BAB II LANDASAN TEORI. Antrian merupakan kejadian yang dapat dijumpai pada peristiwa-peristiwa

BAB II LANDASAN TEORI

2.1

Umum Antrian merupakan kejadian yang dapat dijumpai pada peristiwa-peristiwa

yang terjadi di kehidupan yang sehari-hari. Antrian ini tidak lepas dengan adanya kegiatan menunggu karena di dalam antrian maka akan ada kegiatan menunggu, contohnya seperti antrian pada kasir supermarket, antrian pada loket bus, antrian pada pengisian BBM, antrian pada pembelian tiket bioskop dan peristiwaperistiwa lainnya. Fasilitas pelayanan yang tidak dapat mencukupi kebutuhan (overcapacity) yang ada akan menimbulkan adanya antrian. Untuk mengurangi peluang terjadinya antrian ini, maka dilakukan berbagai cara, salah satunya adalah dengan menambah fasilitas dari pelayanan. Penambahan fasilitas pelayanan cenderung akan mengurangi dari keuntungan. Namun jika fasilitas pelayanan tidak diperbaiki, maka kemungkinan pelanggan akan semakin berkurang. Oleh karena itu, perlu adanya pengkajian yang tepat terhadap parameter-parameter antrian sehingga dapat diambil keputusan yang tepat, dimana mendapatkan keuntungan di kedua pihak, yaitu penggunan dan penyedia fasilitas. Salah satu antrian yang dapat ditemui sehari hari dalam bidang komunikasi adalah

antrian

yang

terjadi

pada

jaringan

packet

switching.

Packet

switching merupakan suatu metode pengiriman atau penerimaan dengan melalui adanya proses pemecahan data kemudian dikirim menjadi beberapa bagian. Karena dipecah menjadi beberapa bagian, data yang dikirim tidak harus secara

5 Universitas Sumatera Utara

seri melalui satu jalur tertentu saja, tetapi bisa secara paralel dengan memanfaatkan jalur koneksi lain yang tingkat kepadatannya tidak tinggi. Pada jalur atau simpul di ujung packet switching ini terjadi adanya antrian.

2.2

Sejarah Teori Antrian Teori antrian dipelopori oleh A. K. Erlang yang merupakan seorang insinyur

berkebangsaan Denmark, yang bekerja pada industri telepon. Adapun eksperimen yang ia teliti adalah tentang masalah fluktuasi permintaan terhadap fasilitas telepon dan pengaruhnya terhadap perangkat telepon yang otomatis (automatic dialing equipment). Hal ini akan mengakibatkan pada waktu yang sibuk, operator akan sangat kewalahan, yang menimbulkan terjadinya antrian yang cukup lama. Erlang menerbitkan bukunya yang berjudul Solution of Some Problems in Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchange pada tahun 1917, setelah sebelumnya melakukan eksperimen dalam penghitungan keterlambatan (delay) dari seorang operator dan penghitungan kesibukan beberapa operator. Kemudian pada masa setelah Perang Dunia II, dilakukanlah eksperimeneksperimen lain yang lebih luas untuk memecahkan persoalan-persoalan umum yang menyangkut masalah antrian[1].

2.3

Komponen Sistem Antrian Komponen dasar dalam sistem antrian adalah kedatangan dan pelayanan.

Proses ntrian merupakan proses dimana pelanggan atau konsumen masuk ke dalam sistem pelayanan dan akan mengalami antrian hingga pelanggan atau


konsumen tersebut dilayana dan akhirnya selesai dilayani. Komponen dasar proses antrian ada 3 yaitu[2]: 1. Sumber Kedatangan Sumber kedatangan merupakan proses terjadinya kedatangan dari suatu peristiwa. Sumber kedatangan ini bersifat acak yang dan dalam periode waktu tertentu. 2. Pelayanan Pelayanan merupakan tempat atau fasilitas yang akan menangani dari konsumen. Pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan di dalam suatu sistem antrian. 3. Antrian Penentu antrian yaitu dari disiplin antrian, sifat kedatangan, dan proses pelayanan. Komponen antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.1.

SUMBER KEDATANGAN

ANTRIAN

FASILITAS

KELUAR

Gambar 2.1 Komponen Proses Antrian

2.4

Struktur Dasar Sistem Antrian Pada umumnya, struktur dasar sistem antrian dikelompokkan kedalam

empat model menurut sifat-sifat dan pelayanan, yaitu [2] :


1. Satu Saluran Satu Tahap Satu saluran satu tahap (single channel single phase) adalah model antrian dimana hanya ada satu jalur dan hanya ada satu fasilitas pelayanan. Sistem antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Satu Saluran Satu Tahap 2. Satu Saluran Banyak Tahap Satu saluran banyak tahap (single channel multi phase) adalah model antrian dimana hanya ada satu jalur, namun beberapa pelayanan. Sistem antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3 Satu Saluran Banyak Tahap 3. Banyak Saluran Satu Tahap Banyak saluran dan satu tahap (multi channel single phase) adalah model antrian dimana terdapat banyak jalur, namun hanya satu pelayanan. Sistem antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.4.

Gambar 2.4 Banyak Saluran Satu Tahap


4. Banyak Saluran Banyak Tahap Banyak saluran banyak tahap (multichannel multi phase) adalah model antrian dimana terdapat banyak jalur dan banyak fasilitas pelayanan. Sistem antrian ini dapat dilihat pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap

2.5

Disiplin Sistem Antrian Disiplin antrian adalah sebuah aturan untuk pelanggan dilayani atau disiplin

pelayanan (service discipline) sebagai urutan daripada para pelanggan untuk ditangan dalam fasilitas pelayanan. Disiplin antrian berdasarkan urutan kedatangan ini dapat didasarkan pada[2] : 1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO) FIFO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah pelanggan yang datang terlebih dahulu. Contohnya dapat dilihat pada antrian di loket karcis atau tiket. 2. Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO) LIFO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah yang datang paling akhir. Contohnya dapat dilihat pada sistem bongkar muat barang di dalam truk.


3. Service in Random Order (SIRO) SIRO merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah acak atau tidak tergantung apapun. Contohnnya dapat dilihat pada arisan. 4. Priority Service (PS) PS merupakan disiplin antrian dimana yang akan dilayani lebih awal adalah yang diprioritas khusus. Contohnya dapat dilihat pada pesta dengan tamu VIP. 5. Round Robin (RR) RR merupakan disiplin antrian dimana untuk fasilitas pelayanan diberikan pada jangka waktu tertentu saja. Contohnya dapat dilihat pada sistem komputer yaitu parallel jobs.

2.6

Karakteristik Sistem Antrian Dalam masalah teori dalam antrian, ada beberapa dasar asumsi tentang

aspek khusus yang terdapat di dalamnya. Dalam model dasar teori antrian ini, asumsi-asumsi yang dibuat adalah[2]: a. Sumber Populasi Suatu populasi yang terbatas atau tidak terbatas bisa menjadi asal tempat pengantri yang datang ke suatu sistem. Jika tidak terdapat batas untuk jumlah pekerjaan yang boleh menunggu dalam suatu antrian, maka disebut dengan antrian tidak terbatas, sedangkan antrian yang terdapat batas didalamnya disebut dengan antrian yang terbatas.


b. Pola Kedatangan Untuk menggambarkan pola kedatangan cara yang umum dipakai adalah penggunaan waktu antar kedatangan sebagai interval antara kedatangan yang datang secara berurutan. Bila kedatangan acak atau random secara stokastik, maka diperlukan fungsi kerapatan probabilitas dari antar waktu kedatangan. c. Panjang Antrian Panjang antrian dan sumber kedatangan biasanya adalah diasumsikan sebagai jumlah yang tidak terbatas. Meski asumsi ini tidak dapat terjadi di kehidupan nyata atau tidak realistis. d. Disiplin Antrian Disiplin antrian adalah suatu metode atau aturan untuk menentukan urutan dari pekerjaan yang dilakukan oleh fasilitas pelayanan, dalam sistem antrian paling sering digunakan adalah yang menurut urutan waktu kedatangan mereka datang dalam antrian, yaitu yang pertama datang akan pertama dilayani. e. Pola Pelayanan Pola pelayanan dalam proses antrian akan dengan salah satu bentuk distribusi probabilita dari waktu pelayanan. Waktu pelayanan ini biasanya paling sering terdistribusi eksponensial negatif. f. Keluar Bila konsumen telah selesai dilayani, maka akan keluar dari sistem, kemudian konsumen tersebut akan kembali bergabung populasi yang lain.


2.7

Notasi Sistem Antrian Sebuah notasi sistem merupakan penunjuk dari ciri khas suatu disiplin

antrian. Notasi sistem antrian ini merupakan kombinasi proses kedatangan dengan pelayanan. Pada umumnya notasi antrian ini dikenal sebagai notasi Kendall, yaitu[2]: (a/b/c):(d/e/f)

(2.1)

dimana simbol a,b,c,d,e, dan f ini merupakan unsur – unsur dasar dari model sistem antrian. Penjelasan dari simbol – simbol ini adalah sebagai berikut: a = Distribusi waktu kedatangan b = Distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan c = Jumlah pelayan dalam paralel (dimana c = 1,2,3,…, ∞) d = Disiplin Pelayanan e = Jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem f = Jumlah paket yang ingin memasuki sistem sebagai sumber Notasi standar ini dapat diganti dengan kode – kode yang sebenarnya dari distribusi – distribusi yang terjadi dan bentuk – bentuk lainnya, seperti: M

= Distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses Poisson. Dapat juga menggunakan distribusi eksponensial.

D

= Konstanta atau deterministic interarrival atau service time (waktu pelayanan). K Jumlah pelayanan dalam bentuk paralel atau seri.

N

= Jumlah maksimum paket dalam sistem.

Ed

= Distribusi Erlang atau Gamma untuk waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan dengan parameter d.


G

= Distribusi umum dari service time atau keberangkatan (departure).

GI

= Distribusi umum yang independen dari proses kedatangan.

GD

= General Discipline (disiplin umum) dalam antrian.

NPD = Non-Preemptive Discipline PRD

2.8

= Preemptive Discipline

Sistem Antrian M/G/1 Model antrian (M/G/1) merupakan model antrian dimana untuk banyak

kedatangannya berdistribusi Poisson atau waktu antar kedatangan berdistribusi Eksponensial, sedangan untuk waktu pelayanannya dijabarkan dengan sebuah distribusi General atau umum dengan rata-rata waktu pelayanan (E(t)) dan varians dari waktu pelayanan tersebut (var(t)). Dalam sistem antrian M/G/1, terdapat 2 jenis keadaan yaitu : 1. Ketika waktu pelayanan tiap paket berbeda-beda, sehingga terdapat variansi (var(t)<0) pada waktu pelayanannya, maka antrian akan mengikuti disiplin antrian M/M/1. 2. Ketika waktu pelayanan tiap paket konstan, sehingga tidak terdapat variansi (var(t) = 0) pada waktu pelayanannya, maka antrian akan mengikuti disiplin antrian M/D/1. Dengan demikian, sistem antrian M/G/1 dengan terdapatnya varians pada waktu pelayanannya adalah sistem antrian M/M/1 yaitu waktu pelayanannya terdistribusi eksponesial. Sedangkan, sistem antrian M/G/1 dengan tidak terdapatnya varians pada waktu pelayanannya adalah sistem antrian M/D/1 yaitu waktu pelayanannya deterministik[2].


Adapun pemodelan antrian paket dari salah satu simpul pada jaringan Packet Switching yang menggunakan antrian M/G/1 dapat dilihat pada Gambar 2.6. Distribusi Umum

𝜇𝜇

Antrian Paket

server

PENGIRIM

λ

𝐸𝐸(𝑡𝑡) { 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑡𝑡)

PENERIMA

Distribusi Eksponensial

PACKET SWITCHING

Gambar 2.6 Model Antrian Paket pada salah satu simpul Packet Switching

Parameter kinerja dari sistem antrina M/G/1 adalah E(t), var(t), Ls , Lq , Ws , Wq, dan ρ dimana [2]: λ

: rata-rata laju kedatangan paket (paket/detik)

µ

: rata-rata laju transaksi paket (paket/detik)

E(t)

: rata rata waktu pelayanan/transaksi (detik)

var(t)

: variansi dari waktu pelayanan/transaksi (detik2)

Ls

: rata-rata jumlah paket dalam sistem (paket)

Lq

: rata-rata jumlah paket dalam antrian (paket)

Ws

: rata-rata waktu dalam sistem (paket)

Wq

: rata-rata waktu dalam antrian (paket)

𝜌𝜌

: menyatakan utilisasi Untuk rumus secara umum perhitungan parameter M/G/1 dapat

menggunakan persamaan berikut : E(t) = ttr =

1

μ

(2.2)


1

var(t) =

Lq =

(2.3)

μ2

λ2 [E 2 (t)+var (t)] 2(1−λE(t))

(2.4)

Ls = Lq + λE(t)

(2.5)

Ws = Wq + E(t)

(2.7)

Wq =

Lq λ

λ

ρ=µ

(2.6)

(2.8)

Untuk perhitungan parameter kinerja dengan rumus M/M/1 digunakan persamaan berikut: λ

Wq = µ(µ−λ)

E(t) = ttr = Ws = Lq = Ls =

(2.9) 1

µ

1

(2.10) (2.11)

µ− λ λ2

(2.12)

µ(µ−λ) λ

(2.13)

µ− λ

Untuk perhitungan parameter kinerja dengan rumus M/D/1 digunakan persamaan berikut: λ

Wq = 2µ(µ−λ)

E(t) = ttr =

1

µ

1

Ws = Wq + µ Lq =

λ2

2µ(µ−λ) λ

Ls = Lq + µ

(2.14) (2.15) (2.16) (2.17) (2.18)


2.9

Pola Kedatangan dan Pola Pelayanan Untuk pola pelayanan dan pola kedatangan yang digunakan pada sistema

antrian ini dapat diuraikan sebagai berikut [5]: 1. Pola Kedatangan Pola Kedatangan adalah sebuah pola yang menggambarkan bagaimana distribusi dari paket ketika akan memasuki suatu sistem pelayanan. Pola kedatangan terdapat dua jenis yaitu, paket yang datang secara acak atau random dan paket yang datang pada setiap periode waktu tertentu. Pola kedatangan digambarkan dengan interval antar waktu kedatangan yang berurutan yang didapatkan dari waktu antar kedatangan. Untuk kedatagan yang berubah stokastik, diperlukan fungsi probabilitas dari waktu antar kedatangan. Notasi yang digunakan untuk pola kedatangan adalah sebgai berikut : 1. tk adalah rata-rata waktu kedatangan (detik) 2. λ merupakan laju kedatangan paket (paket/detik) Variabel tersebut hubungannya dapat dilihat pada Persamaan 2.1 berikut: 1

𝜆𝜆 = 𝑡𝑡𝑡𝑡

(2.19)

Untuk beberapa keadaaan yang sering dijumpai, pola kedatangan ini sering didefenisikan dengan probabilitas yang waktu antar kedatangannya lebih besar dari waktu yang diberikan untuk beberapa keadaan yang sering dijumpai. Lalu, untuk distribusi kedatangan yang didefenisikan sebagai Ao(t), maka Ao merupakan probabilitas dengan waktu antar kedatangannya lebih besar dari t. 𝐴𝐴0 (𝑡𝑡) = 1 − 𝐹𝐹(𝑡𝑡)

(2.20)


2. Pola Kedatangan Poisson Kedantangan konsumen atau pelanggan sering terjadi dalam keadaan acak atau random. Keadaan acak berarti bahwa kedatangan dapat terjadi kapan saja setiap tanpa adanya suatu nilai tertentu. Disini diasumsikan bahwa waktu kedatangan berikutnya tidak bergantung pada kedatangan sebelumnya dan terdistribusi dalam interval Δt. Untuk λ merupakan laju kedatangan paket, maka probabilitas kedatangan dalam Δt adalah λΔt. Fungsi kerapatan probabilitas waktu antar kedatangan dapat dilihat pada Persamaan (2.21). 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 (𝑡𝑡 > 0)

(2.21)

𝐴𝐴0 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 𝑡𝑡𝑡𝑡

(2.22)

dan untuk distribusi kedatangannya dapat dilihat pada Persamaan 2.22.

Notasi λ merupakan laju kedatangan paket persatuan waktu. Dalam periode waktu t, jumlah kedatangan pada kehidupan sehari hari-hari adalah variabel yang acak.

3. Distribusi Eksponensial Dengan mendefenisikan F(t) = y maka kemudian akan didapatkan persamaan yang dihitung dengan integral diperoleh fungsi kumulatif yang dapat dilihat pada Persamaan 2.23. 𝑡𝑡

𝑦𝑦 = ∫0 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦 = 1 − 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 𝑡𝑡𝑡𝑡

(2.23)

𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆𝜆 = − ln(1 − 𝑦𝑦)

(2.24)

Kemudian akan diinveriskan sehingga menghasilkan Persamaan 2.24.


Disini y menunjukkan distribusi kumulatif atau kumpulan, dimana untuk nilai 1- y berada di antara 0 dan 1. Dalam rentang nilai ini logaritma berharga negatif, yang pada akhirnya akan menghasilkan nilai yang positif. Digunakanlah logaritma natural dan digantikan nilai y dengan sederet bilangan acak yang terdistribusi serba sama antar 0 dan 1,sehingga kemudian akan menghasilkan output, yaitu sederetan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial. Jika nilai 1–y berada di antara 0 dan 1 juga, maka dapat menggunakan Persamaan 2.25. 𝑡𝑡𝑡𝑡 =

− ln (𝑦𝑦) 𝜆𝜆

= −𝑡𝑡𝑡𝑡 ln(𝑦𝑦)

(2.25)

Dengan tk adalah nilai rata-rata waktu antar kedatangan yang muncul pada rumus untuk menggantikan rumusnya, sehingga akan dihasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial.

4. Pola Pelayanan Pola pelayanan dalam proses antrian juga dapat menyesuaikan dalam bentuk distribusi probabilitas. Disini digunakan bahwa waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif. Rumus umum fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) eksponensial negatife adalah:

dimana:

𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝜇𝜇𝑒𝑒 −𝜇𝜇 𝑡𝑡𝑡𝑡

(2.26)

tp

= waktu pelayanan

f(t)

= probabilitas kepadatan yang berhubungan dengan t

μ

= laju pelayanan paket

i/μ

= waktu pelayanan rata- rata


Fungsi distribusi kumulatif (cumulative density function) didapatkan dari pengintegralan distribusi eksponensial, dapat dilihat pada Persamaan 2.27. 𝑡𝑡

𝐹𝐹(𝑡𝑡) = ∫0 𝜇𝜇𝑒𝑒 −𝜇𝜇 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 − 𝑒𝑒 −𝜇𝜇 𝑡𝑡𝑡𝑡

(2.27)

Kemudian digunakan cara yang sama seperti beda waktu kedatangan (ta) maka didapatkan rumus yang dapat dilihat pada Persamaan 2.28. 𝑡𝑡𝑡𝑡 =

− ln (𝑦𝑦) 𝜇𝜇

= −𝑡𝑡𝑡𝑡 ln(𝑦𝑦)

(2.28)

Dengan tp merupakan rata-rata waktu pelayanan yang muncul sebagai pengali dalam rumus untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi secara eksponensial dimana, tp ini didapatkan dari rumus : tp =

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

(2.29)

2.10 Packet Switching Packet switching adalah suatu metode dari komunikasi digital yang dimana data yang ditransmisikan diubah menjadi blok-blok berukuran yang sesuai, yang disebut paket. Hal ini terlepas dari konten, tipe, dan struktur dari data tersebut. Dimana semua variabel-bit-rate data stream (urutan paket), dikirim melaui jaringan bersama. Pada packet switching, pesan yang panjang akan dipecah ke dalam bentuk paket yang lebih kecil, lalu paket dikemas, kemudian dikiramkan ke jaringan. Pengemasan paket ada 2 cara, yaitu[4]: 1. Datagram, yaitu sebuah paket data yang terpisah dengan yang lain walaupun dengan transaksi yang sama, dimana didalamnya terdapat alamat dari komputer tujuan.


2. Sirkuit Virtual, yaitu : a. Rute telah direncanakan terlebih dahulu. b. Jaringan terkoneksi antara permintaan dan penerimaan. c. Ada identifikasi sirkuit virtual sebagai alamat tujuan untuk setiap paket d. Setiap paket dapat untuk mencari jalur sendiri. Perbedaan dari cara untuk mengemas paket dijelaskan sebagai berikut ini[4]: 1. Dengan sirkuit virtual, tidak diperlukannya jalur-jalur khusus karena jaringan dapat melakukan deretan dan kontrol kesalahan sehingga paket diteruskan lebih cepat. 2. Dengan datagram, rutenya lebih fleksibel sehingga jika terjadi gegagalan, terdapat penggantinya dan panggilan untuk setup fase dapat dihindari diman akan lebih baik daripada paket-paket yang sedikit Adapun untuk kelebihan dari packet switching adalah sebagai berikut [4]: 1. Jalur atau rute dari simpul ke simpul dibagi secara dinamik beberapa paket sepanjang waktu sehingga didapatkan efisiensi yang lebih besar, karena paket akan diantrikan dan ditransmisikan secara secepat mungkin. 2. Konversi rate data, yaitu setiap stasiun terhubung ke simpul lokal pada rate data yang sesuai. 3. Walaupun sedang sibuk, paket tetap dapat diterima. 4. Dapat menggunakan skala prioritas Walaupun mempunyai kelebihan yang lumayan banyak ketika ketika melintasi adapter jaringan, switch, router dan node jaringan lainnya, paket buffer dan antri, mengakibatkan penundaan variabel dan throughput tergantung pada


beban lalu lintas dalam jaringan. Oleh karena itu paket akan mengalam antrian disebabkan oleh adanya delay pada pengiriman paket dan penerimaan paket. Jaringan Packet Switiching dapat dilihat pada Gambar 2.6

Gambar 2.7 Jaringan Packet Switching

2.11 Pembangkit Bilangan Acak Bilangan acak merupakan bilangan yang sembarang, dimana bilangan tersebut dihasilkan dari suatu algoritma tertentu yang disebut sebagai pembangkit bilangan acak. Studi pengembangan simulasi ini didasarkan pada kemampuan untuk menghasilkan bilangan acak, dimana bilangan acak yang tersebut mewakili nilai suatu variabel acak yang terdistribusi uniform pada (0,1). Jadi bilangan acak adalah barisan angka Ui (0 ≤ Ui ≤ 1), yang dihasilkan dari pembangkit bilangan acak (random number generator). Pembangkit bilangan acak (Random Number Generator) adalah suatu algoritma yang digunakan secara terus menerus untuk menghasilkan angka-angka secara random sebagai hasil dari perhitungan dengan komputer yang diketahui distribusinya. Pada Congruential Pseudo Random Number Generator dapat dijelaskan untuk masing-masing formula/ rumus sebagai berikut [3]:


2.11.1

Additive / Arithmatic RNG Bentuk rumusnya adalah 𝑍𝑍𝑖𝑖 = (𝑎𝑎 ∗ 𝑍𝑍0 + 𝑐𝑐)𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚

dimana:

(2.30)

𝑍𝑍𝑖𝑖 = merupakan hasil akhir

𝑍𝑍0 = merupakan angka pertama yang bebas tertentu

m = angka modulo

c = merupakan angka bebas tetapi tidak ada hubungan Bagi Additive RNG ini diperlukan perhatian syarat-syaratnya sebagi berikut : a.

Konstanta a harus lebih besar dari√m. Dan dinyatakan dengan syarat: m/100 < a < m - √m.

b.

Konstanta c harus berangka ganjil apabila m bernilai pangkat dua dan nilai c tidak boleh nilai berkelipatan dari m.

c.

Modulo m harus angka integer dan angka yang cukup besar.

d.

Angka 𝑍𝑍𝑜𝑜 harus merupakan angka integer dan juga ganjil dan cukup

besar.

Untuk mendapatkan bilangan acak yang terdistribusi uniform Ui pada interval [0,1], maka menggunakan persamaan :

𝑈𝑈𝑖𝑖 =

𝑍𝑍[𝑖𝑖] 𝑚𝑚

(2.31)

2.11.2 Multiplicate RNG Bentuk rumusnya adalah 𝑍𝑍𝑖𝑖 = (𝑎𝑎 ∗ 𝑍𝑍𝑖𝑖−1 + 𝑐𝑐)𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚

(2.32) 22 Universitas Sumatera Utara

dengan catatan: Zi = angka random baru Zi-1 = angka random yang lama a
2. Untuk mesin komputer sistem 1130 / 1800 IBM yang dikenal dengan 16 Bit words maka untuk memilih m adalah : m = 216−1 = 32.768

3. Pada microcomputer dengan 8 bit akan digunakan : m = 28−1 = 128

4. Nilai m ini adalah merupakan pembagi dari nilai ( a x Z1) yang mengikuti operasi modulo. Jika angkanya terlalu tinggi atau terlalu besar, maka yang terjadi adalah mengakibatkan overflow atau hang. b. Pemilihan konstanta multiplier a harus tepat.


1. Pemilihan nilai a harus bilangan prima terhadap m. a juga harus bilangan ganjil. Pemilihan yang terbaik adalah dengan rumus a = 2𝑏𝑏/2±

3 yang lebih mendekat pada ketepatan.

2. Untuk sistem IBM 1130/1800 dengan 16 bit akan diperoleh a = 216/2 ± 3 = 28 + 3 = 259

3. Untuk mikrokomputer dengan 8 bit ,maka akan diperoleh a = 28 ± 3 = 24 + 3 = 16 + 3 = 19

c. Pemilihan untuk Zo, yang dikenal dengan : SEED = Zo harus merupakan bilangan prima terhadap m. Dengan demikian untuk Zo adalah harus angka angka yang ganjil. d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga harus bilangan ganjil.


BAB II LANDASAN TEORI. Antrian merupakan kejadian yang dapat dijumpai pada peristiwa-peristiwa

Recommend Documents