3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 2.1 (Ruang contoh dan kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan
Suatu
kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh. (Ross, 2007) Definisi 2.2 (Medan- ) Medan - adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian ruang contoh
yang memenuhi syarat – syarat berikut :
1. Ø . 2. Jika A maka Ac . 3. Jika A1, A2,… maka i 1 Ai (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Jadi, suatu himpunan disebut Medan - ( field ) jika ∅ adalah anggota , tertutup terhadap operasi union tak hingga, dan tertutup terhadap operasi komplemen. Definisi 2.3 (Ukuran peluang) Suatu ukuran peluang pada (Ω,) adalah suatu fungsi : → [0,1] yang memenuhi syarat – syarat berikut: 1. (∅) = 0 dan (Ω) = 1
3
4
2. Jika A1, A2…..∈ adalah himpunan – himpunan yang saling lepas, yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk setiap pasangan i, j dengan i≠ j, maka : Ai ( Ai ) . i 1 i 1
(Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 2.4 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: ( A B) ( A)( B). Secara umum
himpunan
kejadian
Ai ; i I
dikatakan
saling
bebas
jika
:
Ai ( Ai ) untuk setiap himpunan bagian J dari I. i j i j (Grimmett dan Stirzaker, 1992) 2.2
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 2.5 (Peubah acak) Peubah acak X adalah fungsi X : dengan : X ( ) x untuk setiap x . (Grimmett dan Stirzaker,1992) Definisi 2.6 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran dari suatu Peubah acak X adalah fungsi FX : 0,1 , yang didefinisikan oleh FX ( x) ( X x). (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 2.7 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai {x1 , x2 ,...} dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 2.8 (Fungsi kerapatan peluang) Fungsi kerapatan peluang dari suatu peubah acak diskret X adalah fungsi p X : [0,1] dengan p X ( x) ( X x).
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
5
2.3
Momen dan Nilai Harapan
Definisi 2.9 (Momen) Jika X adalah peubah acak diskret, maka momen ke - m dari X didefinisikan m m sebagai X xi pX ( xi ) jika jumlahnya konvergen, dimana xi , untuk i = 1, i
2, … , menyatakan semua kumpulan nilai X, dengan p X ( xi ) 0 . Jika jumlahnya divergen, maka momen ke - m dari peubah X dikatakan tidak ada. (Taylor dan Karlin, 1984) Momen pertama dari peubah acak X, yaitu untuk m = 1 disebut nilai harapan dari X dan dinotasikan dengan [ X ] atau µ. Definisi 2.10 (Momen pusat) Momen pusat ke – m dari peubah acak X didefinisikan sebagai momen ke – m dari peubah acak X [ X ] . (Taylor dan Karlin, 1984) Momen pusat pertama adalah nol. Ragam dari peubah acak X adalah momen pusat kedua
dari
peubah
acak
tersebut
dan
dinotasikan
sebagai
2 Var ( X ) X [ X ] .
Lema 1 Jika X adalah peubah acak diskret dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta c dan d, berlaku Var(cX + d) = c2Var(X). (Casella dan Berger, 1990) Bukti : Dari definisi A.10 kita dapat menuliskan bahwa
Var (cX d ) ((cX d ) (cX d )) 2 ((cX d ) c(( X ) d )) 2 (c( X ( X ))) 2 (c 2 ( X ( X )) 2 ) c 2 (( X ( X )) 2 ) c 2Var ( X ) .
Jadi Lema 1 terbukti.
6
Definisi 2.11 (Kovarian) Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula μX dan μY masing – masing menyatakan nilai harapan dari X dan Y. Kovarian dari X dan Y didefinisikan sebagai Cov( X , Y ) (( X X )(Y Y )) . (Casella dan Berger, 1990) Lema 2 Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula c dan d adalah dua buah konstanta sebarang, maka Var(cX + dY) = c2Var(X) + d2Var(Y) + 2cdCov(X,Y). Jika X dan Y peubah acak saling bebas, maka Var(cX + dY) = c2Var(X) + d2Var(Y). (Casella dan Berger, 1990) Bukti :
Var cX dY cX dY cX dY cX dY c X d (Y )
2
2
c X X d Y Y
2
2 2 c 2 X X d 2 Y Y 2cd X X Y Y 2 2 c Var X d Var Y 2cd X X Y Y
c 2Var X d 2Var Y 2cdCov X , Y .
Jadi Lema 2 terbukti. 2.4 Kekonvergenan Definisi 2.12 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata) Barisan {an } disebut an = L atau an → L jika n → ∞, apabila untuk mempunyai limit L dan ditulis : lim n
setiap ε > 0 terdapat sebuah bilangan M sedemikian rupa sehingga jika n > M maka an L . . Jika
lim an = L ada, maka dikatakan barisan tersebut n
konvergen. Jika tidak, maka barisan tersebut divergen. (Stewart, 1999)
7
Lema 3 (Deret-p)
n1
Deret
n 1
p
(disebut juga deret-p) konvergen jika p > 1, dan divergen jika p ≤ 1. (Steawart, 1999)
Definisi 2.13 (Konvergen dalam peluang) Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan p X n X , jika untuk setiap ε > 0, berlaku lim X n X 0 . n
(Serfling, 1980) Definisi 2.14 (Konvergen dalam rataan ke – r) Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam rataan ke-r ke peubah acak X, r dengan r ≥ 1, ditulis X n X untuk n , jika X n untuk semua n r
dan X n X
r
0 untuk n . (Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 2.15 (Konvergen hampir pasti) Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X, ditulis
as X n X ,
untuk
n,
jika
untuk
setiap
ε
>
0,
lim X n X 1 . Dengan kata lain konvergen hampir pasti adalah n
konvergen dengan peluang satu. (Grimmett dan Stirzaker, 1992)
8
Definisi 2.16 (Konvergen lengkap) Misalkan X1,X2,…Xn adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen lengkap ke peubah acak X, jika untuk setiap 0 , berlaku X n X .
n 1
(Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 2.17 (Konvergen dalam sebaran) Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, d X , jika P(Xn ≤ x) → P(X ≤ x) untuk n , untuk semua titik x ditulis X n
dimana fungsi sebaran FX(x) adalah kontinu. (Grimmett dan Stirzaker, 1992) 2.5
Penduga Tak Bias dan Penduga Konsisten
Definisi 2.18 (Statistik) Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada parameter (yang tidak diketahui). (Hogg et al, 2005) Definisi 2.19 (Penduga) Misalkan X1, X2,…, Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U = U(X1, X2,…, Xn) = U(X) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(θ) disebut penduga bagi g(θ) . Nilai amatan U(X1, X2,…, Xn) dari U dengan nilai amatan X1 = x1, X2 = x2, … Xn = xn disebut sebagai dugaan bagi g(θ). (Hogg et al, 2005) Definisi 2.20 (Penduga tak – bias) U(X) disebut penduga tak bias bagi g(θ), bila
[U ( X )] g ( ) . Bila
[U ( X )] g ( ) b( ) , maka b(θ) disebut bias dari penduga U(X). Bila lim [U ( X )] g ( ) maka U(X) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi n
g(θ). (Hogg et al, 2005)
9
Definisi 2.21 (Penduga konsisten) (i) Suatu statistik U(X1, X2,…, Xn) yang konvergen dalam peluang ke parameter p g(θ), yaitu U ( X1 , X 2 ,..., X n ) g ( ) , untuk n , disebut penduga
konsisten bagi g(θ). as (ii) Jika U ( X1 , X 2 ,..., X n ) g ( ) untuk n , maka U(X1, X2,…, Xn)
disebut penduga konsisten kuat bagi g(θ). r (iii) Jika U ( X1 , X 2 ,..., X n ) g ( ) untuk
n , maka U(X1, X2,…, Xn)
disebut penduga konsisten dalam rataan ke-r bagi g(θ). (Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 2.22 (Mean square error) Mean Square Error (MSE) dari penduga ˆn untuk parameter θ adalah fungsi dari 2 θ yang didefinisikan oleh E (ˆn ) .
(Casella dan Berger, 1990) Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga ˆn dan parameter θ. Sehingga diperoleh E (ˆn ) 2 Var (ˆn ) ( E (ˆn )) 2 Var (ˆn ) ( Bias(ˆn ))2 .
2.6
Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Definisi 2.23 (O(.) dan o(.)) Simbol O(.) dan o(.) adalah cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. (i) Notasi u(x) = O(v(x)), x → L, menyatakan bahwa
u ( x) terbatas, untuk x → L. v( x)
(ii) Notasi u(x) = o(v(x)), x → L, menyatakan bahwa
u ( x) → 0 , untuk x → L. v( x) (Serfling, 1980)
10
Definisi 2.24 (Momen kedua terbatas) Peubah acak X disebut mempunyai momen kedua terbatas jika E(X2) terbatas. (Helms, 1996) Definisi 2.25 (Fungsi indikator) Fungsi indikator dari suatu himpunan A, sering ditulis IA(x), didefinisikan sebagai 1, jika x A I {x A} 0, selainnya
(Casella dan Berger, 1990) Lema 4 (Ketaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak, maka untuk suatu t > 0, ( X t )
[ X ] t
.
(Ghahramani, 2005) Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam terbatas σ2 maka
( X t )
2 t2
untuk setiap t ≥ 0. (Ghahramani, 2005)
Bukti : Karena X 0 , dengan ketaksamaan Markov 2
( X ) t 2
2
( X ) 2 t2
2 t2
.
2 Oleh karena X t adalah eqivalen X t , maka Lema 5 terbukti. 2
Lema 6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka ([ XY ]) 2 [ X ]2 E[Y ]2 dan akan sama dengan jika dan hanya jika P(X = 0) atau
P(Y = aX) = 1 untuk suatu konstanta a. (Helms, 1996)
11
Bukti Untuk semua bilangan real a, ( X aY ) 2 0 . Oleh karena itu untuk semua nilai dari a, X 2 2 XYa a2Y 2 0 . Karena peubah acak nonnegatif, maka nilai harapannya juga nonnegatif, yaitu ( X 2 2 XYa a 2Y 2 ) 0 ( X 2 ) 2( XY ) a a 2 (Y 2 ) 0
Dengan menuliskan dalam persamaan polinomial derajat 2, maka a 2 (Y 2 ) 2( XY )a ( X 2 ) 0 .
Misalkan
A (Y 2 ) ,
B 2( XY ) , dan
C ( X 2 ) . Perhatikan bahwa
polinomial berderajat 2 yang memiliki paling banyak sebuah akar real, maka dikriminannya tak positif. Sehingga
B2 4 AC 0 4 ( XY ) 4( X 2 )(Y 2 ) 0 2
( XY )
2
( X 2 )(Y 2 ) .
Jadi, Lema 6 terbukti. Lema 7 (Lema Borel-Contelli)
(i) Misalkan {An} adalah sebarang kejadian, jika
P{ An } , maka
n 1
P(An terjadi sebanyak tak hingga kali) = 0. (ii) Misalkan {An} adalah sebarang kejadian yang saling bebas. Jika
{ An } , maka (An terjadi sebanyak tak hingga kali) = 1.
n 1
(Durret, 1996) Lema 8 (Teorema Fubini) Jika f ≥ 0 atau f d maka f ( x, y ) 2 (dy ) 1 (dx) fd f ( x, y ) 1 (dx) 2 (dy) . XY
XxY
YX
(Durret, 1996)
12
Definisi 2.26 (Terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sebarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh ( B) ( s)ds . B
(Dudley, 1989) Definisi 2.27 (Titik Lebesgue) Suatu
titik
s
disebut
titik
Lebesgue
dari
suatu
fungsi
,
jika
1 h (u s) ( s) du 0 . h 0 2h h
lim
(Wheeden dan Zygmund, 1977) 2.7
Proses Poisson Periodik
Definisi 2.28 (Proses stokastik) Proses stokastik X = { X(t) , t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu state S. (Ross, 2007) Dengan demikian X(t) adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T yang sering diinterpretasikan sebagai satuan waktu (walaupun tidak harus merupakan waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaan) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya. Definisi 2.29 (Proses stokastik dengan waktu kontinu) Suatu proses stokastik { X(t) , t T } disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval. (Ross, 2007) Definisi 2.30 (Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { X(t) , t T } disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < ... < tn , peubah acak
X(t1) –
X(t0), X(t2) – X(t1), X(t3) – X(t2) , ... , X(tn) – X(tn–1) , adalah saling bebas. (Ross, 2007)
13
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) adalah saling bebas. Definisi 2.31 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { X(t) , t T } disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t + s) – X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross, 2007) Dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada sembarang interval hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0,). Definisi 2.32 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik { N(t), t > 0 } disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: (i).
N(t) 0 untuk setiap t [0,).
(ii).
Nilai N(t) adalah integer.
(iii).
Jika s < t maka N(s) N(t), s, t [0,).
(iv).
Untuk s < t, maka N(t) - N(s) sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s,t]. (Ross, 2007)
Definisi 2.33 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan { N(t), t 0 } disebut proses Poisson dengan laju ,
> 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:
14
(i).
N(0) = 0
(ii). Proses tersebut mempunyai inkremen bebas. (iii). Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan t. Jadi
P( N (t s) N (s) k )
et (t )k ; k 0,1, 2,... k!
(Ross, 2007)
Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner.
Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa ( N (t )) t. Proses
Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t disebut proses Poisson homogen. Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu, (t), maka disebut proses Poisson tak homogen. Untuk kasus ini, (t) disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas (t) harus memenuhi syarat (t) ≥ 0 untuk semua t. Definisi 2.34 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas
pada titik s adalah (s), yaitu nilai fungsi di s. (Cressie, 1993) Definisi 2.35 (Fungsi intensitas global) Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:
N ([0, n]) n n
lim
jika limit di atas ada. (Cressie, 1993) Definisi 2.36 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika (s + k) = (s) untuk semua s dan
k , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut. (Browder, 1996)
15
Definisi 2.37 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku, 2001) 2.8
Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Fungsi intensitas suatu proses Poisson merupakan laju proses Poisson
tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal (yang lebih sering hanya disebut fungsi intensitas) dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju suatu proses Poisson pada suatu interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut pada interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan {hn } adalah barisan bilangan real positif dengan sifat hn 0 dan N[0,t]
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval [0,t], maka intensitas lokal di titik s dapat dihampiri dengan
1 N ([ s hn , s hn ]). 2hn
Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global suatu proses Poisson adalah dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut pada interval waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan
1 N ([0, n]). n
Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas proses Poisson periodik (tanpa tren) telah dibuktikan pada Helmers et al. (2003). Adapun untuk periode yang diketahui, kekonvergenan lemah dan kuat penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik telah dibuktikan pada Mangku (2006). Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren. Kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi
16
intensitas proses Poisson periodik ditambah suatu tren linear telah dibuktikan pada Helmers dan Mangku (2009). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan pula kajiannya. Kekonsistenan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk penjumlahan fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008). Kemudian kekonsistenan penduga komponen periodik tipe kernel dari fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik ditambah tren fungsi pangkat juga dikaji pada Rachmawati (2010). Selanjutnya kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga tipe kernel fungsi intensitas berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren linear pada proses Poisson telah dibuktikan pada Mangku (2011).
