Voorbereidingsmateriaal SUM OF US. Wiskundetoernooi 2006

Voorbereidingsmateriaal SUM OF US Wiskundetoernooi 2006

Tekst:  Lay­out: 

Dr.W. Bosma D. Coumans

Inhoudsopgave Voorwoord.............................................................................3 1. Cryptografie.......................................................................4 2. Geheime codes...................................................................5 3. Foutenverbeterende code...................................................8 4. Oefenopgaven....................................................................12

2

Voorwoord Op   het   wiskundetoernooi   2006   spelen   we   voor   de   eerste   keer   Sum   of   Us,   een   nieuwe  teamwedstrijd die een maatschappelijk relevante toepassing van de wiskunde als thema heeft. Dit  jaar is dat cryptografie.  Om  Sum  of  Us  goed te  kunnen spelen is het noodzakelijk dat de teams zich voorbereiden.  Daarvoor hebben wij dit materiaal samengesteld. Het is in principe geschikt voor zelfstudie,  maar   wij   moedigen   gezamenlijke   bestudering,   klassikaal   of   als   project,   van   harte   aan.   Wij  hebben bewust gekozen voor een uiterst beknopte inleiding in het onderwerp, toegesneden op de  opgaven   die   de   teams   kunnen   verwachten.   Cryptografie   is   echter   een   deelgebied   van   de  wiskunde waar boeken vol over geschreven zijn. Ook op internet is een schat aan informatie over  het onderwerp te vinden. Op de website www.ru.nl/wiskundetoernooi vind je links voor verdere  verdieping. Veel succes bij de voorbereiding en een prachtig toernooi gewenst!

Ruben van den Brink Toernooidirecteur

3

1. Cryptografie  Waar   mensen   met   elkaar   communiceren,   willen   ze   geheimen   met   sommigen   delen   en   met  anderen niet. Je kunt daarvoor met iemand anders je eigen taaltje afspreken, een codetaal, die  niemand   anders   (hopelijk)   begrijpt.   Natuurlijk   kun   je   je   afzonderen,   maar   je   kunt   er   nooit  helemaal zeker van zijn dat je niet afgeluisterd wordt. En van geschreven berichten (waar het  hier verder om zal gaan) weet je maar nooit of ze niet in verkeerde handen vallen. Een zeer voor  de hand liggende codetaal krijg je door het alfabet te verhaspelen; natuurlijk is het lastig met het  verhaspelde alfabet een bericht te schrijven, en als je wilt dat de ontvanger het bericht  kan  ontcijferen moet je afspreken welke verhaspeling je hebt gebruikt. Cryptosysteem Dit ‘verhaspelen’ van letters heeft precies de kenmerken van een cryptosysteem: je hebt een  eindig stel verschillende symbolen (letters, leestekens) en elk symbool vervang je door een ander  symbool (dat heet versleutelen). Hierbij hoort een omgekeerde bewerking (die ontcijferen heet)  om versleutelde symbolen weer terug te veranderen in de oorspronkelijke symbolen. Dat laatste  kan natuurlijk alleen maar wanneer altijd aan twee verschillende symbolen twee verschillende  versleutelde symbolen worden toegevoegd! Een ander belangrijk kenmerk is dat er een geheime ‘sleutel’ is, waarvan het bezit nodig is voor  de ontcijfering: het vertelt je namelijk welke verhaspeling is gebruikt. Die sleutel spreek je af  met degene met wie je brieven wilt uitwisselen, en je hoopt dat anderen die sleutel niet te pakken  krijgen! Codes Het   woord   code  heeft  diverse   betekenissen.  In  het   gewone  spraakgebruik  betekent   het   vaak  zoiets   als  geheimschrift,  een  eigen  taaltje   om  informatie  geheim  te  houden.  In   de  wiskunde  worden hiervoor meestal andere termen gebruikt (zoals cryptosysteem en cryptografie) en bedoel  je met code meestal een foutenverbeterende code. De bedoeling daarvan is juist om informatie  niet verloren te laten gaan. In het dagelijks leven gebruik je beide vormen van codes regelmatig,  waarschijnlijk zonder dat je het weet. In mobiele telefoons wordt bijvoorbeeld foutenverbetering  toegepast om er voor te zorgen dat een klein beetje ruis op de lijn onderdrukt kan worden. Ook  wordt   hier   cryptografie   toegepast   om   er   voor   te   zorgen   dat   gesprekken   niet   eenvoudig  afgeluisterd   kunnen   worden.   Overigens   wordt   in   telefonie   nog   een   derde   vorm   van   ‘code’  gebruikt om informatie te comprimeren. Over de techniek daarvoor hebben we het hier niet. We  zullen het wel kort over de beide andere vormen van codes hebben.

4

2. Geheime codes Één van de oudste cryptosystemen is de Caesarverschuiving: je spreekt een getal k af waarover  je  alle   letters  in  je  alfabet   verschuift  om  ze   te  versleutelen.  Als,  bijvoorbeeld,  k  =  3  wordt  afgesproken, vervang je elke a in je bericht door een d, elke b door een e, enzovoorts, waarbij je  aan het eind van het alfabet natuurlijk de  x  door  a  vervangt,  y  door  b, en  z  door  c. Voor het  ontcijferen moet je dan vanzelfsprekend 3 plaatsen terugschuiven.  Caesar zou deze methode (met k = 3) daadwerkelijk gebruikt hebben. Natuurlijk biedt dit enige  bescherming, want je kunt een versleuteld bericht niet zonder meer lezen, maar erg lang zal het  niet duren voordat iemand dit systeem kraakt. Natuurlijk helpt het heel erg wanneer je vooraf al  weet wat de gebruikte methode is, want dan hoef je alleen de sleutel k maar te vinden.  Bovendien zijn er (als je  k  niet 0 neemt, want dat geeft helemaal geen bescherming) maar 25  mogelijkheden, die je snel kunt uitproberen. Voor een goed cryptosysteem moeten er juist heel  veel mogelijke sleutels zijn. Mocht je je zorgen maken over ons gebruik van maar 26 symbolen: als je ook hoofdletters wilt,  en leestekens (spaties, komma's, enz.) dan voeg je die gewoon aan je lijst toe; het principe blijft  precies hetzelfde. Permutatie Natuurlijk hoef je de letters niet op te schuiven over een vaste afstand. Elke permutatie van de  symbolen kun je gebruiken. De sleutel wordt dan misschien wat ingewikkelder (dat is nu de hele  permutatie) maar het voordeel is wel dat er véél meer mogelijke sleutels zijn! Daarmee wordt de  sleutel lastiger te vinden en wordt het systeem veiliger. Nadeel is dat het zowel lastiger wordt om met de hand te versleutelen, als om te ontcijferen, zelfs  als je de sleutel weet: van elk symbool moet je opzoeken waar je het door moet vervangen.  Om het systeem te kraken zou je gebruik kunnen maken van het feit dat in gewone taal niet alle  symbolen  even vaak gebruikt worden: de  e  komt in gewone Nederlandse teksten gemiddeld  verreweg het meest voor, gevolgd door de n (afgezien van de leestekens!), en de q en de x het  minst. Dit soort frequentieanalyse kan je een heel eind op weg helpen, want waarschijnlijk is het  meest voorkomende symbool in de geheime tekst die je hebt onderschept de versleuteling van de  e. Als je zo enkele letters hebt ontcijferd zie je al snel echte woorden ontstaan en wordt de hele  ontcijfering mogelijk.

5

Vigenère Het Vigenère systeem werd eeuwen geleden ontwikkeld en ondervangt twee problemen met de  permutaties: het maakt het onthouden van de sleutel makkelijker en het voorkomt  de   directe   aanval   met   frequentieanalyse.   Dat   kan   omdat   in   dit   systeem   een  symbool niet steeds door hetzelfde symbool vervangen wordt. Daarom is het niet  meer vanzelf zo dat het meest voorkomende symbool de versleuteling van de e  zal zijn. Heel lang werd dan ook gedacht dat dit een onbreekbaar systeem zou  zijn. De sleutel van het Vigenère systeem is een (kort) codewoord, dat eenvoudig te  Vigenère onthouden   is;   dit   woord  bepaalt   over   welke   afstand  de   letters   uit   het   bericht  worden opgeschoven. Is de sleutel bijvoorbeeld apen, dan wordt de eerste letter uit het bericht 1  opgeschoven (omdat de a letter nummer 1 uit het alfabet is), de tweede letter wordt 16 posities  opgeschoven (want de p is nummer 16), de derde letter over afstand 5 (want e=5), en de vierde  letter over afstand 14 (n=14). Daarna beginnen we weer van voor af aan: het vijfde symbool  wordt 1 opgeschoven, het zesde symbool 16, enzovoorts.  Als de letter e in het bericht dus op positie 1 of 5 of 9 of 13 of … staat, dan wordt hij vervangen  door een f, maar op positie 2, 6, 10, 14, … door een u, op positie 3, 7, 11, 15, … door een j en op  posities 4, 8, 12, … door een s. Onkraakbaar? Toch bleek het kraken van dit systeem minder moeilijk dan gedacht. Het belangrijkste idee is om te proberen eerst de lengte van de sleutel (het gebruikte codewoord) te achterhalen, en daarna pas dat woord zelf. Een manier om dat te doen is door twee kopieën van de versleutelde tekst te  nemen en die onder elkaar te leggen, zodat de letters precies 1 voor 1 boven elkaar staan. Nu  schuif je de onderste kopie 1 positie naar rechts, en telt op hoeveel plaatsen je hetzelfde symbool  boven elkaar ziet staan. Dan schuif je deze kopie nog een letter naar rechts en telt opnieuw het  aantal   overeenkomstige   symbolen.   Als   de   tekst   niet   té   kort   is,   zal   het   getelde   aantal   een  opvallende piek vertonen bij verschuiving over de lengte van het codewoord (en over 2 keer die  lengte enz.)!  Als   je   zo   hebt   ontdekt   dat   de   lengte   wel   4   zal   zijn,   bijvoorbeeld,   laat   je   de   gewone  frequentieanalyse los op vier verschillende teksten, namelijk de tekst bestaande uit alle symbolen  op de posities 1,5, 9, 13, enz., de tekst van symbolen op posities 2, 6, 10, enz, die op posities 3,  7, 11, …, en op alle posities die een 4­voud zijn. Immers, als het codewoord inderdaad lengte 4  had,   is   voor   die   symbolen   steeds   over   dezelfde   afstand   verschoven.   Of   je   probeert   alle  mogelijkheden.

6

Public key Een groot nadeel van alle systemen die we genoemd hebben is dat je eerst met elkaar moet  afspreken welke sleutel je gebruikt. Maar hoe doe je dat als je nog geen veilige manier hebt om  geheimen uit te wisselen? Pas enkele decennia geleden werd een oplossing gevonden voor dit  probleem, en wel de zogenaamde public key cryptografie. Het briljante kernidee hiervan is dat  iedereen best mag weten met welke sleutel boodschappen  aan jou  versleuteld zijn, als daaruit  maar niet is af te leiden met welke sleutel die berichten weer ontcijferd kunnen worden! In deze  systemen zijn er dus twee sleutels, en de ontcijfersleutel is heel moeilijk uit de versleutel­sleutel  af te leiden (behalve voor degene die hem verzonnen heeft: jijzelf). Je maakt de versleutel­sleutel  gewoon openbaar (public key!) en daarmee kan iedereen boodschappen naar jou versleutelen,  maar alleen jij kunt ze daarna ontcijferen (zelfs de afzender kan dat niet)!

7

3. Foutenverbeterende code De bedoeling van foutenverbeterende codes is geheel anders: wanneer je een bericht stuurt over  een kanaal met  ruis  kan het zijn dat sommige symbolen per ongeluk veranderen. Dat betekent  dat in het bericht foutjes sluipen, die je graag weer wilt corrigeren. Zo'n bericht kan uit tekst  bestaan (e­mail of SMS over een telefoonlijn) of muziek of video (met schokken die voor de ruis  op een mobiele speler zorgen) of foto­ of filmbeelden (over een satellietverbinding). Bits In alle gevallen worden de berichten eerst omgezet in rijen van nullen en enen, de bits. Letters of  tonen of kleuren worden eerst in een getal omgezet (zoals we deden via  a  = 1,  b  = 2) en die  getallen worden in het binaire systeem geschreven. Zo zou je de 26 letters uit ons alfabet ieder  met een ander rijtje van 5 bits kunnen aangeven, maar er is een internationale afspraak om dat  uniform met 7 of 8 bits te doen (zodat ook hoofdletters, leestekens, en letters met accent een  rijtje   bits   kunnen   krijgen).   Dit   heet   de   ASCII   of   extended   ASCII­code   –   alweer   een   ander  gebruik van het woord code! Het hele idee van foutenverbeterende codes is om aan een rijtje bits  wat extra bits toe te voegen om fouten te kunnen herstellen. Ruis Veronderstel nu dus dat een  verzender  een eindig rijtje bits stuurt naar een  ontvanger, via een  kanaal waarop ruis kan voorkomen. We zullen voor het gemak aannemen dat ruis er alleen voor  kan zorgen dat een 0 in een 1 verandert, of omgekeerd, maar dat het aantal bits niet verandert.  Bovendien nemen we aan dat zo'n ongeluk maar heel af en toe gebeurt (bijvoorbeeld gemiddeld  eens op de 25 bits of iets dergelijks) en tamelijk willekeurig. 

8

Een voor de hand liggend idee is nu om het rijtje bits te herhalen ­ als iemand je niet verstaat  herhaal je immers ook wat je zei. Maar dat lost het probleem niet echt op: de ontvanger heeft nu  twee even lange rijtjes bits die mogelijk op enkele plaatsen verschillen. Hij kan dus vaststellen  op welke posities de ruis foutjes heeft veroorzaakt, maar kan die niet zomaar verbeteren: welk  bit is juist en welk is fout? Soms kun je dat toch vaststellen (uit de ‘context’), bijvoorbeeld  wanneer het foute bit een geel pixel in een strakblauwe lucht geeft, of een q midden in een kort  woord. Maar als die context ontbreekt, helpt simpele herhaling je niet. Repetitie Een eenvoudige remedie is om het bericht dan 3 keer te versturen: als de ontvanger op een  positie dan niet 3 keer dezelfde bit ziet, concludeert hij niet alleen dat daar kennelijk ruis is  opgetreden, maar ook dat het het meest waarschijnlijk is dat de bit die hij er tweemaal ziet het  juiste is. Immers, de kans is maar heel klein dat er een fout optrad, en dus nog veel kleiner dat er  twee   keer   een   fout   op   die   positie   is   opgetreden!   Deze  meerderheid   van   stemmen  foutenverbetering werkt alleen maar goed als fouten random en met kleine kans optreden. Om nog zekerder te zijn kan de zender het bericht natuurlijk ook 5 keer sturen. Maar dan geldt  nog sterker dan bij drievoudige repetitie dat het wel zonde van tijd (en dus geld) wordt – je zou  liever een ander bericht in dezelfde tijd willen sturen dan nogmaals hetzelfde. Efficiëntie De   kernvraag   bij   het   ontwerp   van   foutenverbeterende   codes   is   dan   ook:   hoe   kun   je   zoveel  mogelijk fouten verbeteren door zo weinig mogelijk bits toe te voegen? Dat laatste meet je door  naar de rate te kijken, de verhouding tussen het aantal informatiebits van het bericht en het aantal  bits van het bericht met toegevoegde bits. Het 3 maal sturen van een bericht heeft dus rate 1/3, en  hoe dichter de rate bij 1 ligt, des te beter is de code. Een andere manier om naar hetzelfde voorbeeld te kijken (berichten drie keer sturen) krijg je  door elk bit afzonderlijk 3 keer te sturen; alleen de volgorde waarin je de bits stuurt is dan  anders. Nu zie je dat je aan elk bit dat je stuurt als het ware 2 correctiebits toevoegt: het bericht 0 stuur je als codewoord 000, en het bericht 1 stuur je als codewoord 111.

9

Beter We laten nu zien hoe je met een code van rate 1/2 een enkele fout kunt verbeteren in elk rijtje  van 3 bits. Dat doen we door bij elk rijtje van 3 informatiebits een woord van 6 bits te maken, op  de   volgende   manier:   de   eerste   3   bits   zijn   de   informatiebits,   de   volgende   3   de   toegevoegde  correctiebits. 000 000

100 011

010 101

001 110

110 110

101 101

011 011

111 000

Deze acht codewoorden van lengte 6 vormen een code. Het toevoegen van de correctiebits aan  de informatiebits is dus het eigenlijke coderen van de informatie. De   ontvanger   zal   ontvangen   woorden   moeten  decoderen:   uit   elk   6­tal   bits   zal   hij   de   drie  informatiebits moeten halen. Meestal is dat niet moeilijk: als één van bovenstaande rijtjes van  zes bits wordt ontvangen is er (hoogstwaarschijnlijk) geen ruis opgetreden, en zijn de eerste drie  bits de informatiebits. Maar er kan ook ergens een foutje ontstaan zijn. Wat deze code goed maakt is dat als er op één  positie een fout optreedt er een woord ontstaat dat niet in dit lijstje staat (dus niet in de code zit).  Zo merkt de ontvanger op dat er een fout is opgetreden. Maar het is nog beter: zo'n woord met  maar één foutje kan altijd maar op één manier zo aangepast worden door één bit te veranderen  dat er een codewoord ontstaat. Met andere woorden: als er maar één fout is opgetreden is er  maar één codewoord dat er maar op één plaats van verschilt. Dát is dan het codewoord dat de  ontvanger   kiest   als   meest   waarschijnlijk   verstuurde   woord   ­   en   de   eerste   drie   bits   daarvan  vormen de informatie. Voorbeeld Met een klein beetje oefening kun je nu steeds zes bits die je ontvangt decoderen tot de drie  informatiebits, zelfs als er onderweg één bit is veranderd! Ontvang je bijvoorbeeld 010111 dan  zie  je  dat  die niet in het lijstje staat; als de eerste drie correct waren zegt het lijstje dat  er  010101  had moeten staan, en dat is ook de enige mogelijkheid waarop maar één fout kon  optreden, want er is geen goed woord dat op 111 eindigt. Je decodeert 010101 dus tot 010.  Ontvang je 010110 dan moeten er twee fouten zijn als de informatiebits correct waren; maar als  de correctiebits correct waren, was de boodschap 110, en zou er 110110 verstuurd zijn. In dat  geval is er één fout opgetreden in het hele woord. Dus decodeer je tot 110. Enzovoort.  Weer blijkt dat altijd wanneer er één fout optreedt je die maar op één manier kunt herstellen. Als  er twee fouten optreden zijn er soms twee manieren om die te herstellen – deze code kan één fout  corrigeren.

10

Hamming Het kan zuiniger: als je bijvoorbeeld aan elke vier informatiebits drie correctiebits toevoegt (dus  met  rate 4/7) kun je ook een code maken waarin je in elk woord een opgetreden fout  kunt  verbeteren. In plaats van de lijst van zestien rijtjes te geven, volgt hier een regel hoe je ze kunt maken: de  eerste vier bits zijn de informatiebits, en daar heb je alle zestien mogelijkheden voor nodig. Aan  die vier bits voeg je er drie toe door steeds drie van de informatiebits bij elkaar  op   te   tellen.   Voor   de   eerste   correctiebit   tel   je   de   eerste,   tweede   en   derde  informatiebit   op;   als   de   uitkomst   even   is   wordt   de   correctiebit  0,   als   de  uitkomst oneven is wordt het een 1. Voor de tweede correctiebit tel je op de  zelfde manier de eerste, derde en vierde bits op, en voor de derde de tweede,  derde en vierde informatiebits. Zo worden bijvoorbeeld aan de informatiebits  1011 de correctiebits 010 toegevoegd. Richard Hamming Ook deze code (die Hammingcode heet en deel uit maakt van een hele familie  van soortgelijke codes) heeft de mooie eigenschap dat als je van een codewoord van zeven bits  één bit verandert, alleen het oorspronkelijke codewoord maar op precies één positie van het  veranderde woord afwijkt. Het vergt wel een beetje oefening om snel te zien welk codewoord bij  een woord met één fout erin hoort!

11

4. Oefenopgaven 1. Om te zien dat de ontcijfering van het Vigenère systeem werkelijk werkt zou je het volgende  kunnen   doen   met   twee   groepjes   deelnemers.   Laat   beide   groepjes   een   bericht   van   enkele  honderden   letters   uit   een   Nederlandse   krant   kiezen.   De   groepjes   kiezen   onafhankelijk   een  codewoord als sleutel en versleutelen daarmee hun boodschap met de Vigenère methode.  Wissel nu de versleutelde teksten uit en probeer zo snel mogelijk elkaars tekst te ontcijferen door  eerst de lengte van het codewoord te zoeken; probeer daarbij in je groepje taken te verdelen  zodat je zo snel mogelijk succes hebt. Als je de lengte van de sleutel denkt te weten kun je vast  snel het gebruikte codewoord vinden zoals beschreven. 

2. Hier is de frequentieverdeling van de letters in een verzameling van Nederlandse teksten die  in totaal uit 92137 letters bestond:    E I G U J X

19.06 % 6.44 % 3.14 % 1.93 % 1.49 % 0.11 %

N D V B Z

9.41 % 5.91 % 2.90 % 1.80 % 1.18 %

T O M C F

6.74 % 5.87 % 2.41 % 1.60 % 0.74 %

EN GE AA HE

5.12 % 1.90 % 1.50 % 1.25 %

DE IN IJ

3.79 % 1.76 % 1.40 %

ER ET VE

3.39 % TE 1.70 % EL 1.37 % OR

A S H P Y

6.72 % 4.00 % 2.32 % 1.59 % 0.29 %

R L K W Q

2.34 % AN 1.58 % EE 1.35 % IE

6.45 % 3.94 % 2.28 % 1.57 % 0.11 %

2.20 % 1.56 % 1.29 %

12

De volgende boodschap (van 316 letters) is onderschept:    AOB GJUXYO VWBBOK RWOS GDP U S KWCLJPZ JN RJUPD DX AOB JN PWZ PJOB AOLOIDDL TOSOK IDDK CDDKNQAJUPLJUS LJZB AOB IOB SOKNBIJN JP YO CJPSOL JP AOB OPZOLN YDB COL OOKNB LOOS AOB OK WV YDB AOB RWOS VDN GWLZOPY GWWKUDDK TWH HJBSWIOP IDDK YO SKDPB BAO BJION IOLYYO GKJUYDZ YHN YDB AOB RWOS RJUPD DX JN OOP UWHKPDLJNB GDP YO SKDPB AOOXB U S KWCLJPZ ZOJPBOKGJOCY YHN YO SDPN JN ZKWWB YDB AOB OQAB TW JN

De frequentieverdeling van letters in deze tekst is:  O K A G V E

14.78 % 5.70 % 4.11 % 2.22 % 0.95 % 0.00 %

B W L C T

9.18 % 5.38 % 4.11 % 1.90 % 0.95 %

D Y U H Q

8.23 % 5.06 % 3.16 % 1.58 % 0.63 %

J N Z R M

AO YO OL DB

4.62 % 2.52 % 2.10 % 1.68 %

OB JP OS

4.20 % 2.52 % 2.10 %

JN LJ DP

2.92 % JU 2.10 % DD 2.10 % OP

7.59 % 5.06 % 2.85 % 1.58 % 0.00 %

P S I X F

2.52 % OK 2.10 % YD 1.68 % DK

6.65 % 4.43 % 2.53 % 1.27 % 0.00 %

2.52 % 2.10 % 1.68 %

Kun je de tekst ontcijferen? 

13

3. Deze opdracht gaat over de code met rate 1/2 die in de tekst beschreven wordt.  a)   In   de   volgende   vier   woorden   is   steeds   op   één   positie   ruis   opgetreden.   Wat   zijn   in   deze  gevallen de codewoorden die hoogstwaarschijnlijk verstuurd werden?  100101 001010 110011 111110 (Probeer   er   een   sport   van   te   maken   om   de   antwoorden   zo   snel   mogelijk   te   vinden.   Het   helpt   wanneer   je   een   patroon   ziet   in   het   verband   tussen   het   eerste   drietal   bits   en het tweede drietal in elk codewoord!)  b) Kies van de codewoorden uit de tekst er één willekeurig uit, en verander er twee bits in.  Hoeveel codewoorden verschillen nu op precies één plaats van het verstoorde woord, en hoeveel  verschillen er op twee posities? Zijn de antwoorden hetzelfde voor alle beginwoorden en elk  tweetal bits dat je verstoort? 

4. Deze opgave gaat over de methode van Hamming.  a)  Maak   bij   de   volgende   viertallen   informatiebits   de   correctiebits   volgens   de   methode van Hamming uit de tekst.  1010 0001 1111 b) Probeer weer een snelle methode te vinden om deze vraag te beantwoorden:   De   volgende   woorden   verschillen   op   precies   één   positie   van   een   codewoord   uit   de  Hammingcode; bepaal de eerste vier (informatie)bits in deze gevallen.  1100001 1000101 0001000 0110011

14