Bab 7 Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

Bab 7 Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen _____________________________________ 7.1

Persamaan Differensial Orde-2 Homogen

d2y dy  b  cy  0 2 dx dx a, b dan c konstanta, persamaan ini dapat juga ditulis sebagai :

Bentuk Umum a

aD2 y  bDy  cy  (aD2  bD  c) y  0

d2 d 2 , D  2 D dx dx Untuk mencari solusi lakukan sebagai berikut 1. Cari akar persamaan karakteristik dengan rumus " abc " aD 2  bD  c  0   D12  2.

3.

b  b2  4ac 2a

Solusi Umum

c1e D1x  c2e D2 x , bila D1  D2 y   x x c1e  c2 xe , bila D1  D2   Gunakan rumus Euler, bila akar karakteristiknya imajiner  i x e  cos  x  i sin  x

i  1 Contoh : 1.

p.d : 2

d2y dy  3  4 y  0 , cari akar persamaan karakteristik 2 dx dx

2 D 2  3D  4  0   D12 

D1  D2   y  c1e atau y  e 2.

3  x 4

 14 c1e 

3  9  32 3 1   41 4 4 4

3 1 (   41) x 4 4

41x

 c2e



 c2e

1 41x 4

3 1 (   41) x 4 4

  

Carilah solusi persamaan differensial homogen;

d2y dy 2  y  0 2 dx dx

( D  1)2  0 Persamaan karakteristik D2  2D  1  0   D1  D2  1

KK-Astronomi ITB

Page 7- 1

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

Solusinya : y  c1e x  c2 xe x  (c1  c2 x)e x

d2y dy Cari solusi p.d  2  5y  0 2 dx dx

3.

Persamaan karakteristik : D 2  2 D  5  0   D12 

D1  1  2i ,

2  4  20 2

 y  e x c1e2ix  c2e2ix  D2  1  2i 

Gunakan rumus Euler:

  y  e x c1 Cos 2 x  iSin2 x  c2 Cos 2 x  iSin2 x

y  e x d1Cos 2 x  d 2 Sin2 x  e  x CoskCos 2 x  SinkSin2 x  e  xCos (2 x  k )

Dengan k suatu konstanta, ingat hubungan; ( )

7.2

Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen

d2y dy  p( x)  Q( x) y  R( x) (*) 2 dx dx Dimana, P(x), Q(x), dan R(x) dapat juga berwujud suatu konstanta Solusinya : y = yh + yk Dengan ; yh – solusi homogen, dicari dengan mengambil R(x) = 0 yk – solusi khusus, dicari dengan mengambil bentuk yk ≡ R(x) dan kemudian disubstitusi pada (*), cara ini disebut metoda koefisien tak tentu Tabel 7- 1Ringkasan metoda koefisien tak tentu guna mencari yk Bentuk umum :

No

Bentuk R(x)

yk yang diambil

1

bm xm  bm1 x m1  . . .  b1 x  b0

Bm xm  Bm1 x m1  . . .  B1 x  B0

2

bCos x  cSin x

BCos x  CSin x

3

4

Sec x

V1 ( x)Cos x  V2 ( x)Sin x V1 dan V2 solusi homogennya

be x , α real atau imajiner

Be x [asal solusi homogen tidak mengandung faktor eαx]. Bila mempunyai faktor e x coba bentuk ( A  Bx)e x , ( A  Bx  Cx 2 )e x demikian seterusnya

5

Bentuk lain / kombinasi

Coba dengan trial & error

6

bcos x atau bsin x

Tetap harus ditulis : ACos x  BSin x

7

ax 2

Tetap harus ditulis dalam bentuk lengkap : Ax 2  Bx  C

KK-Astronomi ITB

Page 7- 2

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

Contoh (1) : Cari solusi umum

d2y dy  3  4 y  x2 2 dx dx Jawab: Solusi homogen d2y dy  3  4y  0 2 dx dx

 D2  3D  4 y  0 Cari akar persamaan karakteristik;  D2  3D  4  0   D  1 D  4   0 D1  1 , D2  4 yh  c1e D1x  c2e D 2 x  c1e x  c2e4 x

Solusi khusus, misal yk  Ax 2  Bx  C Jadi

d 2 yk dy  3 k  4 yk  x 2 2 dx dx

2 A  3  2 Ax  B   4  Ax 2  Bx  C   x 2

 4 Ax2  x  6 A  4B   2 A  3B  4C  x 2 4 A  1  A   1

4

6 A  4B  0  B   3

dari 2 A  3B  4C  0 diperoleh C  13 8 32 1 3 13 Jadi Jadi yk   x 2  x  4 8 32 Solusi Umumnya:

1 3 13 y  yh  yk  y  c1e x  c2e 4 x  x 2  x  4 8 32

d2y dy  4  3 y  6 x  23 Contoh (2): Cari solusi umum 2 dx dx Jawab: Solusi homogen d2y dy  4  3 y  0  D2  4D  3  0  D1  1 , D2  3 2 dx dx x yh  c1e  c2e3 x Solusi khusus, misal yk  Ax  B

d 2 yk dy  4 k  3 yk  6 x  23 2 dx dx 0  4 A  3  Ax  B   6 x  23

Jadi

3Ax  4A  3B  6x  23 A  2  4 A  3B  23 B  5

KK-Astronomi ITB

Page 7- 3

Suryadi Siregar Dengan demikian

Metode Matematika Astronomi-2

yk  2 x  5

Jadi solusi umumnya; y  yh  yk  y  c1e x  c2e3 x  2 x  5

7.3

Aplikasi Persamaan Differensial Massa jatuh bebas dengan hambatan udara

m

dv  mg - bv 2 dt

m-massa total b-koefisien gesek udara v= kecepatan g-percepatan gravitasi

Volume air yang keluar dapat ditentukan apabila debit k, diketahui

dh  k h dt h-tinggi air dari dasar bejana k-debit air Rangkaian RL

L

dI  RI  E dt

I-arus listrik, R-resistor L-induktor, S-switch E-tegangan motor listrik

KK-Astronomi ITB

Page 7- 4

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2 “Pursuit Problem” Menentukan titik cegat, bila arus air, kecepatan kapal diketahui, dinyatakan dengan konstanta a; dy y  2 dx a  y2

a-konstanta yang bergantung pada arus air kecepatan angin, kecepatan kapal dan lain-lain

Jembatan gantung yang berosilasi dalam arah vertikal;

d2y  k 1 y2 dt 2 k-konstanta Beban bermassa m, disangga oleh pegas dengan konstanta k, bergerak dalam arah vertikal. Gesekan dengan udara diabaikan;

m

d2y  ky  0 dt 2

d 2I dI I dE L 2 R   dt dt C dt I-arus listrik. R-resistor L-induktor. S-switch E-tegangan motor listrik

KK-Astronomi ITB

Page 7- 5

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2 Bandul yang berayun-ayun, hambatan udara diabaikan

l

d 2  mgSin  0 dt 2

l-panjang lengan, m-massa bandul g-percepatan gravitasi

Percobaan Galileo, tentang adanya gaya gravitasi dari Bumi

d2y g dt 2

1.

Rangkaian Listrik Dari Hukum Kirchoff

 E     ER  EL  dI dI  R  E  RI  E (t )    I  dt dt  L  L dI  R  E    I  dt  L  L Solusi: L

R

R

 Ie  L   e  L .

KK-Astronomi ITB

dt

dt

E dt  c L

Page 7- 6

Suryadi Siregar 2.

Metode Matematika Astronomi-2

Getaran Harmonik

Tanpa gesekan 2

wd y  ky g dt 2

gk B  w g - percepatan gravitasi 2

k - konstanta pegas w - berat beban Syarat batas t  0 , y '  0 , y  y0

KK-Astronomi ITB

Dengan gesekan

w d2y dy  ky  q 2 g dt dt q - koefisien gesekan Misalkan gq E , w

B2 

gk w

d2y dy  E  B2 y  0 2 dt dt Merupakan persamaan differensial orde-2 homogen

Page 7- 7

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2 Circuit RLC R [Ohm], L [Henry], C [Farad], I [Ampere] Tegangan yang terjadi dI 1. Melewati L  EL  L dt

C R

LL

E(t) dalam hal ini I  t  

2.

Melewati R  ER  RI

3.

Melewati C  EC 

Q t  1 I t dt    C C

dQ dt

Hukum Kirchoff E  EL  ER  EC Jika E  t   Eo sin t  Eo sin t  L

dI 1  RI  t    I  t  dt dt C

Turunkan terhadap t

Eo cos t  L

d 2I dI I  t  I R   LI " RI '  Eo cos t 2 dt dt C C

Forced Oscillations Resonance my " cy ' ky  r  t 

F3

Jika r  t   Fo cos t

Spring (k)

F2

Maka my " cy ' ky  Fo cos t Analogy contoh (1) dan (2) diragakan dalam table berikut

F1 Body (m)

Dash Pot (C) r(t)

KK-Astronomi ITB

Page 7- 8

Suryadi Siregar Tabel 7- 2

Analogi sistim listrik dan Mekanik

Electrical System

Mechanical System

Inductance (L)

Mass (M)

Resistance (R)

Damping Constant (C)

1 C Deriv. Eo cos t of electromotive force

Spring Modulus (k)

Current I  t 

Displacement (y(t))

Rec. of Capacitance

7.4

Metode Matematika Astronomi-2

Driving Force Eo cos t

Latihan

Soal untuk latihan gunakan metoda koefisien tak tentu untuk menyelesaikan persamaan diferensial berikut : 1 1. [ y  c1e3 x  c2e3 x  x ] y '' 9 y  x 9 2 2. y '' y ' 6 y  2 x 3.

y '' 2 y ' y  x  x 2

4.

y '' y '  4 x

5.

y '' 5 y ' 6 y  e x

6.

y '' 6 y ' 9 y  2e x

7.

y '' 4 y ' 3 y  e3 x

8.

y '' 2 y ' 2 y  3e2 x

9.

y '' y ' 2 y  2Sinx

10.

y '' 4 y '  Cosx

11.

y '' 4 y  2Cos2 x

12.

y '' 9 y  Sin3x

13.

y '' 9 y  Sinx  e2 x

14.

y '' y '  3x  e x

15.

y '' 5 y ' 6 y  2e x

[ y  (c1  c2 x)e x  x 2  5x  8 ]

1 [ y  c1e2 x  c2e3 x  e x ] 2 [ y  c1e3 x  c2e x 

1 3 x xe ] 2

3 1 [ y  c1e2 x  c2e x  Sinx  Cosx ] 5 5 1    y  c1Cos 2 x  c2 Sin2 x  5 Cosx 

1 1 [ y  c1Cos3x  c2 Sin3x  Sinx  e2 x ] 8 13 tapi dengan syarat bila x  0, y  1, y '  0 maka

y  e2 x  e3 x  e x

KK-Astronomi ITB

Page 7- 9

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi-2

Bab 7 .......................................................................................................................................... 1 Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen ......................................................................... 1 7.1

Persamaan Differensial Orde-2 Homogen ...................................................................... 1

7.2

Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen .............................................................. 2

7.3

Aplikasi Persamaan Differensial..................................................................................... 4

7.4

Latihan ............................................................................................................................ 9

Tabel 7- 1Ringkasan metoda koefisien tak tentu guna mencari yk ............................................ 2 Tabel 7- 2 Analogi sistim listrik dan Mekanik ...................................................................... 9

KK-Astronomi ITB

Page 7- 10