BAB 2 PENYEDERHANAAN RANGKAIAN DENGAN PETA KARNAUGH SUM OF PRODUCT (SOP) DAN PRODUCT OF SUM (POS)
2.1 TUJUAN -
Membuat rangkaian logika Sum of Product dan Product of Sum yang berasar dari gerbang-gerbang kombinasional
-
Memahami cara kerja rangkaian SOP dan POS
-
Membuat sebuah rangkaian logika sederhana melalui persamaan Boolean dan Tabel Kebenaran yang diketahui
-
Menggunakan peta karnaugh untuk memecahkan persoalan perancangan rangkaian logika sederhana.
2.2 DASAR TEORI a. Sum of Product dan Product of Sum Persamaan boolean dapat disederhanakan melalui 2 bentuk ekspresi berikut ini, yaitu: - Sum of Product (SOP) - Product of Sum (POS) Ekspresi POS dibentuk dari 2 atau lebih fungsi OR yang di ANDkan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda kurung tersebut bisa terdiri dari 2 atau lebih variabel. Contoh eskpresi POS adalah sebagai berikut: ̅) (
( ̅
( (
)
̅) (
̅) ( ̅
)
) (
)
Ekspresi SOP dibentuk dari 2 atau lebih fungsi AND dan di OR kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda kurung tersebut terdapat 2 atau lebih variabel. Contoh ekspresi SOP adalah sebagai berikut. ̅
̅ ̅
̅̅
̅ ̅
Ekspresi SOP lebih banyak digunakan dari pada ekspresi POS karena sesuai dengan implementasi pada tabel Kebenaran. Rangkaian SOP dapat dibentuk dari kombinasi gerbang AND-OR_NOT. Perhatikam persamaan berikut ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅
(1-1)
Dengan menggunakan hukum De Morgan didapatkan ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅
(1-2)
Gunakanlah lagi aturan boolean, didapatkan: ( ̅
̅)
) (
(1-3)
Persamaan diatas berbentuk ekpresi POS. dengan menggunakan hukum distributif akan dihasilkan ekspresi yang mempunyai format SOP. ̅
̅̅
̅
Rangkaian logika yang merepresentasikan persamaan 1.1 adalah sebagai berikut.
Gambar 1.1 Rangkaian
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅
Setelah menjadi ekspresi POS maka rangkaiannya seperti Gambar 1.2
Gambar 1.2 Rangkaian POS dari Persamaan
( ̅
) (
̅)
Apabila dijadikan ekspresi SOP maka rangkaiannya adalah seperti Gambar 1.3. b.
Peta Karnaugh
Peta karnaugh adalah sebuah metode grafis yang digunakan untuk menyederhanakan sebuah persamaan logika atau membentuk rangkaian logika dari sebuah tabel kebenaran.
Gambar 1.3 Rangkaian
̅
̅̅
̅
Bentuk sebuah peta karnaugh ditunjukkan Gambar 1.6. A, B dan C merupakan variabel input , output-output berupa minterm yang terdapat dalam fungsi boolean diisikan dengan symbol 1 pada peta karnaugh. Jumlah sel peta karnaugh adalah 2 n , dimana n adalah jumlah variabel input. ̅̅
̅
̅
̅
Gambar 1.6 Model Peta Karnaugh 3 Variabel 1.
Konversikan persamaan boolean yang diketahui kedalam bentuk persamaan SOP. Gunakan tabel kebenaran sebagai alat bantu.
2.
Gunakan peta karnaugh dengan jumlah sel 2n
3.
Isi sel-sel pada peta karnaugh sesuai dengan minterm pada tabel kebenaran.
4.
Kelompokkan minterm-minterm yang bernilai 1 yang saling berdekatan dengan aturan
o
Hanya minterm-minter yang berdekatan secara vertical dan horizontal yang boleh dikelompokkan?
o
Jumlah minterm berdekaran yang boleh dikelompokkan adalah 2, 4, 8, 16 dan seterusnya.
5.
Buat persamaan SOP baru sesuai dengan hasil pengelompokan minterm. Dari persamaan yang didapatkan, gambarkan hasil dalam rangkaian logika.
Contoh: Dari persamaan berikut ini buatlah penyederhanaannya. ̅
̅
̅̅
(1-4)
Persamaan diatas dipetakan dalam peta karnaugh menjadi seperti Gambar 1.7 ̅̅ ̅
̅
1
1
1
1
̅ 1
Gambar 1.7 Hasil Pemetaan Persamaan 1-4 Setelah dilakukan pengelompokan minterm-minterm yang berdekatan ̅̅ ̅
̅ ̅
1
1
1
1
1
Gambar 1.8 Setelah dilakukan pengelompokan minterm Dari hasil pengelompokkan didapatkan persamaan SOP: ̅
̅
Rangkaian penyederhanaannya adalah seperti Gambar 1.9
Gambar 1.9 Rangkaian Penyederhanaan
2.3 PROSEDUR EKPERIMEN a.
Sum of Product dan Product of Sum
1.
Buatlah rangkaian logika seperti pada Gambar 1.1. Lengkapi tabel kebenaran
2.
Buatlah kembali rangkaian logika seperti Gambar 1.2. Lengkapi tabel kebenaran
3.
Buatlah kembali dengan tabel kebenaran
4.
Bahas hasil yang didapatkan pada seluruh tabel kebenarran!
5.
Diketahui sebuah persamaan logika berikut ̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
Ubahlah persamaan tersebut menjadi bentuk ekspresi SOP. Dengan persamaan SOP yang didapat, buatlah rangkaiannya.
6.
Buatlah tabel kebenaran untuk membuktikan hasil yang didapat sebelum dan sesudah menjadi rangkaian SOP.
b.
Peta Karnaugh
1.
Tentukan lebih dahulu persamaan logika dari masing-masing fungsi yang ada pada tabel kebenaran di tabel kebenaran 1.1, lalu sederhanakan dengan peta karnaugh. Jika sudah didapatkan, simulasikan rangkaian logika. TUliskan input dan output dari masing-masing fungsi tersebut pada tabel kebenaran yang baru. Bandingkan hasilnya dengan Tabel 1.1 Tabel 1.1 Tabel Kebenaran Fungsi A 0 0 0 0 1 1 1 1
2.
Input B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F1 0 0 1 0 1 1 1 0
F2 1 1 0 1 1 1 0 0
Output F3 0 1 0 0 1 0 0 1
F4 1 0 1 0 1 1 0 0
Sederhanakan persamaan berikut ini dengan menggunakan K-Map. Gambarakan rangkiaannya dan buat tabel Kebenarannya. ̅
3.
̅
̅
̅ ̅
̅
Dapatkan persamaan logika dari rangkaian Gambar 1.10, dan tuliskan tabel kebenarannya.
Gambar 1.10 Rangkaian Kombinasi 4.
Sederhanakan dengan menggunakan K-Map. Gambarakan rangkaian hasil penyederhanaanya. Simulasikan rangkaian, kemudian tulis nilai output dari variasi output yang dilakukan pada tabel kebenaran. Bandingkai output pada tabel kebenaran yang baru dengan output pada tabel kebenaran sebelumnya.
