BAB II TINJAUAN PUSTAKA. dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan:

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1

Regresi Parametrik Regresi parametrik merupakan metode statistika yang digunakan untuk

mengetahui pola hubungan antara variabel prediktor dengan variabel respon, dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. Secara umum bentuk regresi parametrik linier ditulis sebagai berikut: 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽𝑗 𝑋𝑖 + 𝜀𝑖 ,

𝑖 = 1,2, . . , 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑗 = 1,2, … , 𝑘

(2.1)

atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan: 𝑌 = 𝑋𝛽 + 𝜀 , 𝜀~𝑁(0, 𝜎 2 )

(2.2)

Menduga koefisien regresi 𝛽 pada regresi sederhana dapat menggunakan metode kuadrat terkecil. Metode ini dilakukan dengan meminimumkan 𝜀 𝑇 𝜀 terhadap 𝛽. 𝜀 𝑇 𝜀 = (𝑌 − 𝑋𝛽)𝑇 (𝑌 − 𝑋𝛽), kemudian 𝜀 𝑇 𝜀 diturunkan terhadap 𝛽 dan disamakan dengan nol sehingga diperoleh penduga : 𝛽̂ = (𝑋 𝑇 𝑋)−1 (𝑋 𝑇 𝑌)

(2.3)

(Eubank,1998)

2.2

Regresi Nonparametrik Untuk n pengamatan yang independen, (𝑡𝑖 , 𝑦𝑖 ) dimana 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 maka

model regresi secara umum dapat ditulis dengan : 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑡𝑖 ) + 𝜀𝑖

, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

5

(2.4)

6

𝑦𝑖 adalah variabel respon ke-i, 𝑓(𝑡𝑖 ) adalah fungsi regresi yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya dan 𝜀𝑖 adalah error random atau galat acak yang diasumsikan independen dan identik dengan rataan 0 dan keragaman 𝜎 2 . Menurut Eubank jika fungsi regresi 𝑓(𝑡𝑖 ) tidak diketahui atau tidak tergantung pada asumsi bentuk kurva tertentu, maka fungsi regresi dapat diduga menggunakan regresi nonparametrik. Pendekatan nonparametrik digunakan untuk menduga kurva regresi yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya dan tidak ingin terikat pada asumsi tertentu seperti pada regresi parametrik. Dalam regresi nonparametrik data diharapkan mencari sendiri bentuk pendugaanya, sehingga memiliki fleksibilitas yang tinggi. Kurva regresi hanya diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi yang berdimensi tak hingga dan merupakan fungsi mulus (smooth). Menduga fungsi 𝑓(𝑡𝑖 ) dilakukan berdasarkan data pengamatan dengan menggunakan teknik smoothing yang dapat digunakan antara lain penduga histogram, kernel, deret orthogonal, spline, k-NN, deret fourier, dan Wavelet (Eubank, 1988).

2.3

Regresi Semiparametrik Regresi semiparametrik merupakan gabungan antara regresi parametrik dan

regresi nonparametrik. Model regresi semiparametrik dapat ditulis sebagai berikut: 𝑦𝑖 = 𝑋𝑖𝑇 𝛽 + 𝑓(𝑡𝑖 ) + 𝜀𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

(2.5)

7

𝑦𝑖 adalah variabel respon ke-i, 𝑋𝑖 adalah komponen parametrik, 𝑓(𝑡𝑖 ) adalah fungsi regresi yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya dan 𝜀𝑖 adalah galat acak dengan 𝜀𝑖 ~𝑁(0, 𝜎 2 ).

2.4

Penduga Densitas Kernel Misalkan suatu sampel random 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 dari suatu populasi dengan

fungsi densitas 𝑔(𝑡) tidak diketahui. Berdasarkan sampel random ini akan diduga fungsi densitasnya. Metode yang paling sederhana adalah dengan membentuk histogram frekuensi relatif. Range data dibagi atas 𝑘 interval dengan batas interval a1,a2, …,ak, sehingga a1 a2 … ak. Penduga densitas untuk suatu nilai 𝑡 yang berada dalam interval 𝑎𝑖 < 𝑡 ≤ 𝑎𝑖+1 , dinotasikan 𝑔̂ℎ (𝑡), dinyatakan dengan formula berikut: 𝑔̂ℎ (𝑡) =

banyak data pada interval 𝑎𝑖 sampai dengan 𝑎𝑖+1 𝑛𝑏

dengan lebar interval antara ai sampai dengan ai+1 disebut bin width yang dinotasikan dengan b (Wand dan Jones, 1995). Histogram yang kurang halus dapat diatasi dengan prosedur nonparametrik, salah satunya menggunakan penduga (estimator) kernel. Penduga densitas kernel merupakan pengembangan dari penduga histogram. Penduga kernel diperkenalkan oleh Rosenblatt dan Parzen sehingga disebut penduga densitas kernel RosenblattParzen. Rosenblatt memberi bobot pada setiap pengamatan, dengan memilih fungsi K , sehingga pengamatan yang lebih dekat ke 𝑡 akan memberi sumbangan

8

yang lebih besar terhadap 𝑔̂ℎ (𝑡). Fungsi K ini merupakan fungsi pembobot yang dinamakan fungsi kernel (Hardle, 1994). Secara umum kernel K dengan bandwidth h (Wand dan Jones, 1995) didefinisikan sebagai: 𝐾ℎ (𝑡) =

1 𝑡 𝐾 ( ) , untuk − ∞ < 𝑡 < ∞ dan ℎ > 0 ℎ ℎ

(2.6)

serta memenuhi: (i)

𝐾(𝑡)  0, untuk semua 𝑡

(ii)

∫−∞ 𝐾(𝑡)𝑑𝑡 = 1

∞

∞

(iii) ∫−∞ 𝑡 2 𝐾(𝑡)𝑑𝑡 = 𝜎 2 > 0 ∞

(iv) ∫−∞ 𝑡𝐾(𝑡)𝑑𝑡 = 0 maka penduga densitas kernel untuk fungsi densitas 𝑔(𝑡) adalah 𝑛

𝑛

1 1 𝑡 − 𝑡𝑖 𝑔̂ℎ (𝑡) = ∑ 𝐾ℎ (𝑡 − 𝑡𝑖 ) = ∑𝐾( ) 𝑛 𝑛ℎ ℎ 𝑖=1

(2.7)

𝑖=1

Pada persamaan (2.7) terlihat bahwa 𝑔̂ℎ (𝑡) tergantung pada fungsi kernel K dan parameter h . Bentuk bobot kernel ditentukan oleh fungsi kernel K , sedangkan ukuran bobotnya ditentukan oleh parameter pemulus h yang disebut bandwidth. Peran bandwidth seperti lebar interval pada histogram. Beberapa jenis fungsi kernel (Hardle, 1990) antara lain: 1

a.

Kernel Uniform

:𝐾(𝑡) = 2 I(|t| ≤ 1)

b.

Kernel Triangle

: 𝐾(𝑡) = (1 − |𝑡|)I(|𝑡| ≤ 1)

c.

Kernel Epanechnikov

: 𝐾(𝑡) = 4 (1 − 𝑡 2 )I(|𝑡| ≤ 1)

d.

Kernel Quartic

: 𝐾(𝑡) = 16 (1 − 𝑡 2 )2 I(|𝑡| ≤ 1)

3

15

9

35

e.

Kernel Triweight

: 𝐾(𝑡) = 32 (1 − 𝑡 2 )3 I(|𝑡| ≤ 1)

f.

Kernel Gaussian

: 𝐾(𝑡) =

g.

Kernel Cosinus

: 𝐾(𝑡) = 4 cos ( 2 𝑡) I(|𝑡| ≤ 1)

1 √2𝜇 𝜋

1

exp (2 (−𝑡 2 )) , −∞ < 𝑡 ≤ ∞ 𝜋

Dengan I adalah fungsi indikator. Berikut disajikan bentuk kurva dari masing-masing fungsi kernel pada selang [-1,1] (Wikipedia) pada gambar 2.1:

Gambar 2.1(a) Kernel Uniform

Gambar 2.1(b) Kernel Triangle

Gambar 2.1(c) Kernel Epanechnikov

10

Gambar 2.1(d) Kernel Quartic

Gambar 2.1(e) Kernel Triweight

Gambar 2.1(f) Kernel Gaussian

Gambar 2.1(g) Kernel Cosinus

2.5

Regresi Nonparametrik Kernel Regresi kernel adalah teknik statistika nonparametrik untuk menduga fungsi

regresi 𝑓(𝑡𝑖 ) pada model regresi nonparametrik 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑡𝑖 ) + 𝜀𝑖 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Secara teoritis fungsi regresi (Carmona, 2003) didefinisikan sebagai:

11

∞

∞

∫ 𝑦 𝑔(𝑡, 𝑦)𝑑𝑦 𝑓(𝑡) = 𝐸(𝑌|𝑇 = 𝑡) = ∫ 𝑦 𝑔(𝑦|𝑡)𝑑𝑦 = −∞ 𝑔(𝑡)

(2.8)

−∞

Fungsi densitas bersama 𝑔(𝑡, 𝑦) tidak diketahui dan dapat diduga dengan kernel multiplikatif, yaitu: 𝑛

1 𝑡 − 𝑡1 𝑦 − 𝑦𝑖 𝑔̂ℎ1 ,ℎ2 (𝑡, 𝑦) = ∑𝐾( )𝐾( ) 𝑛ℎ1 ℎ2 ℎ1 ℎ2 𝑖=1

𝑛

1 𝑡 − 𝑡1 𝑦 − 𝑦𝑖 = ∑ 𝐾ℎ1 ( ) 𝐾ℎ2 ( ) 𝑛 ℎ1 ℎ2

(2.9)

𝑖=1

sehingga diperoleh penduga fungsi regresi, yaitu: ∞

∫ 𝑦𝑔̂ℎ1 ℎ2 (𝑡, 𝑦)𝑑𝑦 𝑓̂(𝑡) = −∞ 𝑔̂ℎ (𝑡)

(2.10)

akan dihitung pembilang pada persamaan (2.10) ∞

∞

−∞

−∞

𝑛

1 ∫ 𝑦 𝑔̂ℎ1 ℎ2 (𝑡, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑦 ∑ 𝐾ℎ1 (𝑡 − 𝑡𝑖 )𝐾ℎ2 (𝑦 − 𝑦𝑖 )𝑑𝑦 𝑛 𝑖=1

𝑛

𝑛

1 = ∑ 𝐾ℎ1 (𝑡 − 𝑡𝑖 ) ∫ 𝑦 𝐾ℎ2 (𝑦 − 𝑦𝑖 )𝑑𝑦 𝑛 𝑖=1 𝑛

𝑖=1

∞

1 𝑦 𝑦 − 𝑦𝑖 = ∑ 𝐾ℎ1 (𝑡 − 𝑡𝑖 ) ∫ 𝐾( )𝑑𝑦 𝑛 ℎ2 ℎ2 𝑖=1

−∞

dengan memisalkan 𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑧ℎ2 → 𝑛

𝑑𝑦 𝑑𝑧

= ℎ2 → 𝑑𝑦 = ℎ2 𝑑𝑧, sehingga:

∞

1 𝑦𝑖 + 𝑧ℎ2 𝑧ℎ2 = ∑ 𝐾ℎ1 (𝑡 − 𝑡𝑖 ) ∫ 𝐾( ) ℎ2 𝑑𝑧 𝑛 ℎ2 ℎ2 𝑖=1 𝑛

−∞

∞

1 = ∑ 𝐾ℎ1 (𝑡 − 𝑡𝑖 ) ∫ (𝑦𝑖 + 𝑧ℎ2 )𝐾(𝑧)ℎ2 𝑑𝑧 𝑛 𝑖=1

=∞

12

𝑛

∞

∞

−∞

−∞

1 = ∑ 𝐾ℎ𝑖 (𝑡 − 𝑡𝑖 ) (𝑦𝑖 ∫ 𝐾(𝑧) 𝑑𝑧 + ℎ2 ∫ 𝑧𝐾(𝑧)𝑑𝑧) 𝑛 𝑖=1

∞

∞

karena ∫−∞ 𝐾(𝑧)𝑑𝑧 = 1 dan ∫−∞ 𝑧 𝐾(𝑧)𝑑𝑧 = 0, maka diperoleh: ∞

𝑛

1 ∫ 𝑦 𝑔̂ℎ1 ℎ2 (𝑡, 𝑦)𝑑𝑦 = ∑ 𝐾ℎ1 (𝑡 − 𝑡𝑖 )𝑦𝑖 𝑛

(2.11)

𝑖=1

−∞

dengan mengganti pembilang dan penyebut pada (2.10) dengan (2.11) dan (2.7) maka diperoleh: 1 𝑛 ∑𝑖=1 𝐾ℎ (𝑡 − 𝑡𝑖 )𝑦𝑖 𝑛 𝑓̂(𝑡) = 1 𝑛 ∑ (𝑡 ) 𝑛 𝑖=1 𝐾ℎ − 𝑡𝑖 𝑓̂(𝑡) =

∑𝑛𝑖=1 𝐾ℎ (𝑡 − 𝑡𝑖 )𝑦𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝐾ℎ (𝑡 − 𝑡𝑖 )

(2.12)

(2.13)

𝑛

𝑓̂(𝑡) = ∑ 𝑤ℎ𝑖 (𝑡) 𝑦𝑖

(2.14)

𝑖=1

Dengan 1 𝑡 − 𝑡𝑖 𝑡 − 𝑡𝑖 𝐾( ) 𝐾( ) 𝐾ℎ (𝑡 − 𝑡𝑖 ) ℎ ℎ ℎ 𝑤ℎ𝑖 (𝑡) = 𝑛 = = 𝑡−𝑡 𝑡 − 𝑡𝑖 ∑𝑖=1 𝐾ℎ (𝑡 − 𝑡𝑖 ) 1 ∑𝑛 𝐾( ) ∑𝑛𝑖=1 𝐾 ( ℎ 𝑖 ) 𝑖=1 ℎ ℎ

(2.15)

Penduga (2.12) diusulkan oleh Nadaraya dan Watson, sehingga penduga ini sering disebut penduga Nadaraya-Watson (Hardle, 1994). Pada regresi kernel, ukuran penduganya ditentukan oleh bandwidth. Smoothing pada regresi kernel pendugannya saling melengkapi (Ryan,1996).

13

2.6

Pemilihan Bandwidth Optimal Permasalahan utama pada kernel smoothing bukan terletak pada pemilihan

fungsi kernel tetapi pada pemilihan bandwidth (Hastie dan Tibshirani, 1990). Bandwidth (h) adalah parameter pemulus (smoothing) yang berfungsi untuk mengontrol kemulusan dari kurva yang diduga. Bandwidth yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva yang undersmoothing yaitu sangat kasar dan sangat fluktuatif (Gambar 2.2), dan sebaliknya bandwidth yang terlalu lebar akan menghasilkan kurva yang oversmoothing yaitu sangat mulus (Gambar 2.3), tetapi tidak sesuai dengan pola data (Hardle, 1994). Oleh karena itu perlu dipilih bandwidth yang optimal untuk menghasilkan kurva yang optimal (Gambar 2.4)

0 -50 -100

Percepatan (g)

50

Plot Estimasi Kernel Triangle

10

20

30

40

50

Waktu (milidetik)

Gambar 2.2. Kurva regresi dengan menggunakan bandwidth (h) yang terlalu kecil. (Sumber: Lestari (2010))

14

-100

-50

0

Percepatan (g)

50

Plot Estimasi Kernel Triangle

10

20

30

40

50

Waktu (milidetik)

Gambar 2.3. Kurva regresi dengan menggunakan bandwidth (h) yang terlalu besar. (Sumber : Lestari (2010))

0 -50 -100

Percepatan (g)

50

Plot Estimasi Kernel Triangle

10

20

30

40

50

Waktu (milidetik)

Gambar 2.4. Kurva regresi dengan menggunakan bandwidth (h) optimal (Sumber : Lestari (2010))

15

Suatu kriteria untuk ℎ akan dibatasi pada kelas penduga linear, yang mana untuk setiap ℎ ada matriks 𝐻(ℎ) berukuran 𝑛 × 𝑛, 𝐻(ℎ) simetri dan semidefinit positif, sehingga 𝑓ℎ = 𝐻(ℎ)𝑌 dengan elemen-elemen 𝐻(ℎ) adalah: .

𝑡 − 𝑡𝑖 ) ℎ 𝑤𝑖𝑗 = 𝑡 − 𝑡𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝐾 ( ) ℎ 𝐾(

(2.15)

Salah satu metode untuk mendapatkan ℎ optimal adalah dengan menggunakan kriteria Generalized Cross Validation (GCV) (Eubank, 1988), yang didefinisikan sebagai berikut: 𝑀𝑆𝐸

𝐺𝐶𝑉(ℎ) =

2

(2.16)

1 (𝑛 𝑡𝑟(𝐼 − 𝐻(ℎ))) dengan 𝑀𝑆𝐸:

𝑛

1 𝑀𝑆𝐸 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑓ℎ (𝑡𝑖 ))2 𝑛 𝑖=1

2.7

Pertumbuhan Balita Pertumbuhan balita dapat dilihat dari perkembangan berat badan balita

tersebut. Pertumbuhan balita bisa dipantau dengan melihat grafik berat badan yang terdapat di kartu menuju sehat (KMS). Standar acuan pertumbuhan balita adalah Berat Badan menurut Umur (BB/U), Berat Badan menurut Tinggi Badan (BB/TB), dan Tinggi Badan menurut Umur (TB/U). Parameter Yang umum digunakan di Indonesia adalah Berat Badan menurut Umur (BB/U) sesuai dengan standar tabel WHO-NCHS (National Center of Health Statistics) dan parameter ini dipakai menyeluruh di Posyandu.

16

Klasifikasinya adalah normal, underweight (kurus) dan overweight (gemuk) (Masruri,2009) dalam Setyaningsih (2010).