BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP

BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut. (1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan masing-masing notasi. (2) Dapat memberikan tiga contoh konjektur dalam teori bilangan. (3) Dapat menjelaskan prinsip induksi matematika. (4) Dapat membuktikan pernyataan dalam teori bilangan dengan induksi matematika.

1.1 Notasi

Notasi merupakan kesepakatan (persetujuan, perjanjian) untuk suatu lambang tertentu sehingga mempunyai makna.

Contoh:

(1) (a,b) berarti faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b atau Greatest Common Divisor (GCD) (2) [a,b] berarti kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b atau Least Common Multipl (LCM)

a a (3) Simbol Legendre   berarti bilangan bulat lebih kecil atau sama dengan b b a a (4) Simbol Jacobi   berarti bilangan bulat lebih besar atau sama dengan b b 

(5) ……: membagi, misalnya 2 6 dibaca “dua membagi enam”, artinya 2 dapat membagi 6 dengan sisa nol atau tanpa sisa atau membagi habis. (6) x  : berarti bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x.

 2 2 3  = 2

 2  2 3  = 3

(7) Notasi yang berkaitan dengan operasi, misalnya sebagai berikut.

,, X , :, , .  : penjumlahan berulang

 : perkalian berulang.

(8) Notasi yang berkaitan dengan relasi atau hubungan, misalnya sebagai berikut.

, , , ,, , , , , , . (9) Notasi yang berkaitan dengan himpunan, misalnya sebagai berikut. N : Himpunan bilangan asli (Natural numbers, counting numbers)

Z : Himpunan bilangan bulat (Integers; Zahlen) Z  : Himpunan bilangan bulat positip R : Himpunan bilangan nyata (Real numbers). Q : Himpunan bilangan rasional (Rational numbers) C : Himpunan bilangan kompleks (Complex numbers)

Q x :Bilangan rasional tidak nol R x : Bilangan real tidak nol (Nonzero Real Numbers).

1.2 Konjektur

Dalam teori bilangan terdapat masalah-masalah yang belum terselesaikan atau belum terpecahkan, yang dinamakan konjektur. Konjektur (Conjecture = dugaan, perkiraan)

yaitu suatu pernyataan yang kebenarannya belum diketahui atau belum dapat dibuktikan. Konjektur yang terkenal, misalnya Konjektur Fermat, konjektur Lagrange, dan konjektur Goldbach.

(1) Konjektur Fermat adalah sebagai berikut. a. Untuk semua bilangan bulat x, maka x2  x  41 adalah bilangan prima, kecuali x  41

2 2  1 adalah bilangan prima. n

b.

c. Berikut adalah konjektur Fermat yang terkenal. Untuk n  3, tidak ada bilangan bulat positip x,y,z yang memenuhi xn  yn  zn. Konjektur ini disebut Fermat’s Last Theorem (teorema terakhir Fermat). Sampai Fermat meninggal, belum ditemukan bilangan bulat n yang memenuhi x n  yn  zn. (2) Konjektur Lagrange Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari empat bilangan kuadrat. Contoh 999  30 2  9 2  3 2  3 2 (3) Konjektur Goldbach Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima. 4  22 6  33 20  7  13 50  3  47 100  29  71

(4) Konjektur tentang bilangan perfek a. Banyaknya bilangan perfek adalah takhingga b. Semua bilangan perfek adalah genap

c. Jika 2n 1 adalah bilangan prima, maka (2

n-1

)(2n 1) adalah bilangan perfek.

Bilangan perfek adalah suatu bilangan bulat positip yang jumlah semua pembagi sejatinya yang positip sama dengan bilangan itu sendiri. Contoh: 6, 28, 496, 8128, dan 33.550.336.

Pembagi sejatinya 6 adalah 1,2, dan 3, di pihak lain 1  2  3  6 . Pembagi sejatinya 28 adalah 1,2,4,7, dan 14; di pihak lain 1  2  4  7  14  28 Pembagi sejatinya 496 adalah 1,2,…, dan 248, di pihak lain 1  2  ...  248  496 (5) Konjektur tentang Twin Primes (Pasangan Prima) Banyaknya pasangan prima (twin prime) adalah takhingga. Pasangan prima yaitu dua bilangan prima yang berselisih 2. Contoh: 3 dan 5; 5 dan 7; 11 dan 13; 17 dan 19; 29 dan 31; 41 dan 43. (6) Konjektur tentang pasangan dua bilangan bersekawan Terdapat takhingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan (Amicable). Dua bilagan bulat positip a dan b dikatakan amicable (bersekawan) jika jumlah pembagi sejati positip bilangan a  bilangan b, dan jumlah pembagi sejati positip bilangan b  bilangan a. Contoh: 220 dan 284; 1184 dan 1210; 17296 dan 18416. Jumlah pembagi sejati positip bilangan 220 adalah 284, di pihak lain jumlah pembagi sejati positip bilangan 284.adalah 220. Jumlah pembagi sejati positip bilangan 220 adalah 1  2  4  5  10  11  22  20  44  55  110  284

Jumlah pembagi sejati positip bilangan 284 adalah 1  2  4  71  142  220

1.3 Prinsip

Prinsip mengungkap sifat, definisi yang mendasari bagian lain. Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu.

1.3.1 Pinsip urutan

Prinsip urutan (WOP = Well Ordering Prinsiple) pada bilangan bulat menyatakan, jika a dan b adalah dua bilangan bulat berbeda maka dapat ditentukan hubungan a dan b, yaitu a  b atau a  b.

Z  = {x  Z x  1} atau Z  = {x  Z x  0} Q  = {x  Q x  0} R  = {x  R x  0} Perhatikan bahwa deskripsi Q  dan R  tidak dapat menggunakan relasi  .

Z  mempunyai sifat bahwa setiap A  Z  dan A   maka selalu ada bilangan bulat k  A sehingga k  x untuk semua x  A. Dikatakan bahwa k adalah elemen terkecil dari himpunan A. Di pihak lain, Q  dan R  tidak mempunyai elemen terkecil. Suatu himpunan S dikatakan terurut jika setiap A  S dan A   maka A mempunyai elemen terkecil. Himpunan bilangan asli adalah terurut, himpunan bilangan cacah (Whole number) adalah terurut, himpunan bilangan rasional positip tidak terurut. himpuna {2,7,9,10} terurut.

1.3.2 Prinsip Logika Matematika

(1) Pernyataan Berkuantor Pernyataan “Setiap x memenuhi y” tidak dapat dibuktikan dengan memberikan contohcontoh x yang memenuhi y. Tidak berlakunya pernyataan “Setiap x memenuhi y” dapat ditunjukkan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Pernyataan “Tidak setiap x memenuhi sifat y” dapat dibuktikan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y..

(2) Bukti Langsung Pembuktian secara langsung dilakukan berdasarkan pernyataan p yang diketahui, p diproses dengan sifat-sifat yang telah berlaku, akhirnya diperoleh pernyataan q. Pernyataan “Jika p maka q” dapat dibuktikan dengan mendasarkan pada pernyataan p yang diketahui kemudian diarahkan untuk memperoleh pernyataan P1, P2, P3, …, Pn.dan akhirnya diperoleh q.

p  P1  P2  P3  … Pn q

Prinsip modus ponens dan prinsip silogisme memberikan dasar konstruksi pembuktian langsung. Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.

p  q p  Jadi q.

Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.

pq qr  Jadi p  r

Pernyataan “Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil” dapat dibuktikan secara langsung.

(3) Bukti Tak langsung Pembuktian tak langsung dapat dilakukan dengan prinsip kontraposisi ataupun kontradiksi. (a) Pembuktian dengan prinsip kontraposisi Dasar pembuktian tersebut adalah prinsip modus tollens berikut.

pq q  Jadi p

Dalam pembuktian yang dilakukan dengan prinsip kontraposisi, untuk membuktikan pq, mula-mula dianggap bahwa q tidak benar, dan ternyata menghasilkan ~ p. Hal ini berarti jika p benar maka q benar.

Pernyataan ” Misalkan a bilangan real, dan a  0 . Jika untuk setiap   0 berlaku 0  a   maka a  0 ” dapat dibuktikan secara tak langsung.

Bukti: Andaikan 0  a   dan a  0. Dari a  0 dan a  0 diperoleh a  0 . Karena  sebarang bilangan positip, ambil  

a  0 , maka   a atau a  . Hal ini bertentangan dengan 2

pengandaian. Jadi yang benar, 0  a   dan a  0 . (Q.E.D).

(b) Pembuktian Dengan Kontradiksi Untuk membuktikan bahwa ” p  q” benar, ditunjukkan bahwa ”p dan ~q” mengakibatkan sesuatu pertentangan. Prinsip kontradiksi dalam pembuktian tak langsung adalah sebagai berikut.

[~ p  (q  ~q)]  p

Pembuktian tak langsung ini berangkat dari suatu anggapan benar. Kemudian anggapan benar ini dijalankan dengan hal-hal yang diketahui atau sifat yang telah tersedia, ternyata menghasilkan sesuatu yang bertentangan (kontradiksi) atau sesuatu yang mustahil, yang berarti bahwa anggapan yang diambil semula adalah tidak benar (salah).

Pernyataan ”Jka a bilangan real dan a  0 maka kontradiksi.

1  0 ” dapat dibuktikan dengan a

Bukti : Diketahui a bilangan real dan a  0 . Andaikan

1  0. Selanjutnya digunakan prinsip a

bahwa hasil kali bilangan positip dan bilangan negatip adalah negatip, sebagai berikut. Untuk

1 1 1 1  0 berarti a   0  1  0 dan untuk  0 berarti a  0  1 0 a a a a

sehingga untuk

1  0 berakibat 1  0 . Hal ini kontradiksi dengan sifat bilangan 1 a

bahwa 1  0 . Jadi yang benar, a  0 maka

1  0 . (Q.E.D) a

1.3.3 Prinsip Induksi Matematika

Prinsip induksi matematika (Principle of Mathematical induction) adalah sebagai berikut. Sebelum pembahasan tentang induksi matematika, perlu diketahui sifat terurut bilangan asli N, yaitu : “Setiap subset tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil”.

Jika S adalah suatu subset dari N dan S  { } maka terdapat suatu elemen m  S sedemikian hingga m  k untuk setiap k  S, dan m disebut elemen terkecil dari S.

Jadi bilangan asli N bersifat terurut karena mempunyai mempunyai elemen terkecil, yaitu 1 (satu).

Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut.

Misalkan S adalah himpunan bagian (Subset) dari bilangan asli N yang mempunyai sifat: (a) 1  S (b) Jika k  S berakibat (k  1) S maka S memuat semua bilangan asli, atau S  N

Prinsip induksi matematika dapat pula dinyatakan dalam bentuk berikut.

S(n) adalah pernyataan matematis dalam himpunan bilangan asli N. Jika : (a) S(1) benar (b) S(k) benar berakibat S(k  1) benar maka S(n) benar untuk semua n  N.

Bukti: Andaikan S tidak memuat semua bilangan asli N, atau S  N. Maka N  S   . Misalkan F  N  S maka F  N dan F  S.. Karena N terurut,

maka F mempunyai elemen terkecil, misalkan t. Karena t  F maka t  N, dan t  S sehingga t  1. Karena 1 unsur terkecil di N dan t N maka t  1 sehingga t  1  N. Dari t  1  t dan t elemen terkecil di F diperoleh t  1  F atau t  1  S. t  1  S. berakibat (t  1)  1  S atau t  S Hal ini kontradiksi dengan t  S di atas. Jadi yang benar, S  N, atau S memuat semua bilangan asli.