BAB II DASAR TEORI. dalam sistem komunikasi sehari-hari. Pada Bab ini akan dibahas antena

BAB II DASAR TEORI

2.1

Umum Pada sistem komunikasi radio diperlukan adanya antena sebagai pelepas

energi elektromagnetik ke udara atau ruang bebas, atau sebaliknya sebagai penerima energi itu dari ruang bebas. Antena merupakan bagian yang penting dalam sistem komunikasi sehari-hari. Pada Bab ini akan dibahas antena mikrostrip secara umum, karakteristik saluran transmisi, dan persamaan umum saluran transmisi. 2.2

Pengertian Antena Antena adalah suatu alat yang mengubah gelombang terbimbing dari

saluran transmisi menjadi gelombang bebas di udara, dan sebaliknya. Saluran transmisi adalah alat yang berfungsi sebagai penghantar atau penyalur energi gelombang elektromagnetik. Suatu sumber yang dihubungkan dengan saluran transmisi yang tak berhingga panjangnya menimbulkan gelombang berjalan yang uniform sepanjang saluran itu. Jika saluran ini dihubung singkat maka akan muncul gelombang berdiri yang disebabkan oleh interferensi gelombang datang dengan gelombang yang dipantulkan. Jika gelombang datang sama besar dengan gelombang yang dipantulkan akan dihasilkan gelombang berdiri murni. Konsentrasi-konsentrasi energi pada gelombang berdiri ini berosilasi dari energi listrik seluruhnya ke energi maknit total dua kali setiap periode gelombang itu.

Gambar 2.1 memperlihatkan sumber atau pemancar yang dihubungkan dengan saluran transmisi AB ke antena [1]. Jika saluran transmisi disesuaikan dengan impedansi antena, maka hanya ada gelombang berjalan ke arah B saja. Pada A ada saluran transmisi yang dihubungkan singkat dan merupakan resonator. Di daerah antena energi diteruskan ke ruang bebas sehingga daerah ini merupakan transisi antara gelombang terbimbing dengan gelombang bebas [1].

A

B

sumber sal. transmisi

antena

Gel. ruang bebas teradiasi

Gambar 2.1 Antena Sebagai Peralatan Transmisi

2.3

Parameter Antena

Kinerja dan daya guna suatu antena dapat dilihat dari nilai parameterparameter antena tersebut [2]. Beberapa dari parameter tersebut saling berhubungan satu sama lain. Parameter-parameter antena yang biasanya digunakan untuk menganalisis suatu antena adalah impedansi masukan, koefisien refleksi tegangan, Voltage Wave Standing Ratio (VSWR), return loss, bandwidth, keterarahan dan penguatan. Namun, parameter yang akan dibahas pada bab ini ialah impedansi masukan, koefisien refleksi tegangan, dan VSWR (Voltage Standing Wave Ratio).

2.3.1

Impedansi Masukan Impedansi masukan adalah perbandingan (rasio) antara tegangan dan arus.

Impedansi masukan ini bervariasi untuk nilai posisi tertentu [2] seperti yang dirumuskan pada Persamaan 2.1 𝑍𝑖𝑛 (𝑍) =

� (𝑧) 𝑉 𝐼̃(𝑧)

=

𝑉0+ [𝑒 −𝑗𝛽𝑧 +Γ𝑒 𝑗𝛽𝑧 ] 𝑉0+ [𝑒 −𝑗𝛽𝑧 −Γ𝑒 𝑗𝛽𝑧 ]

1+Γ𝑒 𝑗2𝛽𝑧

𝑍0 = 𝑍0 �

1−Γ𝑒 𝑗2𝛽𝑧

�

(2.1)

di mana Z in merupakan perbandingan antara jumlah tegangan (tegangan masuk dan tegangan refleksi (V)) terhadap jumlah arus (I) pada setiap titik z pada saluran, berbeda dengan karakteristik impedansi saluran (Z 0 ) yang berhubungan dengan tegangan dan arus pada setiap gelombang. Pada saluran transmisi, nilai z diganti dengan nilai – 𝑙(𝑧 = −𝑙), sehingga Persamaan 2.1 dapat dirumuskan pada Persamaan 2.2 [2]:

𝑍𝑖𝑛 (𝑙) =

� (𝑙) 𝑉 𝐼̃(𝑙)

=

𝑉0+ [𝑒 𝑗𝛽𝑙 +Γ𝑒 −𝑗𝛽𝑙 ]

𝑉0+ [𝑒 𝑗𝛽𝑙 −Γ𝑒 −𝑗𝛽𝑙 ]

1+Γ𝑒 −𝑗2𝛽𝑙

𝑍0 = 𝑍0 �

1−Γ𝑒 −𝑗2𝛽𝑙

𝑍𝑙 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑙+𝑗𝑍0 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑙

� = 𝑍0 �

𝑍0 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑙+𝑗𝑍𝑙 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑙

� (2.2)

2.3.2

Koefisien Refleksi Tegangan Koefisien refleksi tegangan yaitu perbandingan gelombang pantul

terhadap gelombang datang. Pada impedansi, koefisien refleksi tegangan merupakan perbandingan hasil pengurangan impedansi beban dan impedansi saluran terhadap hasil penjumlahan impedansi beban dan impedansi saluran. Koefisien refleksi tegangan ( ) memiliki nilai kompleks, yang merepresentasikan besarnya magnitudo dan fasa dari refleksi. Untuk beberapa kasus yang sederhana, ketika bagian imajiner dari

adalah nol, maka :

a. Γ = −1 : refleksi negatif maksimum, ketika saluran terhubung singkat

b. Γ = 0 : tidak ada refleksi, ketika saluran dalam keadaan matched sempurna.

c. Γ = +1 : refleksi positif maksimum, ketika saluran dalam rangkaian terbuka.

Perbandingan antara tegangan yang direfleksikan dengan yang dikirimkan disebut sebagai koefisien refleksi tegangan ( ) seperti yang dirumuskan pada Persamaan 2.3 [3]: Γ=

𝑉0− 𝑉0+

=

𝑍𝐿 −𝑍0 𝑍𝐿 +𝑍0

(2.3)

di mana Z L adalah impedansi beban (load) dan Z 0 adalah impedansi saluran lossless.

2.3.3

VSWR (Voltage Standing Wave Ratio) VSWR adalah perbandingan antara amplitudo gelombang berdiri

(standing wave) maksimum (|V| max ) dengan minimum (|V| min ). Pada saluran

transmisi ada dua komponen gelombang tegangan, yaitu tegangan yang dikirimkan (V 0 +) dan tegangan yang direfleksikan (V 0 -). Rumus untuk mencari nilai VSWR seperti yang dirumuskan pada Persamaan 2.4 [3] : V𝑆𝑊𝑅 = 2.4

�|𝑚𝑎𝑥 |𝑉 �|𝑚𝑖𝑛 |𝑉

=

1+|Γ|

(2.4)

1−|Γ|

Antena Mikrostrip Salah satu antena yang paling populer saat ini adalah antena mikrostrip.

Hal ini disebabkan karena antena mikrostrip sangat cocok digunakan untuk perangkat telekomunikasi yang sekarang ini sangat memperhatikan bentuk dan ukuran.

2.4.1

Pengertian Antena Mikrostrip Berdasarkan asal katanya, mikrostrip terdiri atas dua kata, yaitu micro

(sangat tipis/kecil) dan strip (bilah/potongan). Antena mikrostrip dapat didefenisikan sebagai salah satu jenis antena yang mempunyai bentuk seperti bilah/potongan yang mempunyai ukuran sangat tipis/kecil. Gambar 2.2 menunjukkan sruktur antena mikrostrip [2]

Patch

L

W t Substrat h

Ground plane

Gambar 2.2 Struktur Antena Mikrostrip

Secara umum, antena mikrostrip terdiri atas 3 bagian, yaitu patch, substrat, dan ground plane. Patch terletak di atas substrat, sementara ground plane terletak pada bagian paling bawah. Pada umumnya, patch terbuat dari logam konduktor seperti tembaga atau emas dan mempunyai bentuk yang bermacam-macam. Bentuk patch antena mikrostrip yang sering dibuat, misalnya segi empat, segi tiga, lingkaran, dan lain-lain. Patch berfungsi sebagai pemancar (radiator). Patch dan saluran pencatu biasanya terletak di atas substrat. Tebal patch dibuat sangat tipis (𝑡 ≪ 𝜆0 ;

t=ketebalan patch). Substrat terbuat dari bahan-bahan dielektrik. Substrat biasanya mempunyai tinggi (h) antara 0,003 λ 0 – 0,05λ 0 [1]. Tabel 2.1 menunjukkan nilai permeativitas relatif bahan dielektrik yang sering digunakan untuk membuat substrat antena mikrostrip. Tabel 2.1 Nilai Konstanta Dielektrik Beberapa Bahan Dielektrik Bahan dielektrik

Nilai konstanta dielektrik (ε r )

Alumina

9,8

Material sintetik – Teflon

2,08

Material komposit – Duroid

2,2 – 10,8

Ferimagnetik – Ferrite

9 – 16

Semikonduktor – Silikon

11,9

Fiberglass

4,882

FR4_epoxy

4,4

Tampak bahwa semikonduktor (silikon) memiliki nilai ε r yang lebih tinggi dan teflon memiliki nilai ε r yang lebih rendah.

Antena mikrostrip mempunyai nilai radiasi yang paling kuat terutama pada daerah pinggiran di antara tepi patch. Untuk performa antena yang baik, biasanya substrat dibuat tebal dengan konstanta dielektrik yang rendah. Hal ini akan menghasilkan efisiensi dan radiasi yang lebih baik serta bandwidth yang lebih lebar, namun akan menambah ukuran dari antena itu sendiri. Oleh sebab itu, kejelian dalam menetapkan spesifikasi, ukuran dan performa akan menghasilkan antena mikrostrip yang mempunyai ukuran yang kompak dengan performa yang masih dalam batas toleransi.

2.4.2

Kelebihan dan kekurangan Antena Mikrostrip Antena mikrostrip mengalami peningkatan popularitas terutama dalam

aplikasi wireless karena strukturnya yang low profile. Selain itu, antena mikrostrip juga kompatibel dan dapat diintegrasikan langsung dengan sirkuit utamanya, seperti pada handphone, missile dan peralatan lainnya. Pada zaman sekarang, pemakaian antena mikrostrip menjadi semakin berkembang. Hampir semua peralatan telekomunikasi wireless yang ada tidak menunjukkan sebuah fisik antena. Hal ini karena peralatan telekomunikasi tersebut menggunakan antena mikrostrip yang dapat diintegrasikan langsung dengan MIC (microwave integrated circuits)-nya. Beberapa keuntungan dari antena mikrostrip adalah [3] : 1. Mempunyai bobot yang ringan dan volume yang kecil. 2. Konfigurasi yang low profile sehingga bentuknya dapat disesuaikan dengan perangkat utamanya. 3. Biaya fabrikasi yang murah sehingga dapat dibuat dalam jumlah yang besar.

4. Mendukung polarisasi linear dan sirkular. 5. Dapat dengan mudah diintegrasikan dengan microwave integrated circuits (MICs) 6. Kemampuan dalam dual frequency dan triple frequency. 7. Tidak memerlukan catuan tambahan. Namun, antena mikrostrip juga mempunyai beberapa kelemahan, yaitu : 1. Bandwidth yang sempit 2. Efisiensi yang rendah 3. Penguatan yang rendah 4. Memiliki rugi-rugi hambatan (ohmic loss) pada pencatuan antena array 5. Memiliki daya (power) yang rendah 6. Timbulnya gelombang permukaan (surface wave)

2.4.3

Teknik pencatuan Antena mikrostrip dapat dicatu dengan beberapa metode. Metode-metode

ini dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori, yaitu terhubung (contacting) dan tidak terhubung (non-contacting) [3]. Pada metode terhubung, daya RF dicatukan secara langsung ke patch radiator dengan menggunakan elemen penghubung. Pada metode tidak terhubung, dilakukan pengkopelan medan elektromagnetik untuk menyalurkan daya di antena saluran mikrostrip dengan patch. Beberapa teknik pencatuan yang sering digunakan, yaitu : teknik microstrip line, coaxial probe, aperture coupling dan proximity coupling.

2.4.4

Jenis-jenis antena mikrostrip Berdasarkan bentuk patch-nya antena mikrostrip terbagi menjadi :

a. Antena mikrostrip patch persegi panjang (rectangular) b.

Antena mikrostrip patch persegi (square)

c. Antena mikrostrip patch lingkaran (circular) d. Antena mikrostrip patch elips (elliptical) e. Antena mikrostrip patch segitiga (triangular) f. Antena mikrostrip patch circular ring

Gambar 2.3 menunjukkan jenis-jenis patch antena mikrostrip

Gambar 2.3 Jenis-Jenis Patch Antena Mikrostrip

2.5

Karakteristik Saluran Transmisi Karakteristik listrik pada saluran transmisi berbeda dengan karakteristik dari

rangkaian listrik biasa. Karakteristik listrik suatu saluran transmisi sangat bergantung pada konstruksi dan dimensi fisiknya[4]. Ketika hubungan antara sumber sinyal dengan beban sedang berlangsung, maka sinyal akan merambat pada pasangan kawat penghantar saluran transmisi menuju ke ujung yang lain dengan kecepatan tertentu. Semakin panjang saluran transmisi, maka waktu tempuh dari rambatan sinyal itu akan semakin lama. Arus yang mengalir di sepanjang saluran akan membangkitkan suatu medan magnet yang menyelimuti kawat penghantar dan ada kalanya saling berimpit dengan medan magnet lain yang berasal dari kawat penghantar lain di sekitarnya. Medan magnet yang dibangkitkan oleh kawat penghantar berarus listrik, merupakan suatu timbunan energi yang tersimpan dalam kawat penghantar tersebut sehingga dapat dianggap bahwa kawat penghantar bersifat induktif atau memiliki induktansi[4]. Tegangan yang ada di antara dua kawat penghantar akan membangkitkan medan listrik. Medan listrik ini juga merupakan timbunan energi yang mungkin juga saling berimpit dengan medan listrik lain di sekitarnya, sehingga akan timbul kapasitansi di antara dua kawat penghantar. Untuk saluran yang panjang, induktansi dan kapasitansi itu akan menyebar secara merata pada sepanjang saluran dan besarnya tergantung pada frekuensi sinyal atau gelombang yang merambat di dalamnya[4,6]. Setiap jenis saluran transmisi dua kawat juga mempunyai suatu nilai konduktansi yakni nilai yang merepresentasikan kemungkinan banyaknya

elektron yang mengalir (arus) melewati atau menembus bahan dielektrik saluran. Jika saluran dianggap seragam (uniform), di mana semua nilai besaran-besaran tersebut sama di sepanjang saluran, maka potongan kecil saluran dapat dianggap merepresentasikan panjang keseluruhan[4,6]. Tiga hal inilah yang menjadi alasan bahwa saluran transmisi berbeda dari rangkaian-rangkaian listrik pada umumnya, sehingga karakteristik salurasn transmisi dapat dibedakan atas Lumped Constant dan Distributed Constant[4,6]. 2.5.1

Lumped Constant Saluran transmisi juga memiliki besaran atau konstanta seperti induktansi,

kapasitansi dan resistansi sebagaimana seperti pada rangkaian listrik pada umumnya, akan tetapi pada rangkaian listrik konstanta-konstanta yang ada dalam rangkaian bertumpuk di dalam piranti rangkaian itu sendiri, maka besaran atau konstanta yang demikian disebut dengan lumped constant[4,6]. 2.5.2

Distributed Constant Idealnya saluran transmisi juga memiliki nilai induktansi, kapasitansi dan

resistansi yang bersifat bertumpuk (lumped), namun tidak demikian halnya, karena saluran transmisi memiliki besaran atau konstanta dengan nilai yang terdistribusi di sepanjang saluran dan masing-masing tidak dapat dipisahkan satu dengan lainnya, maka besaran yang demikian disebut distributed constant, yang artinya nilainya terdistribusi di sepanjang saluran, diameter penghantar, jarak antar penghantar dan jenis bahan dielektrik yang memisahkan kedua penghantar. Maka ini berarti nilai-nilai konstanta ini akan berubah bila panjang saluran diubah. Adapun macam-macam distributed constant [4,6], antara lain:

1. Induktansi Saluran Sewaktu arus mengalir pada kawat penghantar saluran transmisi, maka di sekeliling penghantar akan timbul garis gaya magnet dalam arah tertentu seperti Gambar 2.4.

Gambar 2.4. Distributed Inductance

Garis gaya ini mempunyai intentitas dan arah yang bervariasi sesuai dengan variasi dari perubahan besar dan arah arus dalam penghantar. Energi yang dihasilkan oleh garis gaya magnet yang tersimpan dalam kawat penghantar dapat dipandang merepresentasikan sekumpulan induktansi di sepanjang saluran (dengan satuan µH/satuan panjang).

2. Kapasitansi Saluran Sewaktu saluran transmisi dihubungkan ke sumber sinyal, maka tegangan di antara kedua penghantar menimbulkan medan listrik, yang tersimpan di antara kedua penghantar di sepanjang saluran, seperti Gambar 2.5.

+

+

Electric field -

-

Distributed Capacitance

Gambar 2.5. Distributed Capacitance

Adapun besar kapasitansi ini dinyatakan dengan satuan pikofarad per satuan panjang (pF/satuan panjang).

3. Resistansi Saluran Lawat penghantar saluran transmisi dengan panjang tertentu memiliki besar tahanan tertentu juga. Hal ini direpresentasikan oleh besar arus yang semakin lama semakin kecil di ujung saluran, bila saluran ini dihubungkan dengan sumber sinyal. Resistansi ini juga terdistribusi di sepanjang saluran (dapat dilihat pada Gambar 2.6) dengan satuan Ohm persatuan panjang (Ω/satuan panjang).

Distributed Resistance

Gambar 2.6. Distributed Resistance

4. Arus Bocor dan Konduktansi Saluran Akibat tidak sempurnanya sifat bahan dielektrik yang memisahkan kedua kawat penghantar saluran transmisi, maka timbul arus bocor yang mengalir di antara kedua penghantar (arus yang mengalir kecil sekali), arus ini merepresentasikan sifat konduktivitas dari bahan dielektrik yang seakan-akan seperti suatu resistansi yang terhubung di antara kedua kawat penghantar (dapat dilihat pada Gambar 2.7) . Hal ini dikenal sebagai konduktansi saluran (dengan satuan picomho persatuan panjang (p

/satuan panjang) atau siemens (S)).

Leakage Current in Transmission Line

Distributed Conductance

Gambar 2.7. Distributed Conductance

2.6 Impedansi Saluran Transmisi Besaran-besaran terdistribusi seperti induktansi, kapasitansi, resistansi dan konduktansi merupakan parameter primer suatu saluran transmisi yang terdapat dalam semua jenis saluran, terlepas apakah pada saat itu saluran tersebut dihubungkan atau tidak dengan sumber sinyal. Tetapi ada juga parameter yang penting dari saluran transmisi yang disebut “impedansi saluran” [4,6]. Gelombang yangn merambat pada saluran transmisi yang panjangnya tak berhingga, tidak akan mempengaruhi apa yang ada di ujung saluran. Perbandingan antara tegangan dan arus di ujung masukan saluran sesungguhnya dapat dianggap sama dengan perbandingan antara tegangan dan arus setelah

mencapai ujung lainnya. Dapat diartikan bahwa arus dan tegangan di antara kedua kawat penghantar saluran itu memandang saluran transmisi sebagai suatu impedansi. Impedansi inilah yang disebut “impedansi saluran (Zo)” [4,6]. Zo =

tegangan forward …………………………………………(2.5) arus forward

Jadi dapat dikatakan bahwa impedansi saluran adalah impedansi yang diukur di ujung saluran transmisi yang panjangnya tak berhingga. Bila daya dirambatkan pada saluran transmisi dengan panjang tak berhingga, maka daya itu akan diserap seluruhnya di sepanjang saluran. Tegangan dan arus akan menurun di sepanjang saluran sebagai akibat bocornya arus pada kapasitansi antar penghantar dan hilangnya tegangan pada induktansi saluran[1]. I

1

V

Zo

2 Zo = V/I

1'

I’

V’

Zo

2' Zo = V’/I’

1

1'

Zo

Zo

2

2'

Gambar 2.8. Pengukuran Impedansi Saluran

Pada Gambar 2.8, diperlihatkan bahwa impedansi yang dipandang pada titik 1’-2’ (jarak titik 1’-2’ ke 1-2 berhingga) ke arah kanan adalah sebesar Zo juga, tetapi dengan tingkat tegangan dan arus yang lebih kecil dibandingkan dengan tegangan pada titik 1-2. Sehingga bila impedansi pada titik 1’-2’ digantikan dengan impedansi beban sebesar Zo, maka impedansi di titik 1-2 akan sebesar Zo juga[4,6].

Impedansi karakteristik saluran tanpa rugi-rugi (loseless-line) dapat dituliskan sebagai [4]:

Zo =

L [Ω/m] …………………………………………………..(2.6) C

di mana: L = induktansi total kedua kawat penghantar sepanjang saluran l (Henry) C = kapasitansi antar kedua kawat penghantar dalutan sepanjang l (Farad) Besar impedansi karakteristik suatu saluran transmisi maupun bumbung gelombang berbeda-beda dan nilainya ditentukan oleh ukuran fisik penampang dan bahan dielektrik yang digunakan sebagai isolator. Adapun impedansi karakteristik saluran transmisi dapat dilihat pada Tabel 2.2 [4] :

Tabel 2.2. Impedansi Karakteristik Saluran Transmisi Jenis Saluran

Zo [Ω]

L [H/m]

Twin Lead

120 2 D ln d k

µ 2D ln π d

Coaxial

60 D ln k d

µ D ln 2π d

Balanced Shielded

120  1 − σ 2  ln 2v 2 k  1+σ  v=h/d

Microstrip/Strip line

σ =h/D

377  T    et  W 

C [F/m]

µε ln

2D d

2µε D ln d

di mana: D = jarak antar konduktor (pada twist pair) atau diameter konduktor outer (pada coaxial dan balanced shielded) (meter) d

=

diameter konduktor inner (meter)

h

=

jarak antar konduktor (pada balanced shielded) (meter)

k

=

konstanta dielektrik bahan isolator

ε

=

permitivitas

µ

=

permeabilitas

et

=

konstanta dielektrik relatif pada PCB (printed cabling board)

T

=

ketebalan dari PCB

W =

2.7

lebar dari konduktor stripline atau microstrip

Persamaan Umum Saluran Transmisi Agar dapat menentukan atau mencari distribusi tegangan dan arus di

sepanjang

saluran

transmisi,

maka

terlebih

dahulu

kita

harus

dapat

menggambarkan sifat sifat atau karakteristik listrik saluran transmisi dalam bentuk sebuah model atau rangkaian ekivalennya. Bila kita potong suatu elemen kecil dari saluran transmisi yaitu sepanjang Δx yang mengandung resistansi sebesar R.Δx ohm, induktansi L.Δx,kapasitansi C.Δx farad dan G.Δx, maka akan diperoleh seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.9[6]

L.Δx i(x,t)

i(x+Δx,t)

R.Δx

V(x,t)

V(x+Δx,t) G.Δx

C.Δx

Δx

Gambar 2.9 Potongan Elemen Saluran Transmisi Sepanjang Δx

Dengan menggunakan aturan Hukum Kirchoff Voltage (KVL) dan Hukum Kirchoff Current, kita dapat menuliskan [6] : v(x, t) − R. ∆x. i(x, t) − L. ∆x

∂i(x,t) ∂i

i(x, t) − G. ∆x. v(x + ∆x, t) − C. ∆x

− v(x + ∆x, t) = 0 ∂v(x+∆x,t) ∂t

(2.7)

− i(x + ∆x, t) = 0

(2.8)

Dengan membagi Persamaan (2.7) dan Persamaan (2.8) terhadap Δx dan membuat limit Δx→0 maka kita dapat menuliskan kembali kedua persamaan tersebut menjadi : ∂v(x,t) ∂x

∂v(x,t) ∂x

= −R. i(x, t) − L

= −G. v(x, t) − C

∂i(x,t)

(2.9)

∂i(x,t)

(2.10)

∂t

∂t

Kedua persamaan ini merupakan persamaan saluran transmisi dalam kawasan waktu (time domain). Untuk kondisi steady state sinusoidal, kedua persamaan ini dapat dituliskan menjadi [6] : 𝛿𝑉(𝑥) 𝛿𝑥

𝛿𝐼(𝑥) 𝛿𝑥

= −𝐼(𝑥). (𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)

= −𝑉(𝑥). (𝐺 + 𝑗𝜔𝐶)

(2.11) (2.12)

Bila R+jωL = Z dan G+jωC = Y maka Persamaan (2.11) dan Persamaan (2.12) dapat ditulis menjadi : 𝛿𝑉(𝑥) 𝛿𝑥

𝛿𝐼(𝑥) 𝛿𝑥

= −𝑍. 𝐼(𝑥)

= −𝑌. 𝑉(𝑥)

(2.13) (2.14)

Untuk memperoleh bentuk bentuk tegangan dan arus sepanjang saluran, kita harus menyelesaikan Persamaan Differensial Persamaan (2.13) dan Persamaan (2.14). Hal ini dilakukan dengan cara mengeliminasi I(x) dari Persamaan (2.13) yaitu dengan mendifferensialkan Persamaan (2.13) kemudian mensubstitusikan Persamaan (2.14) kedalamnya sehingga diperoleh : 𝛿 2 𝑉(𝑥) 𝛿2𝑥

= −𝑍𝑌. 𝑉(𝑥)

(2.15)

Penyelesaian dari Persamaan (2.15) memiliki penyelesaian dalam bentuk fungsi eksponensial seperti berikut ini : 𝑉(𝑥) = 𝐴. 𝑒 −𝑥√𝑍𝑌 + 𝐵. 𝑒 𝑥√𝑍𝑌

(2.16)

Persamaan (2.16) di atas merupakan persamaan bentuk tegangan sepanjang saluran transmisi di mana A dan B merupakan suatu konstanta yang merepresentasikan amplitudo tegangan. Untuk memperoleh persamaan arus sepanjang saluran, dilakukan dengan mensubstitusikan Persamaan (2.16) ke dalam Persamaan (2.13) sehingga [6] : 𝐼(𝑥) = −

𝜕𝑉(𝑥) 𝑍𝜕𝑥

(2.17)

Differensiasi Persamaan (2.16) adalah : 𝜕𝑉(𝑥) 𝜕𝑥

= √𝑍𝑌 �−𝐴. 𝑒 −𝑥√𝑍𝑌 + 𝐵. 𝑒 𝑥√𝑍𝑌 �

(2.18)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (2.18) ke dalam Persamaan (2.17) diperoleh Persamaan arus sepanjang saluran sebagai berikut : 𝐼(𝑥) = −

𝜕𝑉(𝑥) = √𝑍𝑌 �𝐴. 𝑒 −𝑥√𝑍𝑌 − 𝐵. 𝑒 𝑥√𝑍𝑌 � 𝑍𝜕𝑥 𝐼(𝑥) =

1

�𝑍�𝑌

�𝐴. 𝑒 −𝑥√𝑍𝑌 − 𝐵. 𝑒 𝑥√𝑍𝑌 � (2.19)

Persamaan (2.19) merupakan persamaan umum dari arus suatu gelombang yang merambat di sepanjang saluran transmisi, di mana A dan B merupakan konstanta yang merepresentasikan amplitudo tegangan dari gelombang. Besaran √𝑍𝑌 pada Persamaan (2.16) dan Persamaan (2.19) di atas dinamakan “konstanta

propagasi” yang disimbolkan dengan “γ” (dibaca : gamma). Konstanta propagasi

ini menunjukkan adanya perubahan phasa tegangan dan arus terhadap perubahan posisi x pada saluran. Bentuk γ biasanya berupa bilangan kompleks yaitu [6] : 𝛾 = √𝑍𝑌 = �(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿)(𝐺 + 𝑗𝜔𝐶) atau 𝛾 = α+jβ

(2.20)