6
BAB 2 LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan diuraikan mengenai metode-metode ilmiah dari teori-teori yang digunakan dalam penyelesaian persoalan untuk menentukan model program linier dalam produksi Teh pada PT.Perkebunan Nusantara IV Medan. 2.1
Pengertian Luas Produksi
Pada umumnya produksi suatu perusahaan ada berbagai jenis. Ada perusahaan yang produksinya hanya sejenis barang dan ada pula yang menghasilkan dua jenis barang atau lebih. Sehingga luas produksi perusahaan perlu direncanakan agar tidak terjadi pemborosan. Luas produksi adalah suatu ukuran berapa banyak jumlah dan jenis barang yang akan diproduksi oleh suatu perusahaan. Makin banyak barang yang diproduksi termasuk jumlah dan jenisnya, semakin besar luas produksi yang diterapkan. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa luas produksi merupakan standar atau ukuran jumlah barang yang harus diproduksi oleh suatu perusahaan agar laba maksimal sementara pengeluaran atau biaya dapat ditekan atau diminimumkan. Laba adalah kelebihan total penghasilan atas biaya, sedangkan maksimal diartikan batas yang paling tinggi yang harus dicapai. Biaya merupakan pengeluaran yang dilakukan perusahaan untuk memperoleh faktor-faktor produksi yang digunakan dalam proses produksi. Minimal artinya batas tertinggi dari biaya yang harus dikeluarkan. 2.2
Faktor-faktor yang Menentukan Luas Produksi
Suatu perusahaan tertentu memerlukan sumber daya yang dapat menghasilkan barang yang mendatangkan keuntungan yang lebih besar. Jenis dan jumlah sumber daya
Universitas Sumatera Utara
7
inilah yang menentukan jumlah barang yang akan diproduksikan suatu perusahaan dimana jenis dan jumlah sumber daya tersebut sangat terbatas. Dalam kondisi yang demikian pimpinan perusahaan perlu dan harus mengambil sikap dalam menentukan jenis dan jumlah produk yang akan diproduksi dengan sumber daya yang sangat terbatas agar laba yang diperoleh maksimal. Lebih lanjut faktor-faktor yang menentukan luas produksi suatu perusahaan antara lain adalah sebagai berikut : 1. Tersedianya bahan dasar 2. Tersedianya kapasitas mesin yang dimiliki 3. Tersedianya tenaga kerja 4. Batasan permintaan 5. Tersedianya faktor-faktor produksi yang lain Dengan tersedianya kelima factor produksi diatas maka luas produksi dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan program linier. 2.3
Diagram aliran untuk pengolahan teh
X1
Mesin 1
X2
Mesin 2
X4
Mesin 3
X5
Mesin 4 ( X6 ) Grade 1
Air ( X3 ) ( X7 ) Grade 2 ( X8 ) Grade 3
Universitas Sumatera Utara
8
Keterangan : Mesin 1 ( X9 ) : Pelayuan Mesin 2 ( X10) : Penggulungan + Fermentase Mesin 3 ( X11) : pengeringan Mesin 4 (X12) : Sortase X6
: Jenis Teh Grade 1
X7
: Jenis Teh Grade 2
X8
: Jenis Teh Grade 3
X1
: Jumlah input bahan yang diolah
X2
: Jumlah recovery yang masuk ke mesin 2
X3
: Jumlah air yang digunakan untuk proses pada mesin 2
X4
: Jumlah recovery yang masuk ke mesin 3
X5
: Jumlah recovery yang masuk ke mesin 4
Dalam gambar 2.3 dapat dilihat urutan proses pengolahan Teh. Daun teh basah merupakan bahan baku ditunjukkan oleh X1, selama proses sebagai bahan pembantu dibutuhkan sejumlah air yang digunakan pada mesin 2. Input X1 yaitu bahan mentah yang dimodifikasi oleh recovery rate tiap mesin, jadi sejumlah input X1 diproses pada mesin 1. Kemudian masuk mesin 2, yang masuk ke mesin 2 dinyatakan persen dari X1, sisanya ( yang tidak masuk mesin 2 ) dibuang, demikian seterusnya sampai diperoleh produk akhir. Masing-masing mesin mempunyai kapasitas tertentu dan diukur dalam satuan kg. 2.4.
Program linier secara umum
Program linier merupakan bagian dari program matematik, yang dimaksud dengan program linier adalah teknik-teknik yang meliputi suatu klasifikasi persoalanpersoalan optimisasi dalam hal dimana terdapat interaksi antara banyak variablevariabel, tetapi terbatas dalam kondisi-kondisi pembatasnya. Kondisi pembatas ini dapat timbul dari berbagai sumber, misalnya keadaan pasar, kapasitas mesin, persediaan bahan baku, penyimpanan dan sebagainya.
Universitas Sumatera Utara
9
Dalam program linier, fungsi-fungsi yang digunakan adalah fungsi linier, sedangkan fungsi-fungsi pembatas digunakan persamaan dan atau ketidaksamaan linier. Variable-variabel yang digunakan juga harus variabel non-negatif. Pada umumnya program linier dapat digunakan untuk mengoptimisasikan persoalan-persoalan yang memenuhi persyaratan sebagai berikut: 1. Fungsi tujuan dapat didefenisikan dengan jelas 2. Adanya alternative tindakan 3. Fungsi tujuan dan fungsi-fungsi pembatas harus dapat dinyatakan dalam bentuk matematis dan bersifat linier. 4. Variabel-variabel harus saling berhubungan 5. Sumber-sumber harus dalam kondisi terbatas, misalnya kapasitas mesin, jam kerja yang tersedia dan sebagainya. Tipe-tipe masalah yang dapat dipecahkan dengan mempergunakan program linier adalah sangat banyak, diantaranya dapat disebutkan sebagai berikut : 1. Masalah alokasi produk pada mesin-mesin 2. Masalah distribusi dan pengiriman 3. Masalah penentuan lokasi gudang 4. Masalah perencanaan produksi 5. Masalah pencampuran bahan baku untuk memperoleh pencampuran yang optimal. Ada dua buah program linier yang banyak dipergunakan, yaitu : 1. Model program linier dengan metode simpleks 2. Model transportasi Dalam bab ini hanya diuraikan teori program linier dengan metode simpleks, sedangkan model transportasi tidak akan diuraikan lebih lanjut. 2.4.1. Formulasi Matematika Program Linier Secara umum persoalan program linier dapat diuraikan sebagai berikut : ” Terdapat m buah persamaan dari masing-masing r buah variable, diinginkan untuk menentukan kombinasi r buah variabel non-negatif yang memenuhi batasan-batasan yang
Universitas Sumatera Utara
10
ditentukan oleh m buah persamaan atau ketidaksamaan linier tersebut, dan memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi tujuan yang linier pula”. Secara matematik, persoalan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut 1. Memaksimumkan/meminimumkan fungsi tujuan : Z = C1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C r X r
2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier : ≤ = ≥ bi
ai 1 X 1 + ai 2 X 2 + ... + a i r X r untuk i = 1, 2 , 3 , ... , m
3. Dengan pembatas non-negatif X j ≥ 0,
j = 1, 2 , 3 , ... , r
Bi ≥ 0 ,
i = 1, 2 , 3 , ... , m
4. a ij , bi dan C j adalah konstanta yang diketahui harganya.
Dapat pula persamaan atau
ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai
perkalian matriks A ( m × r ) dengan matriks kolom X ( r × l ) yang hasilnya adalah suatu kolom B ( m × l ) . a11 a 21 M a m1
a12 a 22 M am2
K a1r X 1 b1 b K a2r X 2 × ≤ = ≥ 2 M M a mr X r bm
Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang digunakan. Secara umum, kelinieran dapat digolongkan kedalam dua sifat, yaitu : 1. Sifat menambahkan Bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan waktu t1 jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu t2 jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu ( t1 + t2 ) jam.
Universitas Sumatera Utara
11
2. Sifat Mengalikan Bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan waktu 1 jam, maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam. Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas yang dapat berbentuk = atau ≥ , maka perlu diadakan pengenalan terhadap sifat-sifat dari bentuk-bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya. Untuk tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk, yaitu : 1. Bentuk Kanonik Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier dengan teori dualitas. Karakteristik bentuk ini adalah : a. Semua variable adalah non-negatif b. Semua fungsi pembatas bertanda ≤ c. Fungsi tujuan adalah maksimasi Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan sebagai berikut : Maksimasi
:Z =
r
∑C j =1
Fungsi Pembatas
: aij X j ≤ 0 , X j ≥0,
j
Xj I = 1, 2 , ... , m j = 1, 2 , ... , r
2. Bentuk Standard Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah : a. Semua variable adalah non-negatif b. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas nonnegatif bertanda ≥ 0 c. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi
Universitas Sumatera Utara
12
Setiap variasi bentuk persoalan program linier dapat diubah kedalam bentuk kanonik dengan mempergunakan satu atau beberapa transformasi dasar dari 5 buah transformasi dasar yang akan diuraikan dibawah ini : 1. Minimasi suatu fungsi f ( x ) secara sistematis adalah ekivalen dengan maksimisasi daripada negative fungsi tersebut − f ( x ) . Contoh
: Minimasi Z = C1 X 1 + ... + C r X r
adalah ekivalen dengan
Maksimisasi Y = − Z = − C1 X 1 − ... − C r X r
2. Suatu bentuk ketidaksamaan ≤ atau ≥ dapat diubah kedalam bentuk ketidaksamaan dengan arah berlawanan (c) dengan mengalikan -1 Contoh : a1 X 1 + a 2 X 2 = b, ekivalen dengan − a1 X 1 − a 2 X 2
≥ −b
3. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan arah yang berlawanan. Contoh : a1 X 1 + a 2 X 2 = b,
ekivalen dengan
a1 X 1 + a 2 X 2 ≤ b dan a1 X 1 + a 2 X 2 ≤ − b, atau a1 X 1 + a 2 X 2 ≤ b dan − a1 X 1 − a 2 X 2 ≤ − b 4. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolut, dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan. Contoh : a1 X 1 + a 2 X 2 ≤ b, b ≥ 0 , ekivalen dengan a1 X 1 + a 2 X 2 ≥ − b dan a1 X 1 + a 2 X 2 ≤ b, dan p1 X 1 + p 2 X 2
≥ q , q ≥ 0 , ekivalen dengan
p1 X i + p 2 X 2 ≥ q dan p1 X i + p 2 X 2 ≤ − q
Universitas Sumatera Utara
13
5. Suatu variable yang tidak diketahui tandanya ( bias positif, nol atau negative ) adalah ekivalent dengan selisih antara 2 variabel non-negatif.
Contoh : X tidak diketahui tandanya, maka X dapat dinyatakan sebagai
(X
+
. X − ) , dimana X + dan X − adalah ≥ 0 .
Didalam penyelesaian persoalan program linier dengan mempergunakan metode simpleks, bentuk dasar yang dipergunakan adalah bentuk standard. Karena itu setiap persoalan program linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks harus terlebih dahulu ke dalam bentuk standard. Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, disamping kelima bentuk transformasi dasar yang telah diuraikan terlebih dahulu diperlukan pula pengertian variable ” Slack dan
Surplus ”, dimana variabel-variabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan dengan fungsi pembatas menjadi bentuk persamaan ( bentuk standart ) tanpa mempengaruhi fungsi tujuannya. 2.4.2. Variabel Slack dan Surplus
Constrain dalam bentuk ≤ dapat dirubah ke dalam persamaan dengan menambahkan variable baru non-negatif di ruas kiri pertidaksamaan sedemikian hingga variable baru tersebut secara numerik sama dengan selisih diantara ruas kanan dan ruas kiri pertidaksamaan. Misalnya diketahui pada persoalan program linier bahwa salah satu fungsi pembatas ke h adalah
r
∑a j =1
hj
X j ≤ bh . Selanjutnya akan ditentukan suatu variabel X r + h ≥ 0 , r
dimana memenuhi hubungan X r + h = bh − ∑ a hj X j ≥ 0 . X r + h ini disebut variable j =1
slack karena bh dapat dianggap sebagai batas maksimum daripada sumber yang tersedia, sedangkan
r
∑a j =1
hj
X j adalah pemakaian yang sebenarnya daripada sumber
tersebut. Perbedaan antara sumber yang tersedia dan yang dipakai ini adalah slack ( misalnya slack jam operasi mesin ), persamaan tersebut dapat ditulis :
Universitas Sumatera Utara
14
r
∑a j =1
hj
X j + X r + h = bh . Jadi dengan menambahkan variable slack X r + h , maka bentuk
ketidaksamaan pada fungsi pembatas ke h dapat dirubah menjadi bentuk persamaan. Selanjutnya akan dilihat suatu bentuk ketidaksamaan dengan tanda ≥ . Misalnya diketahui pada suatu persoalan program linier, bahwa salah satu fungsi pembatas ke k adalah
r
∑a j =1
kj
X j ≥ bk . Kemudian tentukan suatu variabel tertentu
X r + h ≥ 0 , dimana memenuhi hubungan X r + h =
r
∑a j =1
kj
X j − bk . X r + h ini disebut
variable surplus, karena bk dapat dianggap sebagai salah satu jumlah minimum produk yang harus dibuat dan
r
∑a j =1
kj
Xj
adalah jumlah produk yang sebenarnya
dibuat. Perbedaan antara jumlah produk yang sebenarnya dibuat dengan yang seharusnya r
∑a j =1
kj
dibuat
adalah
surplus,
persamaan
tersebut
dapat
ditulis
:
X j − X r + h = bk .
2.4.3. Variabel Artificial
Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks harus ada 1variable-variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan tanda ≤ , maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variable slack . Tetapi bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda ≥ , maka variabel slack yang bersangkutan bertanda “ negatif ”.
Misalnya : a1 x1 + a 2 x 2 ≥ b diubah menjadi bentuk persamaan : a1 x1 + a 2 x 2 − S1 = b .
Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat diperoleh variable basis.
Universitas Sumatera Utara
15
Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variable artifical . Variabel artifical ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Dimana harga ini dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada fungsi tujuan adalah :
C a = − M , untuk maksimisasi C a = + M , untuk minimisasi M adalah bilangan positif sangat besar, dan C a adalah koefisien fungsi tujuan untuk variabel artifical X b . 2.4.4. Metode Simpleks
Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar ietratif yang dikembangkan oleh George B. Dantizg pada tahun 1947 untuk memecahkan persoalan-persoalan program linier. Dalam menguraikan metode simpleks ini untuk selanjutnya akan dipakai pengertian persoalan maksimasi, karena minimisasi fungsi tujuan adalah sama dengan maksimisasi negative fungsi tujuan tersebut. Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artifical . Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut Fungsi Tujuan
:
Maksimisasi/minimisasi : Z =
r
∑C j =1
Fungsi Pembatas
j
Xj
:
Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikan/dijelaskan dalam bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks adalah :
Universitas Sumatera Utara
16
a11 M a m1 Dimana
a12
K a1r
a m 2 K a mr
a1, r + 1
K
a1,r +1
a m, r + 1 K a m, r + m
X 1 b1 × M =M X r + m bm
:
C j = Koefisien fungsi tujuan untuk variable ke-j aij = Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variable ke-j m = Jumlah fungsi pembatas
r = Jumlah variable asli bi = Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan
a1, r +1 K a1,r + m M = I m = matriks satuan a m,r +1 K a m ,r + m
Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini, maka digunakan table iterasi simpleks
Universitas Sumatera Utara
17
Table 2.1 Iterasi Simpleks
Cj
C1
L
Cr
C r +1
L
Cr +m
Ni
Cbi
X1
L
Xr
X r +1
L
X r +m
b1
φ1
r +1
C r +1
a11
L
a1r
a1, r +1
L
a1, r + m
b1
φ1
a m1
L
a mr
a1, r +1
L
a m,r + m bm
φm
r+2 ⋅ ⋅ ⋅ r +m
Cr +m
Zj Z j −C j
Ni
= Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i
Cbi
= Koefisien fungsi tujuan variabel ke Ni
X1 K X r
= Variabel-variabel asli
X r +1 K X r + m = Variabel-variabel basis awal Zj =
m
∑ Cb i =1
i
× aij
Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan, yaitu : 1. Mencari variabel Xk yang akan menjadi variabel basis yang baru
Universitas Sumatera Utara
18
2. Mencari variabel basis yang lama Xq yang akan diganti 3. Menyusun tabel baru dengan menghitung harga aij dan bi yang baru. Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut : 1. Mencari variabel Xk yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara : a. Menghitung harga Z j − C j untuk j = 1, 2 , … , r + m b. Jika ada satu atau lebih harga Z j − C j ≤ 0, maka variabel dengan harga
Z j − C j negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru. c. Bila semua harga Z j − C j ≥ 0, maka iterasi telah mencapai kondisi optimal dan perhitungan dihentikan sampai disini. d. Bila Zk – Ck adalah negatif terbesar, dan aik ≤ 0 untuk setiap 1 = 1, … , m maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila aik ≥ 0 untuk paling sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru ( Xk ). 2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru ( Xk) a. Hitung harga
φi = bi / aik , i = 1, 2, ... , m
b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan harga
φi positif terkecil ( misalkan φi = 1 ). 3. Menyusun tabel simpleks yang baru dengan Xk adalah variabel basis baru yang menggantikan Xk. Transformasi yang akan dilakukan adalah : a.
Ni = k
b. Cbi = C k c. aij = a Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga Zj - Cj semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum.
Universitas Sumatera Utara
19
Contoh Soal : 1. Minimum Kendala :
Z = 3X1 + 5X2 2X1 = 8 3X2 ≤ 15 6X1 + 5X2 ≥ 30 X1 > 0, X2 ≥ 0
Penyelesaian :
Ubah kedalam bentuk Standar : Minimum :
Z = 3X1 + 5X2 + 0X3 + MX4 + 0X5 + MX6
Kendala
2X1 + X4 = 8 3X2 + X5 = 15 6X1 + 5X2 – X3 + X6 = 30 Xj ≥ 0, ( j = 1,2,...6)
Iterasi 0
3
5
0
M
0
M
X1
X2
X3
X4
X5
X6
M
2
0
0
1
0
0
8
X5
0
0
3
0
0
1
0
15
X6
M
6
5
-1
0
0
1
30
8M-3
5M-5
-M
0
0
0
38M
Basis
C
X4
Zj - Cj
B
8 15 30 };sehingga 8M-3 merupakan positif terbesar, karena Ө minimal { , , 2 0 6 variabel X4 keluar basis dan X1 masuk basis. Maka didapat nilai-nilai X1, X5, dan X6 Yaitu :
Universitas Sumatera Utara
20
X1 = 1, 0, 0,
X5 :
1 , 0, 0, 4 2
0 - 0 (1) = 0 3 - 0 (0) = 3 0 - 0 (0) = 0 1 0- 0( )=0 2 1 - 0 (0) = 1 0 - 0 (0) = 0 15 – 0 (4) = 15
X6 :
6 – 6(1) = 0 5 - 6 (0) = 5 -1 – 6 (0) = -1 0–6(
1 ) = -3 2
0 – 6 (0) = 0 1 – 6 (0) = 1 30 – 6 (4) = 6
Universitas Sumatera Utara
21
Iterasi 1
3
5
0
M
0
M
X1
X2
X3
X4
X5
X6
3
1
0
0
1 2
0
0
4
X5
0
0
3
0
0
1
0
15
X6
M
0
5
-1
-3
0
1
6
M
5M-5
-M
0
0
6M+12
Basis
C
X1
Zj - Cj
− 4M +
3 2
B
4 15 6 5M-5 merupakan positif terbesar,karena Ө minimal { , , }sehingga variabel 0 3 5 X6 keluar basis dan X2 masuk basis.
X1 = 3, 1, 0, 0,
X5 = 0, 0, 0,
1 ,0 ,0 ,4 2
3 9 3 57 , , 1, − , 5 5 5 5
1 3 1 6 X = 5, 0, 1, − , − , 0, , 5 5 5 5
Iterasi 2
3
5
0
M
0
M
X1
X2
X3
X4
X5
X6
3
1
0
0
1 2
0
0
X5
0
0
0
3 5
9 5
1
X2
5
0
1
−
0
0
-1
Basis
C
X1
Zj - Cj
1 5
−
3 5
3 − −M 2
−
3 5
B
4 57 5
0
1 5
6 5
0
1–M
18
Universitas Sumatera Utara
22
Karena Zj – Cj ≤ 0 ( telah bernilai positif ) maka telah solusi telah optimal, dan perhitungan telah selesai. 2.5. Formulasi Fungsi Konstribusi Marginal Sebagai Fungsi Tujuan
Tujuan
yang
diharapkan
dalam
memecahkan
masalah
mesin
ini
adalah
memaksimumkan keuntungan. Dengan adanya analisis metode simpleks maka terdapat kemungkinan kapasitas mesin yang tidak dipergunakan ( dalam hal ini slack bernilai positif ). Ditinjau dari segi ongkos, maka hal ini adalah termasuk ongkos yang menganggur, dimana sulit untuk menentukan besarnya ongkos ini karena alokasi sendiri belum dilakukan. Kesulitan lain yang timbul adalah dalam menentukan ongkos persatuan produk apabila dikerjakan pada mesin tertentu. Kesulitan ini juga disebabkan oleh belum ditentukannya jumlah produk yang dibebankan pada mesin tersebut. Kesulitan-kesulitan tersebut mengakibatkan fungsi ongkos tidaklah merupakan cara pendekatan yang baik. Karena itu diperlukanpendekatan yang lain yang lebih cepat, sehingga dapat menyatakan persoalan yang sebenarnya. Dengan adanya kemungkinan bahwa jam operasi mesin yang tersedia tidak digunakan seluruhnya, maka tujuan yang diharapkan untuk dicapai, juga dapat diartikan sebagai meminimumkan kerugian yang disebabkan oleh mesin yang menganggur. Besarnya kerugian yang disebabkan oleh mesin yang menganggur ini dapat juga dinyatakan sebagai pendapatan yang diperoleh dari penjualan suatu produk dikurangi dengan ongkos variabelnya ( konstribusi marginal ). Karena ongkos tetap mesin, besarnya tidak dipengaruhi oleh bentuk alokasi produk ( pembebanan mesin ) yang dilakukan, maka pemakai fungsi konstribusi marginal sebagai fungsi tujuan adalah setara dengan fungsi. Sebelum mencari fungsi tujuan dalam bentuk fungsi konstribusi marginal, terlebih dahulu akan di defenisikan beberapa notasi sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
23
P(Xn)
: Keuntungan yang dihasilkan bila dilakukan n buah alokasi produk
P(Xj)
: Keuntungan yang dihasilkan oleh satu satuan produk pada alokasi ke j
Cj
: Ongkos produksi satu satuan produk pada alokasi ke j
Sj
: Harga jual satu satuan produk pada alokasi ke j
Fj
: Ongkos tetap pada alokasi ke j
Vj
: Ongkos variabel satu satuan produk pada alokasi ke j
Bila keuntungan dipakai sebagai fungsi tujuan maka dapat diformulasikan Maksimasi P( X n ) =
∑ P(X ). X n
j
j −1
j
Dengan diketahui persamaan-persamaan sebagai berikut : Cj = Fj + Vj P(Xj) = Sj - Cj Maka : P( X n ) = =
∑ P(X j ). X j =
n
j −1
∑ (S
P( X n ) +
j −1
j
− C j ). X j
− V j ). X j − ∑ F j . X j
n
j =1
Sehingga :
∑ (S
n
n
j
j −1
n
∑ Fj . X j = j −1
∑ (S
− Vj ). X j
n
j =1
j
Bila Z = K (Xn) adalah fungsi konstribusi marginal, maka : Z = P( X n ) +
n
∑F j −1
j
=
.X j
∑ (S n
j =1
j
− V j ). X j
=
n
∑K j −1
j
.K j
Jadi fungsi konstribusi marginal sebagai fungsi tujuan adalah : Maksimasi :
Z = K (X n ) +
Dimana : K( Xn)
n
∑K j −1
j
.X j
: Konstribusi marginal bila dilakukan n buah alokasi produk
Kj
: Konstribusi marginal satuan pada alokasi ke j
Xj
: Jumlah produk yang dialokasikan pada alokasi ke j
Karena fungsi konstribusi marginal ini linier maka dapat memenuhi persyaratan fungsi tujuan linier.
Universitas Sumatera Utara
