STIMATA
BAB 5 MASALAH PENUGASAN 1. Perumusan Masalah Masalah penugasan berkaitan dengan keinginan perusahaan dalam mendapatkan pembagian atau alokasi tugas (penugasan) yang optimal, dalam arti apabila penugasan tersebut berkaitan dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas atau penugasan tersebut dapat memberikan keuntungan yang maksimal, begitu pula sebaliknya bila menyangkut biaya. Penyelesaian masalah penugasan biasanya dilakukan dengan menggunakan metode Hungarian yang pada tahun 1916 dikembangkan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Hungaria yang bernama D KÖnig. Secara umum langkah-langkah penyelesaian masalah penugasan yang normal adalah : 1. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabel penugasan 2. Untuk kasus minimalisasi, mencari biaya terkecil untuk setiap baris, dan kemudian menggunakan biaya terkecil tersebut untuk mengurangi semua biaya yang ada pada baris yang sama. Sedangkan untuk kasus maksimalisasi, mencari nilai tertinggi untuk setiap baris yang kemudian nilai tertinggi tersebut dikurangi dengan semua nilai yang ada dalam baris tersebut. 3. Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol. Apabila masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, maka dicari nilai terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya digunakan untuk mengurangi semua nilai yang ada pada kolom tersebut 4. Setelah semua baris dan kolom memiliki nilai nol, maka langkah selanjutnya adalah memastikan atau mengecek apakah dalam tabel penugasan tersebut, telah berhasil ditemukan nilai nol, sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 4 karyawan, maka harus ditemukan nilai nol sebanyak 4 buah yang terletak di baris dan kolom yang berbeda. Sebaiknya dimulai
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol. Langkah ini mengandung arti bahwa setiap karyawan hanya dapan ditugaskan pada satu pekerjaan saja. 5. Apabila
belum,
maka
langkah
selanjutnya
adalah
menarik
garis
yang
menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel penugasan tersebut. 6. Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih nilai yang paling kecil, kemudian pergunakan untuk mengurangi nilai-nilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali. 7. Dari hasil langkah ke-6 tersebut, apakah sekarang telah berhasil ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. 8. Jika sudah, maka masalah penugasan telah optimal, dan apabila belum maka perlu diulangi langkah penyelesaian ke-5 di atas.
Sebagai catatan, kasus penugasan dianggap normal apabila jumlah sumber daya yang akan ditugaskan dan jumlah pekerjaan atau tujuan adalah sama. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh kasus berikut ini.
a. Masalah Minimalisasi (untuk kasus normal) Sebuah perusahaan memiliki 4 orang karyawan yang harus menyelesaikan 4 pekerjaan yang berbeda. Karena sifat pekerjaan dan juga ketrampilan, karakteristik dari masing-masing karyawan, maka biaya yang timbul dari berbagai alternatif penugasan dari ke-4 karyawan tersebut juga berbeda, seperti terlihat dari tabel / matrik penugasan berikut ini :
Catatan : Nilai-nilai dalam tabel tersebut dalam rupiah.
Dari kasus penugasan tersebut di atas, penyelesaiannya adalah :
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Langkah 1 Mencari biaya terkecil untuk setiap baris, dan kemudian menggunakan biaya terkecil tersebut untuk mengurangi semua biaya yang ada pada baris yang sama. Dengan langkah ini hasil yang diperoleh adalah :
0 0 5 1
5 2 0 2
3 7 3 2
7 3 0 0
Langkah 2 Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol. Dan ternyata masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, yakni kolom 3. Dengan demikian perlu dicari nilai terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya digunakan untuk mengurangi semua nilai yang ada pada kolom tersebut, sehingga akan menjadi :
0 0 5 1
5 2 0 2
1 5 1 0
7 3 0 0
Nah, sekarang setiap baris dan kolom sudah memiliki nilai nol, maka langkah selanjutnya adalah :
Langkah 3 Langkah selanjutnya adalah memastikan atau mengecek apakah dalam tabel penugasan tersebut, telah berhasil ditemukan nilai nol, sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 4 karyawan, maka harus ditemukan nilai nol sebanyak 4 buah yang terletak di baris dan kolom yang berbeda. Sebaiknya dimulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol. Langkah ini mengandung arti bahwa setiap karyawan hanya dapan ditugaskan pada satu pekerjaan saja.
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Perhatikan ! Dari matrik di atas ternyata nilai nol yang ditemukan dalam baris 1 dan 2, meskipun berbeda baris namun masih berada dalam kolom yang sama, sehingga dapat dipastikan masalah belum optimal dan perlu dilanjutkan ke langkah berikutnya.
Langkah 4 Karena belum optimal maka langkah selanjutnya adalah menarik garis yang menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel penugasan tersebut, seperti terlihat pada tabel atau matrik berikut ini :
0 0 5 1
5 2 0 2
1 5 1 0
7 3 0 0
Dari langkah di atas terlihat bahwa garis yang berhasil dibuat adalah tiga, dengan menyisakan beberapa nilai yang tidak terkena garis.
Langkah 5 Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih nilai yang paling kecil (dari tabel di atas adalah nilai 1), kemudian nilai 1 tersebut dipergunakan untuk mengurangi nilainilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali. Dengan langkah ini hasilnya adalah :
0 0 6 2
4 1 0 2
0 4 1 0
6 2 0 0
Perhatikan ! semua nilai yang tidak terkena garis nilainya akan berkurang sebesar nilai terkecil dari nilai yang belum terkena garis sebelumnya. Sementara itu nilai 5 dan 1 pada kolom 1 akan bertambah 1, karena kedua nilai tersebut terkena garis dua kali.
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Langkah 6 Dari hasil langkah di atas tersebut, apakah sekarang telah berhasil ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya (mulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol)? Dari tabel atau matrik di atas ternyata telah berhasil ditemukan 4 nilai nol ( sejumlah karyawan yang akan ditugaskan), yang berada di baris dan kolom yang berbeda.
0 0 6 2
4 1 0 2
0 4 1 0
6 2 0 0
Dari hasil di atas dapat dikatakan bahwa kasus penugasan tersebut telah optimal, dengan alokasi penugasan sebagai berikut : Karyawan A ditugaskan mengerjakan pekerjaan III dengan biaya
Rp 18,-
Karyawan B ditugaskan mengerjakan pekerjaan I dengan biaya
Rp 14,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan II dengan biaya
Rp 20,-
Karyawan D ditugaskan mengerjakan pekerjaan IV dengan biaya
Rp 16,--------- +
Total biaya
Rp 68,-
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dengan metode Hungarian, kasus penugasan dalam perusahaan di atas dapat diselesaikan dengan biaya optimal sebesar Rp 68,-
Latihan kasus: 1. Sebuah klub renang LUMBA-LUMBA, mempunyai 4 perenang tercepat yang akan diikutkan dalam lomba renang nomor estafet menempuh jarak 400m. Dalam lomba ini masing-masing perenang menempuh jarak 100m, dan gaya yang digunakan berturutturut adalah gaya punggung, gaya dada, gaya kupu-kupu dan gaya bebas. Catatan waktu (dalam detik) masing-masing perenang untuk menempuh jarak 100m dengan keempat gaya yang dilombakan adalah seperti tabel berikut:
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Bagaimana pelatih menentukan strategi penugasan kepada perenang-perenang tersebut, sehingga diperoleh total catatan waktu terbaik?
2. Suatu perusahaan besar ingin menyelesaikan 3 pekerjaan melalui 3 jenis mesin. Biaya penyelesaian tiap jenis pekerjaan oleh jenis mesin tertentu dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.
Aturlah pekerjaan ini pada setiap mesin sehingga diperoleh jumlah biaya penugasan yang minimum
b. Masalah Maximalisasi (untuk kasus normal) Sebuah perusahaan memiliki 5 orang karyawan yang harus menyelesaikan 5 pekerjaan yang berbeda. Karena sifat pekerjaan dan juga ketrampilan, karakteristik dari masing-masing karyawan, produktifitas atau keuntungan yang timbul dari berbagai alternatif penugasan dari ke-5 karyawan tersebut juga berbeda, seperti terlihat dari tabel / matrik penugasan berikut ini :
Catatan : Nilai-nilai dalam tabel tersebut dalam rupiah.
Dari kasus penugasan tersebut di atas, penyelesaiannya adalah :
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Langkah 1 Mencari produktifitas atau keuntungan terbesar untuk setiap baris, dan kemudian nilai tersebut dikurangi dengan semua nilai produktifitas yang ada pada baris yang sama. Dengan langkah ini hasil yang diperoleh adalah :
5 1 3 3 7
3 5 4 1 4
5 6 5 8 3
7 0 4 0 6
0 2 0 5 0
Langkah 2 Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol. Dan ternyata masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, yakni kolom 1, 2, dan 3. Dengan demikian perlu dicari nilai terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya digunakan untuk mengurangi semua nilai yang ada pada kolom tersebut, sehingga akan menjadi :
4 0 2 2 6
2 4 3 0 3
2 3 2 5 0
7 0 4 0 6
0 2 0 5 0
Nah, sekarang setiap baris dan kolom sudah memiliki nilai nol, maka langkah selanjutnya adalah :
Langkah 3 Langkah selanjutnya adalah memastikan atau mengecek apakah dalam tabel penugasan tersebut, telah berhasil ditemukan nilai nol, sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 5 karyawan, maka harus ditemukan nilai nol sebanyak 5 buah yang terletak di baris dan kolom yang berbeda. Sebaiknya dimulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol. Langkah ini mengandung arti bahwa setiap karyawan hanya dapan ditugaskan pada satu pekerjaan saja.
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Perhatikan ! Dari matrik di atas ternyata nilai nol yang ditemukan dalam baris 1 dan 3, meskipun berbeda baris namun masih berada dalam kolom yang sama, sehingga dapat dipastikan masalah belum optimal dan perlu dilanjutkan ke langkah berikutnya.
Langkah 4 Karena belum optimal maka langkah selanjutnya adalah menarik garis yang menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel penugasan tersebut, seperti terlihat pada tabel atau matrik berikut ini :
4 0 2 2 6
2 4 3 0 3
7 0 4 0 6
2 3 2 5 0
0 2 0 5 0
Dari langkah di atas terlihat bahwa garis yang berhasil dibuat adalah empat, dengan menyisakan beberapa nilai yang tidak terkena garis.
Langkah 5 Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih nilai yang paling kecil (dari tabel di atas adalah nilai 2), kemudian nilai 2 tersebut dipergunakan untuk mengurangi nilainilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali. Dengan langkah ini hasilnya adalah :
2 0 0 2 6
0 4 1 0 3
0 3 0 5 0
5 0 2 0 6
0 4 0 7 2
Perhatikan ! semua nilai yang tidak terkena garis nilainya akan berkurang sebesar (2) atau nilai terkecil dari nilai yang belum terkena garis sebelumnya. Sementara itu nilai 2, 5 dan 0 pada kolom 5 akan bertambah 2, karena kedua nilai tersebut terkena garis dua kali.
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Langkah 6 Dari hasil langkah di atas tersebut, apakah sekarang telah berhasil ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya (mulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol à yakni baris ke-5)? Dari tabel atau matrik di atas ternyata telah berhasil ditemukan 5 nilai nol ( sejumlah karyawan yang akan ditugaskan), yang berada di baris dan kolom yang berbeda.
2 0 0 2 6
0 4 1 0 3
0 3 0 5 0
5 0 2 0 6
0 4 0 7 2
Dari hasil di atas dapat dikatakan bahwa kasus penugasan tersebut telah optimal, dengan alokasi penugasan sebagai berikut : Karyawan A ditugaskan mengerjakan pekerjaan II dengan biaya
Rp 12,-
Karyawan B ditugaskan mengerjakan pekerjaan I dengan biaya
Rp 14,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan V dengan biaya
Rp 12,-
Karyawan D ditugaskan mengerjakan pekerjaan IV dengan biaya
Rp 16,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan III dengan biaya
Rp 14,--------- +
Total biaya
Rp 68,-
Namun demikian, alternatif lain dari penugasan di atas dapat dipilih seperti terlihat pada tabel berikut ini :
Karyawan A ditugaskan mengerjakan pekerjaan V dengan biaya
Rp 15,-
Karyawan B ditugaskan mengerjakan pekerjaan IV dengan biaya
Rp 15,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan I dengan biaya
Rp 9,-
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Karyawan D ditugaskan mengerjakan pekerjaan II dengan biaya
Rp 15,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan III dengan biaya
Rp 14,--------- +
Total biaya
Rp 68,-
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dengan metode Hungarian, kasus penugasan dalam perusahaan di atas dapat diselesaikan dengan biaya optimal sebesar Rp 68,-
Latihan kasus: 1. UD. “57 TERUS” adalah sebuah perusahaan penjualan sepeda motor merk “YAHOZU”. Perusahaan tersebut mempunyai 4 daerah pemasaran yang ada di 4 kota yaitu Pontianak, Jogyakarta, Denpasar dan Surabaya. Perusahaan ini akan menugaskan 4 orang sales sebagai sales menajer di 4 kota tersebut. Potensi penjualan perbulan dari ke 4 sales tersebut jika ditugaskan di masing-masing kota seperti tabel berikut:
Aturlah masalah penugasan tersebut, sehingga diperoleh total penjualan yang optimal.
2. Masalah Penugasan Tak Seimbang Kenyataan di masyarakat, sangat jarang ditemui kasus penugasan yang seimbang, dimana jumlah pekerja = jumlah pekerjaan. Metode Hungarian mensyaratkan jumlah sumber daya yang ditugaskan harus sama persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Jika jumlahnya tidak sama (tidak seimbang), maka harus ditambahkan DUMMY baris (kasus pekerja < pekerjaan) atau DUMMY kolom (kasus pekerja > pekerjaan). Biaya dummy adalah sama dengan nol, karenaa tidak akan terjadi biaya bila suatu pekerjaan ditugaskan ke karyawan semu. Atau dengan kata lain karena sebenarnya pekerjaan tersebut tidak dilaksanakan. Sebagai contoh, bila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumah karyawan:
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
A B C D Dummy E
15 14 25 17 0
20 16 20 18 0
18 21 23 18 0
22 17 20 16 0
21 15 17 18 0
Catatan : Nilai-nilai dalam tabel tersebut dalam rupiah. Prosedur selanjutnya sama dengan langkah-langkah di atas.
Latihan Kasus 1. UD. “5758” adalah perusahaan penjualan sepeda motor merk “YAHOZU”. Perusahaan tersebut mempunyai 4 daerah pemasaran yang ada di 4 kota yaitu Pontianak, Jogyakarta, Denpasar dan Surabaya. Perusahaan ini akan menugaskan 4 orang sales dari 5 sales yang ada, sebagai sales menajer di 4 kota tersebut. Potensi penjualan perbulan dari ke 5 sales, jika ditugaskan di masing-masing kota seperti tabel berikut:
Aturlah masalah penugasan tersebut, sehingga diperoleh total penjualan yang optimal.
2. Club renang “LUMBA-LUMBA”, mempunyai 6 perenang tercepat yang akan diikutkan dalam lomba renang nomor estafet yang menempuh jarak 400m. Dalam lomba ini hanya melibatkan 4 perenang yang masing-masing menempuh jarak 100m, dan gaya yang digunakan berturut-turut adalah gaya punggung, gaya dada, gaya kupu-kupu dan gaya bebas. Catatan waktu (dalam detik) masing-masing perenang untuk menempuh jarak 100m dengan keempat gaya yang dilombakan seperti tabel berikut:
TRO
BY: SRI ESTI
STIMATA
Bagaimana strategi penugasan kepada perenang-perenang tersebut, sehingga diperoleh total catatan waktu terbaik?
Masalah Penugasan Tambahan Dalam praktek sehari-hari, tidak semua masalah penugasan memiliki matrix biaya atau keuntungan seperti dalam dua contoh kasus di atas. Ada kalanya seorang karyawan misalnya, tidak dapat dialokasikan atau ditugaskan untuk sebuah pekerjaan tertentu (karena alasan, usia, jenis kelamin, ketrampilan yang tidak memadai, kondisi fisik, atau karena sebab lainnya). Dengan demikian karyawan dengan keterbatasan seperti itu tidak dapat dipaksakan mengerjakan sebuah pekerjaan yang memang tidak mungkin baginya. Untuk mengatasi hal semacam ini, maka dalam proses penyelesaiannya, perlu ditambahkan sebuah bilangan yang sangat besar, dan disebut dengan bilangan M (untuk masalah minimalisasi) dan – M (untuk masalah maximalisasi). Proses penyelesaian selanjutnya dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada kasus penugasan yang normal, hanya saja pada keputusan optimalnya akan dihindari menugaskan karyawan pada tugas yang memiliki bilangan M atau – M tersebut.
TRO
BY: SRI ESTI
