BAB II MAKALAH. : Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII UKSW. : Prosiding Seminar Nasional Matematika VIII UKSW 15 Juni

BAB II MAKALAH

Makalah I. Judul

: Linear Goal Programming untuk Optimasi Perencanaan Produksi

Dipresentasikan

: Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII UKSW 2013 yang diselenggarakan oleh Fakultas

Sains

dan

Matematika UKSW tanggal 15 Juni 2013 Publikasi

: Prosiding Seminar Nasional Matematika VIII UKSW 15 Juni 2013”. ISSN 2087-0922 Vol.4 No.1, 15 Juni 2013.

Makalah II. Judul

: Linear Goal Programming untuk Perencanaan Produksi dengan Kendala Permintaan yang Diramalkan Menggunakan Metode Regresi Linear Berganda.

Dipresentasikan

: Ujian Skripsi yang diselenggarakan oleh Fakultas Sains dan Matematika UKSW tanggal 9 September 2013

3

MAKALAH I

4

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW

LINEAR GOAL PROGRAMMING UNTUK OPTIMASI PERENCANAAN PRODUKSI Natalia Esther Dwi Astuti1), Lilik Linawati2), Tundjung Mahatma2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika UKSW Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1)

[email protected], 2) [email protected],2) [email protected] ABSTRAK

Optimasi produksi adalah suatu cara untuk merencanakan atau mengatur penggunaan sumberdaya yang dimiliki perusahaan seperti bahan baku, tenaga kerja, modal kerja, dan fasilitas produksi supaya dapat memenuhi permintaan konsumen, mengoptimalkan bahan baku yang ada dan agar proses produksi dapat berjalan dengan efektif dan efisien. Untuk mencapai hal ini, maka perlu dibuat suatu perencanaan produksi yang mengacu pada metode matematis. Metode Liniear Goal Programming dapat digunakan untuk memodelkan permasalahan optimasi produksi yang mempunyai tujuan lebih dari satu, misalkan terpenuhinya tingkat permintaan konsumen, memaksimalkan penggunaan bahan baku yang ada dan meminimumkan saldo produk di gudang pada setiap akhir bulan. Dalam makalah ini akan dibahas bagaimana menerapkan dan merumuskan model Linear Goal Programming untuk optimasi produksi pada perusahaan minuman dalam kemasan botol. Model Linear Goal Programming yang diperoleh diselesaikan menggunakan alat bantu Solver. Berdasarkan data untuk perencanaan produksi minuman dalam kemasan botol selama tiga bulan diperoleh solusi optimal sehingga dapat disimpulkan bahwa semua sasaran yang ingin dicapai terpenuhi. Kata kunci : Optimasi Produksi, Perencanaan Produksi, Linear Goal Programming (LGP)

PENDAHULUAN

suatu industri tidak mengorientasikan tujuan hanya untuk memenuhi permintaan konsumen. Di lain sisi ada beberapa tujuan yang harus dicapai. Misalnya, memaksimumkan pemanfaatan mesin produksi , meminimumkan biaya produksi dan lainnya. Agar terjadi optimasi produksi, maka perlu dibuat suatu perencanaan produksi yang mengacu pada metode matematis. Metode Linear Goal Programming dikembangkan oleh A. Charnes dan W.M. Cooper yang diperkenalkan pada tahun 1955, merupakan perluasan dari pemrograman linear, sehingga seluruh asumsi, notasi, formulasi model matematis, prosedur perumusan model dan penyelesaiannya tidak berbeda. Perbedaannya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasi di fungsi kendala sasaran [4]. Dalam penelitian ini, akan dibahas bagaimana menerapkan dan merumuskan model Linear Goal Programming untuk optimasi produksi pada perusahaan minuman dalam kemasan

Optimasi produksi merupakan suatu cara untuk merencanakan atau mengatur penggunaan sumberdaya yang dimiliki perusahaan seperti bahan baku, tenaga kerja, modal kerja, fasilitas produksi supaya dapat memenuhi permintaan konsumen, mengoptimalkan bahan baku yang ada dan agar proses produksi dapat dapat berjalan dengan efektif dan efisien [1] . Cara mengoptimalkan produksi bisa dengan meningkatkan kualitas produksi, manfaat produksi, bentuk fisik produksi dan mengatur jumlah produksi [5]. Salah satu perusahaan yang bergerak di bidang produksi minuman dalam kemasan botol berbahan dasar teh memproduksi lima jenis produk yaitu produk 1, produk 2, produk 3, produk 4 dan produk 5. Mengingat bahwa hasil produksi sangat penting bagi perusahaan maka optimasi produksi sangat dibutuhkan dalam proses produksi untuk memenuhi permintaan konsumen. Namun, pada kenyataannya 398


𝜂𝑖 𝜌𝑖 𝑐𝑖,𝑗

botol untuk memenuhi tingkat permintaan konsumen, memaksimumkan penggunaan bahan baku yang ada dan meminimumkan saldo produk di gudang. Penelitian menggunakan model Linear Goal Programming sudah pernah dilakukan oleh Purwanto (2011) yaitu untuk menentukan perencanaan produksi pakaian jadi menggunakan konsep penundaan dengan mempertimbangkan tiga kegiatan dalam proses produksi (produksi langsung, poduksi master, dan perakitan) untuk meminimalkan biaya operasional, biaya persediaan, dan biaya tenaga kerja [6].

𝑥𝑗 m n bi 𝒂 l

Menurut Ignizio langkah-langkah dalam proses merumuskan model Linear Goal Programming sebagai berikut [2] :

Linear Goal Programming Linear goal programming (LGP) biasanya diterapkan pada masalah-masalah linear dengan memasukkan berbagai tujuan dalam formulasi modelnya. Dalam formulasi (LGP), sasaran dalam numerik untuk setiap tujuan harus ditetapkan lebih dahulu. Kemudian, tujuan yang ingin dicari adalah meminimumkan besarnya simpangan capaian pada kendala terhadap sasarannya. Untuk menyatakan simpangan (deviasi) dalam formulasi modelnya diperlukan suatu variabel yang disebut variabel deviasi. Ada dua variabel deviasi dalam formulasi modelnya yaitu variabel deviasi positif dan variabel deviasi negatif. Variabel deviasi positif berfungsi untuk menampung kelebihan capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS), sementara variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung kekurangan capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS) [3][4]. Bentuk Umum Programming

Linear



  

Mengembangkan baseline model (yang dimaksud dengan baseline model yaitu model matematika dari sebuah permasalahan) Menentukan nilai sasaran untuk setiap kendala Menambahkan variabel deviasi negatif dan positif untuk setiap kendala Menentukan fungsi tujuan untuk setiap kendala Tabel 1. Perumusan Fungsi Tujuan Jenis Tujuan 𝒇𝒊 𝒙 ≤ 𝒃𝒊 𝒇𝒊 𝒙 ≥ 𝒃𝒊 𝒇𝒊 𝒙 = 𝒃𝒊

Bentuk LGP 𝒇𝒊 𝒙 + 𝜼𝒊 − 𝝆𝒊 = 𝒃𝒊 𝒇𝒊 𝒙 + 𝜼𝒊 − 𝝆𝒊 = 𝒃𝒊 𝒇𝒊 𝒙 + 𝜼𝒊 − 𝝆𝒊 = 𝒃𝒊

Variabel deviasi yg di min 𝝆𝒊 𝜼𝒊 𝜼𝒊 + 𝝆 𝒊

Tabel 1 digunakan untuk merumuskan fungsi tujuan yang berhubungan dengan variabel deviasi yang akan diminimumkan, dimana : 𝒇𝒊 𝒙 menyatakan fungsi tujuan/kendala, dengan nilai sasaran kendala ke-i (𝒃𝒊 ) , deviasi negatif pada kendala ke-i (𝜼𝒊 ) dan deviasi positif pada kendala ke-i (𝝆𝒊 ).

Goal

Berikut bentuk umum dari metode Linear Goal Programming [2] :



Mencari nilai 𝒙 = (𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … , 𝒙𝒏 ) Min 𝒂 = 𝑎1 𝜂, 𝜌 , … , 𝑎𝑙 (𝜂, 𝜌) dengan kendala 𝑓𝑖 𝑥 + 𝜼𝒊 − 𝝆𝒊 = 𝒃𝒊 untuk i=1,2,....,m 𝑥, 𝜂, 𝜌 ≥ 0 dengan 𝑓𝑖 𝑥 =

= deviasi negatif pada kendala ke-i, = deviasi positif pada kendala ke-i, = konstanta dari kendala ke-i, variabel keputusan ke-j, = variabel keputusan ke-j, = banyak kendala, = banyak variabel keputusan, = nilai sasaran kendala ke-i, = fungsi pencapaian tujuan, = banyaknya fungsi tujuan/fungsi kendala.

Menetapkan tujuan

fungsi

pencapaian

METODE PENELITIAN Penelitian ini diselesaikan melalui langkah-langkah penelitian yang dijabarkan sebagai berikut :

𝑛 𝑗 =1 𝑐𝑖,𝑗 𝑥𝑗

399




   

Dari persamaan (1) untuk kendala ini maka dapat diformulasikan model LGP seperti berikut :

Pengumpulan data Data yang dianalisis adalah data sekunder pada proses produksi minuman teh siap minum dalam kemasan botol antara lain persediaan bahan baku dan jumlah permintaan, jumlah kemasan/botol di gudang selamakurun waktu 3 bulan (OktoberDesember 2012)

𝑋𝑖,𝑡 + 𝐼𝑖 ,(𝑡−1) − 𝐼𝑖,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑇𝑃𝑖,𝑡

(6)

𝑘 = 1,2, … , 𝑙, 3

𝑀𝑖𝑛 𝑎1 =

(𝜂𝑘 + 𝜌𝑘 ) 𝑡=1

dengan :

Menyusun model LGP Menyelesaikan model dengan Solver Menginterpretasikan Menarik kesimpulan

Formulasi Produksi

LGP

untuk

𝐼𝑖,𝑡

= Jumlah saldo akhir produk i pada akhir periode t (pallet) 𝐼𝑖 ,(𝑡−1) = Jumlah saldo awal produk i pada akhir periode t (pallet) 𝑇𝑃𝑖,𝑡 = Jumlah permintaan produk i pada periode t (pallet)

Optimasi

Untuk merumuskan model LGP terlebih dahulu memformulasikan model dasar linear programming (LP) seperti berikut :

F2 : Meminimumkan saldo persediaan di gudang Selanjutnya untuk kendala saldo persediaan produk di gudang berdasarkan persamaan (2) dan diformulasikan ke model LGP dengan meminimumkan deviasi positif 𝜌𝑘 dengan 𝑘 = 𝑙 + 1, … ,2𝑙, 𝑙 adalah banyaknya kendala seperti pada rumus (7) yaitu :

 Kendala tingkat permintaan konsumen 𝑋𝑖,𝑡 + 𝐼𝑖 ,(𝑡−1) − 𝐼𝑖 ,𝑡 = 𝑇𝑃𝑖,𝑡 (1)  Kendala saldo persediaan di gudang 3 (2) 𝑡=1 𝐼𝑖 ,𝑡 ≥ 𝑆𝑖,𝑡  Kendala penggunaan bahan baku 3 𝑡=1 𝑐𝑖 . 𝑋𝑖,𝑡 ≤ 𝐵𝐵𝑖,𝑡  Kendala persediaan kemasan/botol 3 𝑡=1 𝑋𝑖,𝑡 ≤ 𝑃𝐵𝑖,𝑡  Kendala ketersedian waktu proses 3 𝑡=1 𝑑𝑖 . 𝑋𝑖,𝑡 ≤ 𝑊𝑃𝑖,𝑡

3 𝑡=1 𝐼𝑖 ,𝑡

(3)


(4)

𝜌𝑘 𝑡=1

dengan 𝑆𝑖,𝑡 adalah rata-rata saldo produk i per bulan (pallet)

(5)

F3 : Memaksimumkan penggunaan bahan baku Sementara itu kendala lainnya adalah kendala penggunaan bahan baku sesuai model dasar pada rumus (3) dapat diformulasikan ke model LGP seperti berikut : 3 𝑡=1 𝑐𝑖 . 𝑋𝑖,𝑡

Kendala Sasaran : tingkat

(7)

3

Setelah memformulasikan model dasar LP , selanjutnya memformulasikan model LGP dengan dimisalkan variabel keputusan 𝑋𝑖,𝑡 adalah banyaknya produk i yang harus diproduksi pada periode t (pallet) dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, dan 𝑡 = 1,2,3. Model disusun untuk setiap produk i dan t ditentukan untuk 3 bulan.

F1 : Memenuhi konsumen

+ 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑆𝑖,𝑡

+ 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝐵𝐵𝑖,𝑡

𝑘 = 2𝑙 + 1, … , 5𝑙,

permintaan

3


𝜌𝑘 𝑡=1

400

(8)


Penerapan Model Programming

dengan : 𝑐𝑖 = kebutuhan bahan baku untuk satu pallet produk i

:

Memaksimumkan kemasan/botol

persediaan

Untuk kendala ini sesuai model dasar pada rumus (4) dapat diformulasikan ke model LGP seperti berikut (9) : 3 𝑡=1

𝑋𝑖,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑃𝐵𝑖,𝑡

(9)

𝑘 = 5𝑙 + 1, … , 6𝑙 , 3


𝜌𝑘 𝑡=1

dengan 𝑃𝐵𝑖,𝑡 adalah jumlah persediaan botol kosong i pada periode t (pallet) F5 : Memaksimumkan penggunaan waktu proses

𝑋1,1 + 𝐼1,0 − 𝐼1,1 + 𝜂1 − 𝜌1 = 5999,3 𝑋1,2 + 𝐼1,1 − 𝐼1,2 + 𝜂2 − 𝜌2 = 7078,32 𝑋1,3 + 𝐼1,2 − 𝐼1,3 + 𝜂3 − 𝜌3 = 5266,73

Sesuai dengan model dasar (5) maka kendala ini dapat diformulasikan ke model LGP seperti rumus (10) yaitu : 3 𝑡=1 𝑑𝑖 . 𝑋𝑖,𝑡

+ 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑊𝑃𝑖,𝑡

𝐼1,1 + 𝜂4 − 𝜌4 = 120,09 𝐼1,2 + 𝜂5 − 𝜌5 = 120,09 𝐼1,3 + 𝜂6 − 𝜌6 = 120,09

(10)

𝑘 = 6𝑙 + 1, … ,7𝑙 3


1,887𝑋1,1 + 𝜂7 − 𝜌7 = 13228,03 155,172𝑋1,1 + 𝜂8 − 𝜌8 = 47870,67 332,051𝑋1,1 + 𝜂9 − 𝜌9 = 330000 1,887𝑋1,2 + 𝜂10 − 𝜌10 = 16663,15 155,172𝑋1,2 + 𝜂11 − 𝜌11 = 56054,73 332,051𝑋1,2 + 𝜂12 − 𝜌12 = 330000 1,887𝑋1,3 + 𝜂13 − 𝜌13 = 12235,35 155,172𝑋1,3 + 𝜂14 − 𝜌14 = 40803,29 332,051𝑋1,3 + 𝜂15 − 𝜌15 = 330000

𝜌𝑘 𝑡=1

dengan : 𝑑𝑖

Goal

Data yang dianalisis adalah data sekunder pada proses produksi minuman teh siap minum dalam kemasan botol antara lain persediaan bahan baku, jumlah permintaan, dan jumlah kemasan/botol di gudang selama kurun waktu 3 bulan (Oktober-Desember 2012) seperti yang tersaji pada Tabel 2 dan Tabel 3 serta kebutuhan bahan baku untuk setiap produk pada Tabel 4, dimana banyak produk yang diamati adalah 5 jenis produk dengan total jam kerja yang tersedia dalam satu bulan adalah 448 jam yang terlampir pada hal.8. Berdasarkan model LGP di atas disusun model untuk setiap produk dengan memasukan parameter-parameter yang sesuai dengan data yang dimiliki . Dengan menggunakan fungsi kendala pada rumus (6) sampai rumus (10) maka akan dicari solusi optimum untuk setiap produk dalam kurun waktu 3 bulan . Berikut disajikan model LGP untuk produk 1 dan penyelesaian optimumnya.

𝐵𝐵𝑖,𝑡 = jumlah persediaan bahan baku i pada periode t F4

Linear

= kebutuhan waktu proses produk i pada periode t

𝑊𝑃𝑖,𝑡 = rata-rata waktu yang dibutuhkan produk i per bulan

𝑋1,1 + 𝜂16 − 𝜌16 = 6778 𝑋1,2 + 𝜂17 − 𝜌17 = 7960 𝑋1,3 + 𝜂18 − 𝜌18 = 5941

Formulasi pencapaian tujuan dari model LGP di atas adalah : 𝑀𝑖𝑛 𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 )

0,076𝑋1,1 + 𝜂19 − 𝜌19 = 90 0,076𝑋1,2 + 𝜂20 − 𝜌20 = 90 0,076𝑋1,3 + 𝜂21 − 𝜌21 = 90

401


untuk meminimumkan 𝒂 = (𝑎1 𝜂1 + 𝜌1 + 𝜂2+𝜌2+𝜂3+𝜌3,𝑎2𝜌4+𝜌5+𝜌6,𝑎3𝜌7+𝜌8 +..+𝜌15,𝑎4𝜌16+𝜌17+𝜌18,𝑎5(𝜌19+𝜌20

Produk Produk Produk Produk Produk 1 2 3 4 5

+𝜌21)) 𝑋1,𝑡 , 𝐼1,(𝑡−1) , 𝐼1,𝑡 , 𝐼1,𝑡 , 𝜂1,𝑡 , 𝜌1,𝑡 ≥ 0 (𝑡 = 1,2,3) Untuk keempat produk lain (i = 2,3,4,5) disusun model LGP dan diselesaikan menggunakan cara yang sama seperti pada produk 1. Model di atas diselesaikan menggunakan alat bantu Solver pada MS. Excel 2007 dan diperoleh solusi optimum seperti Tabel 5 berikut :

Produk 2

Produk 3

Produk 4

Produk 5

Xi,1

304,35

210,63

388,1

339,5

106,72

Xi,2

356,39

246,64

472,29

387,52

140,96

Xi,3

259,42

179,54

308,48

286,92

0

Ii,1

120,09

100,7

87,55

85,33

88,35

Ii,2

120,09

100,7

87,55

85,33

88,35

Ii,3

120,09

100,7

87,55

85,33

88,35

0 6473,64 0 7603,61 0

0 111,36 0 101,35 0

0 64,67 0 34,23 0

0 64,67 0 34,23 0

0 64,67 0 34,23 0

𝜼𝟏𝟖

5681,58

64,46

58,59

58,59

58,59

𝜼𝟏𝟗

20,06

21,86

75,56

75,56

75,56

𝝆𝟏𝟗

0

0

0

0

0

𝜼𝟐𝟎

0

0

0

0

0

𝝆𝟐𝟎

0

0

0

𝜼𝟐𝟏 𝝆𝟐𝟏 𝜼𝟐𝟐

Tabel 5. Solusi Optimum LGP untuk kelima produk. Produk 1

𝝆𝟏𝟓 𝜼𝟏𝟔 𝝆𝟏𝟔 𝜼𝟏𝟕 𝝆𝟏𝟕

𝝆𝟐𝟐 𝜼𝟐𝟑 𝝆𝟐𝟑 𝜼𝟐𝟒 𝝆𝟐𝟒 𝜼𝟐𝟓 𝝆𝟐𝟓 𝜼𝟐𝟔 𝝆𝟐𝟔 𝜼𝟐𝟕 𝝆𝟐𝟕 𝜼𝟐𝟖 𝝆𝟐𝟖 𝜼𝟐𝟗 𝝆𝟐𝟗 𝜼𝟑𝟎 𝝆𝟑𝟎 𝜼𝟑𝟏 𝝆𝟑𝟏 𝜼𝟑𝟐

0 0 0 0 0 𝜼𝟏 𝝆𝟏 0 0 0 0 0 𝜼𝟐 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝝆𝟐 0 0 0 0 0 𝜼𝟑 𝝆𝟑 0 0 0 0 0 𝜼𝟒 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝝆𝟒 0 0 0 0 0 𝜼𝟓 𝝆𝟓 0 0 0 0 0 𝜼𝟔 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝝆𝟔 𝜼𝟕 12713,72 12947,65 0 0 0 0 0 0 0 0 𝝆𝟕 16,35 16,35 𝜼𝟖 15990,65 16264,58 16,35 𝝆𝟖 0 0 0 0 𝜼𝟗 11745,84 11945,23 0 0 0 0 0 0 0 0 𝝆𝟗 0 0 3416,04 3416,04 3416,04 𝜼𝟏𝟎 𝝆𝟏𝟎 0 0 0 0 0 𝜼𝟏𝟏 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝝆𝟏𝟏 0 0 22361,6 22361,6 22361,6 𝜼𝟏𝟐 𝝆𝟏𝟐 0 0 0 0 0 𝜼𝟏𝟑 24461 24461,3 127801 127801 127801 0 0 0 0 0 𝝆𝟏𝟑 0 0 0 0 0 𝜼𝟏𝟒 𝝆𝟏𝟒 0 0 0 0 0 𝜼𝟏𝟓 0 0 0 0 0

0

0

0 0 -

0 0 -

0 0 9,87 0

0 0 9,95 0

0 0 0 0

-

-

0 0 0 0 0 0 5,91 0 0 0 0 0 0 0 8,27 0 25,30 0

0 0 0 0 0 0 11,4 0 0 0 0 0 0 0 9,07 0 25,30 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25,30 0

-

-

23,25

23,25

23,25

𝝆𝟑𝟐 𝜼𝟑𝟑 𝝆𝟑𝟑

-

-

0 24,53 0

0 24,53 0

0 24,53 0

𝜼𝟑𝟒

-

-

3,97 0

3,97 0

3,97 0

𝜼𝟑𝟓 𝝆𝟑𝟓 𝜼𝟑𝟔

-

-

3,37 0

3,37 0

3,37 0

-

-

3,52

3,52

3,52

𝝆𝟑𝟔

-

-

0

0

0

𝝆𝟑𝟒

Solusi optimum tersebut diatas dapat di ulas sebagai berikut : 1. Tabel 5 merupakan hasil penyelesaian model LGP untuk setiap produk dimana produk 1 pada bulan pertama (Oktober) memproduksi sebanyak 304,35 pallet 402


ditambah saldo awal sebanyak 5815,04 pallet dengan jumlah permintaan 5999,3 pallet sehingga diperoleh saldo akhir sebanyak 120,09 pallet yang nantinya ditambahkan pada bulan berikutnya sampai pada bulan ketiga (Desember). Sehingga pada pemenuhan tingkat permintaan dan saldo produk di gudang dapat terpenuhi pada setiap bulannya artinya bahwa tidak ada kelebihan dan kekurangan produk maupun saldo di gudang karena masing-masing variabel deviasi ((𝜂𝑘 + 𝜌𝑘 ) dan 𝜌𝑘 ) yang diminimumkan bernilai nol.

Untuk keempat produk lain diselesaikan dan diulas seperti pada produk 1 dimana solusi optimumnya tersaji pada Tabel 5. Secara ringkas analisis pencapaian tujuan dari setiap tujuan yang ditetapkan dalam permasalahan LGP ini seperti tersaji pada Tabel 6. Tabel 6. Hasil Pencapaian Setiap Tujuan Berdasarkan Model LGP

2. Pemenuhan kendala penggunaan bahan baku. Variabel yang diminimumkan pada kendala ini adalah 𝜌𝑘 (𝑘 = 7,8,9, … ,15) diperoleh nilai 𝜂𝑘 = 0 dan 𝜌𝑘 = 0 yang berarti bahwa pada kendala ini terdapat kelebihan bahan baku terutama pada bahan baku teh kering yaitu 𝜂8 = 15990,65 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada kendala ini nilai sasaran sudah tercapai dengan tepat pada setiap bulannya. 3. Pemenuhan Kendala kemasan/ botol

Tujuan

Pencapaian

F1 : Memenuhi tingkat permintaan konsumen

Terpenuhi (𝜂𝑘 = 0 , 𝜌𝑘 = 0)

F2 : Meminimum kan saldo persediaan di gudang


F3 : Memaksimu mkan penggunaan bahan baku F4 : Memaksimu mkan persediaan kemasan/bot ol

Persediaan

Variabel yang diminimumkan adalah 𝜌𝑘 (𝑘 = 16,17,18) diperoleh nilai 𝜌𝑘 = 0 yang berarti tidak ada kekurangan kemasan, dan nilai 𝜂𝑘 > 0 artinya terdapat kelebihan kemasan/botol. terutama pada periode November 𝜂17 = 7603,61 . Hal ini dapat dikatakan bahwa pada kendala persediaan kemasan/botol terpenuhi pada setiap bulannya.

F5 : Memaksimu mkan penggunaan waktu proses

4. Pemenuhan Kendala Penggunaan Waktu Proses

Terpenuhi (𝜂𝑘 ≥ 0 , 𝜌𝑘 = 0)



Keterangan Jumlah permintaan tiap bulan selama 3 bulan (OktoberDesember) adalah 5999,3 , 7078,32 , dan 5266,73 pallet Saldo minimum di gudang adalah 120,09 untuk produk 1 , 100,7 untuk produk 2 , 87,55 untuk produk 3, 85,33 produk 4 dan 88,35 produk 5 Kekurangan penggunaan bahan baku seminimum mungkin Kekurangan penggunaan kemasan/botol tiap bulannya seminimum mungkin Waktu proses minimum tiap bulan adalah 90 jam untuk produk 1 dan 2,sementara 270 jam untuk produk 3, produk 4 dan produk 5

Hasil analisis pencapaian tujuan menggunakan model LGP untuk produk 1 tersaji pada tabel 6. Pada tujuan memenuhi tingkat permintaan konsumen dan meminimumkan saldo produk di gudang dapat terpenuhi, artinya bahwa tidak ada kekurangan maupun kelebihan produk yang diproduksi pada setiap bulannya. Sementara itu pada tujuan memaksimumkan penggunaan bahan baku, memaksimumkan persediaan kemasan/botol, dan

Variabel yang diminimumkan adalah 𝜌𝑘 (𝑘 = 19,20,21) diperoleh nilai 𝜌𝑘 = 0 ini tidak ada kekurangan waktu proses produksi melainkan terdapat kelebihan waktu proses produksi pada periode Oktober yaitu 𝜂19 = 20,06 jam. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa kendala ini dapat terpenuhi pada setiap bulannya. 403


memaksimumkan penggunaan waktu proses terpenuhi dengan masing-masing kendala memiliki sisa atau kelebihan bahan baku, kemasan/botol dan waktu proses pada setiap bulannya, disini berarti bahwa setiap kali proses produksi tidak pernah kekurangan bahan baku, kemasan/botol dan juga waktu proses produksi. Berdasarkan analisis dan pembahasan yang diperoleh solusi optimal pada produksi minuman dalam kemasan botol yang diselesaikan dengan memodelkan ke dalam bentuk Linear Goal Programming maka dapat disimpulkan bahwa semua tujuan pada setiap produk dapat terpenuhi yang diantaranya memenuhi jumlah permintaan konsumen, meminimumkan saldo produk di gudang, memaksimumkan penggunaan bahan baku dan kemasan serta memaksimumkan waktu proses produksi.

dasar Operations Research Edisi 1. Yogyakarta : BPFE-Yogyakarta. [6] Web 2 : http://digilib.its.ac.id/public/ITSUndergraduate-16339-1206100704Paper.pdf. Purwanto, Y. Sulistyo. Dan Wahyuningsih. N. Model Goal Programming untuk Perencanaan Produksi Produk Musiman (diunduh pada tanggal 17 Februari 2013)

KESIMPULAN Berdasarkan kajian di atas maka dapat disimpulkan bahwa Metode Linear Goal Programming (LGP) dapat digunakan sebagai alat bantu untuk membuat perencanaan untuk menentukan jumlah produksi dari produk-produk yang dihasilkan dalam kurun waktu tiga bulan atau dapat dikembangkan untuk kurun waktu lebih panjang misalnya satu tahun. DAFTAR PUSTAKA [1] Gitosudarmo, Indriyo. 1982. Sistem Perencanaan dan Pengendaian produksi. Yogyakarta : BPFEYogyakarta. [2] Ignizio, D. P. 1982. Operations Research in Decision Making, Lexington book, D.C. Heath and Company, Lexington, Massachussetts. [3] Linawati, Lilik 2012. Penentuan Alokasi Beban Kerja Dosen Menggunakan Pemodelan Lexicographic Linear Goal Programming. Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VII UKSW, 21 September 2012 [4] Siswanto. 2007. Operation Research Jilid 1. Jakarta : Erlangga. [5] Subagyo, Pangestu . Asri, Marwan dan Handoko, T. Hanni. 1984. Dasar-

404


LAMPIRAN Tabel 2. Persediaan Bahan Baku selama 3 bulan No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Bahan Baku Teh A (kg) Teh B (kg) Teh C (kg) Gula Pasir (kg) Air (liter) Flavour C1 Flavour C2 Flavour C3 Asam sitrat (kg) Sodium Sitrat (kg) Asam Ascorbic (kg)

Persediaan Bahan Baku (pallet) Bulan 1 13228,03 532,07 1008,7 239353,33 1650000 81,67 55,44 32,23 462 193,82 32,34

Bulan 2 16663,15 568,48 1226,28 280273,68 1650000 92,56 63,36 42,57 541,75 224,4 37,4

Bulan 3 12235,35 401,28 719,84 204016,428 1650000 65,34 47,52 0 351,45 144,21 23,76

Tabel 3. Jumlah Permintaan Produk ,Kemasan/botol dan Jumlah produksi minimum selama 3 bulan

Bulan 1

Bulan 2

Bulan 3

Bulan 1

Bulan 2

Bulan 3

Jumlah produksi minimum (pallet)

1

5999,3

7078,32

5266,73

6778

7960

5941

120,09

2

285,45

307,13

216,52

322

348

244

100,7

3

366,82

411,5

290,4

4

339,5

387,52

286,92

5

87,92

115,05

0

Produk

Jumlah Permintaan (pallet)

Jumlah kemasan/botol (pallet)

87,55 899

1035

654

85,33 88,35

Tabel 4. Kebutuhan Bahan Baku tiap Produk selama 3 bulan Bahan baku yang dibutuhkan Teh Kering (kg) Gula Pasir (kg) Air (liter) Flavour (kg) Citric Acid (kg) Sodium Sitrat (kg) Ascorbic Acid (kg)

Kebutuhan Bahan baku tiap produk Produk 1 Produk2 Produk 3 54 32 32,4 4500 4500 4500 9500 9500 9500 4,85 14 5,4 0,9

405

Produk 4 32,4 4500 9500 3,6 14 5,4 0,9

Produk 5 32,4 4500 9500 8,1 14 5,4 0,9

MAKALAH II

LINEAR GOAL PROGRAMMING UNTUK PERENCANAAN PRODUKSI DENGAN KENDALA PERMINTAAN YANG DIRAMALKAN MENGGUNAKAN REGRESI LINEAR BERGANDA Natalia Esther Dwi Astuti1), Lilik Linawati2), Tundjung Mahatma2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika UKSW Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1)

[email protected], 2) [email protected],2) [email protected] ABSTRAK

Model Linear Goal Programming untuk perencanaan produksi yang salah satu kendalanya adalah permintaan pelanggan , dalam hal ini didasarkan pada data yang ditetapkan oleh perusahaan. Sasaran kendala permintaan pada setiap bulannya tidak tetap atau berfluktuasi. Oleh karena itu, untuk menentukan permintaan yang berfluktuasi ini digunakan metode peramalan berdasarkan data atau periode sebelumnya. Hasil peramalan permintaan akan digunakan dalam model LGP untuk perencanaan produksi selama tiga bulan ke depan. Untuk mendapatkan hasil peramalan yang baik dipilih metode peramalan dengan nilai kesalahan (error) terkecil, dalam hal ini metode regresi berganda memiliki error terkecil dibandingkan dengan metode lainnya. Berdasarkan hasil peramalan permintaan yang diperoleh menggunakan metode regresi berganda ini selanjutnya digunakan untuk perencanaan produksi yang didasarkan pada model LGP untuk periode JanuariMaret 2013. Banyaknya produk yang diproduksi hasil model LGP dibandingkan dengan data riil yang menunjukkan bahwa nilai error pada dua produk dari lima produk yang diamati, ternyata berbeda cukup signifikan. Hal ini dikarenakan kedua produk tersebut tidak diproduksi oleh perusahaan yang disebabkan adanya satu bahan baku yang tidak tersedia. Kata kunci : Optimasi Produksi, Peramalan, Linear Goal Programming (LGP)

PENDAHULUAN

didasarkan pada hasil peramalan. Oleh karena itu, akan didapatkan terlebih dahulu model peramalan yang sesuai dengan data yang dimiliki. Selanjutnya disusun model LGP untuk perencanaan produksi minuman dalam kemasan botol dan dilakukan modifikasi seperlunya. Model LGP ini bertujuan memenuhi permintaan konsumen yang dalam hal ini adaah hasil peramalan, yaitu memaksimalkan penggunaan bahan baku yang ada, meminimumkan saldo produk di gudang, memaksimumkan penggunaan persediaan kemasan/ botol dan memaksimumkan penggunaan waktu proses produksi.

Linear Goal Programming (LGP) pada permasalahan optimasi produksi minuman dalam kemasan botol, dipresentasikan dengan model yang bertujuan memenuhi tingkat permintaan konsumen, memaksimumkan penggunaan bahan baku yang ada dan meminimumkan saldo produk di gudang. Model LGP ini disusun untuk perencanaan produksi bulanan dalam kurun waktu tiga bulan [1]. Kendala permintaan dalam model didasarkan pada data yang ditentukan oleh perusahan. Sasaran kendala permintaan setiap bulannya dalam jumlah tertentu namun tidak tetap/berfluktuasi. Untuk menentukan permintaan yang berfluktuasi ini dapat digunakan metode peramalan berdasarkan data sebelumnya. Kajian dalam makalah ini merupakan penelitian lanjutan dari penerapan LGP untuk perencanaan produksi [1], dimana sasaran kendala permintaan

KAJIAN TEORI A. Peramalan Metode peramalan dapat dibedakan berdasarkan pada kategori datanya, yaitu data kuantitatif atau data kualitatif. Berdasarkan data kuantitatif terdapat

1

metode peramalan deret berkala (time series) seperti moving average, metode regresi sementara yang berdasarkan data kualitatif terdapat metode eksploratoris dan normatif [5]. Pada penelitian ini akan digunakan metode peramalan dengan data kuantitatif : metode rata-rata dan metode regresi.

Metode ini kurang baik untuk deret berkala dengan pola trend atau musiman, walaupun metode ini lebih baik dibanding rata-rata sederhana [5]. 1.3 Rata-rata bergerak ganda Dari dua metode sebelumnya telah dinyatakan bahwa apabila digunakan sebagai ramalan untuk periode mendatang, tidak dapat mengatasi trend yang ada. Untuk itu dikembangkan metode rata-rata bergerak ganda yaitu rata-rata bergerak dari rata-rata bergerak dan disimbolkan sebagai MA(M × N) artinya MA M-periode dari MA Nperiode[2][5]. Metode rata-rata bergerak ganda ini kemudian dikembangkan menjadi metode ratarata bergerak linear yang secara umum diterangkan melalui persamaan berikut :

1. Metode rata-rata (Average) Metode rata-rata adalah suatu metode penilaian yang di dasari atas nilai rata-rata dalam periode yang bersangkutan. 1.1. Rata-rata sederhana Metode rata-rata sederhana merupakan metode yang tepat untuk deret berkala yang memiliki pola stasioner dan tidak menunjukkan adanya trend maupun unsur musiman [5]. Peramalan untuk periode ke (T+ 1) dirumuskan sebagai berikut : 𝐹𝑇+1

1 = 𝑇

𝑇

𝑋𝑖 … … … … … … … … … (1)

𝑆𝑡′ =

𝑖=1

Persamaan (1) menunjukkan bahwa metode rata-rata sederhana menggunakan nilai rata-rata masa lalu untuk meramalkan periode mendatang

𝑆′𝑡 + 𝑆′𝑡−1 + 𝑆′𝑡−2 + ⋯ + 𝑆′𝑡−𝑁+1 . . (4) 𝑁 ′′ ′ 𝑎𝑡 = 𝑆′𝑡 + 𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑡 = 2𝑆′𝑡 − 𝑆′′𝑡 … … (5) 𝑆𝑡′′ =

𝑏𝑡 =

1.2. Rata-rata bergerak tunggal (Single Moving Average) Salah satu cara untuk mengubah pengaruh data masa lalu terhadap nilai tengah sebagai ramalan adalah terlebih dahulu memasukkan nilai observasi masa lalu untuk menghitung nilai rata-rata. Pada ratarata bergerak ini dinyatakan bahwa, apabila muncul nilai observasi baru, nilai rata-rata baru dapat dihitung dengan membuang nilai observasi yang lama dan memasukan nilai observasi yang baru. Rumus untuk menghitung ramalan rata-rata bergerak pada periode T+1 yaitu : 𝐹𝑇+1 =

𝑋𝑡 + 𝑋𝑡−1 + 𝑋𝑡−2 + ⋯ + 𝑋𝑡−𝑁+1 … . . (3) 𝑁

2 𝑆 ′ − 𝑆 ′′ 𝑡 … … … … . . . … … … 6 𝑁−1 𝑡

𝐹𝑡+𝑚 = 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 𝑚 … … … … … . . … … … … . (7)

dengan : 𝑆′ 𝑡 = rata-rata bergerak tunggal pada periode ke- t, 𝑆 ′′ 𝑡 = rata-rata bergerak ganda pada periode ke- t, 𝑎𝑡 = penyesuaian trend pada periode ke-t, 𝐹𝑡+𝑚 = peramalan untuk periode t + m. 2. Metode Regresi Pada metode regresi terdapat suatu variabel dependen yakni variabel yang akan diramalkan, dan satu atau lebih variabel independen yang mempengaruhi variabel dependen. Jadi metode regresi merupakan metode yang digunakan untuk mencari bentuk atau pola hubungan antara variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen.

𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋𝑇 … . . (2) 𝑇

2

𝑏0

2.1. Regresi Sederhana Dalam analisis regresi linier sederhana ini akan ditentukan persamaan yang menghubungkan dua variabel yang dapat dinyatakan sebagai bentuk model linier. Bentuk umum regresi linier sederhana :

𝑌 : vektor peubah tak bebas 𝑋 : vektor peubah bebas 𝑎 : intersep atau konstanta 𝑏 : koefisien regresi yang menunjukan tingkat perubahan 𝑌 apabila 𝑋 mengambil nilai tertentu. 𝑒: variabel kesalahan (error) Penentuan koefisien kemiringan (slope) b untuk regresi linear sederhana pada persamaan (8) adalah sebagai berikut : 𝑛

𝑛 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ( 𝑖=1 𝑥𝑖 )( 𝑖=1 𝑦𝑖 ) … (9) 𝑛 2 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 − ( 𝑖=1 𝑥𝑖 )2

𝑛

𝑟=

𝑎=

𝑛

−𝑏

𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖

𝑛

𝑛

… … … … … … . (10)

𝐷=

𝑏0

𝑋1 + 𝑏1

𝑋1 2 + 𝑏2

𝑦𝑖 𝑦𝑖2 − ( 𝑦𝑖 )

. . (15) 2

(𝑌𝑖 − 𝑌)2 … … … … … … … … . … (16) (𝑌𝑖 − 𝑌)2

4. Melakukan peramalan terhadap variabel 𝑌 dengan mengambil nilai tertentu pada variabel 𝑋 3. Ketepatan Metode Peramalan Dalam banyak situasi peramalan, ketepatan dipandang sebagai kriteria penolakan untuk memilih suatu metode peramalan. Dalam pemodelan deret

𝑌 … … … . . . . (12) =

𝑥𝑖2 − ( 𝑥𝑖 )2 𝑛

𝑥𝑖

𝑅 = 𝐷 … … … … . . … … … … … … . (17)

Untuk menentukan koefisien regresi berganda (untuk dua variabel bebas misalnya penjualan dan persediaan saldo di gudang) seperti pada persamaan (12) (14) sebagai berikut : 𝑋2 =

𝑥𝑖 𝑦𝑖 −

dan koefisien korelasi (R) diperoleh dengan :

𝑌 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋1 + 𝑏2 𝑋2 + ⋯ + 𝑏𝑘 𝑋𝑘 + 𝑒. . (11)

𝑋1 + 𝑏2

𝑋12 … … . . (14)

dan koefisien determinasi (d) diperoleh dengan 𝑑 = 𝑟 2 dan untuk regresi berganda yaitu :

2.2. Regresi Berganda Pada regresi berganda terdapat satu variabel tidak bebas (misalnya permintaan) yang akan diramalkan, tetapi terdapat dua atau lebih variabel bebas [5]. Bentuk umum dari regresi berganda adalah :

𝑏0 𝑛 + 𝑏1

𝑋2 2 =

Berikut adalah rumus untuk menghitung koefisien korelasi regresi sederhana:

Sedangkan rumus untuk mendapatkan koefisien intersep a , adalah sebagai berikut : 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖

𝑋1 𝑋2 + 𝑏2

Berikut adalah langkah-langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan peramalan menggunakan metode regresi, yaitu : 1. Menentukan variabel dependen dan variabel independen. 2. Melakukan penaksiran terhadap koefisien regresi . 3. Menghitung koefisien korelasi antara kedua variabel untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan kedua variabel dan koefisien determinasi untuk mengetahui berapa persen ukuran variasi total pada peubah tak bebas yang dapat dijelaskan hubungannya oleh peubuah bebas. Koefisien korelasi untuk regresi sederhana disimbolkan dengan r dan R untuk regresi berganda, sementara koefisien determinasi untuk regresi sederhana disimbolkan dengan d dan D untuk regresi berganda.

𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝑒............................(8)

𝑏=

𝑋2 + 𝑏1

𝑋1 𝑌 … . . . (13)

3

berkala, sebagian data yang diketahui dapat digunakan untuk meramalkan sisa data berikutnya sehingga memungkinkan orang untuk mempelajari ramalan secara lebih langsung [5].

Tabel 2. Ukuran-ukuran relatif No 1 2

3.1. Ukuran Statistik Standar Jika 𝑋𝑖 merupakan data aktual untuk periode i dan 𝐹𝑖 merupakan data hasil ramalan (atau nilai kecocokan) untuk periode yang sama, maka kesalahan data ke i di definisikan sebagai berikut :

3

Jika terdapat nilai pengamatan dan ramalan untuk n periode, maka akan terdapat n buah kesalahan dan ukuran statistik standar disajikan pada Tabel 1.

Formulasi 𝑛

1

Mean Error

𝑀𝐸 =

𝑒𝑖 /𝑛 𝑖=1 𝑛

2

3

4

Mean Absolute Error Sum of Squared Error Mean Squared Error

𝑀𝐴𝐸 =

|𝑒𝑖 |/𝑛 𝑖=1 𝑛

𝑆𝑆𝐸 =

2

𝑒𝑖 𝑖=1 2 𝑛

𝑀𝑆𝐸 =

Mean Absolute Precentage Error

𝑃𝐸𝑖 =

𝑋𝑖 −𝐹𝑖

𝑥100

𝑋𝑖 𝑛

𝑀𝑃𝐸 =

𝑃𝐸𝑖 /𝑛 𝑖=1 𝑛

𝑀𝐴𝑃𝐸 =

|𝑃𝐸𝑖 |/𝑛 𝑖=1

B. Linear Goal Programming Linear goal programming (LGP) biasanya diterapkan pada masalahmasalah dengan tujuan ganda dalam formulasi modelnya. Dalam formulasi (LGP), terdapat dua variabel deviasi yaitu variabel deviasi positif dan variabel deviasi negatif. Variabel deviasi positif berfungsi untuk menampung kelebihan capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS), sementara variabel deviasi negatif berfungsi untuk menampung kekurangan capaian pada nilai ruas kiri terhadap sasaran yang ditentukan (RHS) [1][4][7].

Tabel 1. Ukuran Statistik Standar Ukuran Statistik Standar

Precentage Error Mean Precentage Error

Formulasi

Penelitian ini menggunakan Mean Absolute Precentage Error (MAPE) karena sebagai presentase, ukuran ini bersifat relatif, sehingga ukuran ini lebih disukai daripada kesalahan rata-rata sebagai ukuran kesalahan [2][6].

𝑒𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝐹𝑖 ...............................(18)

No

Ukuran-ukuran Relatif

Berikut bentuk umum dari model Linear Goal Programming [3] :

𝑒𝑖 /𝑛 Mencari nilai 𝒙 = (𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … , 𝒙𝒏 ) Min 𝒂 = 𝑎1 𝜂, 𝜌 , … , 𝑎𝑙 (𝜂, 𝜌) dengan kendala 𝑓𝑖 𝑥 + 𝜼𝒊 − 𝝆𝒊 = 𝒃𝒊 untuk i=1,2,....,m 𝑥, 𝜂, 𝜌 ≥ 0

𝑖=1

1.1. Ukuran-ukuran Relatif Hubungan dengan keterbatasan MSE sebagai suatu ukuran ketepatan peramalan maka diusulkan ukuranukuran alternatif, yang diantaranya menyangkut kesalahan presentase. Tiga ukuran yang sering digunakan disajikan pada Tabel 2.

dengan 𝑓𝑖 𝑥 = 𝑛𝑗=1 𝑐𝑖,𝑗 𝑥𝑗 𝜂𝑖 = deviasi negatif pada kendala ke-i, 𝜌𝑖 = deviasi positif pada kendala ke-i, 𝑐𝑖,𝑗 = konstanta dari kendala ke-i, variabel keputusan ke-j, 𝑥𝑗 = variabel keputusan ke-j, m = banyak kendala, n = banyak variabel keputusan, bi = nilai sasaran kendala ke-i, 4

𝒂 l

3

= fungsi pencapaian tujuan, = banyaknya fungsi tujuan/fungsi kendala.


𝜌𝑘 𝑡=1

dengan 𝑆𝑖,𝑡 adalah rata-rata saldo produk i per bulan (pallet),

LGP untuk Optimasi Perencanaan Produksi

F3 : Memaksimumkan penggunaan bahan baku.

Untuk merumuskan model LGP terlebih dahulu memformulasikan model dasar linear programming (LP) seperti pada penelitian sebelumnya [1] dan selanjutnya memformulasikan model LGP dengan dimisalkan variabel keputusan 𝑋𝑖,𝑡 adalah banyaknya produk i yang harus diproduksi pada periode t (pallet) dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, dan 𝑡 = 1,2,3. Model disusun untuk setiap produk i dan t ditentukan untuk 3 bulan.

Sementara itu kendala lainnya adalah kendala penggunaan bahan baku akan diformulasikan ke model LGP seperti berikut : 3 𝑡=1 𝑐𝑖 . 𝑋𝑖,𝑡

+ 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝐵𝐵𝑖,𝑡

𝑘 = 2𝑙 + 1, … , 5𝑙, 3


Kendala Sasaran :

𝑡=1

F4 : Memaksimumkan kemasan/botol.

(19)

persediaan

Untuk kendala ini dapat diformulasikan ke model LGP seperti berikut:

3


𝜌𝑘

dengan : 𝑐𝑖 = kebutuhan bahan baku untuk satu pallet produk i, 𝐵𝐵𝑖,𝑡 = jumlah persediaan bahan baku i pada periode t,

F1 : Memaksimumkan permintaan konsumen berdasarkan hasil peramalan. Untuk kendala tingkat permintaan dapat diformulasikan model LGP seperti berikut : 𝑋𝑖,𝑡 + 𝐼𝑖,(𝑡−1) − 𝐼𝑖,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑇𝑃𝑖,𝑡 𝑘 = 1,2, … , 𝑙,

(21)

(𝜌𝑘 ) 𝑡=1

3 𝑡=1

dengan : 𝐼𝑖,𝑡 = Jumlah saldo akhir produk i pada akhir periode t (pallet), 𝐼𝑖 ,(𝑡−1) = Jumlah saldo awal produk i pada akhir periode t (pallet), 𝑇𝑃𝑖,𝑡 = Jumlah permintaan produk i pada periode t (pallet).

𝑋𝑖,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑃𝐵𝑖,𝑡

(22)

𝑘 = 5𝑙 + 1, … , 6𝑙 , 3


𝜌𝑘 𝑡=1

dengan 𝑃𝐵𝑖,𝑡 adalah jumlah persediaan botol kosong i pada periode t (pallet),

F2 : Meminimumkan saldo persediaan di gudang.

F5 : Memaksimumkan penggunaan waktu proses.

Selanjutnya untuk kendala saldo persediaan produk di gudang dapat diformulasikan ke model LGP dengan meminimumkan deviasi positif 𝜌𝑘 dengan 𝑘 = 𝑙 + 1, … ,2𝑙, 𝑙 adalah banyaknya kendala yaitu :

Dan kendala penggunaan wktu proses dapat diformulasikan ke model LGP yaitu : 3 𝑡=1 𝑑𝑖 . 𝑋𝑖,𝑡

+ 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑊𝑃𝑖,𝑡

𝑘 = 6𝑙 + 1, … ,7𝑙 , 3 𝑡=1

𝐼𝑖,𝑡 + 𝜂𝑘 − 𝜌𝑘 = 𝑆𝑖,𝑡

3

(20)


𝜌𝑘 𝑡=1

5

(23)

4. Menginterpretasikan hasil penyelesaian dan membandingkan hasil penyelesaian dengan data real, 5. Menarik kesimpulan.

dengan : 𝑑𝑖

= kebutuhan waktu proses produk i pada periode t, 𝑊𝑃𝑖,𝑡 = rata-rata waktu yang dibutuhkan produk i per bulan.

PENERAPAN MODEL LGP PADA PERENCANAAN PRODUKSI

Formulasi fungsi pencapaian tujuan dari model LGP di atas adalah :

1. Menentukan permintaan produk berdasarkan peramalan Peramalan dilakukan menggunakan data permintaan tahun sebelumnya (2012) untuk mengetahui perkiraan permintaan tahun 2013. Sebelum melakukan peramalan terlebih dahulu dilakukan uji normalitas data yang dalam hal ini adalah data permintaan menggunakan alat bantu software SPSS 16.0. Berdasarkan uji normalitas yang dilakukan diperoleh bahwa nilai signifikansi 𝑝 ≥ 0,05 yang berarti data berdistribusi normal. Selanjutnya data yang akan diramalkan dihitung menggunakan metode rata-rata bergerak ganda berdasarkan rumus (3) – (7), metode regresi sederhana menggunakan rumus (8) – (10) dan regresi berganda menggunakan rumus (12) – (14). Dari kedua perhitungan ini dipilih salah satu metode peramalan dengan nilai kesalahan (error) terkecil. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan sehingga diperoleh bahwa pada penelitian ini digunakan metode regresi berganda dengan menentukan data permintaan sebagai variabel dependen, dan data penjualan serta saldo gudang ditentukan sebagai variabel independen untuk mengetahui perkiraan permintaan tahun 2013. Berikut disajikan model regresi berganda untuk permintaan produk-1 yang diperoleh. Dari perhitungan yang dilakukan diperoleh 𝑏0 = −157,159 , 𝑏1 = 0,83, dan 𝑏2 = 5,009 , sehingga persamaan regresi berganda untuk produk-1 yaitu :

𝑀𝑖𝑛 𝒂 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 )

METODE PENELITIAN Penelitian ini bertujuan menerapkan LGP untuk perencanaan produksi minuman dalam kemasan botol dengan tujuan memaksimumkan permintaan yang didasarkan hasil peramalan, meminimumkan saldo persediaan produk di gudang, memaksimumkan penggunaan bahan baku, memaksimumkan penggunaan persediaan kemasan/botol dan memaksimumkan penggunaan waktu proses yang didasarkan data hasil peramalan yaitu jumlah permintaan, dan data sekunder dari perusahaan yaitu persediaan bahan baku dan jumlah kemasan/botol di gudang untuk produk-1, produk-2, produk-3, produk-4 dan produk-5 pada bulan Januari-Maret 2013. Penelitian ini diselesaikan melalui langkah-langkah yang dijabarkan sebagai berikut : 1. Membuat peramalan permintaan produk bulan Januari-Maret 2013 didasarkan data Januari-Desember 2012. 1.1 Menguji normalitas data yang akan diramalkan, 1.2 Menggunakan metode peramalan kuantitatif : metode rata-rata dan metode regresi, 1.3 Menentukan/memilih hasil peramalan berdasarkan nilai error terkecil (paling baik), 2. Menyusun model LGP, 3. Menyelesaikan model dengan Solver,

𝑌 = −157,159 + 0,83𝑋1 + 5,009𝑋2 .......(24)

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus (16-17) diperoleh hasil 0,857366 untuk koefisien determinasi dan 0,92594 untuk koefisien korelasinya. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa hubungan antara

6

variabel dependen (permintaan) dengan kedua variabel independen (penjualan dan saldo gudang) sangat kuat. Menggunakan persamaan (24) selanjutnya didapat peramalan permintaan tahun 2012 dengan mensubstitusikan data pada variabel independen yaitu data penjualan dan saldo gudang diperoleh nilai permintaan produk seperti Tabel 3 :

2. Formulasi Model LGP Berdasarkan data dan permintaan yang diramalkan disusun model untuk setiap produk dengan menggunakan fungsi kendala pada rumus (19) sampai rumus (23) selanjutnya akan dicari solusi optimum untuk setiap produk dalam kurun waktu 3 bulan . Berikut disajikan model LGP untuk produk-1 dan penyelesaian optimumnya.

Tabel 3. Nilai permintaan hasil peramalan regresi berganda untuk tahun 2012 bagi kelima produk Bln Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agst Sep Okt Nop Des Error (%)

Produk 3

1

2

4

5

3966,3 4214,4 5102,6 4951,4 6123,9 7103,4 6632,7 5047,2 6562,6 6335,6 6788,5 5952,1

213,5 373,9 190,1 260,7 241,5 181,9 257,2 232,5 182,3 219,1 256,1 210,1

159,6 244,9 283,8 265,6 339,2 313,5 383,5 250,3 285,2 423,7 362,8 362,8

216,6 219,9 262,9 260,9 309,1 312,4 337,9 243,8 277,8 334,9 322,7 348,4

166,1 100,6 107,1 96,3 103,5 77,1 75,8 42,1 60,2 68,6 62,4 29,4

5,33

20,85

17,81

13,58

31,38

𝑋1,1 + 𝐼1,0 − 𝐼1,1 + 𝜂1 − 𝜌1 = 3969,27 𝑋1,2 + 𝐼1,1 − 𝐼1,2 + 𝜂2 − 𝜌2 = 4214,43 𝑋1,3 + 𝐼1,2 − 𝐼1,3 + 𝜂3 − 𝜌3 = 5106,63 𝐼1,1 + 𝜂4 − 𝜌4 = 120,09 𝐼1,2 + 𝜂5 − 𝜌5 = 120,09 𝐼1,3 + 𝜂6 − 𝜌6 = 120,09 1,887𝑋1,1 + 𝜂7 − 𝜌7 = 10952,1 155,172𝑋1,1 + 𝜂8 − 𝜌8 = 39483,1 332,051𝑋1,1 + 𝜂9 − 𝜌9 = 330000 1,887𝑋1,2 + 𝜂10 − 𝜌10 = 11334,83 155,172𝑋1,2 + 𝜂11 − 𝜌11 = 44607,4 332,051𝑋1,2 + 𝜂12 − 𝜌12 = 330000 1,887𝑋1,3 + 𝜂13 − 𝜌13 = 11905,95 155,172𝑋1,3 + 𝜂14 − 𝜌14 = 36505,3 332,051𝑋1,3 + 𝜂15 − 𝜌15 = 330000

Berdasarkan Tabel 3 akan dihitung nilai kesalahan peramalan untuk setiap produk menggunakan Mean Absolute Precentage Error (MAPE) dan keempat produk lainnya (i=2,3,4,5) diselesaikan menggunakan cara yang sama seperti pada produk-1.

𝑋1,1 + 𝜂16 − 𝜌16 = 6412,28 𝑋1,2 + 𝜂17 − 𝜌17 = 6412,28 𝑋1,3 + 𝜂18 − 𝜌18 = 6412,28 0,076𝑋1,1 + 𝜂19 − 𝜌19 = 90 0,076𝑋1,2 + 𝜂20 − 𝜌20 = 90 0,076𝑋1,3 + 𝜂21 − 𝜌21 = 90

Berdasarkan analisis model regresi berganda diperoleh hasil peramalan permintaan Januari-Maret 2013 untuk setiap produk yang tersaji pada Tabel 4:

untuk meminimumkan 𝒂 = (𝑎1 𝜌1 + 𝜌2 + 𝜌3 , 𝑎2 𝜌4 + 𝜌5 + 𝜌6 , 𝑎3 𝜌7 + 𝜌8 +. . +𝜌15 , 𝑎4 𝜌16 + 𝜌17 + 𝜌18 , 𝑎5 (𝜌19 + 𝜌20 + 𝜌21 ))

Tabel 4. Hasil peramalan regresi berganda Januari-Maret 2013 untuk kelima produk Bln Jan Feb Mar

1 3969,2 4214,4 5106,6

2 280,7 384 195,1

Produk 3 177,2 258,7 300,9

4 227,5 221,8 271,5

𝑋1,𝑡 , 𝐼1,(𝑡−1) , 𝐼1,𝑡 , 𝐼1,𝑡 , 𝜂1,𝑡 , 𝜌1,𝑡 ≥ 0 (𝑡 = 1,2,3)

5 168,1 211 133,2

Untuk keempat produk lain (i = 2,3,4,5) disusun model LGP dan diselesaikan menggunakan cara yang sama seperti pada produk-1. Model di atas

7

diselesaikan menggunakan alat bantu Solver pada MS. Excel 2007.

𝜼𝟐𝟑 𝝆𝟐𝟑 𝜼𝟐𝟒 𝝆𝟐𝟒 𝜼𝟐𝟓 𝝆𝟐𝟓 𝜼𝟐𝟔 𝝆𝟐𝟔 𝜼𝟐𝟕 𝝆𝟐𝟕 𝜼𝟐𝟖 𝝆𝟐𝟖 𝜼𝟐𝟗 𝝆𝟐𝟗 𝜼𝟑𝟎 𝝆𝟑𝟎 𝜼𝟑𝟏 𝝆𝟑𝟏 𝜼𝟑𝟐 𝝆𝟑𝟐 𝜼𝟑𝟑 𝝆𝟑𝟑

3. Pembahasan dan Interpretasi Dari formulasi model LGP diatas diperoleh solusi optimum untuk kelima produk yang yang diselesaikan menggunakan Solver dan tersaji pada Tabel 5 : Tabel 5. Solusi Optimum LGP untuk kelima produk.

Xi,1 Xi,2 Xi,3 Ii,1 Ii,2 Ii,3 𝜼𝟏 𝝆𝟏 𝜼𝟐 𝝆𝟐 𝜼𝟑 𝝆𝟑 𝜼𝟒 𝝆𝟒 𝜼𝟓 𝝆𝟓 𝜼𝟔 𝝆𝟔 𝜼𝟕 𝝆𝟕 𝜼𝟖 𝝆𝟖 𝜼𝟗 𝝆𝟗 𝜼𝟏𝟎 𝝆𝟏𝟎 𝜼𝟏𝟏 𝝆𝟏𝟏 𝜼𝟏𝟐 𝝆𝟏𝟐 𝜼𝟏𝟑 𝝆𝟏𝟑 𝜼𝟏𝟒 𝝆𝟏𝟒 𝜼𝟏𝟓 𝝆𝟏𝟓 𝜼𝟏𝟔 𝝆𝟏𝟔 𝜼𝟏𝟕 𝝆𝟏𝟕 𝜼𝟏𝟖 𝝆𝟏𝟖 𝜼𝟏𝟗 𝝆𝟏𝟗 𝜼𝟐𝟎 𝝆𝟐𝟎 𝜼𝟐𝟏 𝝆𝟐𝟏 𝜼𝟐𝟐 𝝆𝟐𝟐

Produk 1 251,03 283,61 232,09 120,09 120,09 120,09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10478 0 0 0 75408 0 10799 0 0 0 0 0 11468 0 0 0 0 0 6161,2 0 6128,9 0 6180,2 0 31,73 0 0 0 0 0 -

Produk Produk 2 3 173,73 264,76 0 323,76 160,62 164,16 100,7 87,55 100,7 85,33 100,7 88,35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 388,06 276 0 0 0 11110,8 0 0 169579 423017 0 0 0 0 0 0 0 35363,8 0 0 0 0 0 0 7,95 0 0 0 0 47169,5 0 0 0 0 0 0 92,44 117,96 0 0 266,17 170,81 0 0 105,55 385,71 0 0 54,22 142,24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21,8 0

Produk 4 315,1 236,4 206,9 87,55 85,33 88,35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 276 0 11110,8 0 423017 0 0 0 35363,8 0 0 0 0 0 47169,5 0 0 0 117,96 0 170,81 0 385,71 0 142,24 0 0 0 0 0 19,93 0

Produk 5 59 25,76 0 87,55 85,33 88,35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 276 0 11110,8 0 423017 0 0 0 35363,8 0 0 0 0 0 47169,5 0 0 0 117,96 0 170,81 0 385,71 0 142,24 0 0 0 0 0 0 0

Produk 1 -

Produk 2 -

Produk 3 0 0 7,74 0 96,1 0 5,99 0 8,17 0 54,42 0 18,63 0 8,58 0 8,75 0 2,85 0 1,24 0

Produk 4 0 0 0 0 96,1 0 5,99 0 8,17 0 54,42 0 18,63 0 8,58 0 8,75 0 2,85 0 1,24 0

Produk 5 27,75 0 0 0 96,1 0 5,99 0 8,17 0 54,42 0 18,63 0 8,58 0 8,75 0 2,85 0 1,24 0

Berdasarkan solusi optimal pada Tabel 5 secara ringkas analisis pencapaian tujuan dari setiap tujuan yang ditetapkan dalam permasalahan LGP ini seperti tersaji pada Tabel 6. Tabel 6. Hasil Pencapaian Setiap Tujuan Berdasarkan Model LGP. Tujuan

8

Pencapaian

F1 : Memaksimumkan permintaan konsumen berdasarkan hasil peramalan


F2 : Meminimumkan saldo persediaan di gudang


Keterangan Jumlah permintaan tiap bulan selama 3 bulan (JanFeb 2013) untuk kelima produk tersaji pada Tabel 4. Saldo minimum di gudang adalah 120,09 untuk produk-1 , 100,7 untuk produk-2 , 87,55 untuk produk-3, 85,33 produk-4 dan 88,35 produk-5

F3 : Memaksimumkan penggunaan bahan baku


F4 : Memaksimumkan persediaan kemasan/botol


F5 : Memaksimumkan penggunaan waktu proses


perusahaan yang diperoleh sehingga didapat nilai error keduanya dimana untuk produk-1,produk-3, dan produk-4 error yang diperoleh lebih kecil dibandingkan dengan produk-2 dan produk-5 sesuai dengan nilai error peramalan pada Tabel 3. Untuk produk-2 dan produk-5 terdapat perbedaan yang signifikan dengan nilai error seperti pada Tabel 7 yaitu 52,25% dan 75,92% , hal ini dikarenakan pada bulan Februari untuk produk-2 dan bulan Maret untuk produk-5 terdapat salah satu bahan baku yang tidak tersedia digudang maka pada bulan tersebut kedua produk tidak produksi sehingga menjadikan nilai errornya besar.

Kekurangan penggunaan bahan baku seminimum mungkin Kekurangan penggunaan kemasan/botol tiap bulannya seminimum mungkin Waktu proses minimum tiap bulan adalah 90 jam untuk produk-1 dan 2,sementara 270 jam untuk produk-3, produk-4 dan produk-5

PENUTUP 1. Kesimpulan Berdasarkan kajian di atas maka dapat disimpulkan bahwa:  Kendala permintaan ditentukan menggunakan peramalan metode regresi berganda dengan error terkecil pada produk-1 yaitu 5,33%.  Nilai permintaan yang merupakan hasil peramalan digunakan untuk perencanaan produksi bulanan yang didasarkan pada model LGP untuk periode Januari-Maret 2013, dimana diperoleh nilai error yang berbeda signifikan terhadap data riil, yaitu pada produk-2 dan produk-5. Hal ini dikarenakan kedua produk tersebut tidak diproduksi yang disebabkan adanya satu bahan baku yang tidak tersedia.  Penerapan model LGP dengan permintaan yang diramalkan dapat digunakan untuk perencanaan produksi bulanan dalam kurun waktu 3 bulan sekaligus.

Selanjutnya akan dibandingkan antara hasil penyelesaian menggunakan model dengan data riil perusahaan untuk periode Januari-Maret 2013, yang tersaji pada Tabel 7, yaitu : Tabel 7. Perbandingan hasil penyelesaian dan data real perusahaan Produk

1

2

3

4

5

Jan Feb Mar Jan Data Feb Riil Mar Error (%)

3969,3 4214,4 5106,6 4602,9 4831,6 5079,3 10,38

280,7 384 195,1 363,3 0 141,7 52,25

177,2 258,7 300,9 322, 4 266,4 169,7 42,84

227,4 221,8 271,5 395,4 189,7 167,8 42,17

168,0 211 133,2 47,55 92,7 0 75,92

Hasil Model

Tabel 7 menunjukan perbandingan hasil penyelesaian/model dengan data riil perusahaan dimana hasil model didasarkan pada permintaan yang diramalkan menggunakan metode regresi berganda untuk periode Januari-Maret 2013 dan nilai error pada peramalan menggunakan metode tersebut adalah produk-1 sebesar 5,33% dan produk-3, produk-4 masing-masing sebesar 17,81% dan 13,58%. Sementara itu untuk dua produk lainnya yaitu produk-2 sebesar 20,85% dan 31,38% untuk produk-5. Berdasarkan hasil model dan data riil

Saran Untuk pengkajian lebih lanjut dapat digunakan penggunaan metode peramalan yang berbeda untuk setiap produk yang diteliti, agar diperoleh metode yang paling tepat untuk setiap produknya.

9

DAFTAR PUSTAKA [1] Astuti, Natalia. E. D., Linawati, L., Mahatma, T. 2013. Linear Goal Programming untuk Optimasi Perencanaan Produksi. Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VII UKSW tanggal 15 Juni 2013. ISSN: 2087-0922. [2] Awat, Napa. J. 1990. Metode Peramalan Kuantitatif. Yogyakarta : Liberty Yogyakarta. [3] Ignizio, D. P. 1982. Operations Research in Decision Making, Lexington book, D.C. Heath and Company, Lexington, Massachussetts. [4] Linawati, Lilik 2012. Penentuan Alokasi Beban Kerja Dosen Menggunakan Pemodelan Lexicographic Linear Goal Programming. Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VII UKSW, 21 September 2012 [5] Makridakris, S., Steven, W., Victor, E. M. G. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi 2. Jilid 1. Jakarta : Erlangga. [6] Makridakris, S., Steven, W. 1994. Metode-metode Peramalan untuk Manajemen. Edisi 5. Jakarta : Binapura Aksara. [7] Siswanto. 2007. Operation Research Jilid 1. Jakarta : Erlangga.

10

BAB II MAKALAH. : Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII UKSW. : Prosiding Seminar Nasional Matematika VIII UKSW 15 Juni

Recommend Documents