Bab. 3. KESETARAAN
3 .1. Nilai uang terhadap waktu. Untuk memenuhi kebutuhan hidupnya pada zaman dahulu kelompok masyarakat melakukan pertukaran barang atau yang lazim disebut dengan istilah barter. Tetapi dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, perdagangan yang dilakukan secara barter sangat memboroskan waktu sehingga diperlukan suatu cara untuk menyelesaikannya. Alat yang praktis untuk menyelesaikannya pada saat itu adalah sebuah koin yang mempunyai nilai ( harga ) dan selanjutnya dengan semakin majunya teknologi lahir secarik kertas yang mempunyai nilai ( harga ) yang sampai sekarang kita namakan uang. Dalam suatu sistem perekonomian, uang mempunyai satu fungsi yang sangat fundamental. Fungsi uang adalah: •
Sebagai suatu kesatuan nilai. (dengan adanya uang, maka segala macam barang dapat dinyatakan dengan suatu kesatuan nilai).
•
Sebagai alat tukar.
•
Sebagai pemegang nilai.
Seseorang yang mempunyai uang dapat dengan segera menggunakan uangnya, tetapi uang tidak merapakan pemegang nilai yang stabil dan memuaskan hal ini dapat terjadi apabila daya beli dari masyarakat berubah. Jadi dengan adanya uang yang mempunyai beberapa fungsi maka timbullah apa yang dinamakan "kredit" dan sebagai tempat lalu lintas "kredit" adalah 'bank'. Macam-macam uang: 1. Uang kartal (uang logam dan uang kertas) 2. Uang giral (saldo dari rekening bank / cek). Uang kartal dikeluarkan oleh pemerintah cq. Bank Sentral (Bank Indonesia) dan dilindungi oleh undang-undang sehingga semua orang wajib menerimanya sebagai alat pembayaran yang sah. Sedang uang giral dapat dikeluarkan oleh Bank Sirkulasi / Bank Umum (B.R.I, BNI dsb.) dan tidak dilindungi oleh undangundang sehingga setiap orang berhak untuk tidak menerima setiap pembayaran dengan uang giral (cek). Mengenai penggunaan uang ini seseorang yang mempunyai sejumlah uang akan dipengaruhi oleh beberapa altematif yaitu : 1. dapat menggunakan uang tersebut untuk membeli barang atau jasa
sesuai dengan keinginannya (barang konsumsi seperti : t.v., rumah, sandang dsb., jasa : kesehatan, hiburan dsb.) 2. untuk
membeli
barang-barang
produksi
(benda
yang
memenuhi
kebutuhan manusia secara tidak langsung) contoh : mesin giling, mesin cetak, kapal dan sebagainya) 3. meminjamkan uangnya kepada orang lain yang membutuhkan dengan kondisi bahwa si peminjam akan mengembalikan uangnya dalam waktu tertentu dengan disertai bunga.
Dengan demikian dalam hal keuangan (penggunaan uang) ada 2 hal yang perlu diperhatikan. Pertama, pemilik uang apabila meminjamkan uangnya pada orang lain maka ia berhak mendapatkan suatu bentuk hadiah, dimana hal tersebut dikenal dengan istilah "bunga" (interest). Kedua, dengan adanya istilah "bunga" maka dengan demikian sejumlah uang tertentu pada saat ini (sekarang) akan bertambah menjadi jumlah yang lebih besar pada waktu yang akan datang, tergantung dari besarnya tingkat suku bunga dan periode waktu. 3..2. Rumus-rumus bunga. Besarnya nilai bunga dapat dilihat dari dua sudut pandang yang berbeda. Pertama, dari sudut pandang pemberi pinjaman (lender), maka untuk menentukan besarnya bunga haras dipertimbangkan beberapa faktor, antara lain : resiko kehilangan, biaya administrasi dan keuntungan yang diinginkan. Kedua, dari sudut pandang peminjam (borrow), nilai bunga dipengaruhi oleh penggunaan dari dana yang dipinjam. Jika ia meminjam untuk keperluan pribadi maka nilai bunga yang akan dibayarkan diukur dari kesempatan untuk memperoleh kepuasan yang lebih cepat. Apabila dana yang dipinjam digunakan untuk suatu usaha yang diharapkan akan memperoleh keuntungan maka bunga yang dibayarkan haruslah lebih kecil dari keuntungan yang diharapkan, untuk itu maka peminjam akan mencari pinjaman dengan bunga serendah mungkin. Dalam masalah penentuan bunga dan nilai bunga ini haras dibedakan antara faktor tolong menolong dan faktor bisnis. Kadang-kadang terdapat pula orang yang meminta bunga terlalu tinggi, untuk mengatasi hal ini maka dibuat "wecker ordonantie" yang mengatur bahwa orang tidak boleh menarik bunga terlalu tinggi / semaunya. Dari kenyataan-kenyataan ini maka ada yang
menyatakan bahwa uang / dana itu produktif sebingga pengenaan bunga bagi penggunaan dana adalah wajar. Contoh : Ani bekerja membuat kue yang dikerjakan sebagai industri rumah tangga dan setiap harinya dapat menghasilkan 100 bungkus unrtuk dijual dengan harga Rp 1.500,00 per bungkusnya. Apabila biaya untuk mebuat kue tersebut Rp 1.000,00 per bungkusnya, maka penghasilan Ani setiap tahun adalah = 30 x 12 x Rp 500,00 x 100 = Rp 18.000.000,00. kemudian Ani mendapat pinjaman uang dari koperasi untuk membeli tambahan alat agar dapat memenuhi permintaan pasar sebesar Rp 2.500.000,00 dengan bunga 12% /th.. Adanya tambahan alat tersebut dapat menghasilkan kue 150 bungkus per harinya dan dibantu oleh seorang tenaga yang digaji Rp 100.000,00 / bulan. Sehingga penghasilan Ani sekarang menjadi: •
150 x 30 x 12 x Rp 500,00 = Rp 27.000.000,00
•
untuk membayar hutang + bunga 12%/th. = Rp 2.500.000,00 + Rp 300.000,00 = Rp 2.800.000,00
•
untuk gaji pembantu = Rp 100.000,00 x 12 = Rp 1.200.000,00
Jadi penghasilan Ani = Rp 27.000.000,00 - Rp 2.800.000,00 - Rp 1.200.000,00 = Rp 23.000.000,00. Dengan adanya penambahan dana yang diperoleh maka Ani mendapat kelebihan pendapatan sebesar = Rp 23.000.000,00 - Rp 18.000.000,00 = Rp 5.000.000,00. Inilah yang dikatakan bahwa uang itu produktif, sehingga mengenakan bunga dari penggunaan uang adalah wajar. Dari perhitungan diatas dapat dikatakan bahwa bunga merupakan sebagian dari tambahan laba yang diperoleh dengan meminjam suatu dana yang digunakan untuk suatu usaha. Sehingga dari kesimpulan ini dapat dibedakan antara bunga dan laba. Bunga : -
besarnya sudah tertentu / ditentukan
-
tanpa ada usaha, sehingga resiko kecil.
-
belum tertentu besarnya, bahkan ada kemungkinan besarnya minus.
-
untuk memperoleh laba harus dilakukan usaha.
Laba :
Pada umumnya kuantitas (besarnya) bunga lebih kecil daripada laba, kecuali apabila usaha tersebut gagal atau bangkrut.
3.2.1. Macam-macam Bunga : 1. Bunga biasa ( Simple Interest). Bunga biasa adalah bunga yang diperoleh secara langsung sebanding dengan modal yang dikaitkan dalam pinjaman dan penambahannya hanya tergantung dari periode waktu. Rumus :
Bunga biasa (I) = P . i. n ...........................................
(3-1)
Dirnana : P = jumlah atau modal sekarang. i = tingkat bunga per waktu. n = jumlah waktu bunga. Jumlah total yang harus dikembalikan ( F ) oleh peminjam apabila meminjam sejumlah uang ( P) dengan tingkat bunga (i) adalah: Jumlah uang yang akan datang (F) = P + l = P + P.i.n F
= P(l+i.n) ......................................
(3.2)
Contoh. 1 : A meminjam uang dari Z sebanyak Rp 100.000,- selama 6 bulan atau Vi tahun dengan bunga sebesar 15%. Berapa besar bunga dan jumlah uang yang akan datang yang harus dibayarkan ? Jawab: Bunga yang harus dibayar (I) = Rp 100.000,- x 0,15 x 1/2 = Rp 7.500,Jumlah uang yang harus dibayarkan pada 6 bulan mendatang: F = P + I = Rp 100.000,- + Rp 7.500,- = Rp 107.500,-
Contoh. 2. : Bagaimana bila pengembaliannya dilakukan setelah 2 tahun ? Jawab : I = Rp 100.000,-x 0,15 x 2 = Rp 30.000,F =Rp 100.000,-( 1 + 0,15 x 2 ) = Rp 130.000,2. Bunga berganda (Compound Interest) Bunga yang diperoleh pada suatu periode, dimana bunga pada akhir tahun pertama ditambahkan pada modal untuk penghitungan bunga pada tahun berikutnya dan seterusnya.
Perhitungan bunga berganda dapat dilihat pada contoh berikut: Contoh . 1 . : Pokok pinjaman sebesar Rp 100.000,- dengan bunga berganda 15% per tahun dan jangka waktu pinjaman 2 tahun. Berapa besar bunga dan jumlah pinjaman pada akhir tahun kedua ? Jawab:
Tahun
Pokok pinjaman
Bunga
Jumlah pinjaman pada akhir tahun
1
Rp 100.000,-
Rp 15.000,-
Rp 115.000,-
2
Rp 115.000,-
Rp 17.500,-
Rp 132.250,-
Jumlah pinjaman pada akhir tahun kedua lebih besar Rp 2.250,- daripada perhitungan bunga biasa pada contoh 2. Penambahan bunga pada bunga berganda disamping tergantung dari periode waktu juga tergantung dari bunga tersebut, karena setiap saat bunga akan berbunga lagi. Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut: Bunga pada tahun pertama
: Ii = P . i.
Jumlah pinjaman akhir tahun pertama
:Fi = P+P. i. = P (1 + i)
Selanjutnya: Bunga tahun kedua
: I2 = FI . I = P(l+i).i
Jumlah pinjaman akhir tahun kedua
: F2 - FI + I2 = P (1 + i) + P (1 + i).
Bunga tahun ketiga
: I3 = F2 . i
Jumlah pinjaman akhir tahun ketiga
:
F3 = F2 + I3 = P (1 + i)2 + P (1 + i)2. i P (1 + i )3
Sehingga rumusnya menjadi: Besarnyabunga
: In = P (1+i)n-1. i ....................................
(3.3)
Jumlah pinjaman y. a. d.
: Fn = P(l+i)n ...........................................
(3.4)
faktor (1 + i )n disebut faktor jumlah berganda.
Bila dibandingkan dengan rumus bunga biasa maka pada rumus bunga biasa periode n berperan sebagai faktor pengali dari i (bunga), sedang untuk bunga berganda n berperan sebagai faktor pangkat dari (1 + i).
Contoh: 1) Jika uang sebesar Rp 10.000,- dengan tingkat bunga 10% setahun dinyatakan secara setengah tahun berganda dan periode total diberikan untuk 2 tahun, maka jumlah n menjadi 4 dan i menjadi 5%. F = Rp 10.000,- ( 1 + 0,05 )4 = Rp 12.155,2) Apabila contoh diatas dinyatakan secara 3 bulan berganda maka n menjadi 8 dan i menjadi 2,5%. F = Rp 10.000,- (1 + 0,025 )8 = Rp 12.184,-
Dari contoh perhitungan bunga berganda diatas maka satuan n yang dipakai untuk menunjukkan periode waktu, bilamana berbeda akan memberikan hasil yang berbeda. Semakin banyak periode waktunya maka nilai yang akan datang semakin besar. Hal yang demikian disebut dengan tingkat bunga nominal.
3. 2.2. Tingkat bunga. 1. Tingkat bunga nominal. Tingkat bunga nominal artinya menggandakan bunga yang ada pada suatu periode waktu ke periode waktu yang lebih banyak. Contoh: 1)
Nilai mendatang untuk sejumlah uang Rp 10.000,- pada akhir satu tahun dengan tingkat bunga 8% yang digandakan secara kwartal adalah : F3 bulan
= P + P-i = Rp 10.000,- + Rp 10.000,- ( 0,02 ) = Rp 10.200,= Rp 10.200,- + Rp 10.200,- ( 0,02 ) = Rp 10.404,= Rp 10.404,- + Rp 10.404,- ( 0,02 ) = Rp 10.612,= Rp 10.612,- + Rp 10.612,- (0,02)
2)
= Rp 10.824,-
Apabila tingkat bunga 8% dari uang Rp 10.000,- ini dilipatgandakan secara tahunan, maka pada akhir tahun adalah : F 12 bulan = Rp 10.000,- + Rp 10.000,- ( 0.08 )
= Rp 10.800,-
ternyata harganya Rp 24,- lebih kecil daripada bila dilipatgandakan dengan tingkat bunga nominal 8% secara kwartal. Jadi semakin sering ditingkatkan periodenya dalam tingkat bunga tahunan yang
dinyatakan secara nominal, maka akan semakin besarlah nilai mendatangnya, meskipun total periodenya sama. F 12 bulan dengan bunga 8% pertahun
= Rp 10.800,-
F 12 bulan dengan bunga 8% perkwartal
= Rp 10.824,-
2. Tingkat bunga efektif : Tingkat bunga efektif adalah perbandingan antara bunga yang dibayarkan untuk satu tahun terhadap jumlah uang pinjaman pokok yang diterima. Rumus tingkat bunga efektif: Tingkat bunga efektif =
...................................................... (3.5)
dimana : F- P = bunga yang didapat selama suatu periode. Contoh: Jumlah pinjaman yang sama dengan contoh diatas dilipatgandakan dengan tingkat bunga nominal 24% secara setengah tahunan (berarti tingkat bunga 12% per periode dengan n = 2 kali pertahun) maka untuk satu tahun akan menjadi: F12 = Rp 10.000,- ( 1 + 0,12 )2 = Rp 12.544,Rp 12.544,- - Rp 10.000,Tingkat bunga efektif = ————-——-——---—- x 100% Rp 10.000,= 25,44% Tingkat bunga efektif dapat dihitung dengan mengetahui tingkat bunga nominal yaitu
Rumus :
i = er – 1 …………………………………………………….
(3.6)
Dimana : i = tingkat bunga efektif. r = tingkat bunga nominal, e = bilangan eksponen = 2,71828. Jadi berarti bahwa suatu tingkat bunga nominal 24% yang dilipatgandakan secara persetengah tahun akan ekivalen dengan tingkat bunga efektif
25,44%
atas dasar tahunan. Kesimpulan tingkat bunga efektif akan selalu lebih besar dari tingkat bunga nominal.
Tabel 1. dibawah ini menunjukkan perbedaan tingkat bunga nominal dan tingkat bunga efektif.
Tingkat bunga ( % ) nominal 5 Efektif
10
15
20
5,127 10,517 16,183 22,14
25
30
40
45
50
28,403 34,986 49,182 52,831 64,872
Dari Tabel 1. tersebut terlihat bahwa perbedaan pemakaian tingkat bunga nominal dan efektif akan terasa pada tingkat bunga yang besar. Pada
penghitungan
analisis
ekonomi
teknik
umumnya,
pemakaian
inventasi perhitungan keuntungan, nilai yang akan datang dari investasi untuk suatu proyek diperhitungkan pada suatu angka yang pasti pada suatu periode. Demikian pula evaluasinya, juga dilakukan berdasarkan nilai suatu angka pada suatu waktu, tidak menerus (discrete). Pemakaian tingkat bunga efektif dapat dilakukan pada suatu industri yang berproduksi setiap waktu (mis.
Pabrik),
cashflow (aliran dana)
dilakukan
terus menerus (continous). 3.2.3. Rumus-rumus bunga berganda : Untuk menerangkan rumus-rumus ini dipergunakan simbol-simbol sebagai berikut i = Besarnya suku bunga P = Jumlah pinjaman / modal saat ini (Rp). F = Jumlah pinjaman / modal yang akan datang (Rp). A = Jumlah pembayaran tahunan (Rp). n = Jumlah tahun (th). 3.3. Cara pembayaran bunga. Berdasarkan cara pembayarannya, rumus-rumus bunga ini dikelompokan menjadi: A. Pembayaran Tunggal ( Single Payment) Sesuai dengan namanya, peembayaran dan penerimaan uang masingmasing dibayarkan sekaligus pada awal atau akhir dari suatu periode
1)
Faktor jumlah kompon (Compound Amount Factor) Digunakan : untuk mendapatkan nilai yang akan datang (F), bila diketahui nilai sekarang (P) dengan tingkat bunga tertentu (i) serta waktu tertentu (n ). :F=P(l+i)n
Rumus
=P(F/P ,i ,n) ................................................ (3.7)
Contoh: B menanamkan modal sebesar Rp 10.000.000,- dengan tingkat bunga 5% per tahun. Berapa jumlah uangnya setelah disimpan selama 4 tahun ? Jawab : P = Rp 10.000.000,- ; i = 5% ; n = 4 Jumlah uang setelah 4 tahun (F )
= P (F/P , i, n) = Rp 10.000.000,- ( F/P , 5%, 4 ) dapat dilihat pada label
= Rp 10.000.000,- ( 1,2155 ) = Rp 12.155.000.-
2)
Faktor Nilai Sekarang ( Present Worth Factor) Digunakan
: Untuk mendapatkan nilai sekarang ( P ), bila diketahui nilai
yang akan datang (F), dengan suku bunga (i) serta periode waktu (n). Merupakan kebalikan dari faktor jumlah kompon :
Rumus
:P=F
= F ( P/F,I,n ) …………………………
(3.8)
merapakan faktor nilai sekarang dapat dilihat di label
Contoh: Suatu keluarga memperhitungkan bahwa 5 tahun mendatang anaknya yang bungsu
akan
masuk
Perguruan
Tinggi,
sehingga
diperkirakan
akan
membutuhkan biaya sebesar Rp 5.000.000,-. Bila tingkat bunga 6% , maka berapa uang yang haras ditabung sekarang agar pada 5 tahun mendatang mendapatkan uang yang dibutuhkan tersebut ?
Jawab : F = Rp 5.000.000,- ; i = 6% ; n = 5. P = F ( P/F , 6%, 5 ) = Rp 5.000.000,- ( 0,74726 ) = Rp 3.736.300.-
B. Rangkaian Pembayaran Seragam_ ( Uniform Series of Payments ) Dalam rumus-rumus ini pembayaran dilakukan dalam suatu sen (rangkaian) dengan jumlah yang sama pada setiap akhir periode. Ada 4 cara rangkaian pembayaran seragam: 1) Rangkaian Faktor Jumlah Kompon (Series Compound-amount Factor) Digunakan : Untuk mendapatkan nilai mendatang ( F ), bila diketahui pembayaran tahunan (A ), dengan bunga (i) serta periode waktu ( n).
Suatu modal yang diinvestasikan pada suatu periode ( n ) akan memperoleh bunga sebanyak ( n - 1 ). Dari rumus : Fn = P (1 + i)n maka diperoleh : Jumlah gabungan pembayaran:
Jadi :
Periodepertama
: F1
= A (1 + i)n-1
Periode kedua
: F2
= A (1 + i) n-2
Periode ketiga
: F3
= A (1 + i)n-3
Fn
= A (1 + i)n-n
Contoh: Berapakah besar jumlah uang yang dapat dikumpulkan jika dana sebesar Rp 100.000,- diinvestasikan pada tiap akhir tahun untuk jangka waktu 5 tahun, bila ditentukan tingkat bunga 10% per tahun ? Jawab : A = Rp 100.000,- ; i = 10% ; n = 5
F =A
= A(F/A,i,n)
= Rp 100.000,- ( 6,105 ) = Rp 610.500,-
2) Faktor Dana Diendapkan ( Sinking Fund Factor ) Digunakan : Untuk mendapatkan suatu nilai tahunan (A), bila diketahui nilai mendatang (F). Pada kondisi riil dapat dikatakan juga sebagai suatu annual yang diendapkan ( sink ) / ditanamkan sebagai suatu modal untuk suatu periode tertentu.
Rumus : A = F
= F (A/F,i,n) ……………………….
(3.10)
Contoh: Pak Raden ingin mengumpulkan uang untuk membeli rumah setelah ia pensiun. Diperldrakan 5 tahun lagi dia akan pensiun. Jumlah uang yang diperlukan sebesar Rp 50.000.000,-. Berapa jumlah uang yang harus ditabung olehnya setiap tahun ? tingkat bunga 12% per tahun. Jawab : F
= Rp 50.000.000,- ; i = 12% ; n = 5
A
= Rp 50.000.000,- ( A/F , 12% , 5 ) = Rp 50.000.000,- ( 0,1574 ) = Rp 7.870.000.-
3) Faktor Pemulihan Modal ( Capital-Recovery Factor ) Digunakan :Untuk mendapatkan nilai tahunan (A), bila diketahui nilai sekarang (P) dengan tingkat bunga tertentu (i) serta periode waktu tertentu (n).
Dapat juga dikatakan sebagai suatu angka annual yang dikumpulkan sebagai suatu pengembalian modal.
Dari rumus :
A =F kita substitusikan : F = P (1 + i )n akan didapatkan : A = P (l+i)n
A=
= P(A/P,i,n) ………………………….
(3.11)
Contoh : Orang tua si Polan menabung sebesar Rp 10.000.000,- di sebuah bank. Setiap tahun bank akan membayar kepada Polan sejumlah uang yang sama setiap tahunnya sebagai biaya pendidikan. Pembayaran dimulai akhir tahun pertama selama 10 tahun. Jika tingkat bunga sebesar 10% per tahun, berapa jumlah uang yang akan diterima oleh Polan setiap tahunnya ? Jawab : P
= Rp 10.000.000,- ; i = 10% ; n = 10
A
= Rp 10.000.000,- ( A/P , 10% , 10 ) = Rp 10.000.000,- ( 0,16275 ) = Rp 1.627.500,-
4) Faktor Nilai Sekarang ( Series Present- Worth Factor) Digunakan : Untuk mendapatkan nilai sekarang ( P), bila diketahui nilai tahunan (A) dengan tingkat suku bunga tertentu (i) serta periode waktu tertentu (n)
Rumus : P = A
= A (P/A,I,n) ……………………………
(3.12)
Contoh: Suatu pinjaman dalam rangka investasi ditentukan tiap pembayaran pada akhir tahun sebesar Rp 10.000.000,- dan harus diselesaikan dalam waktu 5 tahun. Hitunglah nilai sekarang dari pinjaman tersebut jika tingkat bunga ditentukan 8% per tahun. Jawab : A
= Rp 10.000.000,- ; i = 8% ; n = 5
P
= Rp 10.000.000,- (P/A, 8% , 5 ) = Rp 10.000.000,- ( 3,9926 ) = Rp 39.926.000,-
Tabel 2. Gambaran skematis penggunaan faktor-faktor. Pembayaran tunggal Waktu
Seri pembayaran seragam
Penggunaan Penggunaan Penggunaan Penggunaan Penggunaan Penggunaan F/P
Sekarang
P/F
P
A/F
P/A
A/P
-
- -
Akhir th.1
A
AA
A
Akhir th.2
A
AA
A
Akhir th.3
A
AA
A
Akhir th .n-1
A
AA
A
A A
A
Akhir th.n
P
F/A
F
F
A
F F
P P
Hal-hal yang perlu diketahui dari penggunaan faktor-faktor di atas : 1) Akhir dari suatu tahun adalah merupakan permulaan dari tahun berikumya 2) P berlaku pada permulaan suatu tahun, yang dianggap merupakan saat ini (sekarang). 3) F atau S berlaku pada akhir setiap tahun dari suatu periode yang diperbincangkan. 4) Apabila terdapat P dan A, maka A yang pertama dari sen pembayaran terjadi satu tahundari P. 5) Apabila terdapat
S dan A, maka A yang terakhir dari seri pembayaran
terjadi pada saat yang bersamaan dengan S atau F.
-
Hubungan antara Faktor Bunga Berganda
Pembayaran tunggal:
(P/F, I, n) =
Rangkaian Pembayaran Seragam a.
(A/P,i,n) =
b.
(F/A,i,n) =
c.
(P/A,i,n) =
(P/F,i,J)
Contoh : (P/A,5%,4) = (P/F,5%,1) + (P/F,5%,2) + (P/F,5%,3) + (P/F,5%,4) 3,546 = 0,9524 + 0,9070 + 0,8638 + 0,8227
d.
(F/A,i,n) = 1 +
(F/P,I,j)
Contoh : (F/A, 5%, 4) = 1 + (F/P, 5%, 1) + (F/P, 5%, 2) + (F/P, 5%, 3) 4,310
e.
= 1 + 1,050 + 1,102 + 1,158
(A/P, i, n) = (A/F , i, n) + i
Contoh: (A/P, 5%, 4) = (A/F, 5%, 4) + 0,05 0,2820 = 0,2320 + 0,05
Dapat dibuktikan pula dengan : (A/P,I,n) = (A/F,I,n) + 1
=
+i X (1+i)n – 1
n
n
i (1+i) = i + i (1+i) – i = i (1+ i )
n
Contoh penggunaan Tabel Bunga i = 5% Faktor pembayaran
Faktor rangkaian pembayaran seragam
tunggal
n 1 2 3 4
CAP F/P 1.0500 1.1025 1.1576 dst
PWF P/F 0.9524 0.9070 0.8638
CAF F/A 1.0000 2.0500 3.1525
PWF P/A 0.9524 1.8594 2.7232
SFF A/F 1.0000 0.4878 0.3172
CRF A/P 1.0500 0.5378 0.3672
n 1 2 3
Uang sebanyak Rp 10.000,-. sekarang ( P ). Berapajumlahuangtersebutpada 3 tahun kemudian bila bunga (i) = 5%? F = P (F/P, i%, n) = Rp 10.000,00 (F/P, 5%. 3) = Rp 10.000,00 (1.1576) = Roll.576.00
3.4. Arithmetic Gradient. Pembayaran atau penerimaan tahunan yang kita pelajari sampai saat ini adalah pembayaran atau penerimaan tahunan yang seragam dengan periode pembayaran yang sama. Pada kenyataannya sering terjadi pembayaran atau penerimaan tahunan tidak seragam (konstan) yaitu mengalami perabahan penambahan atau pengurangan setiap tahunnya. Seperti misalnya pada pembelian peralatan pertanian yang membutuhkan biaya pemeliharaan menurut
pengalaman
menunjukkan
tendensi
kenaikkan
setiap
tahunnya.
Untuk
mempermudah perhitungan sebaiknya kita rumuskan dahulu sebuah metode untuk mendapatkan rangkaian seragam yang ekivalen dari suatu jumlah pembayaran ataupun penerimaan yang bertambah atau berkurang setiap tahunnya dengan suatu jumlah yang seragam. Seri pembayaran dengan perubahan (kenaikkan/penurunan) yang seragam ini dapat dianggap menjadi 2 bagian yaitu merupakan suatu seri pembayaran per periode dengan jumlah yang seragam ( A ) dan suatu seri pembayaran dengan perubahan. Gambar aliran uang tunainya seperti terlihat dibawah ini:
Dari gambar diatas dapat dituliskan secara matematik sebagai berikut: P - F + P" = A(P/A,i,n) + G(P/G,i,n) Aliran dana tahunan yang mengalami kenaikkan tersebut:
Aliran dana dengan kenaikkan yang seragam tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:
Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut: F = F' + F" + F'" + F’’’’ 3.4.1. Annuity Due: Pada ramus-rumus bunga yang telah dipelajari semua seri pembayaran dilakukan pada akhir tiap periode pembayaran. Bila suatu seri pembayaran dilakukan pada permulaan setiap periode pembayaran maka hal ini disebut dengan annuity due. Sehingga untuk melakukan perhitungan perlu diadakan penyesuaian. Langkah-langkah yang perlu dilakukan :
Gambar 1 . Diagram alir uang tunai Annuity Due.
Dari gambar diatas dianggap bahwa : 1.
P = P.i , kemudian F = Fn-i (gambar digeser kekiri). Jadi P.i = A ( P/A, i , n ) dan Fn-1 = A ( F/A, i , n )
2.
Po dapat dicari dari nilai P.i yang diperoleh dengan menganggap Po sebagai F. Jadi P0= P-1(F/P,i,l)
3.
Fn dapat dicari dari nilai Fn-1 yang dianggap sebagai P. Jadi Fn = Fn-1 ( F/P, i , 1 ).
Contoh: Bila Anda menyimpan Rp 1.000.000,- pada awal tahun 2004, lalu pada akhir 2004 s/d akhir 2009 setiap akhir tahun sebesar Rp 1.000.000,-, berapa nilai uang Anda pada akhir tahun 2009; dengan tingkat bunga 10% ?
Jawab :
P-1 = Rp 1.000.000.-(P/A, 10%, 6)
= Rp 1.000.000.-(4,3553) = Rp 4.355.300,-
P0 = Rp 4.355.300,- ( F/P, 10%, 1 ) = Rp 4.355.300,- ( 1,1000 ) = Rp 4.790,830,F = Rp 4.790.830,- ( F/P, 10%, 6 ) = Rp 4.790.830,- ( 1,7716 ) = Rp 8.487.434.Atau dapat juga dengan cara sebagai berikut: Fn-1= P.i (F/P, 10%,6) = Rp4.355.300,- (1.7716) = Rp7.715.850,F = Fn-1 ( F/P, 10%, 1 ) = Rp7.715.850,- ( 1,1000 ) = Rp 8.487.434.3.4.2. Deferred Annuity : Rangkaian pembayaran dengan jumlah yang sama tetapi pembayarannya tidak dilakukan pada awal atau akhir periode pertama melainkan pada beberapa (k) periode sesudahnya. Sehingga penyelesaiannya dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Gambar 2. Diagram aliran uang tunai dari Deferred Annuity.
Berdasarkan gambar diatas pembayaran ditangguhkan selama k periode. Pembayaran pertamanya dilakukan pada akhir periode (k + 1) selama m periode.
Penyelesaian diagram diatas adalah sebagai berikut: 1. Dicari Pk = A(P/A,i,m) 2. Po = Pk (P/F,i,k) Contoh: Hitunglah nilai sekarang dari suatu anuitas yang ditangguhkan 6 tahun pembayarannya (deferred annuity) sebesar Rp 5.000.000,- per tahuffliya untuk jangka waktu 12 tahun, jika tingkat bunga yang berlaku sekarang 5% ?
P6 = Rp 5.000.000,- (P/A, 5%, 12) = Rp 5.000.000,-( 8,8631 ) = Rp 44.315.500,P0 = Rp 44.315.500,- ( P/F, 5%, 6 ) = Rp 44.315.500,- ( 0,74622 ) = RP 33.069.112.-
