan : X1 = 1 Z* = -Z = -8 berarti Zmin = 8
X2 = 1 2.3. Struktur tower Tower telekomunikasi biasanya menggunakan besi profil siku sebagai struktur utamanya. Beberapa alasan mengapa profil ini digunakan sebagai struktur adalah karena profil tidak terlalu besar, dan tidak terlalu berat serta yang paling penting adalah kemudahannya sewaktu pelaksanaan erection. Dengan menggunakan profil siku pemasangan tower (pembautan) akan lebih mudah apabila dibandingkan dengan menggunakan profil yang lainnya. Struktur utama tower didefinisikan sebagai Truss yang mana pada tiap-tiap komponen hanya menerima tegangan tarik dan tegangan tekan saja. Struktur tower terdiri dari tiga buah bagian yaitu: leg tower bracing tower redundant tower ketiga bagian tersebut membentuk sebuah sub-struktur, sedangkan kumpulan dari beberapa sub-struktur membentuk struktur tower itu sendiri. utama komponen-komponen Berikut fungsi struktur: - leg tower : leg tower berfungsi sebagai penyokong utama berdirinya struktur utama. Salah satu tujuannya adalah untuk menahan beban gravitasi yang terjadi dan sebagian beban horizontal yang terjadi. - bracing tower : bracing tower mempunyai fungsi sebagai pemikul utama beban horizontal yang terjadi pada tower dan kemudian menyalurkannya kebawah.
- redundant tower : redundant tower berfungsi untuk menjaga stabilitas leg tower ketika memikul beban gravitasi.
2.3.1. Fabrikasi dan Erection Tower Sebelum erection tower tentunya diawali dengan fabrikasi. Fabrikasi material tower diawali dengan memotong lonjoran-lonjoran besi profil sesuai dengan ukuran yang diinginkan. Potongan tersebut kemudian ditandai dan diberi kode berdasarkan urutan dan pasangan pada saat erection. Pemberian tanda dilakukan agar tidak terjadi kesalahan dan kesulitan pada erection, dengan kata lain mempermudah pelaksanaan erection. Selanjutnya besi profil diberi lubang untuk tempat baut. Setelah semuanya selesai besi profil diberi lapisan anti karat. Biasanya lapisan anti karat untuk tower adalah galvanis maka dari itu semua besi profil yang sudah dipotong, ditandai dan dilubangi dikirim ke perusahaan galvanis. Untuk erection harus mengacu pada kodekode yang telah dibuat. Apabila tidak mengacu sesuai kode dapat dipastikan pelaksanaan erection akan kacau karena ukuran besi profil yang ada hamper sama antara satu dengan yang lain. 2.4. Program Solver Solver adalah suatu program penyelesaian pada Excel untuk menyelesaikan masalah-masalah yang meliputi jawaban fungsi tujuan dan jawaban kendala serta jawaban analisis sensitivitas. Ada beberapa rumus implementasi yang perlu dimengerti dalam Excel : a. SUMPRODUCT (a1:b2,c1:d2) artinya perkalian dari (a1 x c1)+(b2 x d2).
b.
SUM (c1:c3) artinya penjumlahan dari (c1+...+c3). c. SUM (a1,b2,d10,f9) artinya penjumlahan dari (a1+b2+d10+f9) Ada beberapa hal yang harus dilakukan sebelum memasuki solver diantaranya adalah mendefinisikan dan memilih variabel keputusan, kendala dan fungsi tujuan dari suatu masalah. Setelah itu masukkan data fungsi tujuan, kendala dan variabel keputusan dalam solver parameternya. Banyak masalah-masalah yang bisa diselesaikan oleh program ini diantaranya adalah masalah pembelian, masalah produksi, masalah sisa potongan, masalah distribusi, masalah keuangan, serta masalah penjadwalan.
