BAB II KONSEP DASAR PERMODELAN RESERVOIR PANAS BUMI
Sistem hidrotermal magma terdiri dari dua bagian utama yaitu ruang magma dan reservoir fluida. Ruang magma merupakan sumber massa dan energi untuk reservoir fluida dan terletak dibawah reservoir fluida. Magma adalah material batuan berupa cairan silikat yang lebur atau lebur sebagian dan magma ini yang memanasi magmatic water. Magmatic water adalah media perpindahan energi (panas) dari ruang magma ke reservoir fluida. Magmatic water masuk ke ruang reservoir fluida melalui bagian bawah reservoir yang permeable. Magmatic water dan meteoric water bercampur pada reservoir fluida. Meteoric water masuk melalui permukaan bumi kemudian masuk ke ruang reservoir. Reservoir fluida terdiri dari batuan yang berrongga atau berpori, fluida akan mengalir melalui pori-pori batuan tersebut. Aliran fluida dipengaruhi oleh sifat-sifat batuan reservoir dan sifat fluida pada reservoir. Untuk memodelkan reservoir panas bumi maka dibutuhkan persamaan yang terkait dengan keadaan reservoir yang akan dijabarkan sebagai berikut. 2.1 Hukum Darcy Untuk setiap aliran yang melalui media berpori yang homogen, persamaan aliran yang sederhana pertama kali dibuat oleh Darcy dan hingga kini digunakan hampir di seluruh studi mengenai petroleum dan air bawah tanah. Hukum ini dapat pula digunakan untuk kasus geothermal.
4
Hukum Darcy menjelaskan aliran fluida pada medium berpori, untuk aliran fasa tunggal dengan panjang L, luas penampang A, maka rata-rata aliran volumetrik Q dinyatakan sebagai : ∧
Q=
kA ∆P µ L
(2.1)
dengan keterangan sebagai berikut: ∆P = perubahan tekanan
µ = viskositas K= permeabilitas Untuk aliran pada satu dimensi (sejajar sumbu-x misalnya) hukum Darcy dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan differensial sebagai berikut: ∧
Q k ∂P v= =− A µ ∂x
(2.2)
dengan keterangan: ∂P ∂x
= gradien tekanan pada arah x, tanda negatif(-) menunjukkan tekanan
berlawanan arah dengan aliran.
v = kecepatan aliran fuida. Jika kedalaman (D), tetapan gravitasi (g), dan densitas fluida ( ρ ) maka hukum Darcy dapat dinyatakan dalam bentuk : vx = −
k ∂P ∂D − ρg ∂x µ ∂x
(2.3)
5
2.2 Penghantaran Panas Secara Konveksi dan Konduksi
Penghantaran panas secara konduksi terjadi karena tumbukan antara molekulmolekul dalam zat tersebut. Secara matematis laju aliran panas konduksi dinyatakan sebagai: Qe ( konduksi ) = K ∇T
(2.4)
K adalah konduktivitas panas (W/m.K), ∇T adalah gradien temperatur. Penghantaran panas secara konveksi terjadi jika zat yang lebih panas mendesak zat yang lebih dingin, secara matematis laju aliran panas konveksi dinyatakan sebagai : Qe ( konveksi ) = hQmw
(2.5)
h adalah entalpi fluida (J/Kg) dan Qmw laju aliran massa. 2.3 Persamaan KesetimbanganMassa dan Energi Fasa Tunggal Gambar 2.1 menunjukkan aliran massa dan energi dalam kesetimbangansehingga massa dan energi dalam blok tetap. Jika massa dalam blok per unit volume disebut (Am), kemudian aliran atau fluks massa dari blok adalah (Qm), fluks massa yang menuju blok adalah qm maka dalam kesetimbangan dapat diekspresikan sebagai :
Gambar 2.1 Blok aliran massa dan energi
6
∂Am + ∇.Qm + qm = 0 ∂t
(2.6)
Am = Φρ
(2.7)
Qm = −
k ( ∇P − ρ w g ∇D ) vw
(2.8)
Φ adalah porositas batuan, t waktu , ∇ operator nabla, ρ w densitas batuan, D
kedalaman, dan g tetapan gravitasi. Hal yang sama juga berlaku untuk aliran energi, jika energi dalam blok dinyatakan sebagai (Ae), fluks energi dari blok (Qe) dan fluks energi ke blok qe, maka secara matematis dalam kesetimbangan dinyatakan sebagai: ∂Ae + ∇Qe + qe = 0 ∂t
(2.9)
Ae = (1 − Φ ) ρ r hr + Φρ h
(2.10)
Qe = Qmh − K ∇T
(2.11)
K ∇T dapat diuraikan menjadi:
∂T ∂T K ∇T = K ∇P + K ∇h ∂P h ∂h p
(2.12)
T adalah temperatur, Φ porositas batuan, t waktu, ρ r densitas batuan , P tekanan, h
entalpi, K konduktivitas panas batuan.
2.3.1
Persamaan Kesetimbangan Massa
Pada media berpori persamaan kesetimbangan massa satu fasa dinyatakan sebagai berikut:
7
∂ ( Φρ w ) + ∇. ( Qmw ) − qm = 0 ∂
(2.13)
dengan t, Φ , qm , Qmw berturut-turut adalah waktu, porositas, massa sumber dan fluks massa fasa cair.
2.3.2
Persamaan Kesetimbangan Energi
Kesetimbangan energi dalam media berpori satu fasa dinyatakan dalam bentuk :
∂T ∂ ∂T Φρ w hw + (1 − Φ ) ρ r hr + ∇. ( Qmw h ) − ∇. K ∇P + K ∇h − qe = 0 ∂t ∂h p ∂P h (2.14)
ρ r adalah densitas batuan, hr adalah entalpi batuan ( hr =CpT ), T adalah temperatur, K adalah konduktivitas termal, qe energi sumber, dan Qmw fluks massa cairan.
Aliran fluida pada reservoir diasumsikan cukup lambat sehingga hukum Darcy dapat digunakan untuk mengatur aliran fluida pada media berongga, hukum Darcy untuk fluida (fasa tunggal) dapat dinyatakan sebagai berikut: Qmw = −
k ( ∇P − ρ w g ∇D ) vw
(2.15)
dengan Qmw adalah fluks massa dari fluida kemudian k, P, g, D, ρ w dan vw berturutturut adalah permeabilitas batuan, tekanan, tetapan gravitasi, kedalaman, densitas fluida dan viskositas kinematis fluida. Viskositas kinematis pada simulasi numerik ini menggunakan rumusan empiris sebagai berikut ( Singarimbun,-1977) dengan asumsi fluida adalah cairan murni berupa H2O :
8
vw =
−7
10 × 239.4 × 10
248.37 T +133
(2.16)
ρw
Pada model ini efek kedalaman diabaikan sehingga ∇D = 0 dan massa jenis air tetap,tidak berubah terhadap waktu
∂ ( ρ w ) = 0 , sehingga untuk persamaan ∂
kesetimbangan massa fluida fasa tunggal dapat dinyatakan sebagai:
∂ k ∂P ∂ k ∂P + − qm = 0 ∂x vw ∂x ∂y vw ∂y
(2.17)
Jika entalpi batuan diasumsikan sama dengan entalpi fluida hwc=hr=h, kemudian
1 ∂T ∂T tetapan panas jenis pada tekanan tetap, maka = J joule kelvin, = ∂P h ∂h P CP persamaan kesetimbangan energi dapat dinyatakan sebagai:
∂h ∂ khw ∂P ∂ khw ∂P ∂ ∂P 1 ∂h Φρ w + (1 − Φ ) ρ r ∂t − ∂x v ∂x − ∂y v ∂y − ∂x KJ ∂x + K C ∂x P w w 1 ∂h ∂ ∂P − KJ +K − qe = 0 ∂y ∂y CP ∂y (2.18)
2.4 Diskritisasi dengan Metode Beda Hingga Turunan pertama dari fungsi f(x) dinyatakan sebagai berikut: ∂f ( x) f ( x + ∆x) − f ( x) = lim ∆x → 0 ∂x ∆x
(2.19)
Berdasarkan ide turunan pertama ini kemudian dijabarkan bentuk metode numerik beda hingga, untuk mempersingkat penulisan digunakan notasi berikut: ui +1, j = u ( xo + ∆x, yo )
(2.20)
9
ui −1, j = u ( xo − ∆x, yo )
(2.21)
ui , j +1 = u ( xo , yo + ∆yo )
(2.22)
ui , j −1 = u ( xo , yo − ∆yo )
(2.23)
ui , j − 2 = u ( xo , yo − 2∆yo )
(2.24)
ui,j+1
ui-1,j
ui,j
ui+1,j
ui,j-1 Gambar 2.2 Sistem grid beda hingga
Metode beda hingga dapat dinyatakan dalam metode forward difference, reaward difference dan central difference. Persamaan diekspansi menggunakan deret taylor sampai suku yang kedua;
u ( xo + ∆x, yo ) = u ( xo , yo ) +
∂u ∂ 2u (∆x) 2 ∆x + 2 ∂x ∂x 2
(2.25)
u ( xo − ∆x, yo ) = u ( xo , yo ) −
∂u ∂ 2u (∆x) 2 ∆x + 2 2 ∂x ∂x
(2.26)
∂u ∂ 2u (∆x) 2 u ( xo − 2∆x, yo ) = u ( xo , yo ) − 2∆x + 2 ∂x ∂x 2
(2.27)
Untuk memperoleh forward difference orde pertama digunakan persamaan (2.25) sampai suku yang pertama:
∂u u ( xo + ∆x, yo ) − u ( xo , yo ) = ∂x ∆x
(2.28)
10
ui +1, j − ui −1, j ∂u = ∂x i , j ∆x
(2.29)
Untuk memperoleh backward difference orde pertama digunakan persamaan (2.26) sampai suku yang pertama:
ui , j − ui −1, j ∂u = ∂x i , j ∆x
(2.30)
Untuk memperoleh central difference orde pertama, persamaan (2.25) sampai suku pertama dikurangkan dengan persamaan (2.26) sampai suku yang pertama:
ui +1, j − ui −1, j ∂u = ∂x i , j 2∆x
(2.31)
Untuk beda hingga orde kedua dinyatakan dalam bentuk central difference yang diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (2.26) sampai suku yang pertama dengan persamaan (2.25) sampai suku pertama: ui +1, j − 2ui , j + ui −1, j ∂ 2u = ∂x 2 i , j (∆x) 2
(2.32)
bentuk lain beda hingga orde kedua diperoleh dengan mengurangkan persamaan (2.27) sampai suku yabg pertama dengan persamaan (2.26) sampai suku yang pertama: ui , j − 2ui −1, j + ui − 2, j ∂ 2u = ∂x 2 i , j (∆x) 2
(2.33)
11
2.4.1
Diskritisasi Persamaan Kesetimbangan Massa
Persamaan kesetimbangan massa dijabarkan dalam bentuk sebagai berikut:: k ∂2P k ∂2P + − qm = 0 vw ∂x 2 vw ∂y 2
(2.34)
Persamaan (2.34) merupakan persamaan 2-D, didekati dengan persamaan (2.32), diperoleh: k ( Pi +1, j − 2 Pi , j + Pi −1, j ) k ( Pi , j +1 − 2 Pi , j + Pi , j −1 ) + − qm = 0 vw ∆x 2 vw ∆y 2
(2.35)
Persamaan (2.35) dapat dituliskan dalam bentuk : k 2 k ∆ x P + ∆ 2y P − qm = 0 vw vw
(2.36)
dengan :
∆ 2x P =
∆ 2y P = 2.4.2
( Pi +1, j − 2 Pi , j + Pi −1, j )
∆x 2
( Pi , j +1 − 2 Pi , j + Pi , j −1 ) ∆y 2
(2.37)
(2.38)
Diskritisasi Persamaan Kesetimbangan Energi
Persamaan kesetimbangan energi dijabarkan dalam bentuk sebagai berikut:
∂h ∂ kh ∂P ∂ khw ∂P ∂ ∂P 1 ∂h Φρ w + (1 − Φ ) ρ r − w +K − − KJ ∂t ∂x vw ∂x ∂y vw ∂y ∂x ∂x CP ∂x ∂ ∂P 1 ∂h − KJ +K − qe = 0 ∂y ∂y CP ∂y (2.39)
12
Persamaan (2.39) bergantung pada waktu dan jarak, untuk domain ruang 2-D didekati dengan persamaan (2.32) dan 1-D serta domain waktu digunakan persamaan (2.29) diperoleh:
[ Φρ w + (1 − Φ) ρr ]
(hin, +j 1 − hin, j )
− ∆t k ( Pi +1, j − 2 Pi , j + Pi −1, j ) (hi+1, j − hi , j ) − vw ∆x 2 ∆x k ( Pi , j +1 − 2 Pi , j + Pi , j −1 ) (hi+1, j − hi , j ) − vw ∆y 2 ∆y
KJ KJ
( Pi +1, j − 2 Pi , j + Pi −1, j ) ∆x
2
( Pi +1, j − 2 Pi , j + Pi −1, j ) ∆y
2
(2.40)
+
K (hi +1, j − 2hi , j + hi −1, j ) − CP ∆x 2
+
K (hi , j +1 − 2hi , j + hi , j −1 ) − qe = 0 ∆y 2 CP
Persamaan (2.40) dapat dituliskan dalam bentuk :
[ Φρ w + (1 − Φ) ρr ] ∆t h −
k 2 k ∆ x P∆ x h − ∆ 2y P∆ y h − vw vw
(2.41)
K 2 K 2 KJ ∆ P + ∆ x h − KJ ∆ 2y P + ∆ y h − qe = 0 CP CP 2 x
dengan : ∆t h = ∆xh =
∆ yh =
∆ 2x h =
(hin, +j 1 − hin, j ) ∆t (hi +1, j − hi , j ) ∆x
(hi , j +1 − hi , j ) ∆y (hi +1, j − 2hi , j + hi −1, j ) ∆x 2
(2.42)
(2.43)
(2.44).
(2.45)
13
∆ 2y h =
(hi , j +1 − 2hi , j + hi , j −1 ) ∆y 2
(2.46)
2.5 Syarat Batas dan Keadaan Awal Reservoir Dinding-dinding vertical reservoir bersifat impermeabel terhadap massa dan energi (Qm=0,Qe=0), magmatic water mengalir melalui bagian bawah reservoir fluida pada bagian tengah reservoir (fractured zone), sedangkan meteoric water mengalir melalui bagian atas reservoir. Pada kondisi awal reservoir fluida dalam fasa cair dengan gradient temperature 0.07o C/m( Singarimbun-1997). Pada simulasi numerik ini digunakan asumsi-sumsi sebagai berikut: 1. Fluida tak termampatkan ( inkompresibel) 2. Aliran fluida ‘viscous flow’ dan cukup lambat 3. Komponen fluida adalah air murni (efek reaksi kimia diabaikan ) 4. Efek tekanan kapiler diabaikan 5. Viskositas fluida merupakan fungsi dari temperatur 6. Keseimbangan kalor antara fluida dan medium terjadi bersamaan 7. M(massa fluida yang tersimpan dalam reservoir) dan E (kalor yang tersimpan dalam reservoir) adalah konstan
14
