5
BAB I (Minggu ke- 1,2,3) Konsep Dasar. Vektor PENDAHULUAN Learning Outcome: Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharapkan: •
Mampu menjelaskan perbedaan besaran skalar dan vektor dan mampu menyelesaikan setiap kasus kinematika yang diberikan.
•
Mampu menyelesaikan kasus transformasi koordinat dengan konsep perkalian dot product.
6
PENYAJIAN
1 Konsep Dasar. Vektor 1.1 Pendahuluan Tiga Konsep dasar
Ruang dan Waktu
Mekanika Klasik: Entitas jelas/nyata dan saling bebas
Relativitas: Entitas tidak absolute dan tidak saling bebas
Nilai dua entitas tersebut Absolut
12/15/2012
Mekanika Kuantum: Nilai dua entitas tersebut bersifat probabilitas
[email protected]
5
1.2 Hasil Skalar (dot product)
r r A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z
r r r r A⋅ B = B ⋅ A
(
(Komutatif)
)
r r r r r r r A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅C
(Distributif)
r r A ⋅ B = AB cosθ 12/15/2012
[email protected]
6
7
1.3 Hasil Vektor (cross product)
iˆ r r A × B = Ax
ˆj Ay
kˆ Az
Bx
By
Bz
r r r r A × B = −B × A r r r r r A× B + C = A× B + r r r r n A × B = nA × B =
(
(
12/15/2012
) ) ( )
r r A×C r r A × nB
( )
[email protected]
r r A× B
7
r r A × B = ( AB sin θ )nˆ
r B θ r A 12/15/2012
[email protected]
8
8
1.4 Triple Products
Ax r r r A ⋅ B × C = Bx
Ay
Az
By
Bz
Cx
Cy
Cz
(
)
(
) (
(Triple scalar product)
) (
)
r r r r r r r r r A× B ×C = A⋅C B − A⋅ B C (Triple vector product)
12/15/2012
[email protected]
1
1.5 Perubahan Sistem Koordinat. Matrik Transformasi
r A = iˆAx + ˆjAy + kˆAz r A = iˆ' Ax ' + ˆj ' Ay ' + kˆ' Az ' Ax ' iˆ ⋅ iˆ' A = iˆ ⋅ ˆj ' y' Az ' iˆ ⋅ kˆ' 12/15/2012
(dalam koordinat i,j,k)
(dalam koordinat i’,j’,k’)
ˆj ⋅ iˆ' kˆ ⋅ iˆ' Ax ˆj ⋅ ˆj ' kˆ ⋅ ˆj ' Ay (transformasi koordinat) ˆj ⋅ kˆ' kˆ ⋅ kˆ' Az
[email protected]
10
9
1.6 Derivatif Vektor
r A(u ) = iˆAx (u ) + ˆjAy (u ) + kˆAz (u )
r dA ˆ dAx ˆ dAy ˆ dAz =i + j +k du du du du
r r r r d dA dB + A+ B = du du du
(
)
12/15/2012
[email protected]
11
1.7 Vektor Posisi Partikel. Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Cartesian
r r = iˆx + ˆjy + kˆz
x = x(t );
y = y (t );
z = z (t )
r r dr ˆ v= = i x& + ˆjy& + kˆz& dt r r r dv d 2 r ˆ a= = 2 = i &x& + ˆj&y& + kˆ&z& dt dt 12/15/2012
[email protected]
12
10
Contoh soal: 1. Gerak proyektil. Coba Anda amati gerak yang dinyatakan oleh persamaan di bawah ini
r gt 2 ˆ + k 0 r (t ) = iˆbt + ˆj ct − 2 Pers. ini menunjukkan gerak dalam bidang xy, ketika komponen z konstan dan sama dengan nol.Kecepatan gerak partikel diperoleh dengan mendiferentialkan vektor posisi terhadap waktu, yaitu
r r dr ˆ v= = i b + ˆj (c − gt ) dt Sedangkan percepatan gerak partikelnya diperoleh dengan mendiferentialkan vektor kecepatan terhadap waktu, yaitu
r r dv a= = − ˆjg 12/15/2012 dt
[email protected]
13
2. Gerak Melingkar. Annggap vektor posisi suatu partikel diberikan oleh:
r r = iˆb sin ωt + ˆjb cos ωt dengan ω adalah tetapan. Coba kita analisa gerak tersebut. Jarak dari titik pusat tetap konstan
(
r r = r = b 2 sin 2 ωt + b 2 cos 2 ωt
)
12
=b
Sehingga lintasannya adalah lingkaran beruji b terpusat pada titik pusat. Vektor kecepatan diperoleh dengan pendiferensialan vektor posisi
r r dr ˆ v= = i bω cos ωt − ˆjbω sin ωt dt 12/15/2012
[email protected]
14
11
Partikel melintasi lintasannya dengan kecepatan konstan:
(
r v = v = b 2ω 2 cos 2 ωt + b 2ω 2 sin 2 ωt
)
12
= bω
Percepatan Partikel adalah:
r r dv a= = −iˆbω 2 sin ωt − ˆjbω 2 cos ωt dt Dalam kasus ini percepatan tegak lurus terhadap kecepatan, sehingga dot product vektor kecetapan dan percepatan akan sama dengan nol:
(
)
(
)
r r v ⋅ a = (bω cos ωt ) − bω 2 sin ωt + (− bω sin ωt ) − bω 2 cos ωt = 0 Perbandingan dua pernyataan untuk vektor percepatan dan posisi, kita peroleh:
r r a = −ω 2 r
12/15/2012
[email protected]
15
1.8 Derivatif product vektor
( )
r r r d nA dn dA = A+n du du du r r r r d A⋅ B dA r r dB = ⋅ B + A⋅ du du du
(
(
)
)
r r r r d A× B dA r r dB = × B + A× du du du 12/15/2012
[email protected]
16
12
1.9 Komponen Tangensial dan Normal suatu percepatan
r v = vτˆ r r dv dτˆ = v&τˆ + v a= dt dt dτˆ = nˆ dψ 12/15/2012
[email protected]
17
dτˆ dτˆ dψ dψ ds v = = nˆ = nˆ dt dψ dt ds dt ρ ρ=
ds dψ
aτ = v& = &s&
r v2 a = v&τˆ + nˆ
ρ
12/15/2012
an =
[email protected]
v2
ρ 18
13
1.10 Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Polar Bidang
r r = reˆr r deˆr r dr v= = r&eˆr + r dt dt deˆr dθ = eˆθ dt dt
∆eˆr ≈ eˆθ ∆θ 12/15/2012
[email protected]
19
deˆθ dθ = −eˆr dt dt
∆eˆθ ≈ −eˆr ∆θ
r v = r&eˆr + rθ&eˆθ r deˆ deˆ r dv a= = &r&eˆr + r& r + r&θ& + rθ&& eˆθ + rθ& θ dt dt dt
(
12/15/2012
[email protected]
)
20
14
(
)
(
)
r a = &r& − rθ& 2 eˆ r + rθ&& + 2r&θ& eˆθ 2 & & & a r = r − rθ
( )
1 d 2& & & & aθ = rθ + 2r&θ = rθ r dt 12/15/2012
[email protected]
21
Contoh 3. Lintasan spiral dari rumah madu dinyatakan dalam r = b − ct dengan kecepatan sudut meningkat dengan lajut konstan: θ& = kt Carilah kecepatan sebagai fungsi waktu.
12/15/2012
[email protected]
22
15
r v = r&eˆr + rθ& eˆθ
r& = −c
r&& = 0
r v = −c eˆr + (b − ct ) kt eˆθ
[
v = c 2 + (b − ct ) k 2 t 2 2
12/15/2012
]
12
[email protected]
23
1.11 Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Silinder dan Bola Koordinat Silinder:
r r = R eˆ R + z eˆ z
r & v = R eˆ R + Rφ&eˆφ + z&eˆ z
(
)
(
)
r && a= R − Rφ& 2 eˆ R + 2 R& φ& + Rφ&& eˆφ + &z&eˆ z 12/15/2012
[email protected]
24
16
Koordinat Bola:
r r = reˆr r v = eˆr r& + eˆφ rφ& sin θ + eˆθ rθ&
(
) (
(
) )
r a = &r& − rφ& 2 sin 2 θ − rθ& 2 eˆr + rθ&& + 2r&θ& − rφ& 2 sin θ cos θ eˆθ + rφ&&sin θ + 2r&φ sin θ + 2rθ&φ& cosθ eˆφ
12/15/2012
[email protected]
25
17
PENUTUP •
Kriteria Assessment: Kognitif dan skill
•
Metode Assessment: PR
•
Bobot Nilai: 3 %
PR 1: 1. Diberikan tiga buah vektor
r r r A = 2iˆ + ˆj + 3kˆ; B = iˆ + ˆj + kˆ; dan C = iˆ + 2 ˆj + 4kˆ carilah:
(a)
(
)
(
(
) (
)
r r r r r r A ⋅ B + C dan A + B ⋅ C
)
(b)
r r r r r r A ⋅ B × C dan A × B ⋅ C
(C)
r r r r r r A × B × C dan A × B × C
(
)
(
12/15/2012
)
[email protected]
27
2. Nyatakan vektor 2iˆ + 3 ˆj − kˆ dalam koordinat i’ j’ k’, dengan x’ y’ adalah sumbu-sumbu x y yang diputar pada sumbu z dengan sudut 30o
z=z’
Y’ y x
x’
3. Seekor lalat bergerak dalam lintasan helik sebagai berikut
r r (t ) = iˆb sin ωt + ˆjb cos ωt + kˆct 2 Tunjukkan bahwa magnitudo dari percepatan lalat adalah konstan, dengan b, ω, dan c adalah konstan. 12/15/2012
[email protected]
28
