BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Struktur Dan Komposisi Bumi

Berdasarkan gelombang seismik struktur internal bumi dapat dibedakan menjadi tiga komponen utama yaitu inti (core), mantel (mantle) dan kerak (crust). 1 . Inti Bumi (Core) Dipusat bumi terdapat inti yang berkedalaman 2900-6371 km. Terbagi menjadi dua macam yaitu inti luar dan inti dalam. Inti luar berupa zat cair yang memiliki kedalaman 2900-5100 km dan inti dalam berupa zat padat yang berkedalaman 51006371 km. Inti luar dan inti dalam dipisahkan oleh Lehman Discontinuity.

Sumber : www.swarapapua.com Gambar 2.1 Bola bumi dipotong dari permukaan hingga ke bagian inti

Dari data Geofisika material inti bumi memiliki berat jenis yang sama dengan berat jenis meteorit logam yang terdiri dari besi dan nikel. Atas dasar ini para ahli percaya bahwa inti bumi tersusun oleh senyawa besi dan nikel.

Universitas Sumatera Utara

2. Mantel Bumi (Mantle) Inti bumi dibungkus oleh mantel yang berkomposisi kaya magnesium. Inti dan mantel dibatasi oleh Gutenberg Discontinuity. Mantel bumi terbagi menjadi dua yaitu mantel atas yang bersifat plastis sampai semiplastis memiliki kedalaman sampai 400 km. Mantel bawah bersifat padat dan memiliki kedalaman sampai 2900 km. Mantel atas bagian atas yang mengalasi kerak bersifat padat dan bersama dengan kerak membentuk satu kesatuan yang dinamakan litosfer. Mantel atas bagian bawah yang bersifat plastis atau semiplastis disebut sebagi asthenosfer. 3. Kerak Bumi (Crust) Kerak bumi merupakan bagian terluar lapisan bumi dan memiliki ketebalan 580 km. kerak dengan mantel dibatasi oleh Mohorovivic Discontinuity. Kerak bumi dominan tersusun oleh feldsfar dan mineral silikat lainnya.

Kerak bumi dibedakan menjadi dua jenis yaitu : a.

Kerak samudra, tersusun oleh mineral yang kaya akan Si, Fe, Mg yang disebut sima. Ketebalan kerak samudra berkisar antara 5-15 km (Condie, 1982)dengan berat jenis rata-rata 3 gm/cc. Kerak samudra biasanya disebut lapisan basaltis karena batuan penyusunnya terutama berkomposisi basalt.

b.

Kerak benua, tersusun oleh mineral yang kaya akan Si dan Al, oleh karenanya di sebut sial. Ketebalan kerak benua berkisar antara 30-80 km . ata-rata 35 km dengan berat jenis rata-rata sekitar 2,85 gm/cc. kerak benua biasanya disebut sebagai lapisan granitis karena batuan penyusunya terutama terdiri dari batuan yang berkomposisi granit.

Pada dasarnya kita tidak akan pernah mengerti bagaimana gempa bumi terjadi kalau kita tidak memahami bagaimana struktur bumi.

Berdasarkan sifat-sifat gelombang seismik, mantel terbagi menjadi beberapa bagian. Lapisan teratas mantel bersama-sama kerak bumi membentuk litosfer yang bersifat kaku (keras). Di bawah litosfer adalah astenosfer yang bersifat kurang kaku (lemah) dibandingkan litosfer. Walaupun bukan berwujud cair, astenosfer bersifat plastis sehingga memungkinkan litosfer yang berada di atasnya dapat bergerak. Di bawah astenosfer adalah mesosfer.


2.1.1 Lempeng Tektonik

Litosfer bersifat keras berada di atas astenosfer yang relatif lebih lunak. Menurut teori tektonik lempeng , litosfer yang menyelubungi bumi terpecah ke dalam beberapa bagian. Pecahan-pecahan litosfer tersebut disebut lempeng . Litosfer tersusun dari beberapa lempeng besar dan beberapa lempeng kecil. Lempeng-lempeng tersebut mengapung di atas lapisan astenosfer dan masing-masing bergerak dengan kecepatan (laju dan arah) yang berbeda dengan laju antara beberapa mm/tahun sampai belasan cm/tahun. Litosfer terpecah menjadi beberapa lempeng besar dan beberapa lempeng kecil. Masing-masing nama lempeng ditampilkan pada Tabel 2.1 Tabel 2.1. Tabel Nama Lempeng yang Membentuk Litosfer. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nama Lempeng Lempeng Antartik Lempeng Pasifik Lempeng lndoAustralia Lempeng Eurasia Lempeng Afrika Lempeng Amerika Selatan Lempeng Amerika Utara Lempeng Filipina Lempeng India Lempeng Narca Lempeng Cocos Lempeng Arab

Keterangan Lempeng Besar Lempeng Besar Lempeng Besar Lempeng Besar Lempeng Besar Lempeng Besar Lempeng Besar Lempeng Kecil Lempeng Kecil Lempeng Kecil Lempeng Kecil Lempeng Kecil Sumber : www.blogspot.com

Daerah pertemuan lempeng yang satu dengan lempeng yang lain merupakan daerah yang aktif secara tektonik. Pada daerah tersebut lebih sering terjadi gempa dibandingkan dengan daerah lain di dunia.

2.1.2 Batas Lempeng di Wilayah Indonesia

Wilayah Indonesia terletak pada pertemuan 3 lempeng besar yaitu lempeng IndoAustralia, Eurasia , dan Pasifik. Lempeng Eurasia dan Indo-Australia bertemu di lepas


pantai barat pulau Sumatera, lepas pantai selatan pulau Jawa, lepas pantai selatan kepulauan Nusatenggara, dan berbelok ke arah utara ke perairan Maluku sebelah selatan. Lempeng Indo-Australia dan lempeng Pasifik bertemu sekitar pulau Papua. Tipe batas lempeng di Indonesia merupakan tipe subduksi. Daerah-daerah di sekitar batas lempeng ini merupakan daerah-daerah yang sering terjadi gempa bumi.

2.1.3 Penyebab Gerakan Lempeng

Dari bukti-bukti seismik serta geofisik lainnya dan dari percobaan-percobaan yang dilakukan di laboratorium, para ilmuwan sepakat bahwa gaya /penyebab pergerakan lempeng adalah karena adanya pergerakan lambat dari mantel (astenosfer). Pergerakan di mantel sendiri menurut hipotesa adalah karena adanya arus konveksi. Arus konveksi di mantel dapat dianalogikan dengan arus konveksi pada zat cair yang bagian bawahnya dipanaskan. Bagian air yang panas akan naik. Setelah mencapai permukaan terjadi penurunan temperatur yang menyebabkan bagian air tersebut kembali turun. Setelah berada di bawah, bagian air tersebut terkena panas lagi yang menyebabkan ia naik lagi (hartini, 2009). Kerak bumi lebih tipis di dasar laut yaitu sekitar 5 kilometer. Kerak bumi terbagi kepada beberapa bagian dan bergerak melalui pergerakan tektonik lempeng (teori Continental Drift) yang menghasilkan gempa bumi.

Sumber : www.bulletin.penataanruang.net Gambar 2.2 Tataan Tektonik Kepulauan Indonesia


2.2 Cincin Api

Cincin Api Pasifik atau Lingkaran Api Pasifik (Ring of Fire) adalah daerah yang sering mengalami gempa bumi dan letusan gunung berapi yang mengelilingi cekungan Samudra Pasifik. Daerah ini berbentuk seperti tapal kuda dan mencakup wilayah sepanjang 40.000 km. Daerah ini juga sering disebut sebagai sabuk gempa Pasifik. Cincin Api Pasifik (Ring Of Fire) adalah area dimana terdapat banyak sekali terjadi gempa dan letusan gunung berapi di dalam area Samudera Pasifik.

Sumber : www.wordpress.com Gambar 2.3 Daerah Api Pasifik (Ring Of Fire)

2.3 Gempa Bumi

Gempa bumi adalah getaran atau guncangan yang terjadi di permukaan bumi. Gempa bumi biasa disebabkan oleh pergerakan kerak bumi (lempeng bumi). Bumi kita walaupun padat, selalu bergerak, dan gempa bumi terjadi apabila tekanan yang terjadi karena pergerakan itu sudah terlalu besar untuk dapat ditahan.

2.3.1 Klasifikasi Gempa Bumi

Klasifikasi gempa bumi menurut kedalaman hiposentrum : 1.

Gempa Bumi Dalam


Gempa bumi dalam adalah gempa bumi yang hiposentrumnya berada lebih dari 300 km di bawah permukaan bumi. Gempa bumi dalam pada umumnya tidak terlalu berbahaya. Tempat yang pernah mengalami adalah dibawah laut jawa, laut Sulawesi dan laut flores. 2.

Gempa Bumi Menengah Gempa bumi menengah adalah gempa bumi yang hiposentrumnya berada antara

60 km sampai 300 km di bawah permukaan bumi. Gempa bumi menengah pada umumnya menimbulkan kerusakan ringan dan getarannya lebih terasa. Tempat yang pernah terkena antara lain : Sepanjang pulau sumatera bagian barat, pulau jawa bagian selatan, sepanjang teluk tomini, laut Maluku dan kep.Nusa Tenggara. 3.

Gempa Bumi Dangkal Gempa bumi dangkal adalah gempa bumi yang hiposentrumnya berada kurang

dari 60 km dari permukaan bumi. Gempa bumi ini biasanya menimbulkan kerusakan yang besar. Tempat yang pernah terkena antara lain : Pulau Bali, Pulau Flores, Yogya karta dan Jawa tengah.

Klasifikasi gempa bumi menurut penyebabnya (Bowler, 2003) : 1.

Gempa bumi tektonik Gempa bumi tektonik adalah gempa bumi yang disebabkan oleh dislokasi atau

perpindahan akibat pergesaran lapisan bumi yang tiba-tiba terjadi pada struktur bumi, yakni adanya tarikan atau tekanan. Pergeseran lapisan bumi ada 2 macam: - Vertikal - Horizontal 2.

Gempa bumi vulkanik Gempa bumi vulkanik adalah gempa bumi yang disebabkan oleh aktivitas gunung

api atau letusan gunung api. Pada saat dapur magma bergejolak, ada energi yang mendesak lapisan bumi. Energi yang mendesak lapisan bumi ada yang mampu mengangkat lapisan bumi sampai ke permukaan disertai getaran. Gunung api yang akan meletus biasanya mengakibatkan gempa bumi. 3.

Gempa bumi runtuhan Gempa bumi runtuhan (terban) adalah gempa bumi yang di sebabkan runtuhnya

atap gua atau terowongan tambang di bawah tanah. Jika batuan pada atap rongga atau


pada dinding rongga mengalami pelapukan, maka rongga dapat runtuh karena tidak mampu lagi menahan beban di atas rongga. Runtuhnya gua dan terowongan yang besar bisa mengakibatkan getaran yang kuat.

Gempa bumi disebabkan oleh beberapa hal antara lain : 1.

Aktivitas tektonik berupa pergerakan lempeng bumi Gempa bumi ini biasa disebut gempa bumi tektonik. Gempa bumi tektonik

berhubungan dengan kegiatan gaya-gaya tektonik yang terus berlangsung dalam proses pembentukan gunung-gunung, terjadinya patahan-patahan (faults) dan tarikan atau tekanan dari pergerakan lempeng-lempeng batuan penyusun kerak bumi. 2.

Aktivitas vulkanik gunung berapi Gempa bumi akibat aktivitas vulkanik ini biasa disebut gempa bumi vulkanik.

Gempa bumi vulkanik terjadi baik sebelum, selama, ataupun sesudah letusan gunung api. Penyebab gempa vulkanik ini adalah adanya persentuhan antara magma dengan dinding gunung api dan tekanan gas pada letusan yang sangat kuat, atau perpindahan magma secara tiba-tiba dari dapur magma. 3.

Tabrakan Tabrakan benda langit atau sering disebut meteor terhadap permukaan bumi juga

dapat menyebabkan getaran, hanya saja getaranya tidak sampai terekam oleh alat pen catat getaran gempa bumi dan juga sangat jarang terjadi. 4. Runtuhan lubang-lubang interior bumi Runtuhnya lubang-lubang interior bumi seperti gua atau tambang batuan/mineral dalam bumi dapat menyebabkan getaran di atas permukaannya, namun getaran ini tidak terlalu besar dan terjadi bersifat setempat saja atau terjadi secara lokal.

2.3.2 Teori Pergerakan Benua dan Lempeng Tektonik

Teori lempeng tektonik merupakan suatu teori kinematik yang menjelaskan mengenai pergerakan gempa tanpa membahas penyebab dari pergerakan itu. Sesuatu seharusnya menjadi penyebab pergerakan untuk menggerakkan massa yang sangat besar dengan tenaga yang sangat besar pula.


Penjelasan yang paling dapat diterima secara meluas tentang sumber pergerakan lempeng bersandar kepada hukum keseimbangan termomekanika material bumi. Lapis teratas dari kulit bumi bersentuhan dengan kerak bumi yang relatif dingin, sementara lapis terbawah bersentuhan dengan lapis luar inti panas. Jelas peningkatan temperatur pasti terjadi pada lapisan. Variasi kepadatan lapisan dan temperatur menghasilkan situasi tidak stabil pada ketebalan material (yang lebih dingin) di atas material lebih tipis (yang lebih panas) dibawahnya. Akhirnya, material tebal yang lebih dingin mulai tenggelam akibat gravitasi dan pemanasan, dan material yang lebih tipis mulai naik. Material yang tenggelam tersebut berangsur-angsur dipanaskan dan menjadi lebih tipis, sehingga akhirnya bergerak menyamping dan dapat naik lagi yang kemudian sebagai material didinginkan yang akan tenggelam lagi. Proses ini biasa disebut sebagai konveksi.

Arus konveksi pada batuan setengah lebur pada lapisan mengakibatkan tegangan geser di bawah lempeng, yang menggeser lempeng tersebut ke arah yang bervariasi melalui permukaan bumi. Fenomena lain, seperti tarikan bubungan atau tarikan irisan dapat juga menjadi penyebab pergerakan lempeng. Karakteristik batas lempeng juga mempengaruhi sifat dasar dari gempa yang terjadi sepanjang batas lempeng tersebut. Pada beberapa area tertentu, lempeng bergerak menjauh satu dengan lainnya pada batas lempeng, yang dikenal sebagai bubungan melebar atau celah melebar. Batuan lebur dari lapisan dasar muncul ke permukaan dimana akan mendingin dan menjadi bahagian lempeng yang merenggang. Dengan demikian, lempeng ”mengembang” pada bubungan yang melebar. Tingkat pelebaran berkisar dari 2 hingga 18 cm/tahun ; tingkat tertinggi ditemukan pada Lautan Pasifik, dan terendah ditemukan sepanjang Bubungan Mid-Atlantic. Telah diestimasi bahwa kerak bumi yang baru di lautan terbentuk pada tingkatan sekitar 3,1 km2/tahun di seluruh dunia. Kerak bumi yang masih berusia muda ini, disebut basal baru, terbentuk tipis di sekitar bubungan yang melebar. Hal ini juga dapat terbentuk oleh pergerakan ke atas magma yang relatif lambat, atau dapat pula oleh semburan yang cepat saat terjadinya aktivitas kegempaan.

Proses tekan menekan lempeng tersebut telah menciptakan pengumpulan dan penimbunan energi di dalam bumi. Jangka waktu proses penimbunan dan pelepasan


energi yang menimbulkan gempa bumi itu berlangsung antara 30-600 tahun. Terdapat variasi siklus berulang gempa antara satu kawasan dengan kawasan lain, ada siklus kejadian gempa bumi 30-50 tahunan, ada 100 tahun, 200 tahun dan 600 tahun.

Energi yang terkumpul atau tersimpan di dalam bumi / massa batuan pada suatu saat tidak mampu lagi ditahan oleh massa bumi dan akhirnya bumi / batuan itu pecah / remuk / patah atau sobek (rupture). Pada saat bumi itu remuk atau pecah disaat itulah energi dilepaskan dan bergerak dalam wujud gelombang. Energi ini akan menyebabkan getaran yang akan merambat dari sumber getaran ke permukaan bumi. Getaran inilah yang disebut dengan gempa bumi.

2.4 Letak Geografis Wilayah Pulau Nias

Kabupaten Nias yang merupakan salah satu wilayah kabupaten di Provinsi Sumatera Utara yang disebut Pulau Nias. Luas Kabupaten Nias adalah 3.495,40 Km² atau 4.88% dari luas wilayah Provinsi Sumatera Utara dan merupakan daerah gugusan pulau yang jumlahnya mencapai 132 pulau. Menurut letak geografis, Kabupaten Nias terletak pada garis 0º12’-1º32’LU (Lintang Utara) dan 97º-98ºBT (Bujur Timur) dekat dengan garis khatulistiwa. Dengan batas-batas wilayah : a)

Sebelah Utara Berbatasan dengan Kabupaten Nias Utara.

b) Sebelah Selatan Berbatasan dengan Kabupaten Nias Selatan, Provinsi Sumatera Utara. c)

Sebelah Timur Berbatasan dengan Kota Gunungsitoli dan Samudra Indonesia.

d) Sebelah Barat Berbatasan dengan Kabupaten Nias Barat.


Sumber : www.wordpress.com Gambar 2.4 Peta Kabupaten Nias

2.5 Distribusi Kerusakan

Pada dasarnya, terdapat beberapa macam bentuk distribusi kerusakan yang dapat digunakan dalam kebijakan perawatan seperti Distribusi Hipereksponensial, Eksponensial, Weibull, dan Normal. Distribusi yang memiliki laju kerusakan konstan disebut juga exponential probability distribution. Distribusi eksponensial merupakan distribusi yang penting pada distribusi reliability. Distribusi lain yang dapat digunakan adalah distribusi Weibull dan distribusi Normal. Ketiga distribusi ini memiliki fungsi laju kerusakan yang tidak konstan sehingga hal ini memberikan alternatif lain yang dapat digunakan selain distribusi kerusakan eksponesial yang telah ada.

Salah satu distribusi kerusakan yang paling berguna untuk menentukan reliabilitas adalah distribusi Weibull. Distribusi Weibull dapat digunakan untuk memodelkan laju kerusakan yang meningkat maupun menurun. Distribusi ini sangat fleksibel terhadap berbagai fungsi distribusi kerusakan, fleksibilitas ini dikarenakan distribusi weibull memiliki parameter bentuk (α) sehingga karakteristik distribusi yang memiliki laju meningkat, menurun dan konstan dapat ditunjukkan oleh nilai parameter bentuk tersebut. Berikut ini pola distribusi kerusakan untuk berbagai nilai α yaitu :


1. Untuk α < 1, maka distribusi weibull tersebut mengikuti distribusi Hipereksponensial 2. Untuk α = 1, maka distribusi weibull tersebut mengikuti distribusi Eksponensial 3. Untuk α > 1, maka distribusi weibull tersebut mengikuti distribusi Normal

2.6. Estimasi Distribusi

Menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi (parameter) dengan memakai nilai sampel (statistik) diistilahkan dengan Estimasi. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter berhubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Jadi, harga parameter sebenarnya yang tidak diketahui akan diestimasi berdasarkan statistik sampel yang diambil

dari populasi yang

bersangkutan.

Sifat atau ciri estimator yang baik atau tidak bias, efisien dan konsisten yaitu : 1. Estimator yang tidak bias Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang mengandung nilai parameter yang diestimasikan. 2. Estimator yang efisien Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter. 3. Estimator yang konsisten Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil berapapun besarnya, pada rentangnya tetap mengandung nilai parameter yang sedang diestimasi.

2.7 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull pertama kali diperkenalkan oleh ahli fisika dari Swedia Walodd Weibull pada tahun 1939. Dalam aplikasinya, distribusi ini sering digunakan untuk


memodelkan waktu

sampai kegagalan (time of failure) dari suatu sistem fisika.

Ilustrasi yang khas yaitu pada sistem dimana jumlah kegagalan meningkat dengan berjalannya waktu (misalnya daya hantar beberapa semikonduktor) atau kegagalan yang terjadi oleh suatu (shock) pada sisem.

Dalam hal ini Distribusi weibull digunakan untuk meramalkan terjadinya gempa pada suatu daerah. Terdapat dua macam distribusi weibull yang dapat digunakan yaitu distribusi weibull untuk 2 parameter dan distribusi weibull untuk 3 parameter.

2.7.1 Distribusi Weibull dua Parameter

Sesuai dengan namanya distribusi weibull dua paramater mempunyai dua buah parameter, yaitu : a)

Parameter bentuk (α) Merupakan parameter yang menggambarkan bentuk dari distribusi kerusakan.

b) Parameter skala (β) Merupakan parameter yang menggambarkan umur karakteristik dari alat/komponen.

Periode kerusakan yang terjadi yaitu periode awal (early failure), periode normal dan periode pengausan (wear out) tergantung dari nilai parameter bentuk fungsi distribusi weibull. Distribusi weibull mempunyai laju kerusakan menurun untuk α <1, laju kerusakan konstan untuk α =1 dan laju kerusakan naik untuk α >1. Jika sebuah Variabel acak kontinu X memiliki distribusi Weibull dengan parameter bentuk α dan faktor skala β, dimana α > 0 dan β > 0, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah : FW (x; α, β) = �

𝛼

𝛽

𝑥 𝛼−1 𝑒 𝑎

0

𝑥

−(𝛽 )𝛼

𝑥≥0

( 2.1 )

𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛


Fungsi diatas mudah untuk diintegralkan, sehingga diperoleh fungsi kumulatif Weibull : 𝑥 𝛼

𝐹𝑊 (𝑥; 𝛼, 𝛽 ) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥 ) = ∫0

Mean (Nilai harapan):

𝜇𝑥 = 𝐸 (𝑋) = 𝛽𝛤 (1 +

Varians :

1

𝛼

𝛽𝛼

𝛼

1

1

𝛼

)] 2 � 2

( 2.4 )

3

𝛽1 = 𝛼32 = �𝛤(1 + ) − 3𝛤 �1 + � 𝛤 �1 + � + 2 �𝛤(1 + )]3 }2 𝛼

Keruncingan (kurtosis):

𝛼

𝛼

𝛼

4

1

3

1

2

𝛽2 = 𝛼4 = 𝛤 �1 + � − 4𝛤 �1 + � 𝛤 �1 + � + 6 �𝛤 �1 + �� 2

𝛼

1

𝛤 �1 + � − 3 �𝛤(1 + }]4 𝛼

( 2.2 )

( 2.3 )

2

3

=1−𝑒

𝑥

−(𝛽 )𝛼

)

𝛼𝑥2 = 𝛽2 = �𝛤 �1 + � − [𝛤(1 +

Kemencengan (skewness ) :

1 𝛼

−( ) 𝑡 𝛼−1 𝑒 𝛽

𝛼

𝛼

𝛼

( 2.5 )

( 2.6 )

𝛼

Distribusi Weibull secara luas digunakan untuk berbagai masalah keteknikan karena kegunaannya yang bermacam-macam. Pada dasarnya distribusi weibull ini dimaksudkan untuk menggambarkan keadaan optimal dari suatu mesin atau peralatan baik perbaikannya ataupun komponen komponennya.

2.7.2 Distribusi Weibull Tiga Parameter

Sesuai dengan namanya distribusi weibull tiga paramater mempunyai tiga buah parameter, yaitu : a)

Parameter bentuk (α) Parameter yang menggambarkan bentuk dari distribusi kerusakan.

b) Parameter skala (β) Parameter yang menggambarkan umur karakteristik dari alat/komponen. c)

Parameter Lokasi (μ) Parameter yang menggambarkan lokasi distribusi kerusakan tersebut.


Distribusi weibull tiga parameter digunakan apabila terdapat umur minimum dari sistem sehingga tidak akan terdapat kerusakan sebelum selang waktu t0. Waktu sampai terjadinya gempa dinyatakan dengan peubah acak kontiniu x dimana x > μ dan x ≤ μ., maka fungsi kepadatan probabilitas dari x adalah : FW (x; α, β) = � 𝑓(𝑡) = (𝑥 −

𝛼

� �( β

0

𝑥−𝜇 (𝛼−1) −( ) 𝑒 𝛽 (𝑥−𝜇) 𝛼 𝛽

− 𝜇)𝛼−1 𝑒

𝑥−𝜇 𝛼 ) 𝛽

𝑥>𝜇

( 2.7 )

Untuk x ≤ μ

( 2.8 )

Jadi, Mean ( Nilai rata-rata) untuk 3 parameter adalah : 1

𝜇𝑥 = 𝐸 (𝑋) = 𝜇 + 𝛽𝛤 (1 + )

( 2.9 )

𝛼

Jika parameter μ = 0 maka fungsi densitas dikenal sebagai fungsi weibull dengan 2 parameter. Grafik distribusi Weibull digambarkan sebagai berikut.

Sumber : https://commons.wikimedia.org Gambar 2.5 Grafik distribusi Weibull

Contoh Penggunaan Distribusi Weibull yaitu Waktu sampai gagal bekerjanya sebuah pelat gesek (dalam jam) pada sebuah kopling dapat dimodelkan dengan baik sebagai sebuah variabel acak Weibull dengan α = 0,5 dan β = 5000 jam. Berapakah waktu sampai gagal rata-rata pelat gesek tersebut dan berapakah probabilitas pelat gesek tersebut mampu bekerja sekurang-kurangnya 6000 jam. Rata-rata waktu sampai gagal :




1   α 1   = 5000Γ  1 + = )  5000Γ ( 3= 0.5  

µ x =E ( X ) =βΓ  1 +

( 5000 )( 2!=)

10000 jam

P ( X > 6000) = 1 − FW ( 6000;0,5,5000 ) 0.5 − 6000 / 5000 )   −1.095 =1 −  1 − e ( =0,334 =33,4%  =e  

Jadi, hanya 33.4 % dari seluruh pelat gesek yang dapat bekerja 6000 jam atau lebih .

2.7.3 Estimasi Nilai Parameter pada Distribusi Weibull

Adapun estimasi tiap parameter dari distribusi weibull adalah sebagai berikut. Fungsi maksimum likelihood diberikan oleh : L(α,β) = ∏𝑛𝑖=1(

𝛽𝑥 𝛽−1) 𝑖 𝛼𝛽

Sehingga 𝛽̂ diperoleh dari solusi berikut ini : �

𝛽 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥 𝑖 ln 𝑥𝑖 ) � 𝛽 ∑𝑛 𝑖=1 (𝑥 𝑖

)

-

1 � 𝛽

-

1

𝑛

𝑥

) 𝑒𝑥𝑝 �−( 𝑖)𝛽 �

( 2.10 )

𝛼

∑𝑛𝑖=1 𝑙𝑛𝑥𝑖 = 0

( 2.11 )

Dan estimasi parameter bentuknya yaitu :

1

1

� 𝛼� = ( ∑𝑛𝑖=1(𝑥 𝛽 𝑖 ))𝛽� 𝑛

( 2.12 )

Estimasi Maximum Likelihood ini merupakan penentuan parameter-parameter distribusi yaitu untuk distribusi weibull 2 parameter. Untuk menentukan parameterparameter pada distribusi weibull 3 parameter dapat digunakan metode kuadrat terkecil yaitu : Untuk mencari nilai parameter dari β yang merupakan parameter bentuk yaitu a =β =

𝑛 ∑ 𝑋𝑖 𝑌𝑖 − ∑ 𝑋𝑖 ∑ 𝑌𝑖

( 2.13 )

𝑛(∑ 𝑋 2𝑖 –(∑ 𝑋𝑖 )2

Untuk mencari nilai parameter dari yang merupakan parameter lokasi yaitu c =μ =

(∑ 𝑋 2𝑖 ) ∑ 𝑌𝑖 − ∑ 𝑋𝑖 ∑ 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑛(∑ 𝑋 2𝑖 –(∑ 𝑋𝑖 )2

( 2.14 )

Untuk mencari nilai parameter dari α yang merupakan parameter skala yaitu : 𝑐

α = exp�− � 𝛽

( 2.15 )


2.8 Distribusi Gumbel

Distribusi Gumbel adalah

suatu rumusan distribusi statistik. Distribusi gumbel

termasuk jenis distribusi nilai ekstrim. Digunakan dalam kelompok distribusi nilai ekstrim. Distribusi Gumbel mendapat julukan lebih khusus yaitu distribusi nilai ekstrim Tipe I. Julukan lain yang diberikan kepadanya adalah distribusi eksponensiai ganda. Nama eksponensial ganda memang mencerminkan bentuk & sekaligus watak fungsi distribusi ini. Pengungkapan rumus distribusi, umumnya menggunakan dua bentuk. Pertama fungsi distribusi kumulatif (cummulative distribution func tion =cdf). Kedua adalah fungsi

probabilitas (probability density function = pdf).Distribusi

Gumbel merupakan distribusi yang mana Waktu sampai terjadinya gempa dinyatakan dengan peubah acak kontiniu x dengan dengan parameter lokasi α dan parameter skala β dimana nilai distribusinya sebanding dengan x . Bentuk fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Gumbel adalah : 𝑓(𝑥, 𝛼, 𝛽 ) = 𝑒 −𝑒

(𝑥−𝛼) 𝛽

+

(𝑥−𝛼) 𝛽

( 2.16 )

Dengan ketentuan nilai dari distribusi gumbel nya memungkinkan akan ada bilangan real dan akan ada bilangan real positif. Dan nilai mean (nilai harapan) dari distribusi gumbel adalah : μ = α + βγ

( 2.17 )

dan γ adalah konstanta Euler–Mascheroni yang nilainya 0.5772156649015328606 Dan untuk fungsi probabilitasnya yaitu : 𝑃𝐷𝐹 =

𝑒 −𝑒

(𝑥−𝛼) (𝑥−𝛼) + 𝛽 𝛽

𝛽

( 2.18 )

2.8.1 Estimasi Nilai Parameter pada Distribusi Gumbel

Estimasi Maximum Likelihood

Estimation dikembangkan oleh R.A.Fisher, yang

menyatakan bahwa distribusi probabilitas yang diinginkan adalah distribusi yang mampu mencari nilai dari parameter-parameter. Pencarian nilai parameter ini


dilakukan dengan memaksimalkan fungsi likelihood. Dengan metode maksimum likelihood, estimasi dari setiap parameter distribusi gumbel adalah sebagai berikut: Untuk mencari nilai parameter dari β yang merupakan parameter bentuk yaitu : 𝛽̂ = 𝑥̅ –

−𝑥𝑖 � ) 𝛽 −𝑥 𝑖 ∑𝑛 𝑖=1 exp( 𝛽 � )

∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 exp(

( 2.19 )

Untuk mencari nilai parameter dari α yang merupakan parameter skala yaitu : 1 −𝑥 𝛼� = - 𝛽̂ log � ∑𝑛𝑖=1 exp ( � 𝑖)� 𝑛

( 2.20 )

𝛽

Grafik distribusi Gumbel digambarkan sebagai berikut.

Sumber : www.wikipedia.org Gambar 2.6 Kurva distribusi Gumbel

2.9 Distribusi Eksponential

Distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan dan waktu tunggu atau teori antrian. Distribusi eksponensial merupakan model waktu (atau panjang atau area) antara kejadian Poisson. Distribusi yang menggambarkan suatu kerusakan dari mesin yang disebabkan oleh kerusakan pada salah satu komponen dari mesin atau peralatan yang menyebabkan mesin terhenti. Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi eksponensial dan Gamma


lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma. Fungsi Gamma didefinisikan oleh: ∞

Γ(α ) = ∫ x α −1e − x dx 0

= (α - 1)Γ(α - 1) Bila α = n , maka Γ(n ) = (n − 1)!. Distribusi gamma dengan α = 1 disebut distribusi eksponensial. Fungsi distribusi probabilitas : 𝑓 (𝑥 ) = �

1

𝛽

−𝑥

𝑒𝛽

Parameter :

0

;𝑥 ≥ 0 , 𝛽 ≥ 0 ; 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

𝛽>0

Dengan 𝛽 ∶ 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎

( 2.21 )

( 2.22 )

Rerataan dari distribusi Eksponensial diperoleh dengan cara sebagai berikut : ∞

𝐿 (𝑋) = � 𝑥 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ∞

= �𝑥 0

Misal 𝑢 =

𝑥

𝛽

∞

0

1 −𝑥 𝑒 𝛽 𝑑𝑥 𝛽

−𝑥 1 = � 𝑥 𝑒 𝛽 𝑑𝑥 𝛽 0

1

, maka 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 , dengan batas integral sebagai berikut : 𝛽

X = 0 maka u = 0 dan x = ∞ maka u = ∞ sehingga : 𝐸(𝑋) = =

1

∞

∫ 𝑥𝑒 𝛽 0

𝑥

(− 𝛽 )

∞ ∫ 𝑢𝛽𝑒 (−𝑢) 𝛽 0

1

=

1

𝛽

∞

𝑑𝑥

β𝑑𝑢

𝛽 2 ∫0 𝑢𝑒 (−𝑢) 𝑑𝑢

= βГ(2) E(X) = β Rataan :


𝜇𝑥 = 𝛽

( 2.23 )

Variansi dari distribusi Eksponensial diperoleh dengan cara sebagai berikut : Var (X) = E(X2) – [E(X)]2 Dengan ∞

E(𝑋) = ∫0 𝑥 2 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ∞

= ∫0 𝑥 2 𝑒

=

𝑥

(− 𝛽 ) x

𝑑𝑥

∞ (− ) ∫ 𝑥 2e β 𝛽 0

1

dx

Dengan cara yang serupa seperti penentuan rerata, diperoleh :

Sehingga

E(X2) = 2β2 Var (X) = E(X2) – [E(X)]2 = 2β2 – (β2) Var (X) = β2

Variansi : σ2x = β2

( 2.24 )

Fungsi distribusi Probabilitas kumulatif yaitu : F ( x) = �

−x

1− eβ ;x > 0

( 2.25 )

0 ; x lainnya

Grafik distribusi Eksponensial dapat digambarkan sebagai berikut.

Sumber : www.paulbourke.net Gambar 2.7 Kurva distribusi eksponensial


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Recommend Documents