BAB 2 TEORI DASAR. Getaran sering dirasakan oleh manusia pada kehidupan sehari-hari. Suatu

BAB 2

TEORI DASAR

2.1 UMUM Getaran sering dirasakan oleh manusia pada kehidupan sehari-hari. Suatu benda akan bergetar apabila terdapat sumber energi yang diteruskan sampai ke benda yang bersangkutan. Gempa bumi misalnya, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga dapat menimbulkan getaran. Energi mekanik akibat rusaknya struktur batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah menjadi energi gelombang yang menggetarkan batuan sekelilingnya. Getaran batuan akibat gempa bumi selanjutnya diteruskan oleh media tanah sampai pada permukaan tanah. Tanah yang bergetar akibat gempa akan mengakibatkan bangunan yang berada di atas tanah ikut bergetar. Kerusakan bangunan sering terjadi akibat peristiwa gempa bumi seperti ini, khususnya pada daerah-daerah tertentu. Gempa bumi merupakan salah satu bagian daripada jenis beban yang dapat membebani struktur selain beban mati, beban hidup dan beban angin. Beban gempa memang tidak selalu diperhitungkan dalam perencanaan atau analisa struktur. Namun bagi struktur yang dibuat pada suatu lokasi dimana gempa bumi dapat terjadi maka analisa ini harus dibuat. Kerusakan bangunan akibat gempa bumi dapat diantisipasi dengan beberapa metode, baik secara konvensional maupun secara teknologi. Pada saat sekarang ini para ahli telah menemukan sistem base isolator untuk memproteksi

Universitas Sumatera Utara

struktur dari bahaya gempa, yang dikenal dengan Multi Friction Pendulum System (MFPS). Multi Friction Pendulum System (MFPS) adalah salah satu dari system isolasi dasar yang telah berkembang sejak penemuan bahan composite teflon sebagai lapisan permukaan dengan tingkat durabilitas yang tinggi serta koefisien gesekan yang kecil. Penggunaan base isolator baik secara teoritis maupun experimental telah terbukti efektif untuk mereduksi gaya gempa yang bekerja pada struktur bangunan. Hasil percobaan yang pernah dilakukan beberapa ahli sebelumnya, menunjukkan energi gempa dapat diisolasi oleh kekakuan geser yang kecil dari isolator. Dengan adanya redaman gesekan yang dihasilkan oleh mekanisme gesekan dari pergeseran antar muka dapat mereduksi perpindahan isolator secara efektif. Berhubung kekakuan strukur bangunan atas jauh lebih besar dari isolator dasar, maka bangunan atas dapat dimodelkan sebagai rigid body akibat gaya gempa. Jadi ragam pertama hanya menimbulkan deformasi lateral pada system isolasi dasar. Friction Pendulum System (FPS) merupakan salah satu sistem base isolator jenis geser yang telah terbukti secara efisien untuk mereduksi gaya gempa yang bekerja pada struktur. Sistem ini akan memisahkan bangunan atau struktur dari komponen horizontal pergerakan tanah dengan menyisipkan bahan isolator dengan kekakuan geser yang relative kecil antara bangunana atas dengan pondasinya. Bangunan dengan sistem ini akan mempunyai waktu getar yang lebih besar dibandingkan dari bangunan konvensional. Akibatnya percepatan gempa yang bekerja pada bangunan menjadi lebih kecil.


Sistem Friction Pendulum System (FPS) pertama kali dikembangkan dengan hanya satu permukaan cekung oleh A. Zayas pada tahun 1987 ( Taylor, W.A dan Igusha, T. 2004 ). Namun, penelitian yang terus menerus dilakukan oleh para ahli ( Tsai C.S et.al 2003, 2004, Constantinou C.M 2004 ) untuk meningkatkan efektif dan kinerja isolasi dasar, maka telah melahirkan penemuan yang disebut Multi Friction Pendulum System (MFPS) yang mempunyai dua permukaan cekung dan dilengkapi dengan articulted slider. Sistem ini mempunyai kapasitas tahanan terhadap perpindahan dua kali lebih besar dari FPS. Penggunaan composite teflon sebagai bahan lapisan permukaan cekung yang memiliki durabilitas yang sangat tinggi menyebabkan system ini mampu menahan tegangan tekan yang tinggi dan pembebanan siklis sampai ribuan kali tanpa mengalami perubahan / kerusakan secara visual. Percobaan beban siklis yang dilakukan di National Centre for Research Earthquake Engineering (NCREE) di Taiwan (Tsai C.S et.al 2003) dan di Universitas Buffalo New York (Constantinou C.M 2004) menunjukkan kurva histeresis loop sangat stabil walaupun dibebanin ratusan siklis. Aplikasi penggunaan isolasi seismic pada bangunan penting seperti rumah sakit, telekomunikasi, pusat komputer, apartement, bangunan kantor, gedung perkuliahan, bangunan komersial, bangunan berbahaya seperti instalasi nuklir, bahan kimia dan bangunan bersejarah terus meningkat sejak gempa Kobe dan Northrigde. Untuk bangunan rumah sakit, pembangkit listrik, telekomunikasi harus diberi perhatian lebih khusus, berhubung bangunan ini harus tetap berfungsi bila terjadi gempa.


Kegunaan base isolator yakni meningkatkan daya tahan struktur terhadap gempa telah dibuktikan dari percobaan dan study teori sebagai suatu cara yang efisien. Beban dinamis adalah beban yang berubah-ubah menurut waktu, arah maupun posoisinya. Beban dinamis dapat dikatagorikan dalam dua hal yaitu beban periodik maupun beban non periodik. Dalam hal ini beban dinamis yang dimaksud adalah beban atau gaya gempa. Gaya gempa tidak dapat diprediksi kapan datangnya, sehinga ketika gempa menimpa struktur bangunan maka ada hal yang dapat dilihat. Bangunan itu tetap kokoh tanpa ada korban jiwa, bangunan rusak tanpa ada korban jiwa, dan bisa juga bangunan rusak serta terdapat korban jiwa. Gaya gempa adalah goncangan alamiah bersumber bumi. Goncangan alamiah yang mengguncang bumi beserta apa saja yang ada di atasnya pada hakekatnya adalah perambatan energi berwujud gelombang. Energi yang merambat di dalam bumi atau lapisan tanah atau di dalam air laut menciptakan goncangan pada bumi yang di kenal gempa bumi atau tsunami. Pada dasarnya telah diketahui bahwa bagian permukaan bumi kita ini terdiri dari lempeng-lempeng bumi yang disebut lempeng tektonik (tectonic plate). Oleh energi yang terdapat di dalam bumi (hotspot, arus konveksi dll.), lempeng-lempeng itu digerakkan satu dengan lainnya. Lempeng-lempeng tektonik tadi bergerak satu terhadap lainnya dengan kecepatan antara 2 cm/tahun sampai 15 cm/tahun. Pergerakkan lempeng-lempeng itu ada yang saling menjauh (berpisah), ada yang saling berpapasan berlawanan arah. Ada pula yang saling bertemu atau bertubrukkan. Semua jenis pergerakkan lempeng tektonik telah menciptakan daerah bergempa, yang berbeda adalah


kekuatan gempa yang tersimpan di dalam bumi pada batas-batas pertemuan lempeng bumi itu. Energi gempa yang paling besar terdapat pada batas pertemuan atau perbenturan lempeng tektonik. Energi yang tersimpan pada jalur perbenturan lempeng bumi itu telah menimbulkan gempa bumi besar. Proses tekan menekan dan desak mendesak diantara massa bumi pada lempeng-lempeng tektonik telah menciptakan pengumpulan dan penimbunan energi di dalam bumi. Jangka waktu proses penimbunan dan pelepasan energi yang menimbulkan gempa bumi itu berlangsung antara 30-600 tahun. Terdapat variasi siklus berulang gempa antara satu kawasan dengan kawasan lain, ada siklus kejadian gempa bumi 30-50 tahunan, ada 100 tahun, 200 tahun dan 600 tahun. Energi yang terkumpul atau tersimpan di dalam bumi / massa batuan pada suatu saat tidak mampu lagi ditahan oleh massa bumi dan akhirnya bumi / batuan itu pecah / remuk / patah atau sobek (rupture). Pada saat bumi itu remuk atau pecah disaat itulah energi dilepaskan dan bergerak dalam wujud gelombang. Energi yang bergerak dalam wujud gelombang yang merambat di dalam tanah di daratan disebut gempa bumi. Dan yang merambat di dalam air laut disebut tsunami, sedangkan yang merambat di dalam danau disebut ’seische’. Permasalahan gaya gempa ini berbeda dengan pembebanan- pembebanan statis, sehingga dalam perhitungannya gaya gempa tidak mempunyai solusi tunggal seperti pada gaya statis karena respon dan beban berubah menurut waktu. Besarnya tingkat pembebanan gempa berbeda-beda dari satu wilayah kewilayah lain, yang tergantung pada keadaan seismetektonik, geografi dan geologi setempat. Analisa gempa terutama pada bangunan tinggi perlu dilakukan karena pertimbangan keamanan struktur dan kenyaman penghuni bangunan.


Beban gempa yang terutama dalam arah mendatar akan menimbulkan simpangan (driff) yang perlu dikontrol. Dalam perencanaan struktur atau bangunan yang mempunyai ketahanan terhadap gempa dengan tingkat keamanan yang memadai, struktur yang harus dirancang dapat memikul gaya horizontal atau gaya gempa. Yang harus diperhatikan adalah bahwa struktur dapat memberikan layanan yang sesuai dengan perencanaan. Menurut T. Paulay (1988), tingkat layanan dari struktur gaya gempa terdiri dari tiga, yaitu: 1. Serviceability. Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam waktu ulang yang besar mengenai struktur, disyaratkan tidak mengganggu fungsi bangunan, seperti aktivitas normal didalam bangunan dan perlengkapan yang ada. Artinya tidak dibenarkan ada terjadi kerusakan pada struktur baik pada komponen struktur maupun dalam elemen non-struktur yang ada. Dalam perencanaan harus diperhatikan kontrol dan batas simpangan (driff) yang dapat terjadi semasa gempa, serta menjamin kekuatan yang cukup bagi komponen struktur untuk menahan gaya gempa yang terjadi dan diharapkan struktur masih berprilaku elastis. 2. Kontrol kerusakan. Jika struktur dikenai gempa dengan waktu ulang sesuai dengan umur atau, masa rencana bangunan, maka struktur direncanakan untuk dapat menahan gempa ringan atau gempa kecil tanpa terjadi kerusakan pada komponen struktur ataupun maupun komponen non-struktur, dan diharapkan struktur dalam batas elastis. 3. Survival Jika gempa kuat yang mungkin terjadi pada umur/ masa bangunan yang


direncanakan membebani struktur, maka struktur direncankan untuk dapat bertahan dengan tingkat kerusakan yang besar tanpa mengalami kerusakan dan keruntuhan

(collapse). Tujuan utama dari keadaan batas ini adalah untuk

menyelamakan jiwa manusia. Pengaruh gempa bumi yang sangat merusak struktur bangunan adalah load pad dari komponen gaya atau getaran horizontal. Getaran horizontal tersebut menimbulkan gaya reaksi yang besar, bahkan di lokasi puncak atau ujung bangunan dapat mengalami pembesaran hingga dua kalinya. Bila aliran gaya pada bangunan itu lebih besar daripada kekuatan struktur maka bangunan itu akan rusak parah. Untuk daerah yang rawan gempa bumi dibutuhkan ekstra kewaspadaan dan solusi teknologi tepat guna yang mampu meminimalkan korban jiwa dan harta benda. Untuk itu betapa pentingnya penerapan teknologi yang tepat guna. Dalam hal ini penggunaan sistem Multi Friction Pendulum System (MFPS) sesuai dengan hal di atas.

2.2 DINAMIK KARAKTERISTIK STRUKTUR BANGUNAN Pada persamaan difrensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik yang tidak semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan elemen / struktur adalah salah satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak dipakai.


2.2.1 Massa Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang ada. Terdapat dua permodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur. 2.2.1.1 Model Lumped Mass Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa diangggap menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) join atau tempat-tempat tertentu. Dalam hal ini gerakan / degree of freedom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik nodal yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian off-diagonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa ( rotation degree of freedom ), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.


Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja. 2.2.1.2Model Consistent Mass Matrix Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu. Apabila tiga derajat

kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi)

diperhitungkan pada setiap node maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan full-populated consistent matrix artinya suatu matriks yang offdiagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Pada lumped mass model tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian maka mass moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus diperhitungkan. Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai.


2.2.2 Kekakuan kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau Eigenproblem. Hubungan tersebut akan menetukan nilai frekuensi sudut ω, dan periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur. Pada prinsip bangunan geser ( shear building ) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok sehingga anggapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsif shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung berdasarkan rumus yang telah ada. Pada prinsipnya, semakin kaku balok maka semakin besar kemampuannya dalam mengekang rotasi ujung kolom, sehingga akan menambah kekuatan kolom. Perhitungan kekakuan kolom akan lebih teliti apabila pengaruh plat lantai diperhatikan sehingga diperhitungkan sebagai balok T.


2.2.3 Redaman Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi ( energi dissipation) oleh struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material, pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun system dukungan, pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastic pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur.

2.3

SIMPANGAN (DRIFF) AKIBAT GAYA GEMPA Simpangan (driff) adalah sebagai perpindahan lateral relative antara dua

tingkat bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar tiaptiap tingkat bangunan (horizontal story to story deflection). Simpangan lateral dari suatu system struktur akibat beban gempa adalah sangat penting yang dilihat dari tiga pandangan yang berbeda, menurut Farzat Naeim (1989): 1. Kestabilan struktur (structural stability) 2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan bermacam-macam komponen bukan struktur 3. Kenyaman manusia (human comfort), sewaktu terjadi gempa bumi dan sesudah bangunan mengalami gerakan gempa.


Dalam pada itu juga, Richard N. White (1987) berpendapat bahwa dalam perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan (deflection), bukannya oleh kekuatan (strength). Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan sebagai simpangan horizontal titik itu, relative terhadap titik yang sesuai pada lantai yang berada dibawahnya. Perbandingan antar simpangan antar tingkat dan tinggi tingkat yang bersangkutan tidak boleh melebihi 0.005 dengan ketentuan dalam segala hal simpangan tersebut tidak boleh lebih dari 2 cm. Terhadap simpangan antar tingkat telah diadakan pembatasan-pembatasan untuk menjamin agar kenyamanan bagi para penghuni gedung tidak terganggu dan juga untuk mengurangi momen-momen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis kerja gaya aksial didalam kolom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta). Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story driff atau simpangan antar tingkat adalah sebagai berikut: Untuk periode bangunan yang pendek T< 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat Δm ≤ 0.0025Ih atau 2.5% dari tinggi bangunan. Untuk periode bangunan yang pendek T> 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat Δm ≤ 0.002Ih atau 2.0% dari tinggi bangunan.


2.4

DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM, DOF) Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang

diperlukan untuk menyatakan posisi suatu system pada setiap saat. Pada masalah dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negative ataupun bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpangan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu Y(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF system). Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derjat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom (MDOF). Akhirnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.

2.4.1 Persamaan Differensial Pada Struktur SDOF System derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah salah satu contoh bangunan derajat kebebasan tunggal.


Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF system. Tampak bahwa P(t) adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, dan c seperti yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom dan redaman.

Gambar 2.1 Permodelan Struktur SDOF

Apabila beban dinamik P(t) bekerja kearah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti pada gambar 2.1.c. Gambar 2.7.d. adalah gambar keseimbangan dinamik yang bekerja pada massa m. Gambar-gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan, p(t) – f S – f D = mÿ atau mÿ + f D + f S = p(t)

(2.4.1)


dimana: f D = c.ý f S = k.y

(2.4.2)

Apabila persamaan (2.4.1) disubtitusikan ke persamaan (2.4.2), maka akan diperoleh mÿ+ cý+ ky = p(t)

(2.4.3)

Persamaan (2.4.3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). pada problema dinamik. Yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaaan tersebut adalah y(t).

2.4.2 Persamaan Difrensial Struktur SDOF akibat Base Motion Beban dinamik yang umum dipakai pada analisa struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselogram. Tanah yang bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar termasuk

struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan

bahwa antara fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama atau fondasi dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah dan fondasi tidak akan bergerak secara bersamaan. Fondasi masih akan bergerak horizontal relative terhadap tanah yang mendukungnya. Kondisi seperti ini cukup


rumit karena sudah memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil-structure interaction analysis. Untuk menyusun persamaan difrensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan difrensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat dirturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Struktur SDOF Akibat Base Motion

Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar di atas maka deformasi total yang terjadi adalah ytt (t) = y(t) + y g (t)

(2.4.4)


Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia f 1 tampak bahwa persamaan kesetimbangannya menjadi fI + fD + fS = 0

(2.4.5)

dimana inersia adalah, f I = myt

(2.4.6)

Dengan mensubstisusikan persamaan (2.4.2) dan (2.4.6) ke (2.4.4) dan (2.4.6),sehingga diproleh persmaaannya sebagai berikut, my + cy + ky= - mÿ g (t)

(2.4.7)

Persamaan tersebut disebut persamaan difrensial relative karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relative. Ruas kanan pada persamaan (2.4.7) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa: Peef (t) - mÿ g (t).

(2.4.8)

2.4.3 Persamaan Difrensial Struktur MDOF 2.4.3.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip


keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF. Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut pada pembahasan mendatang.

Berdasarkan pada

keseimbangan dinamik pada free body diagram. maka akan diperoleh :

m1 y1 + k1 y1 + c1 y1 − k 2 ( y 2 − y1 ) − c 2 ( y 2 − y1 ) − F1 (t ) = 0

(2.4.9)

m2 y2 + k 2 ( y 2 − y1 ) + c2 ( y 2 − y1 ) − k 3 ( y 2 − y1 ) − c2 ( y 3 − y 2 ) F2 (t ) = 0 m3 y3 + k 3 ( y 2 − y1 ) + c 3 ( y 3 − y 2 ) − F1 (t ) = 0

(2.4.10) (2.4.11)

Pada persamaan-persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan tergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain. Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut parameter yang sama (percepatan, kecepatan dan simpangan) selanjutnya akan diperoleh :


m1 y1 + (c1 + c 2 ) y 1 − c 2 y 2 + (k1 + k 2 ) y1 − k 2 y 2 ) = F1 (t )

(2.4.12)

m 2 y2 − c 2 y 1 + (c 2 + c 3 ) y 2 − c 3 y 3 y1 + (k 2 + k 3 ) y 2 − k 3 y 3 = F2 (t )

(2.4.13)

m3 y3 − c 3 y 2 + c 3 y 3 − k 3 y 2 + k 3 y 3 = F3 (t ) (8.2)

(2.4.14)

Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

m1 0 0   y1  c1 + c2 0 m 0   y  +  − c 2 2  2    0 0 m3   y3   0

− c2 c2 + c3 − c3

0   y1  k1 + k2   − c3   y2  +  − k2 0 c3   y3  

− k2 k 2 + k3 − k3

  y1   F1 (t )      − k3   y2  =  F2 (t ) k3   y3   F3 (t ) 

0

(Pers. 2.4.14 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks, [M]{Ÿ} + [C]{Ỳ} + [K]{Y} = {F(t)}

(2.4.15)

Yang mana [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi, c1 + c2  −c 2   0

m1 0 0  [M] = 0 m2 0  , [C] = 0 0 m3  k1 + k 2 [K] =  − k 2  0

− k2

− c2 c2 + c3 − c3

0  − c3  , c3 

 − k3  k3 

0

k 2 + k3 − k3

(2.4.16)

Sedangkan {Ÿ}, {Ỳ} dan {Y} dan {F(t)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, atau,  y1    {Ϋ} =  y2  , { Y } =  y   3

 y 1     y 2  , {Y} =  y   3

 y1     y 2  dan {F(t)} = y   3

 F1 (t )     F2 (t )  F (t )   3 

(2.4.17)


Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan f S , f D , dan f 1 (Chopra, 1995)

2.4.3.2 Matriks Redaman Pada persamaan diferensial di atas, maka tersusunlah berturut-turut matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa kekakuan kolom sudah dapat dihitung secara lebih pasti. Kekakuan kolom dapat dihitung berdasarkan model kekakuan balok yang dipakai. Dengan demikian matriks kekakuan sudah dapat disusun dengan jelas. Pada bagian lain yang sudah dibahas adalah massa struktur. Apabila model distribusi massa struktur sudah dapat dikenali dengan baik, maka massa setiap derajat kebebasan juga dapat dihitung dengan mudah. Akhirnya matriks massa juga dapat disusun secara jelas. Maka sesuatu yang perlu dibahas lebih lanjut adalah matriks redaman. Sebelum menginjak matriks redaman maka akan dibahas terlebih dahulu jenis dan sistem redaman.


2.4.3.3 Non Klasikal / Non Proporsional Damping Apabila matriks massa dan matriks kekakuan telah dapat disusun, maka selanjutnya tinggallah matriks redaman. Pada struktur SDOF, koefisien redaman c dapat dihitung yaitu merupakan produk antara rasio antara redaman-redaman kritik. Pada Bab III telah dibahas tentang sistem redaman yaitu redaman klasik (clasiccal damping) dan redaman non-klasik (non clasiccal damping). Damping non-klasik dapat tergantung pada frekuensi (frequency dependent). Clough dan Penzien (1993) memberikan contoh damping non-klasik. Pada gambar 2.4.a tampak kombinasi antara struktur beton di bagian bawah misalnya dan struktur baja pada bagian atas. Jenis bahan akan mempengaruhi rasio redaman. Antara struktur beton dan struktur baja akan mempunyai perbedaan rasio redaman yang cukup signifikan. Oleh karena itu sistem struktur mempunyai rasio redaman yang berbeda. Prinsip non-klasikal damping akan berlaku pada struktur tersebut. Pada gambar 2.4.b adalah sistem struktur yang memperhitungkan efek / pengaruh tanah dalam analisis struktur. Analisis struktur seperti itu biasanya disebut analisis interaksi antara tanah dengan bangunan (soil-structure interaction analysis).

Struktur tanah umumnya

mempunyai kapasitas meredam energi atau mempunyai rasio redaman yang jauh lebih besar daripada bangunan atas. Disamping itu interaksi antara tanah dan fondasi sebenarnya adalah interaksi frequency dependent, artinya kualitas interaksi akan dipengaruhi oleh frekuensi beban yang bekerja.


Gambar 2.4 Struktur Dengan Damping Non-Klasik (Clough & Pensien, 1993)

Apabila interaksi antara tanah dengan struktur dipengaruhi frekuensi, maka kekakuan dan redaman interaksi juga frequency dependent. Pada kondisi tersebut sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes (akan dibahas kemudian). Dengan memperhatikan kenyataan-kenyataan seperti itu maka ada empat hal yang perlu diperhatikan. Pertama rasio redaman struktur atas yang dipengaruhi oleh level respon, kedua rasio redaman pada stuktur atas dan bawah sangat berbeda, ketiga rasio redaman struktur bawah tergantung pada frekuensi beban dan keempat sistem struktur tidak akan mempunyai standar mode shapes. Apabila analisis struktur akan memperhatikan hal itu semua, maka problemnya tidak hanya terletak pada redaman tetapi penyelesaian yang komprehensif terhadap sistem struktur. Penyelesaian soil-structure interaction pada bangunan bertingkat banyak sungguhlah tidak sederhana. Oleh karena itu memperhitungkan redaman non-klasik ini memerlukan kemampuan yang sangat khusus.


2.4.3.4 Klasikal / Proposional Damping Damping dengan sistem ini relatif sederhana bila dibanding dengan nonklasikal damping. Namun demikian penggunaan sistem damping seperti ini juga terbatas, yaitu hanya dipakai pada analisis struktur yang tidak memperhatikan interaksi antara tanah dengan bangunan. Ada juga yang memakainya, namun hal itu disertai dengan anggapan-anggapan. Analisis struktur yang menggunakan damping jenis ini adalah analisis struktur elastik maupun inelastik yang mana struktur bangunan dianggap dijepit pada dasarnya. Pada analisis dinamik yang menggunakan superposisi atas persamaan independen (uncoupled modal superposition method) maka masih dapat dipakai prinsip ekivalen damping rasio, yaitu yang dinyatakan dalam bentuk, Cj = 2 ξj Mj ω j (2.4.18) yang mana C j , M j adalah suatu simbol yang berasosiasi dengan mode j, ξ dan ω j berturut-turut adalah rasio redaman dan frekuensi sudut mode ke-j. Untuk menyederhanakan persoalan umumnya dipakai rasio redaman yang konstan, artinya nilai rasio redaman diambil sama untuk semua mode. Apabila hal ini telah disepakati maka analisis dinamik struktur dengan modal analis tidak memerlukan matriks redaman. Cara ini mempunyai kelemahan, karena pada mode yang lebih tinggi umumnya frekuensi sudut ω dan rasio redaman ξ akan lebih besar. Pada analisis dinamik yang melakukan integrasi secara langsung dan analisis dinamik inelastik, maka konsep ekivalen damping ratio sebagaimana tercantum pada persamaan 2.4.18 tersebut tidak dapat dipakai. Pada kedua analisis


ini diperlukan suatu matriks redaman, dan oleh karenanya matriks redaman perlu disusun. Didalam analisis tersebut damping matriks disusun berdasarkan satu dan dua nilai proporsional damping. Terdapat beberapa sistem redaman proporsional yang dapat disusun yang secara skematis ditunjukkan oleh gambar 2.5

Gambar 2.5 Jenis-Jenis Proporsional Damping

2.4.4

Getaran Bebas Pada Struktur MDOF

2.4.4.1 Nilai Karakteristik (Eigenproblem) Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasanpembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut ω, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes. Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah seperti pada persamaan 8.8), dengan nilai ruas kanan sama dengan nol atau, [M]{Ÿ} + [C]{Ỳ} + [K]{Y} = 0

(2.4.19)


Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman (damped frequency) ω d nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman ω. Hal ini akan diperoleh apabila nilai damping ratio ξ relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers. 2.4.19 akan menjadi, [M]{Ÿ} + [K]{Y} = 0

(2.4.20)

Karena pers. 2.4.20 adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan diferensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk, Y = {Ф} i sin (ωt) Ý = - ω{Ф}i cos (ωt) Ÿ = - ω2 {Ф} i sin (ωt)

(2.4.21)

Yang mana {Ф} i adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers. 2.4.21 ke dalam pers. 2.4.20 selanjutnya akan diperoleh, - ω2 [M] {Ф} i sin (ωt) + [K] sin (ωt) = 0 {[K] - ω2 [M]}{Ф} i = 0

(2.4.22)

Pers.2.4.22 adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue problem. Pers. 2.4.22 tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752).


Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {Ф} i adalah nol, sehingga, |[K] - ω2 [M]| = 0

(2.4.23)

Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis / pola / ragam getaran/ goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari properti dinamik dari struktur yang bersangkutan (dalam hal ini adalah hanya massa dan kekakuan tingkat) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis ”mode” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan langsung dengan jenis / nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan 9.5) akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan ω 1 2 untuk i = 1, 2,3 ...n. Selanjutnya, substitusi masing-masing frekuensi ω 1 ke dalam persamaan 9.4 akan diperoleh nilai-nilai Ф 1 , Ф 2 ,........ Ф n.

2.4.4.2 Frekuensi Sudut (ω) dan Normal Modes Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0.


Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut.

Gambar 2.6 Bangunan 2-DOF dan Model Matematika Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragam / pola goyangan. Normal modes adalah suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan. Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan diferensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 9.1. c dan diperoleh,

m1 y1 + k1 y1 − k 2 ( y 2 − y1 ) = 0 m 2 y2 + k 2 ( y 2 − y1 ) = 0

(2.4.24)

Pers 2.4.24 dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,

m1 y1 + (k1 + k 2 ) y 2 − k 2 y 2 = 0 m 2 y 2 − k 2 y1 + k 2 y 2 = 0

(2.4.25)


Pers 2.4.25 dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu, 0  y1  (k1 + k 2 )  + m 2  y2   0

m1 0 

−k 2   y1  0  =  k 2   y 2  0

(2.4.26)

Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. 2.4.26 adalah,

(k1 + k 2 ) − ω 2 m1 −k 2  θ 1  0    =   k 2 − ω 2 m 2  θ 2  0  − k 2

(2.4.27)

Dengan Ф 1 adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam / pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. 2.4.27 akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan,

(k1 + k 2 ) − ω 2 m1 − k2

−k 2 k 2 − ω 2 m2

=0

(2.4.28)

Apabila 2.4.28 tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah, m1 m2 ω4 – {(k 1 + k 2 ) m2 – k 2 m1 } ω2 + (k 1 + k 2 ) k 2 – k 2 2 = 0 (2.4.29)

Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur diperhitungkan (ingat ωd < ω, sehingga T < T d ). Selain daripada itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai massa dan kekakuan tingkatnya tidak berubah. Karena nilai kekakuan tingkat k i tidak berubah-ubah


maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Juga tampak bahwa nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian apabila disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah : a. bebas dari pengaruh redaman, b. bebas dari pengaruh waktu c. bebas dari pengaruh frekuensi beban dan d. hanya untuk struktur yang elastik

2.4.5

Getaran Bebas Pada Struktur MDOF

2.4.5.1 Persamaan Difrensial Independen (Uncoupling) Pada kondisi standar shear building, struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan akan mempunyai n-modes atau pola/ragam goyangan. Pada prinsip ini, masing-masing modes akan memberikan kontribusi pada simpangan horizontal tiap-tiap massa seperti ditunjukkan secara visual pada gambar 2.8 (Clough dan Penzien, 1993). Pada prinsip ini, simpangan massa ke-i atau Y i dapat diperoleh dengan menjumlahkan pengaruh atau kontribusi tiap-tiap modes. Kontribusi mode ke-j terhadap simpangan horizontal massa ke-i tersebut dinyatakan dalam produk antara φ ij dengan suatu modal aplitudo Zj atau seluruh kontribusi tersebut kemudian dinyatakan dalam, Y1 = φ11Z1 + φ12 Z 2 + φ13 Z 3 + ....... + φ1n Z n Y2 = φ21Z1 + φ22 Z 2 + φ32 Z 3 + ....... + φn 2 Z n Y3 = φ31Z1 + φ23 Z 2 + φ33 Z 3 + ....... + φ2 n Z n ........................................................... Yn = φn1Z1 + φ2 n Z 2 + φ3n Z 3 + ....... + φnn Z n


(2.4.40)

Pers. 2.4.40 juga dapat ditulis menjadi, φ11 φ  21 [Y ] = φ31   .. φn1

φ12 φ22 φ32

φ13 φ1n   Z1  φ23...... φ11   Z 2    φ33....... φ3n   Z 3 

..

φn 2 φn 3........

 ..   ..    φnn  Z nn 

(2.4.41)

Gambar 2.7 Prinsip Metode Superposisi

Suku pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai suku ke-n pada ruas kanan pers. 2.4.40 diatas adalah kontribusi mode pertama, kedua, ketiga dan seterusnya sampai kontribusi mode ke-n. sebagai perjanjian, massa struktur MDOF diberi indeks m, dengan i = 1,2,3,… m, sedangkan mode diberi indeks shape φij adalah ordinat mode ke-j untuk massa ke-i. Pers. 2.4.41 tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih kompak.

{Y } = [φ ]{Z }

(2.4.42)


Derivative pertama dan kedua pers. 2.4.42 tersebut adalah, . . [ ] φ Y =   Z     

(2.4.43)

 ..   ..  Y  = [φ ] Z     

Subtitusi pers. 2.4.42 dan pers. 2.4.43 kedalam pers. 2.4.40 maka akan diperoleh,

[M ][φ ]Z  + [C ]{φ }Z  + [K ][φ ]{Z }= [M ]{1} yt ..

.

 

 

..

(2.4.44)

Pers. 2.4.44 sebetulnya adalah 1- set persamaan simultan dependent nonhomogen. Untuk dapat mentransfer persamaan dependent menjadi persamaan independen, maka pers. 2.4.44 premultiply dengan transpose suatu mode {φ}T sehingga diperoleh,

{φ }T [M ][φ ] Z  + {φ }T [C ][φ ]Z  + {φ }T [K ][φ ] {Z } = − {φ }T [M ]{1} y t ..

.

 

 

..

(2.4.45)

Untuk pembahasan awal akan ditinjau pengaruh mode ke-1 saja. Misalnya diambil struktur yang mempunyai 3-derajat kebebasan, maka perkalian suku pertama pers. 2.4.45 sebenarnya adalah berbentuk,

m1 0 {φ11 φ12 φ31}  0 m2  0 0

0 0  m2 



..



φ11 φ12 φ13   Z1   Z..  φ φ φ  21 22 23   ..2  φ31 φ32 φ33   Z  3  

(2.4.46)

 

Menurut contoh sebelumnya telah terbukti bahwa hubungan orthogonal akan terbukti apabila i tidak sama dengan j. dengan demikian untuk mode ke-1 pers. 2.4.46 akan menjadi,


0 0  m2 

m1 0 {φ11 φ12 φ31}  0 m2  0 0

  φ1    .. φ2  Z1   φ3   

(2.4.47)

Untuk mode ke-j secara umum persamaan 2.4.47 juga dapat ditulis dengan,

{φ }Tj [M ]{φ }j Z j ..

(2.4.48)

Cara seperti diatas juga berlaku untuk suku ke-2 dan ke-3 pada persamaan 2.4.43 Dengan demikian setelah diperhatikan hubungan orthogonal pers. 2.4.45 akan menjadi, T

T

{φ }[M ]{φ }j Z j + {φ } [C ]{φ } j Z j + {φ }j [K ]{φ }j Z j = − {φ }Tj [M ]{1} yt ..

.

..

(2.4.49)

j

Pers. 2.4.49 adalah persamaan deferensial yang bebas/independent antar satu dengan yang lain. Persamaan tersebut diperoleh setelah diterapkannya hubungan orthogonal, baik orthogonal untuk matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Sekali lagi bahwa apabila i tidak sama dengan j maka perkalian suku-suku pada pers. 2.4.45 akan sama dengan nol, kecuali untuk i = j. Dengan demikian untuk n-derajat kebebasan independent/ uncoupling. Dengan sifatsifat seperti itu maka penyelesaian persamaan diferensial dapat diselesaikan untuk setiap pengaruh mode. Berdasarkan pers. 2.4.49 maka dapat didefenisikan suatu generalisasi massa (generalized mass), redaman dan kekakuan sebagai berikut,

M = {φ } [M ] {φ } C = {φ } [C ] {φ } KC = {φ } [K ] {φ } *

T j

j

*

j

*

j

T j

j

T j

j

j

(2.4.50)


Misalnya bangunan bertingkat-3, maka orde perkalian matriks pada pers. 2.4.40 adalah 1x3 x 3X3 3x1 = 1x1. artinya pers. 2.4.50 adalah satu persamaan independent untuk mode ke-j. dengan demikian dengan memakai pers. 2.4.50 maka persamaan 2.4.49 akan menjadi,

M

* j

..

.

Z j +C jZ j + K jZ j = *

*

P

* j

..

(2.4.51)

yt

dengan,

P = {φ } [M ] *

T j

j

(2.4.52)

Pada pembahasan sebelumnya diperoleh suatu hubungan bahwa,

ξj =

C *j

=

Ccr

ω 2j =

C *j 2 M *j ω j

K *j

Γj =

dan

M *j

C *j

maka

Ccr

= 2ξ j ω j

Pj*

(2.4.53)

M *j

Dengan hubungan-hubungan seperti pada pers.2.4.53 tersebut, maka pers. 2.4.51 akan menjadi, ..

.

..

Z j + 2ξ j ω j Z j + ω t Z j = − Γ y t 2

(2.4.54)

dan m

Γj =

Pj M

*

* j

{φ } [M ] = {φ }Tj [M ]{φ }j T j

=

∑φ

j

i =1 m

∑φ i =1

mi (2.4.55)

2 j

mi

Pers. 2.4.55 sering disebut dengan partisipasi setiap mode atau participation factor, Selanjutnya pers. 2.4.54 juga dapat ditulis menjadi, ..

Z

Γj

. j

+ 2ξ jω j

Zj Γj

+ ω 2j

Z Γ

j

..

= yt

(2.4.56)

j


Apabila diambil suatu notasi bahwa, .. ..

gj =

.

Zj

Γ

Zj

.

,gj = j

Γ

, dan

g

j

j

=

Z Γ

j

(2.4.57)

j

Maka pers. 2.4.57 akan menjadi, .. .

g j + 2ξ j ω j g j + ω

2 j

g

..

j

= yt

(2.4.58)

Pers. 2.4.58 adalah persamaan diferensial yang independent karena persamaan tersebut hanya berhubungan dengan tiap-tiap mode. Pers. 2.4.58 adalah mirip dengan persamaan diferensial SDOF seperti telah dibahas sebelumnya. Nilai partisipasi setiap mode akan dihitung dengan mudah setelah koordinat .

..

setiap mode φ telah diperoleh. Nilai gi, g i dan g i dapat dihitung dengan integrasi secara numerik. Apabila nilai tersebut telah diperoleh maka nilaiZi dapat dihitung. Dengan demikian simpangan horizontal setiap tingkat akan dapat dihitung.

2.4.5.2Getaran Bebas Tanpa Redaman Untuk membahas pemakaian modal analis pada struktur getaran bebas tanpa redaman, maka perlu dikemukakan prinsip-prinsip pokok yang akan dilakukan. Seperti telah disampaikan pada pers. 10.1) bahwa simpangan struktur dapat diperoleh dengan menjumlahkan produk antara koordinat normal modes dengan faktor amplitudo Z untuk setiap mode yang ada. Untuk itu disamping normal modes, faktor amplitudo tersebut harus dicari terlebih dahulu. Prinsip tersebut dapat dinyatakan seperti pada persamaan 10.2) di atas yaitu,


{Y} = [φ]{Z}

Dengan demikian maka faktor amplitudo Z adalah, {Z} = [φ]-1 {Y} dengan [φ]-1 adalah nilai inverse atas modal matriks dan {Y} adalah vektor simpangan horisontal. Prinsip pemakaian getaran bebas pada modal analis ini dapat dilakukan dengan memberikan nilai-nilai simpangan awal yang kemudian dinyatakan dalam vektor simpangan {Y} pada persamaan 10.34) tersebut. Apabila faktor amplitudo Z akibat adanya simpangan awal seperti pada persamaan 10.34) telah dihitung, maka respon struktur / simpangan struktur dapat diperoleh dengan substitusi kembali persamaan tersebut ke dalam pers 10.23). Secara manual, yang menjadi masalah adalah bagaimana memperoleh nilai inverse atas modal matriks [φ]-1 seperti pada persamaan 10.34). Nilai tersebut salah satunya dapat diperoleh dengan memperhatikan generalized mass matrix sebagai berikut, [M*] = [Φ]T[M][Φ] dengan [Φ] adalah modal matriks. Dari persamaan 10.35) maka akan diperoleh, [Φ]-1 = [M-]-1 [Φ]T[M]

Suatu alasan mengapa generalized mass matrix dipakai karena matriks massa adalah matriks diagonal sehingga perkalian matriks dapat dilakukan secara lebih mudah. Generalized mass matrix seperti tersebut pada persamaan 10.36) juga merupakan matriks diagonal sehingga nilai inverse matriksnya dapat dilakukan


dengan mudah. Apabila nilai inverse modal matrix seperti pada persamaan 10.36) telah dihitung maka faktor amplitudo Z seperti pada pers. 10.34) dapat dihitung.


Gambar 2.8 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas (tanpa redaman)

2.4.5.3Getaran Bebas Dengan Redaman (Damped Free Vibration Systems) Apabila pembahasan di atas diperhatikan maka hitungan yang relatif panjang adalah dalam rangka menghitung nilai inverse modal matriks [Φ]-1. Untuk mencari nilai tersebut sebetulnya dapat dipakai cara yang lain yang relatif lebih mudah. Untuk itu pembahasan akan dimulai dari persamaan, Y = ∅1Z1 + ∅2Z2 + ∅3Z3 +............. + ∅nZn Apabila pers. 10.40) dikalikan awal (premultiply) dengan ÖjT M maka,

φ Tj MY = φ Tj Mφ1 Z 1 + φ Tj Mφ 2 Z 2 + φ Tj Mφ 3 Z 3 + ... + φ Tj Mφ n Z n Pada pembahasan hubungan orthogonal telah diketahui bahwa perkalian pada suku-suku ruas kanan pers. 10.41) akan sama dengan nol kecuali untuk koordinat φ yang subskribnya sama. Dengan demikian pers. 10.41) akan menjadi,

φ Tj MY = φ Tj Mφ j Z j , maka Zj =

φjM φ Tj M φ j

Y

Dengan logika yang sama juga akan diperoleh hubungan, Żj =

φjM φ Tj M φ j

Y

Dengan memperhatikan persamaan 10.34) maka vektor modal amplitudo {Z}j dapat diperoleh dengan, {Z}j = [Ф]-1 {Y}j


Pers. 10.44) juga berarti bahwa melalui nilai inverse modal matriks maka akan dapat diperoleh modal amplitudo, Zj yaitu modal amplitudo untuk tiap-tiap mode. Selanjutnya dengan memperhatikan pers. 10.42) dan 10.44) maka diperoleh hubungan, [φ ]T [ M ] = [φ ] −1 T [φ ] [ M ] [φ ] Senada dengan pers. 10.37), maka untuk struktur MDOF yang mempunyai redaman, modal amplitudo Zj dapat dihitung berdasarkan, Zj = e

−ξω j t

  Z j (0) sin (ω j t )  Z j (0) cos (ω j t ) + ωd, j  

Langkah yang pertama adalah menghitung modal amplitudo awal Zj(0) dan modal kecepatan awal Zj(0).



Gambar 2.9 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas (dengan redaman)

2.4.5.4 Persamaan Differensial Kouplling Seperti telah dibahas sebelumnya, pada struktur bangunan derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom/ MDOF) umumnya akan mempunyai persamaan diferensial gerakan banyak derajat kebebasan yang ada. Persamaan diferensial gerakan pada struktur MDOF akibat beban dinamik dapat ditulis dalam bentuk matriks yang kompak yaitu, [M] {Ϋ} + [C] {Y} + [K] {Y} = P(t) dengan [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan, {Ÿ}, {Ý} dan {Y} berturut-turut adalah vektor percepatan, vektor kecepatan dan vektor simpangan dan P(t) adalah beban dinamik. Apabila struktur dengan derajat kebebasan banyak tersebut dikenai dengan beban gerakan tanah atau beban gempa bumi maka persamaan diferensial gerakan yang ada menjadi, [M] {Ϋ} + [C] {Y} + [K] {Y} = - [M] {1} ÿb Baik pers. 11.1) dan pers. 11.2) sebetulnya terdiri atas beberapa / banyak persamaan yang sering terkait antara persamaan satu dengan persamaan yang lain. Seprti disebut sebelumnya persamaan itu disebut coupled equations atau dependent equations.


2.4.5.5 Penyelesaian Persamaan Differensial Gerakan Sebagaimana disampaikan sebelumnya bahwa respon yang paling penting di dalam persoalan analisis dinamik struktur (baik SDOF maupun MDOF) adalah simpangan horisontal tingkat. Dengan diketahuinya simpangan horisontal tingkat, maka gaya geser tingkat dan momen guling struktur dapat dihitung. Pendekatan yang dipakai pada penyelesaian persamaan differensial suatu permasalahan yang sudah kompleks adalah pendekatan numerik tahap demi tahap (step by step). Selain jenis beban, durasi beban, step integrasi Δt maka jumlah derajat kebebasan akan bertambah volume pekerjaan. Kombinasi dari durasi beban yang panjang, step integrasi yang kecil dan derajat kebebasan yang banyak akan menuntut memori komputer yang cukup besar. Banyaknya massa / derajat kebebasan juga akan berakibat pada munculnya banyak pola / ragam goyangan / mode shapes sebagaimana telah dibahas sebelumnya. Terdapat beberapa cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan differensial gerakan yang kesemuanya mempunyai kelebihan dan kekurangannya masing-masing.

2.4.5.6 Metode β- Newmark (Incremental Formulation) Metode β-Newmark seperti yang telah dibahas sebelumnya dapat dipakai untuk keperluan integrasi persamaan differensial coupled struktur MDOF secara langsung. Metode β-Newmark yang dimaksud misalnya adalah metode yang berdasar pada incremental method. Sebagaimana dibahas sebelumnya tersebut banyak untuk struktur yang berperilaku linier inelastik ataupun non-linier inelastik, maka perlu dikembangkan model integrasi yang dapat mensimulasikan perubahan


kekakuan menurut fungsi dari waktu. Urutan perumusan metode ini selengkapnya telah dibahas sebelumnya. Pada metode β-Newmark, persamaan differensial yang berlaku pada interval yang ditinjau adalah seperti pers. 7.57) dan apabila ditulis kembali adalah, m ∆ yi + c ∆ y i + k ∆y = ∆pi Apabila beban dinamik yang dipakai adalah beban gempa maka untuk struktur MDOF pers. 11.3) tersebut adalah, [ M ] ∆ yi + [C ] ∆ y i + [ K ] ∆y ={M } ∆ yb ,i

Perlu diingat bahwa pada Metode β-Newmark memakai perjanjian notasi untuk perubahan simpangan Δy, perubahan kecepatan Δỳ dan perubahan percepatan ∆y adalah. ∆yi = yi +1 − yi , ∆y i = y i +1 − y i , ∆yi = yi +1 − yi Sedangkan perubahan intensitas pembebanan pada interval yang ditinjau adalah, Δpi = Δpi+1 - pi Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka Δpi = {M} ( yb ,i +1 − yb ,i ) Untuk memulai integrasi numerik tersebut maka pers. 7.66) ditulis kembali yaitu,

∆yi =

1 1 1 yi ∆yi − y i − 2 β (∆t ) 2β β (∆t )

yang mana ∆y 1 adalah perubahan percepatan pada langkah ke-i. Sedangkan perubahan kecepatan pada langkah yang sama Δỳi menurut pers 7.76) adalah,


∆y i =

γ β (∆t )

∆yi −

 γ  γ y i + (∆t ) 1 −  yi β  2β 

Kemudian berdasarkan pers. 7.71) perubahan simpangan dapat dicari dengan persamaan, Δyi =

∆pˆ i kˆ

yang mana,  γc m  + kˆ = k + 2  β∆t β (∆t ) 

∆pˆ i = ( pi +1 − pi ) + a y i + b yi Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka persamaan 11.12) akan menjadi, ∆pˆ i ={M } ( yb ,i +1 − yb ,i ) + a y i + b yi

Nilai a dan b pada pers. 11.12) tersebut adalah,   1  1 γ  γ a=  −1) c , m + c , b =  m + ∆t ( β  2β   2β  β ∆t

Selanjutnya simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval adalah, yi+1 = yi + Δyi y i +1 = y i + ∆y1 yi +1 = yi + ∆y1


Tahapan-tahapan integrasi numerik metode ß-Newmark sebagai berikut: 1. nilai k, m, ζ dan dt diketahui. 2. Disusun matrix massa [M], matrix redaman [C] dan matrix kekakuan [K]. 3. Dihitung nilak k, nilai a dan b. 4. Dihitung nilai ∆pi , ∆yi , ∆ýi , dan ∆ÿi. 5. Dihitung simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval yi+1 = yi + Δyi y i +1 = y i + ∆y1 yi +1 = yi + ∆y1


2.4.6 Persamaan Difrensial Struktur MDOF akibat Base Motion Pada analisa struktur MDOF akibat base motion (getaran fondasi) akan berlaku juga prinsip bangunan geser. Bangunan geser dapat didefinisikan dimana sebagai struktur dimana tidak terjadi rotasi (putaran) pada penampang horizontal bidang lantainya. Balok-balok bagi struktur diandaikan kaku tak terhingga dibandingkan dengan tiang-tiang. Keadaan ini lebih mendekati untuk strukturstruktur dimana kekakuan bagi balok secara relative adalah cukup besar dibandingkan kekakuan tiang-tiang, supaya putaran yang nyata pada bagian atas tiang dapat ditahan. Dalam cara ini bangunan akan berkelakuan seperti balok terjepit dibebani oleh gaya geser. Untuk mencapai kondisi tersebut pada bangunan, harus dianggap bahwa: 1.Massa total dari struktur terpusat pada bidang lantai, 2.Balok pada lantai kaku tak hingga dibandingkan dengan tiang, 3.Deformasi dari struktur tak dipengaruhi gaya aksial yang terjadi pada tiang. Anggapan

pertama,

mentransformasikan

struktur

dengan

derajat

kebebasan tak hingga (akibat massa yang terbagi pada struktur) menjadi struktur dengan hanya beberapa derajat kebebasan sesuai dengan massa yang terkumpul pada bidang lantai. Anggapan kedua, menyatakan bahwa hubungan antara balok dan tiang, kaku terhadap putaran (rotasi). Dan anggapan ketiga memungkinkan terjadinya keadaan dimana balok kaku tetap horizontal sewaktu bergerak. Beban pada struktur dapat berupa beban yang bekerja pad titik kumpul (nod load) maupun beban yang bekerja pada elemen (elemen load). Beban pad struktur tersebut dapat berupa beban static maupun beban dinamik. Pada kasus


gempa bumi, bebannya adalah beban inersia. Gaya ini tidak ditentukan melainkan tergantung kepada respon percepatan struktur. Pada gambar di bawah ini, dapat dilihat gambar struktur sederhana bangunan tiga lantai yang mengalami beban akibat base motion.


Jika pergerakan tanah dinotasikan dengan ug , total perpindahan (diplacement absolute) massa mj dengan utj dan perpindahan relatif antara massa dengan tanah adalah uj . Sehingga perpindahan dapat dirumuskan dengan hubungan sebagai berikut, utj (t)=uj (t) + ug(t)

(2.4.59)

Jika a dan N massa maka persamaan tersebut dapat dikombinasikan di dalam bentuk vector sebagai berikut: ut(t)=u(t)+ug(t)1

(2.4.60)

dimana 1 adalah sebuah vector orde N yang sesuai dengan masing-masing elemen. Sedangkan persamaan kesetimbangan seperti pada persamaan sebelumnya tetap berlaku, dimana p(t) = 0 karena tidak ada gaya luar yang bekerja. Sehingga persamaan tersebut menjadi: fl+fD`+fS=0

(2.4.61)

jika u adalah gerak relatif antara massa dan struktur bawah, maka gaya inersia akan menjadi total percepatan terhadap massa atau : fl = müt

(2.4.62)

Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut dengan persamaan yang ada pada SDOF sistem yang masih berlaku untuk system linear maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut : mü+cu+ku=m|üg(t)

(2.4.63)

dimana, ug (t) = percepatan tanah -

mjü(t) = gaya luar

Ground motion dapat disebut juga gaya gempa efektif yang di tuliskan sebagai berikut:


Peef(t)=-m|üg(t)

(2.4.64)


2.5

RESPON SPECTRUM Spectrum respon adalah suatu spectrum yang disajikan dalam bentuk

grafik / plot antara periode getar struktur T, lawan respon-respon maksimum berdasarkan rasio redaman dan gempa tertentu. Respon-respon maksimum dapat berupa simpangan maksimum (spectrum displacement, SD) kecepatan maksimum (spectrum velocity, SV) atau percepatan maksimum (spectrum acceleration, SA) massa struktur SDOF. Terdapat dua macam respon spectrum, yaitu spectrum elastik dan spectrum inelastic. Spectrum elastik adalah suatu spectrum yang didasarkan atas respon elastik struktur, sedangkan spectrum inelastic (juga disebut disain spectrum respon) adalah spectrum yang di scale down dari spectrum elastik dengan nilai daktailitas tertentu. Nilai spectrum dipengaruhi oleh periode getar, rasio redaman, tingkat daktailitas dan jenis tanah. Penyelesaian persamaan yang ada pada SDOF dan MDOF pada tugas akhir ini akan diselesaikan dengan metode respon spectrum. Metode ini tidak termasuk time history analisis, karena hanya nilai-nilai maksimum sajalah yang dihitung. hal ini dimungkinkan karena nilai-nilai spectrum respon (simpangan, kecepatan dan percepatan ) tersebut adalah nilai-nilai maksimum Telah disajikan pada Peraturan Perencanaan Bangunan Tahan Gempa Indonesia Untuk Gedung (PPTGIUG) 1983, bahwa di Indonesia terdapat 6 daerah gempa. Pembagian daerah gempa ini didasarkan pada frekuensi kejadian dan potensi daya rusak gempa yang terjadi pada daerah tersebut. Daerah gempa-I


adalah daerah gempa terbesar sedangkan daerah gempa-VI adalah daerah gempa paling kecil. Pembagian daerah gempa tersebut adalah seperti pada gambar 2.10

Gambar 2.10 Pembagian Daerah Gempa di Indonesia (PPTGIUG, 1981)


Selanjutnya tiap-tiap daerah gempa akan mempunyai spektrum respon sendiri-sendiri, seperti pada gambar

Gambar 2.11Spektrum Respon untuk Masing-masing Daerah Gempa

Spektrum respon dalam hal ini adalah plot antara koefisien gempa dasar C dengan periode getar struktur T. Secara umum dapat dikatakan bahwa koefisien gempa dasar C utamanya dipengaruhi oleh daerah gempa, periode getar struktur T


dan jenis tanah. Untuk setiap respon spektrum disajikan juga pengaruh kondisi tanah, yaitu spektrum untuk tanah keras dan tanah lunak. Definisi tanah keras dan tanah lunak dapat didekati menurut beberapa kriteria. Kriteria yang dapat dipakai untuk menentukan jenis tanah ini diantaranya adalah jenis dan kedalaman tanah endapan, nilai N-SPT, nilai undrain shear strength, cu, atau kecepatan gelombang geser Vs

Tabel 2.1 Kelompok Gempa Menurut Kondisi Tanah

Karakter Gempa

Jenis Tanah Tanah Berbatu

Tanah Padat

Tanah Pasir

Lempung Pasir

28 buah

31 buah

30 buah

15 buah

-

15 - 200 ft

250 - 1000 ft

120 - 700 ft

Ukuran Gempa

M = 5,4 - 7,6

M = 5,3 - 6,6

M = 5,6 - 7,8

M = 5,0 - 7,5

Perc. Tanah

0,041 - 1,17 g

0,036 - 0,489 g

0,095 - 0,257 g

0,03 - 0,095 g

Episenter

8 - 122 km

8 - 55 km

16 - 127 km

18 - 165 km

Jumlah Gempa Lapisan Tanah

Ket.

2.5.2 Modal amplitude Zj dan modal displacement uj Untuk memulai pemakaian metode ini maka perlu diketahui elemenelemen yang akan dipakai. Salah satu elemen yang dipakai pada metode ini adalah modal amplitude, yaitu suatu besar/amplitude yang nilainya tergantung pada nilai mode shapes. Untuk membahas masalah ini akan dimulai dari simpangan horizontal tingkat struktur SDOF yang dicari dengan Duhamel’s Integral. Maka


untuk struktur yang diredam dan di bebani dengan beban gempa persamaan tersebut menjadi: u (t ) =

1

ωd

∫

ÿt e-ξω(t-τ) sin ω(t-τ) dτ

(2.5.1)

0

Dengan ωd adalah damped frequency. Hal itu terjadi karena terdapat hubungan, F(t)=mü(t)

(2.5.2)

Pada struktur MDOF, kontribusi setiap mode ditunjukkan oleh besarnya partisipasi setiap mode yang dinyatakan sebagai berikut: Γj =

Pj* M

* j

=

{φ} j [ M ] {φ}Tj [ M ]{φ} j

(2.5.3)

Mengingat matriks massa adalah matriks diagonal, maka persamaan di atas juga dapat ditulis dalam bentuk. m

Γj

∑m φ =

i =1 m

i ij

∑ miφij2

(2.5.4)

i =1

Parsitipasi setiap mode juga berhubungan dengan simpangan atas kontribusi suatu mode gj dengan modal amplitude Zj . Dengan demikian modal amplitude Zj adalah, Zj = Γjgj

(2.5.5)

Simpangan kontribusi pada persamaan di atas pada dasarnya sama atau senada dengan simpangan horizontal suatu massa. Dengan demikian modal


amplitude Zj dapat diperoleh dengan mengikutsertakan parsitipasi setiap mode pada persamaan (2.5.3), sehingga pada struktur MDOF diperoleh hubungan,

Pj

Zj=

*

M j ωd , j *

t

∫u e t

−ξω ( t −τ )

sin ω (t − τ )dτ

(2.5.6)

0

Nilai integral dari persamaan 2.1 akan menghasilkan suatu kecepatan yang merupakan fungsi dari waktu. Dengan memasukkan kode parsitipasi kedalam persamaan tersebut maka akan diperoleh kecepatan maksimum untuk mode yang ke-j, uj,maks. Dengan demikian persamaan (2.5.6) akan menjadi, Z j

=

Γj

ωd , j

Υ j ,maks

(2.5.7)

Pada pembahasan tentang respon spectrum diperoleh suatu hubungan bahwa, PSA = ωPSV, atau ümaks = ωumaks Maka u maks

=

u maks

ω

(2.5.8)

Nilai-nilai kecepatan maupun percepatan maksimum pada persamaan (2.5.8) di atas sebetulnya adalah sama dengan nilai-nilai kecepatan dan percepatan pada spectrum respon. Dengan menganggap bahwa ωd nilainya sama dengan, maka modal amplitude Zj, pada persamaan (2.5.7) akan menjadi, Z j

= Γj

SA

(2.5.9)

ω 2j

Desain spectrum respon seperti yang disajikan dalam buku Peraturan Perencanaan Bangunan Tahan Gempa untuk Gedung adalah plot antara koefisien gempa dasar C dengan periode getar T. Koefisien C tersebut adalah suatu koefisien yang dapat dihubungkan dengan S, sehingga C.g = SA, dengan demikian modal amplitude Zj dari persamaan (2.5.9) menjadi.


Z j

= Γj

C .g

(2.5.10)

ω 2j

SA pada persamaan di atas adalah (pseudo) spectral acceleration dan nilai koefisien gempa dasar C dapat diketahui dengan memakai desain spectrum respon menurut daerah gempa, jenis tanah dasar dan periode getar struktur T. Dengan demikian, nilai modal amplitude pada persamaan (2.5.10) dapat dihitung dengan menggunakan desain spectrum respon. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa simpangan total suatu masalah adalah produk antara modal matriks dengan faktor amplitude Zj. Dengan demikian, modal displacement massa ke-j, Uij adalah, Uij = Øij Zj U ij = φij Γ j

Cjg

ω 2j

(2.5.11)

Setelah modal displacement Yij diperoleh, maka simpangan horizontal tingkat dapat dihitung. pada prinsip SRRS, simpangan horizontal massa ke-I dapat dihitung dengan, n

Ui =

∑ (U j =0

ij

)2

(2.5.12)

2.5.3 Modal seismic Force Fj Apabila simpangan tingkat telah diperoleh, maka langkah selanjutnya adalah menghitung gaya horizontal tingkat (modal seismic force). Pada analisis dinamik struktur, simpangan horizontal (modal displacement), gaya horizontal tingkat (modal seismic force ) dan momen tingkat (overtuning moment ) adalah respon-respon elastic penting yang selalu dicari. Kembali pada satu prinsip


sebagaimana dibahas sebelumnya bahwa simpangan horizontal massa ke-I kontribusi mode ke-j adalah, U ij = φij Ζ j = φij Γ j

Cjg

(2.5.13)

ω 2j

Pada pembahasan spectrum respon diperoleh hubungan persamaan (2.5.13), sehingga percepatan massa ke-I sebagai kontribusi mode ke-j. Uij menjadi, Üij = Uij ω 2j Üij = ØijΓjCjg

(2.5.14)

Dengan demikian gaya horizontal tingkat atau gaya horizontal yang bekerja pada massa ke-I akibat kontribusi mode ke-j, Fij adalah, Fij = MÜij Fij = MØijΓjCjg

(2.5.15)

Senada seperti sebelumnya bahwa karena matriks massa adalah matriks diagonal maka persamaan (2.5.15) dapat ditulis menjadi, m

Fij = {miφij }

* j

P

C.g = {miφij } *

Mj

∑m φ i =1 m

i ij

∑m φ i =1

C .g

(2.5.16)

2 i ij

Dengan prinsip SRRS maka gaya horizontal tingkat (store seismic force ) Fi dapat dihitung dengan,

Fi =

∑F j =1

ij

(2.5.17)


Modal seismic force pada persamaan (2.5.17) juga dapat dicari dari hubungan antara kekakuan dan simpangan, Fij = KUijΓj

Fij = Kφij Γi

Ci g

(2.5.18)

ω i2

Persamaan (2.5.18) adalah sama persamaan (2.5.15) dan oleh karena itu dua-duanya dapat dipakai. Modal seismic force Fi juga dapat dicari dengan cara yang lain yaitu dengan dinyatakan dalam modal base sear Vi. gaya horizontal pada massa ke-I akibat mode ke-j. Fij pada pers.(2.5.15) atau pers. (2.5.18) juga dapat dinyatakan dalam berat bangunan W, melalui hubungan M = W/G sehingga diperoleh,

Fij =

Wi φij Γ j C j g = Wiφij Γ j C j g

(2.5.19)

Persamaan diatas dapat juga ditulis menjadi, Fij = S ijV j

(2.5.20)

dimana,

S ij =

Wiφij

(2.5.21)

m

∑W φ

i ij

i =1

m

V j = Γ j ∑ Wiφij C

(2.5.22)

i =1

dimana Vj adalah modal base shear. Pada Eiger;problem didapat suatu hubungan bahwa,


Kφ = ω 2 Mφ

(2.5.23)

Dengan hubungan seperti pada persamaan 2.5.17 maka pers.2.5.18 dapat ditulis menjadi, F j = ω 2j Mφ j Γ j

PSA

ω 2j

Atau,

F j = Mφ j Γ j Cg

(2.5.24)

Gambar 2.12 Spektrum Respon dan Design Spectrum Respon

2.5.4 Modal Storey Shear Vij Setelah gaya horizontal tingkat kontribusi mode (modal store shear) dapat diperoleh dengan menjumlahkan gaya-gaya horizontal pada tingkat-tingkat yang ditinjau. Gaya geser tingkat pada masa ke-I akibat mode ke-j, tersebut adalah, m

Vij = ∑ Fij

(2.5.25)

i =1


Gaya geser tingkat ke-i kontribusi mode ke-j seperti persamaan diatas dapat bertanda positif maupun negative tergantung pada mode shapes. Apabila gaya horizontal tingkat tersebut berlawanan tanda maka arahnya juga saling berlawanan. Selajutnya gaya geser tingkat total massa ke-I dapat dihitung berdasarkan prinsip SRSS yaitu,

Vi =

n

∑ (V

ij

(2.5.26)

)

i

2.5.5 Modal store driff, δi Setelah modal store shear dihitung maka modal store driff dapat dihitung. Modal store driff massa ke-I kontribusi modal ke-j, δij adalah,

δ ij =

Vij

(2.5.27)

ki

Pada modal store driff juga dihitung dengan memakai kosep SRSS pada massa ke-I sebagai berikut,

δi =

n

∑ (U i =1

ij

)2

(2.5.28)

2.5.6 Modal Lateral Displacement Uij Modal lateral displacement Uij dapat dihitung dengan menjumlahkan modal store driff seperti pada pers.2.5.27. Modal lateral displacement tersebut adalah,


m

U ij = ∑ δ ij

(2.5.29)

i =1

Sedangkan menurut prinsip SRSS, store lateral displacement dapat dihitung dengan, n

∑ (U

Ui =

i =1

ij

)2

(2.5.30)

2.5.7 Modal Overtuning Moment (Momen Guling Mode) Modal seismic force telah dihitung, maka modal overtuning moment pada massa ke-I kontribusi mode ke-j, Mij dapat dihitung dengan, m −1

M ij = ∑ Fi +1, j h i +1

(2.5.31)

i =0

Selanjutnya dengan prinsip SRSS, momen guling terhadap level tingkat/massa keI dapat dihitung dengan, n

∑ (M

Mi =

j =1

ij

)2

(2.5.32)

2.5.8 Modal Base Shear Vi Modal seismic force merupakan elemen-elemen dari modal base shear Vi, modal base shear Vij adalah total dari modal seismic force sehingga, m

m

i =1

i =1

V j = ∑ Fij = ∑ Wiφij Γ j C j V j = E w j C j = Ew j PSA

(2.5.33)

dimana, Ewj adalah modal effective weight


2.5.9 Modal Effective Weight dan Modal Effective Mass Modal effective weight untuk mode ke-j, Ewj, menurut persamaan di atas dinyatakan dalam, m

m

Ew j = Γ j ∑ Wiφij = i =1

∑W φ i =1 m

i ij

∑W φ i =1

m

∑W φ i =1

i ij

i ij

m

Ewi =

{∑ Wiφ }2 i =1

ij

(2.5.34)

m

∑m φ i =1

2 i ij

Modal effective weight sebetulnya dapat disajikan dalam modal effective mass sebagaimana yang dipakai oleh Clough & Penzien (1992) ataupun Copra (1995). Dengan demikian modal effective mass mode ke-j, dapat diperoleh dari pers. (2.5.34) yaitu, m

Ewi =

{∑ Wiφ }2 i =1

ij

m

∑m φ i =1

−

2 i ij

( Pi* ) 2 MPi *

(2.5.35)

Modal effective weight Ewj atau modal effective mass Emj adalah suatu parameter untuk

menentukan

hanya

beberapa

mode

yang

boleh

dipakai

pada

hitungan/analisis respon struktur akibat beban gempa. Menurut buku Peraturan Perencanaan tahan Gempa untuk Gedung (PPTGIUG) 1983 menyatakan bahwa jumlah mode yang harus dipakai untuk menghitung respon struktur adalah paling tidak telah memberikan 90% dari energi gempa. Sebagaimana diketahui bahwa mode-mode yang lebih tinggi relative sulit dicari tetapi kontribusinya terhadap


respon struktur relative rendah. Oleh karena itu kontribusi mode-mode yang lebih tinggi dapat diabaikan asalkan secara keseluruhan paling sedikit 90% energi gempa telah diakomodasi. Chopra mengatakan bahwa modal effective heigh hj dapat dihitung dengan, m

h = * j

Pj Pj

=

∑h m φ i =1

i

Pj*

i ij

(2.5.36)


BAB 2 TEORI DASAR. Getaran sering dirasakan oleh manusia pada kehidupan sehari-hari. Suatu

Recommend Documents