BAB II DASAR TEORI
Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi Bervariasi Terbatas. Pada BAB II ini dibahas mengenai sifat-sifat bilangan real, topologi bilangan real, barisan, limit dan kekontinuan fungsi.
2.1 Sifat-sifat dan Topologi Bilangan Real Sifat-sifat bilangan real yang akan dibahas meliputi pengertian dan sifatsifat nilai mutlak. Selain sifat-sifat bilangan real, juga akan dibahas topologi bilangan real.
Definisi 2.1.1 (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk sebarang a ∈ ℝ , nilai mutlak , dituliskan dengan a , didefinisikan dengan a , jika a > 0, a = 0, jika a = 0, − a , jika a < 0.
Sebagai contoh |3| = 3, |-7| = - (-7) = 7, dan |0| = 0.
6
7
Teorema 2.1.2 (Darmawijaya, S., 2006). Untuk setiap x, y, dan z bilangan real, berlaku sifat-sifat sebagai berikut: i.
| x |≥ 0 x = 0 jika dan hanya jika x = 0 .
ii.
−x = x .
iii. xy = x y . iv. Jika y ≥ 0 , maka x ≤ y jika dan hanya jika − y ≤ x ≤ y . v. − x ≤ x ≤ x .
Bukti : (i) Dari Definisi 2.1.1, || 0 untuk setiap . Jika 0 , menurut Definisi 2.1.1 diperoleh || 0 . Sebaliknya, jika 0 , maka || 0 atau equivalen dengan || 0 berakibat 0. (ii) Jika 0, | 0| 0 |0|. Jika 0, maka – 0 sehingga | | ||. Jika 0 maka | | ||. (iii) Jika salah satu 0 atau 0 maka mudah dipahami bahwa | | ||| |. Jika 0 dan 0 , atau 0 dan 0 , maka 0 sehingga | | ||. | |. Jika 0 dan 0 , maka 0 sehingga | | ||| |. (iv) Dari || diperoleh dan yang berakibat dan yang ekuivalen dengan . (v) Jelas bahwa || 0 sehingga menurut (iv), diperoleh || ||. □
8
Teorema 2.1.3 (Pertidaksamaan Segitiga) (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk setiap x , y ∈ ℝ , berlaku.| | || | |.
Bukti : 0 | |
= x 2 + 2 xy + y 2 ≤| x |2 +2 | xy | + y 2 =| x |2 +2 | x | . | y | + | y |2 = (| x | + | y |) 2 Jadi terbukti | | || | |. □
Teorema 2.1.4 (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk setiap a dan b ∈ ℝ berlaku i.
x− y ≤ x + y .
ii.
x − y ≤ x− y .
Bukti: (i) Menurut hukum pertidaksamaan segitiga diketahui bahwa x + y ≤ x + y , subtitusikan y dengan − y , sehingga diperoleh x + (− y ) ≤ x + (− y ) ⇔ x − y ≤ x + −y ⇔ x − y ≤ x + y , karena | y |=| − y | . (ii) Karena
x = x − y + y , maka menurut hukum pertidaksamaan segitiga,
diperoleh |x |=| ( x − y) + y |≤| x − y | + | y | yang berarti | x | − | y |≤| x − y | .
9
Karena y = y − x + x , maka menurut hukum pertidaksamaan segitiga, diperoleh
| x | − | y |≥ − | x − y | .
|y |= ( y − x) + x ≤ y − x + | x |
yang
| x|− y ≤ x− y
| x | − | y |≥ − | x − y |
dan
berarti
sehingga
Karena diperoleh
| x | − | y | ≤ x − y .□
Selanjutnya akan dibahas tentang batas bawah dan batas atas dari suatu himpunan bilangan real. Definisi 2.1.5 (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A ⊆ ℝ dan A ≠ φ. i.
Bilangan u ∈ ℝ disebut batas atas A , jika a ≤ u untuk semua a ∈ A .
ii. Bilangan v ∈ ℝ disebut batas bawah A , jika v ≤ a untuk semua a ∈ A . iii. Himpunan A yang mempunyai batas atas dikatakan terbatas ke atas. iv. Himpunan A yang mempunyai batas bawah dikatakan terbatas ke bawah. v. Himpunan A dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.
Contoh 2.1.5 Diberikan himpunan A = {a ∈ | a < 5}, himpunan A terbatas ke atas, karena terdapat x ∈ ,yaitu x a untuk setiap a ∈ A ( x merupakan batas atas dari himpunan A ). Diperoleh x 5, yaitu x = 5, 6, …, atau dengan kata lain contoh batas atas dari himpunan A adalah x1 = 5, x2 = 6, x3 =7,999, x4 = 100, … .
10
Sehingga dapat dibentuk himpunan semua batas atas dari himpunan A, misalkan X, dengan X = {x ∈ | x 5}.
Berikut ini diberikan pengertian tentang supremum dan infimum. Definisi 2.1.6 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan A ⊆ dan A ∅. i. Jika A terbatas ke atas, maka ada bilangan u yang disebut supremum (batas atas terkecil) dari himpunan A, ditulis sup A, jika memenuhi: a. u batas atas dari himpunan A. b. Jika k sebarang batas atas A, maka u k. ii. Jika A terbatas ke bawah, maka ada bilangan v yang disebut Infimum (batas bawah terbesar) dari A, ditulis inf A, jika memenuhi: a. v batas bawah himpunan A. b. Jika l sebarang batas bawah A, maka v l.
Contoh 2.1.6 Diberikan himpunan A = [1, 2) ⋃ {3, 4}, himpunan A merupakan himpunan yang terbatas dengan infimum 1 dan supremum 4.
Teorema 2.1.7 (Supremum dan infimum) (Darmawijaya, S., 2006). i. u supremum himpunan A jika dan hanya jika a. u batas atas A, yaitu untuk setiap a ∈ A berakibat a u, dan b. untuk setiap bilangan > 0 terdapat a’ ∈ A sehingga u – < a’ u.
11
ii. v infimum himpunan A jika dan hanya jika a. v batas bawah A, yaitu untuk setiap a ∈ A berakibat a v, dan b. untuk setiap bilangan > 0 terdapat a’’ ∈ A sehingga v a’’ < v + .
Bukti: i. (⟹) Karena u supremum (batas atas terkecil) himpunan A, maka u – bukan batas atas himpunan A. Hal ini berarti ada a’ ∈ A sehingga u – < a’. Selanjutnya karena u batas atas terkecil himpunan A, maka setiap a ∈ A berlaku a u, khususnya a’ u. Dengan demikian terbukti ada a’ ∈ A sehingga u – < a’ u. (⟸ ) Karena diketahui bahwa a u untuk setiap a ∈ A dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a’ ∈ A sehingga u – < a’ diperoleh u batas atas dan tak ada batas atas u1 (yang lain) dengan u1 < u. Sebab jika ada maka dengan mengambil = u – u1 diperoleh suatu kontradiksi, yaitu ada a’’ ∈ A sehingga u - < a’’ atau u1 = u – (u – u1) < a’’. Dengan kata lain terbukti bahwa u merupakan supremum. ii.
(⟹) Karena v infimum (batas bawah terbesar) himpunan A, maka v + bukan batas bawah himpunan A, hal ini berarti ada a’’ ∈ A sehingga a’’ < v + . Selanjutnya karena v batas bawah terbesar himpunan A, maka setiap a ∈ A berlaku a v, khususnya v a’’. Dengan demikian terbukti ada a’’ ∈ A sehingga v a’’ < v + . (⟸ ) Karena diketahui bahwa a v untuk setiap a ∈ A dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a’’ ∈ A sehingga a’’ < v + diperoleh v batas bawah
12
dan tak ada batas bawah v1 (yang lain) dengan v1 > v. Sebab jika ada maka dengan mengambil = v1 - v diperoleh suatu kontradiksi, yaitu ada a’’’ ∈ A sehingga a’’’ < v + 1 atau a’’’ < v + (v1 – v) = v1. Dengan kata lain terbukti bahwa v merupakan infimum.
Teorema 2.1.8 (Aksioma Supremum pada ℝ )(Bartle dan Sherbert, 2000). Setiap himpunan bagian tak kosong yang terbatas ke atas di dalam ℝ mempunyai supremum.
Bukti: Misalkan himpunan A ⊂ , A ∅, dan A terbatas ke atas, serta u = batas atas A, sehingga a u untuk setiap a ∈ A, dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a’ ∈ A sehingga u – < a’. Andaikan terdapat batas atas lain yang lebih kecil, misalnya u1 dengan u1 < u, maka dengan mengambil 1 = u – u1 sehingga ada a” ∈ A. Sehingga u - < a’’ atau u1 = u – (u – u1) < a’’, sedangkan untuk u1 batas atas terkecil seharusnya u1 a, sehingga pengandaian salah, yaitu tidak terdapat batas atas yang lebih kecil dari pada batas atas u. Dengan kata lain terbukti bahwa u merupakan supremum A.
Teorema 2.1.9 (Akibat Aksioma Supremum) (Bartle dan Sherbert, 2000). Setiap himpunan bagian tak kosong dan terbatas ke bawah di dalam ℝ mempunyai infimum.
13
Bukti: Sifat infimum dapat diturunkan dari sifat supremum. Misalkan himpunan A ⊂ , A ∅, dan A mempunyai batas bawah. Didefinisikan himpunan A1 = {-a : a ∈ A}. Akan dibuktikan jika A terbatas bawah maka A1 terbatas atas. Ambil sebarang batas bawah A, misalkan w, maka w a untuk setiap a ∈ A. Sehingga –w -a (untuk setiap -a ∈ A1), jadi –w batas atas A1. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa –u = infimum A. Karena u = sup A1, maka u -a untuk setiap -a ∈ A1. Sehingga (-u) a untuk setiap a ∈ A. Jadi – u merupakan batas bawah A sehingga –u inf A.
(2.1)
Misalkan w = inf A maka w a untuk setiap a ∈ A, sehingga –w -a untuk setiap -a ∈ A1. Jadi –w batas atas A1 sehingga -w sup A1 = u. Oleh karena itu inf A = w - u
(2.2)
dari pertidaksamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh inf A = -u. Jadi didapatkan akibat aksioma supremum sebagai berikut; Setiap himpunan bilangan nyata tak kosong dan terbatas ke bawah mempunyai infimum.
14
Sifat himpunan bilangan real yang lain adalah sifat Archimedes. Berikut diberikan sifat Archimedes pada himpunan bilangan real.
Teorema 2.1.10 (Sifat Archimedes) (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika x ∈ ℝ , maka terdapat bilangan n ∈ ℕ sehingga x < n .
Bukti: Akan dibuktikan dengan kontradiksi.
Diambil sebarang x ∈ ℝ .
Andaikan tidak terdapat bilangan n ∈ ℕ sehingga x < n . Berarti untuk setiap n ∈ ℕ berlaku x ≥ n , akibatnya
x merupakan batas atas
ℕ.
Dengan aksioma
supremum, karena ℕ ≠ φ , ℕ ⊂ ℝ dan ℕ terbatas ke atas, maka ℕ mempunyai supremum katakan u =sup ℕ . Lemma 2.1.6 terdapat
Jika diambil bilangan ε = 1 , maka menurut
m ∈ ℕ sehingga u − 1 < m ≤ u
yang mengakibatkan
u < m + 1 ≤ u + 1 . Karena m + 1 ∈ ℕ , terjadi kontradiksi. Pengandaian salah dan
harus diingkar. Jadi, yang benar untuk setiap x ∈ ℝ , terdapat n ∈ ℕ , x < n . □ Selanjutnya akan dibahas mengenai pengertian dan sifat interval di dalam
ℝ . Untuk sebarang a, b ∈ ℝ , didefinisikan interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b sebagai berikut (Pfeffer W.F, 1993):
[ a, b] = { x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b} , ( a, b ) = { x ∈ ℝ : a < x < b} ,
[ a, b ) = { x ∈ ℝ : a ≤ x < b} , dan ( a, b] = { x ∈ ℝ : a < x ≤ b}
15
berturut-turut disebut interval tertutup, terbuka, dan setengah terbuka di dalam ℝ . Interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b di dalam ℝ dikatakan non degenerate
jika a < b , selanjutnya interval tertutup non
degenerate disebut sel (cell). Interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b di dalam ℝ mempunyai panjang interval yang dituliskan dengan ℓ ([ a , b ]) , ℓ ([ a, b ) ) , ℓ ( ( a, b ]) , atau ℓ ( ( a , b ) ) yang didefinisikan ℓ ( [ a , b ] ) = ℓ ([ a , b ) ) = ℓ ( ( a , b ] ) = ℓ ( ( a , b ) ) = b − a .
Selanjutnya akan dikenalkan topologi pada ℝ , seperti kedudukan titiktitik di dalam himpunan, sifat-sifat himpunan, dan lainnya.
Definisi 2.1.11 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diketahui a ∈ ℝ , r > 0 . Persekitaran a dengan radius r , dinotasikan N r ( a ) , didefinisikan N r (a) = { x ∈ ℝ : x − a < r}.
( | ) Gambar 2.1. persekitaran a dengan radius r Dengan demikian, untuk a ∈ ℝ , r > 0 , diperoleh N r (a ) = ( a − r , a + r ) .
16
Contoh 2.1.11
1. Interval terbuka ( , 1 ) merupakan persekitaran 1 dengan radius r = , dapat ditulis dengan !" (1). #
2. Interval terbuka (a, b) merupakan persekitaran dapat ditulis dengan !()* ( +
$%&
$%&
dengan radius r =
&'$
,
).
Definisi 2.1.12 (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A ⊂ ℝ . i.
Titik x ∈ A disebut titik-dalam (interior-point) himpunan A jika ada bilangan r > 0 sehingga N r ( x ) ⊂ A .
ii. Titik x ∈ A disebut titik-limit (limit-point) atau titik cluster himpunan A jika untuk sebarang bilangan r > 0 berlaku N r ( x) ∩ A − { x} ≠ ∅ . iii. Titik x ∈ A disebut titik-batas (boundary-point) himpunan A jika untuk sebarang bilangan r > 0 maka N r ( x ) ∩ A ≠ ∅ dan N r ( x) ∩ Ac ≠ ∅ .
Contoh 2.1.12 (i) Misal , 1,20 ∪ 23,45. Setiap 6 ∈ 1,2 merupakan titik-dalam himpunan A,
karena ada bilangan 7 dengan 0 7 8 9 . :;<26 1,2 65 sehingga berlaku
N δ ( x ) ⊂ A. Sedangkan 2,3,4 ∈ , bukan titik-dalam himpunan A.
(ii) Misal , 1,20 ∪ 23,45. Setiap 6 ∈ =1,20 merupakan titik-limit himpunan A, sebab untuk setiap 0 berlaku N r ( x) ∩ A − { x} ≠ ∅ .
17
(iii) Misal , 1,20 ∪ 23,45 . Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 4 merupakan titik 0
diperoleh
N r ( p), (p = 1, 2,3, 4) selalu memuat paling sedikit satu anggota A
dan satu
batas
himpunan
A,
sebab
untuk
setiap
bilangan
anggota Ac .
Definisi 2.1.13 (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A ⊂ ℝ . i. Himpunan A o merupakan himpunan semua titik-dalam pada himpunan A . ii. Himpunan A ' merupakan himpunan semua titik-limit pada himpunan A . iii. Himpunan ∂( A) merupakan himpunan semua titik-batas himpunan pada A .
Definisi 2.1.14 (Walter Rudin,1976). Diketahui himpunan A ⊂ ℝ . i.
Himpunan A dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya merupakan titik-dalam A .
ii. Himpunan A dikatakan tertutup (closed) jika Ac terbuka.
Definisi 2.1.15 (Walter Rudin,1976). Diketahui himpunan A, B ⊆ ℝ .
Himpunan A dan B dikatakan tidak saling
tumpang-tindih (non-overlapping) jika Ao ∩ Bo = ∅ .
18
Definisi 2.1.16 (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan
A⊂ℝ .
Titik p disebut titik terasing ( isolated point)
himpunan A , jika p ∈ A dan p bukan titik-limit himpunan A .
Contoh 2.1.16 Misal , 1,20 ∪ 23,45. Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 4 merupakan titik batas himpunan A, sebab untuk setiap bilangan 0 diperoleh N r ( p), (p = 1, 2,3, 4) selalu memuat paling sedikit satu anggota A dan satu anggota Ac . Bilangan 3 dan 4 masing-masing merupakan titik-terasing himpunan A, sebab dengan mengambil 1/2 , diperoleh N1/2 (3) ∩ A = {3}, dan N1/2 (4) ∩ A = {4} . Selain itu 3 dan 4 juga bukan titik-limit himpunan A.
2.2 Limit Fungsi Berikut akan dibahas mengenai konsep limit fungsi yaitu definisi limit fungsi di suatu titik, sifat-sifat limit fungsi, dan definisi limit kiri dan limit kanan suatu fungsi.
Definisi 2.2.1 (Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., 2000) Misalkan A ⊆ , suatu titik c ∈ disebut titik cluster jika untuk setiap 7 > 0 terdapat paling sedikit satu titik x ∈ A, x c, sedemikian sehingga | x – c| < 7. Sebagai contoh, misalkan A = (0, 1], sehingga A’= {x : 0 x 1} merupakan himpunan titik cluster dari A.
19
Definisi 2.2.2 (Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., 2000) Diberikan fungsi f : A ⊆ → dan c titik cluster A . Bilangan L ∈ disebut limit fungsi f di c, jika untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap
x ∈ A dengan 0 < x − c < δ , maka
f ( x) − L < ε .
Limit fungsi f
dengan nilai L pada definisi 2.2.2 diatas dapat ditulis
dengan, limC→D E F Contoh 2.2.2 Misalkan fungsi f : A ⊆ → , c titik cluster A, dan f (x) = b untuk semua x ∈ . Akan ditunjukkan bahwa limC→D E G. Jika diambil sebarang > 0 terdapat 7 > 0, misalkan 7 = 1, maka jika 0 < |x – c| < 1, diperoleh |f(x) – b| = |b – b| = 0 < . Karena diambil sebarang sehingga dari definisi 2.2.2 diperoleh limC→D E G.
Contoh 2.2.3 Diberikan
E 2 1 ,
fungsi
∈ .
Akan
ditunjukan
bahwa
limC→ 2 1 5. Misal diberikan I 0. Akan ditemukan 7 0 sedemikian hingga jika 0 <| x − 3 |< δ maka f ( x) − L < ε , dimana 2 x − 1 = 5 . Sekarang didapatkan bahwa f ( x) − 5 = (2 x − 1) − 5 = 2 x − 6 = 2 x − 3 dan ini akan akan kurang dari ε jika x − 3 < jika 0 < x − 3 < δ =
ε 2
ε 2
. Dengan demikian dapat diambil δ =
ε 2
sehingga
maka f ( x) − 5 = 2 x − 3 < 2δ = ε . Sehingga untuk ε > 0
20
dapat
J
dipilih 7 0 sedemikian
sehingga
0 < x−3 <δ
jika
maka
f ( x) − 5 =< ε . Jadi benar bahwa limC→ 2 1 5.
Teorema 2.2.4 (Parzynski, W. R. dan Zipse, P. W, 1982) Jika L = limC→$ E dan G = limC→$ K maka limC→$ E K = L+G.
Bukti: Misalkan diambil bilangan > 0. Karena L = limC→$ E , terdapat 7 1 > 0 L
sedemikian sehingga jika 0 < |x – a| < 7 1 maka |f (x) – L| < . Karena G = limC→$ K, terdapat 7 2 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x – a| < 7 2 maka |g (x) L
– G| = | G - g(x) | < . Misalkan 7 = min(7 1, 7 2), maka jika 0 < |x – a| < 7, diperoleh |(f(x) – g(x)) – ( L – G)| = |( f(x) – L )+( G - g(x)) | | f(x) – L | + | G - g(x) | =
L
L
+ = .
Sehingga limC→M E K) = L + G. □ Selain definisi tentang limit di suatu titik, berikut diberikan definisi tentang limit kanan dan limit kiri suatu fungsi. Definisi 2.2.5 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f : [ a, b] → ℝ . i.
Fungsi
f
dikatakan mempunyai limit kanan di c, jika terdapat L ∈ ℝ ,
sehingga untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 dengan sifat untuk
21
setiap x ∈ [ a, b ) , x < c < x + δ , berlaku
f ( x) − L < ε
dan dituliskan
lim f ( x) = L.
x → c+
ii.
Fungsi
f
dikatakan mempunyai
limit kiri di c,
jika terdapat K ∈ ℝ ,
sehingga untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 dengan sifat untuk setiap x ∈ ( a, b ] , x − δ < c < x, berlaku
f ( x) − K < ε dan dituliskan
lim f ( x) = K .
x → c−
Berdasarkan Definisi 2.2.4, jika fungsi f mempunyai limit kanan untuk setiap x ∈ [ a, b ) , dituliskan f (c + ) = lim+ f ( x ) dan jika fungsi f mempunyai limit x→c
kiri untuk setiap x ∈ ( a, b ] , dituliskan f (c − ) = lim− f ( x ) . x→c
Teorema 2.2.5. Diberikan fungsi f , g :[a, b] → ℝ . Jika lim+ f ( x) = K dan lim+ g ( x) = L , maka x →c
x →c
berlaku i. ii.
lim ( f + g ) ( x) = K + L.
x →c+
untuk sebarang α ∈ ℝ , lim+ (α f ) ( x) = α K . x →c
Teorema 2.2.7. Diberikan fungsi f , g :[a, b] → ℝ . Jika lim− f ( x) = K dan lim− g ( x) = L , maka x →c
berlaku
x →c
22
i. ii.
lim ( f + g ) ( x) = K + L.
x →c−
untuk sebarang α ∈ ℝ , lim− (α f ) ( x) = α K . x →c
2.3 Fungsi Kontinu Selanjutnya akan dibahas mengenai konsep kekontinuan fungsi, meliputi definisi fungsi kontinu di suatu titik dan fungsi kontinu pada himpunan.
Definisi 2.3.1 (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f : A ⊆ ℝ → ℝ dikatakan kontinu di c ∈ A jika untuk sebarang bilangan
ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ A dengan x − c < δ berlaku f ( x ) − f (c ) < ε .
Dengan kata lain Fungsi f : A ⊆ ℝ → ℝ dikatakan kontinu di N ∈ , jika diberikan persekitaran Nε ( f (c)) dari EN maka terdapat Nδ (c) dari N sehingga jika berada di A ∩ Nδ (c) , maka E berada di Nε ( f (c)) . Jika , adalah suatu titik cluster , , maka definisi tersebut sebanding dengan definisi limit yang menunjukan bahwa E kontinu di N jika dan hanya jika f (c ) = lim( x ) , x →c
Jadi, jika N adalah titik cluster ,, maka tiga kondisi harus dipenuhi: (i) E harus terdefinisi di N, (ii) limit E di N harus ada di , dan (iii) nilai EN ada dan sama dengan limC→D E.
23
Contoh 2.3.1
Diberikan fungsi E , maka E kontinu di 2 karena
(i) E terdefinisi di 2, yaitu E2 2 2.
(ii) limC→ E limC→ 2.
(iii) Berdasarkan (i) dan (ii) dapat diketahui bahwa nilai E sama
dengan limC→ E limC→ .
Definisi 2.3.2 (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f : A ⊆ ℝ → ℝ dikatakan kontinu pada A jika untuk setiap x ∈ A , fungsi f kontinu di x.
Contoh 2.3.2 Fungsi E 3 adalah fungsi kontinu pada selang , G dimana , G ∈ . Misal ambil sebarang selang , G, yaitu (-3,5) dengan 3 ′ 5 untuk ∈ . Maka jelas untuk setiap E′ memenuhi definisi 2.3.1 sedemikian hingga E P limC→CP E untuk setiap P ∈ 3,5.
2.4 Fungsi Monoton dan Fungsi Terbatas Berikut ini diberikan definisi mengenai Fungsi Monoton dan Fungsi Terbatas. Terlebih dahulu akan dibahas tentang Fungsi Monoton. Kemonotonan fungsi pada suatu selang dapat dilihat dengan membandingkan nilainya di setiap titik pada selang itu. Secara intuitif, suatu fungsi yang nilainya semakin besar
24
adalah monoton naik, sedangkan fungsi yang nilainya semakin kecil adalah monoton turun. Fungsi Monoton pada suatu selang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.4.1 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f : [ a, b] → ℝ , i. Fungsi f dikatakan turun monoton (monotonically decreasing) pada [a, b] , jika untuk setiap x, y ∈ [a, b] , dengan x < y , berlaku f (x) ≥ f ( y) . ii. Fungsi f dikatakan naik monoton (monotonically increasing) pada [a, b] , jika untuk setiap x, y ∈ [a, b] , dengan x < y , berlaku f (x) ≤ f ( y) . iii. Fungsi f disebut fungsi monoton (monotonic function) pada [a, b] , jika fungsi f naik monoton atau turun monoton. Selanjutnya akan dibahas mengenai definisi Fungsi Terbatas pada [a, b] dan contoh untuk memahami definisi yang diberikan.
Definisi 2.4.2 (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f : [ a, b] → ℝ dikatakan terbatas (bounded), jika
terdapat M > 0 ,
dengan sifat f ( x) ≤ M , untuk setiap x ∈ [ a , b ] .
Contoh 2.4.3 Misalkan didefinisikan fungsi f pada interval A = [1, 4] dengan f (x) = x2+3, fungsi f(x) terbatas di A, karena untuk x ∈ [1, 4] dapat diambil M = 20 sehingga |f(x)| < 20 = M.
25
Gambar 2.2. Grafik Fungsi f ( x) = x 2 + 3
2.5. Turunan (Derivative) Fungsi Selanjutnya akan dibahas mengenai konsep turunan (derivative) fungsi, meliputi definisi turunan (derivative) fungsi di suatu titik, turunan (derivative) fungsi pada himpunan, dan beberapa sifatnya.
Definisi 2.5.1 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f : [ a, b] → ℝ dan titik c
(a,b). Bilangan L
derivative fungsi f di titk c jika untuk setiap setiap x∈ [a,b] dengan 0<
disebut
terdapat δ >0 sehingga untuk
< δ berlaku
f ( x) − f (c) − L < ε. x −c Selanjutnya bilangan L disebut derivative fungsi f di titik c dan ditulis dengan f’(c)=L. Derivative fungsi f dititik c diberikan dengan
f '(c) = lim x→c
f (x) − f (c) . x −c
26
Fungsi f dikatakan terdeferensial pada [a,b] jika fungsi f mempunyai derivative disetiap titik c∈ [a,b]. Selanjutnya fungsi f dikatakan terdeferensial kontinu pada [a,b] jika f mempunyai derivative disetiap titik di c∈ (a,b) dan f’ kontinu pada [a,b]. Himpunan fungsi-fungsi yang terdeferensial kontinu pada [a,b] ditulis
C1[a, b] .
Contoh 2.5.2 Akan ditentukan derivatif E untuk ∈ . Misalkan N di maka
f ( x ) − f (c) x2 − c2 ( x − c)( x + c) f '(c) = lim = lim = lim = lim( x + c) = 2c . x →c x → c x → c x →c x−c x−c x−c Jadi dalam hal ini fungsi E′ didefinisikan di semua dan E P 2 untuk ∈ . Misal diambil nilai untuk N 3, didapat derivative fungsi E di titik N 3 adalah E P 3 2.3 6.
Teorema 2.5.3 (Teorema Nilai Tengah) (Bartle dan Sherbert, 2000). Diketahui fungsi f : [ a, b] → ℝ kontinu pada
[ a, b]
jika x, y ∈[ a, b] , k ∈ℝ
dengan f ( x) < k < f ( y) maka terdapat c ∈[ a, b] sehingga f (c) = k .
Teorema 2.5.4 (Teorema Nilai Rata-Rata) (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika diketahui fungsi f : [ a, b] → ℝ kontinu pada [ a, b] dan terdeferensial pada
(a, b) maka terdapat c ∈(a, b) sehingga f (b) − f (a) = f '(c)(b − a).
27
Teorema 2.5.5 (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika E: S → T mempunyai sebuah turunan di N ∈ S, maka E kontinu di N
Bukti: untuk semua ∈ S, N diperoleh f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) = ( x − c) x−c Karena E′N ada, maka
(
f ( x ) − f (c ) lim ( f ( x) − f (c) ) = lim lim( x − c) x →c x →c x−c x →c ⇔ lim f ( x) − f (c) = f '(c).0
)
x →c
⇔ lim f ( x) − lim f (c) = 0 x →c
x →c
⇔ lim f ( x) = lim f (c) x →c
x →c
⇔ lim f ( x) = f (c) x →c
Karena lim f ( x ) = f (c ) , dengan demikian E kontinu di N . x →c
Teorema 2.5.6 (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika f : I → R terdeferensial di interval S , maka a)
f naik di S jika dan hanya jika f '( x) ≥ 0 untuk semua ∈ S
b)
f turun di S jika dan hanya jika f '( x) ≤ 0 untuk semua ∈ S
Bukti: a)
(⇒) Akan dibuktikan E fungsi naik. Andaikan f '( x) ≥ 0 untuk semua ∈ S. Jika x1 , x2 di S memenuhi x1 < x2 maka akan digunakan teorema nilai rata-
28
rata untuk E di interval tertutup j = [ x1 , x2 ] untuk memperoleh suatu titik N di
( x1 , x2 ) sedemikian hingga f ( x2 ) − f ( x1 ) = f '(c)( x2 − x1 ) Karena f '(c) ≥ 0 dan x2 − x1 > 0 sehingga f ( x2 ) − f ( x1 ) ≥ 0 , dengan kata lain f ( x2 ) ≥ f ( x1 ) . Karena f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) dan x1 < x2 untuk sebarang titiktitik di S, dengan demikian disimpulkan bahwa E naik di S.
(⇐) Akan dibuktian E′ 0 . Andaikan E terdeferensial dan naik di S . Untuk sebarang N ( N atau N) ∈ S ( untuk N ⟺ N 0 karena E fungsi naik didapat E EN ⟺ E EN 0 sehingga
f ( x ) − f (c ) ≥ 0 , dan untuk N ⟺ N 0 karena E fungsi naik didapat x−c E EN ⟺ E EN 0
sehingga
f ( x ) − f (c ) ≥0 x−c
),
maka
f ( x ) − f (c ) ≥ 0 . Selanjutnya, karena x−c f '(c) = lim x →c
f ( x ) − f (c ) dan x−c
f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) ≥ 0 ⇔ lim ≥ lim 0 x →c x →c x−c x−c f ( x ) − f (c ) ⇔ lim ≥0 x →c x−c Dapat disimpulkan bahwa E P 0. b)
(⇒) Akan dibuktikan E fungsi turun. Andaikan f '( x) ≤ 0 untuk semua ∈ S . Jika x1 , x2 ∈ I memenuhi x1 < x2 , maka akan digunakan teorema nilai rata-
29
rata untuk E di himpunan interval j = [ x1, x2 ] untuk memperoleh suatu titik N di ( x1 , x2 ) sedemikian hingga
f ( x2 ) − f ( x1 ) = f '(c)( x2 − x1 ) Karena f '(c) ≤ 0 dan x2 − x1 > 0 sehingga f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ 0 , dengan kata lain f ( x2 ) ≤ f ( x1 ) . Karena f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) dan x1 < x2 untuk sebarang titiktitik di S , dengan demikian disimpulkan bahwa E turun di S .
(⇐) Akan dibuktikan E′ 0 . Andaikan E terdeferensial dan naik di S . Untuk sebarang N ( N atau N ) ∈ S . Untuk N ⟺ N 0 karena E fungsi turun didapat E EN ⟺ E EN 0 sehingga
f ( x ) − f (c ) ≤ 0 , dan untuk N ⟺ N 0 karena E fungsi turun x−c didapat E EN ⟺ E EN 0 sehingga
f ( x ) − f (c ) ≤ 0 ), maka x−c
f ( x ) − f (c ) ≤ 0 . Selanjutnya, karena x−c f '(c) = lim x →c
f ( x ) − f (c ) dan x−c
f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) ≤ 0 ⇔ lim ≤ lim 0 x →c x →c x−c x−c f ( x ) − f (c ) ⇔ lim ≤0 x →c x−c Dapat disimpulkan bahwa E P 0. □
30
Contoh 2.5.7 Akan ditentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi E 6 5, ∈ . Selanjutnya dicari E′ , yaitu E P 2 3. Untuk E P 2 3 0 maka fungsi naik pada 3. Untuk E P 2 3 0 maka fungsi turun pada 3.
